\(\begingroup\) Nachdem schon dieser und dieser Artikel veröffentlich wurden, in denen die Lösungsformeln für Gleichungen dritten und vierten Grades hergeleitet wurden, möchte ich euch nun einen umfassenderen Artikel zu diesem Thema, das mich immer wieder beschäftigt, zugänglich machen. Ich möchte hier die üblichen und leichter verständlichen Lösungsverfahren für Polynome erläutern und herleiten, um einen Überblick zu verschaffen, da solche Fragen ja immer mal wieder (auch im Forum) auftauchen. Inhalt:
1. Lineare Gleichungen 2. Quadratische Gleichungen 3. Gleichungen dritten und vierten Grades 4. Weitere Lösungsverfahren für Spezialfälle 4.1 Kreisteilungspolynome 4.2 Die Biquadratische Gleichung 4.3 Andere durch Substitution lösbare Gleichungen 4.4 Spezialfall einer Kreisteilungsgleichung 4.5 Binom-Gleichungen 4.6 Gradreduzierung durch Ausklammern von x 4.7 Gradreduzierung durch Polynomdivision 5. Seltene Lösungsverfahren und Approximierungen 5.1 Methode des Quadrat-Extrems 5.2 Die Newton-Iteration 5.3 Regula falsi 5.4 Das allseits beliebte Raten
Diese Art von Gleichungen lernt man schon in der Schule von klein auf (wenn am Anfang auch unbewusst). Die allgemeine Form dieser Gleichung ist, wie bekannt sein dürfte:
mx+n=0
Was einfach umgeformt werden kann zu: \boxon\blue\mx=-n x=-n/m \boxoff \boxon\darkblue\Am Beispiel 5x+7=0 5x=-7 x=-7/5 \boxoff
Womit wir die erste Gleichungsart gelöst hätten.
\big\ll(2) Quadratische Gleichungen
Auch diese Art von Gleichungen wird in der Schule unterrichtet (ab der 8ten und 9ten Klasse). Um sie zu lösen, ist allerdings schon mehr Vorwissen nötig. Z.B. die 1.Binomische Formel:
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
Und das Wissen, wie man radiziert (Wurzeln zieht): x^2=a => x=+-sqrt(a)
Wenn wir das haben, können wir loslegen, indem wir eine nahe liegende Gleichung lösen: \boxon\blue (x+a)^2=0 x+a=+-0=0 x=-a \boxoff \boxon\darkblue\Am Beispiel: (x+2)^2=0 x+2=0 x=-2 \boxoff
Wenn man dieses Prinzip verstanden hat, ist es ein recht kleiner Schritt zu der allgemeinen Lösung einer allgemeineren quadratischen Gleichung:
(x+d)^2+e=0 Hier sieht man, dass die Lösung analog zu obiger Gleichung erfolgt: \boxon\blue (x+d)^2=-e x+d=+-sqrt(-e) x=-d+-sqrt(-e) \boxoff \boxon\darkblue\Am Beispiel: (x+5)^2-4=0 (x+5)^2=4 x+5=+-2 x=-5+-2 \boxoff Wenn wir diese Gleichung gelöst haben, steht uns der Weg offen, jede quadratische Gleichung zu lösen, denn es ergibt sich an dieser Gleichung etwas Schönes: \boxon\blue (x+d)^2+e= x^2+2xd+d^2+e \boxoff Wenn wir das nämlich mit x^2+px+q \, der Normalform der Quadratischen Gleichung, vergleichen, erkennt man: \boxon\blue p=2d q=d^2+e \boxoff Wenn wir das umstellen, kommen wir zu einer Methode, um aus p und q e und d zu erhalten: \boxon\blue d=p/2 e=q-d^2=q-(p/2)^2 \boxoff Wenn wir das jetzt in die Lösungsformel mit e und d einsetzen, erhalten wir die p-q-Formel, die sich auch unter dem Namen "Mitternachtsformel" bei Schülern beliebt gemacht hat, da nicht wenige Lehrer sagen, dass man diese Formel auch dann auswendig können muss, wenn man um Mitternacht aus dem Schlaf gerissen wird. \boxon\blue x=-d+-sqrt(-e) =-p/2+-sqrt((p/2)^2-q) \boxoff \boxon\darkblue\Am Beispiel: x^2+6x+8=0 x_(1\/2)=-3+-sqrt(9-8) x_1=-2 x_2=-4 \boxoff Dies ist sie, die berüchtigte Formel, mit der man alle quadratischen Gleichungen lösen kann.
