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Mathe-Rätsel
Released by matroid on Di. 10. Februar 2004 23:45:44 [Statistics] [Comments]
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Spiele+Rätsel

\(\begingroup\) Binomisches

Unterhalten sich  zwei  Binomialkoeffizienten Bild:

"Unsere n's haben entgegengesetztes Vorzeichen."
"Sie sind aber keine Brüche, was ja auch sein könnte."
"Absolut gesehen, ist mein n doppelt so groß wie deins."
"Aber dafür ist k bei uns beiden gleich."
"Ja, und sogar eine Quadratzahl."
"Außerdem sind wir selber auch gleich groß."

Um welche beiden Binomialkoeffizienten handelt es sich?

Hans-Jürgen

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: Spiele+Rätsel :: Binomialkoeffizienten :
Mathe-Rätsel [von Hans-Juergen]  
Unterhalten sich  zwei  Binomialkoeffizienten : "Unsere n's haben entgegengesetztes Vorzeichen." "Sie sind aber keine Brüche, was ja auch sein könnte." "Absolut gesehen, ist mein n doppelt so groß wie deins." "Aber dafür ist k bei uns beiden gleich." "Ja, und sogar eine Quadrat ...
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"Mathe-Rätsel" | 8 Comments
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Re: Mathe-Rätsel
von: Rebecca am: Mi. 11. Februar 2004 15:11:34
\(\begingroup\) (n;0) und (-2n;0)

Rebecca\(\endgroup\)
 

Re: Mathe-Rätsel
von: Hans-Juergen am: Mi. 11. Februar 2004 23:09:36
\(\begingroup\)Hi,

ich dachte eigentlich an k>0
und möchte dies als Voraussetzung
hier nachreichen. Sorry.

Hans-Jürgen \(\endgroup\)
 

Re: Mathe-Rätsel
von: Rebecca am: Do. 12. Februar 2004 12:19:05
\(\begingroup\)Hi Hans-Jürgen,

dass k>0 sein soll, war mir schon bewußt, meine triviale Lösung war eher als Gag gedacht. Aber die n's ??? Sind keine Brüche, sagst du; aber ganze Zahlen können es auch nicht sein, behaupte ich mal.

Gruß
Rebecca
\(\endgroup\)
 

Re: Mathe-Rätsel
von: Hans-Juergen am: Do. 12. Februar 2004 13:35:36
\(\begingroup\)Hallo Rebecca,

bekannt sind oftmals nur die Binomialkoeffizienten
mit natürlichem n wie bei

Bild

Es gibt aber auch die Verallgemeinerung auf negative ganze
und sogar gebrochene n. Zum Beispiel gilt:

Bild

Auf diese Möglichkeiten spiele ich in meiner Aufgabe an.

Mit besten Grüßen,
Hans-Jürgen\(\endgroup\)
 

Re: Mathe-Rätsel
von: Juergen am: Do. 12. Februar 2004 13:41:22
\(\begingroup\)Hi an alle,

@Rebecca: habe unendlich(!) viele Lösungen mit ganzen Zahlen erhalten
Tipp: k=1 hat doch nicht viel Sinn
Versuch doch mal mit k=4 die Binomialkoeff. allgemein hinzuschreiben, dann kürzen, was möglich ist -> Gleichung 3.Grades
und diese hat dann eine ganzzahlige Nullstelle

Grüße
Jürgen
\(\endgroup\)
 

Re: Mathe-Rätsel
von: Rebecca am: Do. 12. Februar 2004 15:00:15
\(\begingroup\)@Jürgen: Stimmt, bei deinem Beispiel ist die ganzzahlige Nullstelle = 1.

aber wie ist
(1;4) und (-2;4)
definiert ?? Nach meinen Unterlagen ist der Wert bei n < k gleich 0, also auch eine - hier wohl nicht gemeinte - triviale Lösung.

Gruß
Rebecca\(\endgroup\)
 

Re: Mathe-Rätsel
von: Hans-Juergen am: Do. 12. Februar 2004 15:35:15
\(\begingroup\)Hi,
noch ein paar Bemerkungen zu den Binomialkoeffizienten:
Bild
Bild
Hans-Jürgen\(\endgroup\)
 

Re: Mathe-Rätsel
von: Hans-Juergen am: Mo. 16. Februar 2004 15:11:24
\(\begingroup\)Hi,

Rätsel, die nahezu ungelöst vor sich hindümpeln,
warten irgendwann auf einen Abschluß. So will ich
denn das vorliegende selber beenden.

Wenn man das Pascaldreick und die obige (recht-
eckige) Tabelle für die negativen Binomial-
koeffizienten weiter fortsetzt, gelangt man zu
dem Paar
(-3;4) , (6;4)|,
jeweils mit dem Wert 15.

Zu diesem Ergebnis kam Jürgen auf einem anderen Weg.
In seiner privaten Mitteilung wies er darauf hin, daß es
für natürliche Zahlen i unendlich viele Lösungen gibt:

(-(2i)^2-1;(2i)^2) = (2(2i)^2-2;(2i)^2)

oder für alle k, die gerade__ Quadratzahlen sind,

(-k+1;k) = (2k-2;k)|.


Mit freundlichen Grüßen
Hans-Jürgen

\(\endgroup\)
 

 
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