Stern Mathematik: Der Fünffarbensatz
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Title Der Fünffarbensatz
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Title Der Fünffarbensatz
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: Graphentheorie :: Interessierte Studenten :: Reine Mathematik :: Mathematik :
Der Fünffarbensatz [von Fabi]  
Viele von euch haben bestimmt schon mal vom Vierfarbensatz gehört: Jede Landkarte lässt sich mit 4 Farben färben, so dass benachbarte Länder verschiedene Farben haben. Der Beweis dafür ist serh schwer. Für 5 Farben geht es aber einfacher, wie Fabi hier gezeigt hat.
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"Stern Mathematik: Der Fünffarbensatz" | 13 Comments
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Re: Der Fünffarbensatz
von: Ende am: Mo. 23. Februar 2004 17:20:37
\(\begingroup\)
Hallo Fabi!

Schoene Idee fuer einen Artikel hast Du da gehabt. Du hast den Artikel auch schoen fluessig gelesen. Ich konnte ihn praktisch wie Prosa lesen. Kompliment.

Gruss, E. ;)\(\endgroup\)
 

Re: Der Fünffarbensatz
von: Ende am: Mo. 23. Februar 2004 17:21:51
\(\begingroup\)
Aerks, moeglicherweise hast Du den Artikel zwar fluessig gelesen, ich meinte aber, dass Du ihn fluessig geschrieben hast.

Waere ich bloss anonym geblieben...

Gruss, A. ;)\(\endgroup\)
 

Re: Der Fünffarbensatz
von: matroid am: Mo. 23. Februar 2004 18:01:23
\(\begingroup\)
Hi Fabi,

mir gefällt es auch gut. Der 5-Farben-Satz ist wirklich schön zu beweisen.

Gruß
Matroid\(\endgroup\)
 

Re: Der Fünffarbensatz
von: Spock am: Do. 26. Februar 2004 20:35:41
\(\begingroup\)
Hallo Fabi,

je weniger Farbe(n), desto schwerer Beweise?

Dein "5 Farben Beweis" hat mich überzeugt, und Du hast das wirklich schön dargestellt.

Was mich noch interessieren würde: Du schreibst, daß der Beweis des Vierfarbensatzes aus dem Jahre 1977 umstritten "war". Ist man mittlerweile, ohne Computer, schlauer, d.h. existiert ein allgemein akzeptierter Beweis?

Gruß
Juergen\(\endgroup\)
 

Re: Der Fünffarbensatz
von: Rebecca am: Do. 26. Februar 2004 21:18:26
\(\begingroup\)
Hi Juergen,

nein, es gibt immer noch keinen "computerfreien" Beweis.

Gruß
Rebecca\(\endgroup\)
 

Re: Der Fünffarbensatz
von: Spock am: Do. 26. Februar 2004 21:42:46
\(\begingroup\)
Danke Rebecca,
gäbe es einen solchen, hättest Du ihn mit Sicherheit gefunden, :-)
Frage an Dich: Ist der "Computerbeweis" für Dich akzeptabel?

Gruß
Juergen\(\endgroup\)
 

Re: Der Fünffarbensatz
von: Rebecca am: Fr. 27. Februar 2004 10:30:11
\(\begingroup\)
Hi Jürgen,

nachdem ich Fabis Artikel gelesen hatte, habe ich natürlich recherchiert, ob es inzwischen einen "richtigen Beweis" des Vierfarbensatzes gibt. Deshalb konnte ich deine Frage auch sofort beantworten.
Ist für mich ein Computerbeweis akzeptabel? Mit Radoi Erivan beantwortet: Im Prinzip ja, aber...
Ja, wenn es sich nur um die Durchführung einer riesigen Menge von Fallunterscheidungen handelt, der Programmcode nachvollziehbar ist und ausreichend getestet wurde. Denn das ist nichts anderes als übliche Beweise, die eine Reihe von Fallunterscheidungen enthalten. Beim Computerbeweis des Vierfarbensatzes sind diese Bedingungen angabegemäß erfüllt (es waren ja auch nur 1482 Fallunterscheidungen).
Anders ist das mit dem Beweis der  Keplersche Vermutung über  dichteste Art, Kugeln aufzustapeln. Dieser Computerbeweis von Thomas Hales und Tom Ferguson. Ihre 250 Seiten lange Dokumentation war derart unübersichtlich und unvollständig, dass - nach mehrjähriger intensiver Arbeit - die Gutachter  nicht in der Lage gewesen waren, den Beweis mit allerletzter Sicherheit zu zertifizieren. (Aber Hales arbeitet weiter daran, in seinem "Formal Proof of Kepler-Projekt" will er - ebenfalls mit Computern als Internetprojekt - jeden einzelnen Schritt seines Beweises nachvollziehbar prüfen und dokumentieren. Geschätzte Projektdauer: 20 Jahre !!).