\big\ll(3) Gleichungen dritten und vierten Grades
Die Arbeit, die in der Herleitung der p-q-Formel steckt ist allerdings relativ wenig, wenn man gerne die Lösungsformel für diese beiden Typen von Gleichungen haben möchte, die allerdings schon über den Schulstoff hinausgehen. Deshalb verweise ich noch mal auf diese beiden Artikel, in denen das schon sehr gut ausgearbeitet wurde: Es ist am besten, wenn man sie in dieser Reihenfolge liest, da der zweite auf die Arbeit des ersten zurückgreift
\big\ll(4) Weitere Lösungsverfahren für Spezialfälle
Hin und wieder kommen Spezialfälle vor, die sich auch sehr einfach lösen lassen, während man sich an anderen Gleichungen die Zähne ausbeißt.
\ll(4.1) Kreisteilungspolynome
Eine andere, sehr einfache Art von Gleichungen, die im Prinzip nur x^n+a=0 beinhaltet. Durch einfaches Wurzelziehen kann man diese Gleichungen für beliebiges n lösen. \boxon\darkblue\Am Beispiel: x^4-81=0 x^4=81 x=root(4,81) x=+-3 \boxoff
\ll(4.2) Die Biquadratische Gleichung
Ein Beispiel, das u.U. von Lehrern im Unterricht genommen wird ist eine solche Gleichung:
x^4+px^2+q=0
Hier habe ich absichtlich p und q verwendet, da diese Gleichung der Normalform einer quadratischen doch sehr ähnelt. Nicht umsonst, denn wenn wir z=x^2 substituieren, erhalten wir tatsächlich eine quadratische Gleichung: \boxon\blue z=x^2 => z^2+pz+q=0 => z_(1\/2)=-p/2+-sqrt((p/2)^2-q) => x_(1\/2)=+sqrt(-p/2+-sqrt((p/2)^2-q)) x_(3\/4)=-sqrt(-p/2+-sqrt((p/2)^2-q)) \boxoff \boxon\darkblue\Am Beispiel: x^4-6x^2+8=0 z=x^2 => z^2-6z+8=0 => z_(1\/2)=+3+-sqrt(9-8) =+3+-1 => x_(1\/2)=+sqrt(3+-1) x_(3\/4)=-sqrt(3+-1) \boxoff
Aufgrund der Verwandschaft mit der quadratischen Gleichung und die Substitution mit x^2 kommt der Name "Biquadratisch" zustande.
\ll(4.3) Andere durch Substitution lösbare Gleichungen
Ähnlich wie bei \ref(4.2) können wir andere Gleichungen lösen, die eine solche Form haben:
x^2n+px^n+q=0
Auch hier kann man wieder das x^n=z substituieren, sodass eine einfache quadratische Gleichung in z entsteht. Danach muss man dann zurücksubstituieren und durch Wurzelziehen nach x auflösen.
Analog können wir natürlich auch vorgehen, wenn wir die Lösungsformel für Gleichungen dritten und vierten Grades beherrschen:
x^3n+ax^2n+bx^n+c=0 x^4n+ax^3n+bx^2n+cx^n+d=0
Auch hier heißt es x^n=z substituieren und nach z auflösen, anschließend zurücksubstituieren und x ausrechnen.
\ll(4.4) Spezialfall einer Kreisteilungsgleichung
Manchmal passiert es, dass man aufgefordert wird Gleichungen wie diese hier zu lösen:
x^5+x^4+x^3+x^2+x+1=0
Für Gleichungen 5ten und höheren Grades kann man eigentlich keine Lösungsformel mehr mit elementaren (das heißt bei mir "in der Schule gebräuchlichen") Mitteln angeben. Trotzdem kann man jede Gleichung lösen, die diese Form hat:
x^n+x^(n-1)+x^(n-2)+...x^2+x+1=sum(x^k,k=0,n)=0
Um dies zu veranschaulichen, bedienen wir uns eines Tricks. Wir stellen die Gleichung anders dar:
\blue(x^(n+1)-1)/(x-1)=0
Das geht, wenn wir uns klarmachen, dass gilt: \boxon\blue (x^n+x^(n-1)+x^(n-2)+...x^2+x+1)*(x-1)= (x-1)*sum(x^k,k=0,n)= sum(x^(k+1),k=0,n)-sum(x^k,k=0,n)= x^(n+1)-1 \boxoff Der Bruch (x^(n+1)-1)/(x-1) wird genau dann null, wenn der Zähler Null ist, der Nenner aber ungleich Null ist. Deshalb können wir schlussfolgern, dass alle Lösungen der Gleichung x^(n+1)=1 ausgenommen 1 auch Lösungen von x^n+x^(n-1)+x^(n-2)+...+x^2+x+1=0 sind. \boxon\darkblue\Am Beispiel: x^5+x^4+x^3+x^2+x+1=0 (x^6-1)/(x-1)=0 => x_1=+1 #wird ausgeschlossen, da Nenner != 0 sein muss x_2=-1 \boxoff
\ll(4.5) Binom-Gleichungen
Es gibt nicht nur Formeln um (a+b)^2 zu berechnen, sondern es gibt eine Formel für alle natürlichen n um (a+b)^n auszurechnen. Es gilt für solche Binome:
Falls man also auf ein Polynom stoßen sollte, dessen Koeffizienten verdächtig nach Binomialkoeffizienten aussehen, sollte man sich die Mühe machen, diese Möglichkeit einmal zu prüfen. Denn diese lassen sich dadurch auch sehr einfach lösen: \boxon\blue (x+a)^n=0 x+a=0 x=-a \boxoff \boxon\darkblue\Am Beispiel: (x-2)^n=0 x-2=0 x=2 \boxoff
\ll(4.6) Gradreduzierung durch Ausklammern von x
Für alle Polynome die wir bisher gesehen haben, könnten wir ein Polynom konstruieren, das wir ebenfalls lösen können, so z.B. x^k*p(x)=0
Wobei p(x) ein bereits lösbares Polynom ist und k eine natürliche Zahl. Da wir wissen, dass ein Produkt 0 ist, wenn eine Faktor null ist, können wir schließen, dass ein solcher Ausdruck genau k zusätzliche Nullstellen hat. Wenn wir also mal ein Polynom vor uns liegen haben, dessen ersten k Koeffizienten gleich 0 sind (von x^0 an gezählt), können wir x^k ausklammern, so dass wir die Form x^k*p(x)=0 haben. Damit stehen schon k Nullstellen fest, denn die sind alle 0. Die anderen stecken dann im Polynom p(x). Dies müsste dann mit einer anderen Methode gelöst werden. \boxon\darkblue\Am Beispiel: x^4+2x^3-15x^2=0 x^2(x^2+2x-15)=0 => x_1=0 x^2+2x-15=0 x_(2\/3)=-1+-sqrt(1-(-15))=-1+-4 x_2=-5 x_3=+3 \boxoff
\ll(4.7) Gradreduzierung durch Polynomdivision
Wenn man eine Nullstelle durch irgendeine Methode gefunden hat, und sei es durch Raten, dann kann man dieses Verfahren durchführen um ein Polynom zu erhalten, dessen Grad um eins niedriger ist und so i.d.R. einfacher zu lösen ist. Besonders in der Schule, wo oft nur ganzzahlige Lösungen für Polynome verwendet werden, ist diese Methode nützlich. Dazu muss man wissen, dass es eine Zerlegung jedes Polynoms in seine "Linearfaktoren" gibt, denn jedes Polynom mit den Nullstellen x_1, x_2, x_3 ... kann man in dieser Form darstellen:
Dabei heißen die einzelnen Faktoren "Linearfaktoren", da sie im Prinzip Lineare "Teil-Funktionen" sind. Immer, wenn das x nämlich eine der Nullstellen annimmt, wird genau der zugehörige Faktor der Linearfaktorzerlegung 0, womit das ganze Polynom 0 wird. Wenn man eine Nullstelle x_0 gefunden hat, kann man das ganze Polynom durch (x-x_0) dividieren und man hat eine Polynom, das die übrigen Linearfaktoren (und damit die übrigen Nullstellen) immer noch hat, dessen Grad aber um eins niedriger ist. Das Prinzip ähnelt dem aus der Grundschule bekannten schriftlichen Dividieren: Man versucht herauszufinden, wie oft der Divisor in den Dividenden maximal "hineinpasst". Anschließend subtrahiert man diesen "hineinpassenden" Anteil. An einem Beispiel kann man das gut veranschaulichen:
(x3-6x2+3x+10):(x-5) = x2 - x - 2 -(x3-5x2) #x-5 passt x2 mal in das Polynom ---------- -x2+3x -(-x2+5x) #x-5 passt (-x) mal ins Restpolynom -x2+3x+10 --------- -2x+10 -(-2x+10) #(x-5)*(-2) = (-2x+10) --------- 0
Dass der letzte Rest 0 ist, das ist immer so, wenn man durch einen Linearfaktor dividiert und dient gleichzeitig als Kontrolle. Das nun erhaltene Polynom hat auch noch Nullstellen, die man ab hier mit der Lösungsformel von ref(2) herausfinden kann.
\big\ll(5) Seltene Lösungsmethoden und Approximierungen
Dieser Abschnitt soll den Methoden gewidmet sein, die zwar theoretisch immer funktionieren, aber in der Praxis selten zur Anwendung kommen, und solchen, die nur Näherungslösungen liefern können. Besonders bei Näherungslösungen möchte ich darauf hinweisen: \frameon Es sind Näherungslösungen! Wenn nichts weiter gefragt ist, sind sie oft gut, aber man sollte es vermeiden, mit ihnen weiterzurechnen, und es gleich ganz lassen, eine Polynomdivision mit ihnen durchzuführen. \frameoff
\ll(5.1) Methode des Quadrat-Extrems
Wenn man einen Term t quadriert, so wird dieser Term genau da Null, wo auch t^2 null wird. Das ist trivial. Da aber ein Quadrat in den Reellen Zahlen immer positiv ist, sind die Nullstellen des Quadrats auch gleichzeitig die Minima der quadrierten Funktion. Also kann man um die Nullstellen eines Polynoms zu bestimmen auch einfach die Minima des Quadrat dieses Polynoms bestimmen. Dass man diese Methode wirklich verwenden kann, ist in der Realität in der Tat sehr__ selten, da man plötzlich statt einer Funktion n-ten Grades eine (2n-1)ten Grades zu lösen hat, wenn man an die Minima will, nämlich die erste Ableitung der quadrierten Funktion.
\ll(5.2) Die Newton-Iteration
Diese von Sir Isaac Newton erfundene Näherungsmethode erfordert die Fähigkeit die gegebene Funktion abzuleiten. Wenn man einen Startwert x_0 wählt, kann man mit Hilfe der Iterationsvorschrift \mixoff x_(n+1) = x_n - f(x_n)/f'(x_n)
Beliebig viele weitere Werte für x zu bekommen, die sich beliebig genau dem wahren Wert einer__ Nullstelle annähern. Welche das ist, hängt vom Startwert ab und ist i.d.R. nicht vorhersehbar, wenn man noch keine Kurvendiskussion durchgeführt hat und dem entsprechend abschätzen kann, welcher Startwert welches Ergebnis liefert. Es gibt für diese Methode bestimmte Grenzen. Beispielsweise darf ein x_n keine Extremstelle der Funktion sein, da f'(x_n) an dieser Stelle dann Null wäre und wir beim nächsten Iterationsschritt durch Null teilen würden. Für andere Funktion gelten zusätzliche Beschränkungen aufgrund von Polstellen etc. Diese Methode bringt i.d.R. sehr schnell ein brauchbares Ergebnis und liefert in Ausnahmefällen sogar einen exakten Wert.