Gruß
Rebecca
\(\endgroup\)
 

Re: Der Fünffarbensatz
von: Ex_Mitglied_3308 am: Fr. 27. Februar 2004 19:33:18
\(\begingroup\)
Kann nur das Buch "Der Vierfarbensatz" von R. und G. Fritsch für weitere Informationen empfehlen.

Um 5€ auf:
http://www.stm-books.at/
\(\endgroup\)
 

Re: Der Fünffarbensatz
von: Fabi am: Sa. 28. Februar 2004 16:53:20
\(\begingroup\)
Hi!

Soviel ich weiß, gibt es keinen "computerfreien" Beweis, aber kürzere Beweise als den damals angegebenen (statt ca. 1500 Fallunterscheidungen sind es nur noch ca. 650). Wer aber mit dem ersten Beweis wegen des Computers nicht einverstanden war, den wird das auch nicht zufriedenstellen.

Gruß
Fabi\(\endgroup\)
 

Re: Der Fünffarbensatz
von: Fabi am: So. 29. Februar 2004 15:04:01
\(\begingroup\)
Hi!

Die Fünffärbung hat gegenüber der Vierfärbung vermutlich auch den Vorteil, dass man Landkarten algorithmisch vermutlich recht gut fünffärben kann.

Sei f: N -> N die FUnktion, die angibt, wie lange usnerer Algorithmus für Graphen mit n Ecken arbeitet.

Bei einem vorgegebenem Graphen mit n Ecken nimmt man eine Ecke von Grad < 6 raus und färbt den verbliebenen Graphen mit dem Algorithmus mit 5 Farben. Das geht in f(n-1) Schritten. Dann prüft man (mit den Bezeichnungen wie im Artikel), ob es einen rot-blau-Weg gibt, das sollte in der Zeit O(n) gehen. Und dann färbt man um, das geht auch in der Zeit O(n).

Insgesamt ist also f(n) = f(n-1)+2O(n), also ist f(n) = O(n²), also nicht so schlecht.

Für die Vierfärbbarkeit gibt es sowas wohl nicht - sonst hätte man je einen echten Beweis.

Weiß jemand näheres darüber?

Gruß
Fabi

\(\endgroup\)
 

Re: Der Fünffarbensatz
von: MasterSader am: So. 12. Dezember 2004 22:17:34
\(\begingroup\)
Klingt zwar blöd, ABER fehlt da nicht ne Strecke ^^. Die Verbindung der beiden rechten äußeren Länder?\(\endgroup\)
 

Re: Der Fünffarbensatz
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mo. 01. Oktober 2012 17:14:12
\(\begingroup\)
Hallo Fabi,

ich muss für die Schule eine Facharbeit über den 5-Farbensatz schreiben und weiß ehrlich geasgt nicht genau wie ich damit 15 Seiten füllen soll. 😁  Ich habe das Buch "Kombinatorische Optimierung erleben" gekauft, in dem das Problem sehr gut behandelt wird. Andauernd aber nur aus einer Quelle zu zietieren ist jedoch schlecht. Könntest du mir eventuell Bücher oder Quellen empfehlen die ich hierfür verwenden kann? 😵  :-?

Gruß
 
Max
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Re: Der Fünffarbensatz
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mo. 03. Dezember 2012 15:01:10
\(\begingroup\)
Super Erklärung. Ich habe den Beweis auf Wikipedia nicht 100% verstanden, da ich nicht beachtet habe, dass die Reihenfolge der Konten (1-3,2-4) eine Rolle spielt.\(\endgroup\)
 

 
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