Warum diese Methode so funktioniert kann man an dieser Zeichnung sehen:
Man legt an die Funktion f(x) eine Tangente bei x_0 an und fasst diese als lineare Gleichung auf, von der man sich die Nullstelle berechnet. Diese wird als x_1 genommen um das Verfahren fortzusetzen. Die lineare Funktion, die die Tangente an x_0 beschreibt, kann ja wie alle linearen Funktionen in die Form y=mx+n gebracht werden, wobei m der Anstieg f'(x_0) ist. Um n herauszubekommen setzen wir den Punkt P(x_0 \;f(x_0)) ein: \boxon\blue f(x_0)=f'(x_0)*x_0 + n n=f(x_0)-f'(x_0)*x_0
Die Nullstelle der so erhaltenen linearen Funktion lautet, wenn wir in x=-n/m einsetzen:
\align x_1><=-(f(x_0)-f'(x_0)*x_0)/f'(x_0) ><=-f(x_0)/f'(x_0)+x_0 ><=x_0-f(x_0)/f'(x_0) \stopalign \boxoff Das kann analog für x_n gemacht werden und wir erkennen, dass dabei tatsächlich die Newton'sche Iterationsformel herauskommt.
x_0=1 x_(n+1)=x_n - ((x^4+0,2*x^3-x^2+5x-7)/(4x^3+0,6x^2-2x+5)) => x_1=1,2368 x_2=1,2029 x_3=1,2020 x_4=1,2020 x_5=1,2020 => Wir habe also eine auf 4 Nachkommastellen genaue Nullstelle bei 1,202. \boxoff
\ll(5.3) Regula falsi
Dies ist eine nicht ganz so gute aber dafür einfachere Näherungsmethode. Hier braucht man 2 Startwerte x_1 und x_2 zw. denen man eine Nullstelle vermutet, d.h. es muss gelten f(x_1)*f(x_2)<0. Nun kann man mittels dieser Formel
x_3=x_1-(x_2 - x_1)/(f(x_2)-f(x_1))*f(x_1)
x_3 berechnen. Jetzt kann das Verfahren fortgesetzt werden, indem man statt dem Paar (x_1\,x_2) das Paar (x_1\,x_3) bzw. (x_2\,x_3) verwendet, je nachdem, ob f(x_1)*(x_3)<0 oder f(x_2)*f(x_3)<0 gilt. Zu bemerken ist auf jeden Fall, dass diese Methode i.A. langsamer zur geforderten Genauigkeit führt als die Newton-Iteration.
Wieso dieses Verfahren funktioniert, möchte ich an dieser Zeichnung verdeutlichen:
Bei dieser Methode wird statt einer Tangente eine Sekante durch den Graph f(x) gelegt und dessen Nullstelle als nächster Näherungswert genommen. Auch hier verwenden wir wieder die allgemeine Form der linearen Funktion für die Sekante y=mx+n. Hier setzen wir jetzt zwei Punkte ein, nämlich den Punkt P_1(x_1 \;f(x_1)) und P_2(x_2 \;f(x_2)). Daraus ergeben sich die beiden Gleichungen: \boxon\blue f(x_1)=mx_1 + n f(x_2)=mx_2 + n
Formen wir eine nach m und eine nach n um, erhalten wir:
n=f(x_1)-m*x_1 m=(f(x_2)-n)/x_2
Wenn wir die erste in die zweite Gleichung einsetzen, erhalten wir:
Besonders für Schüler geeignet ist natürlich auch die Methode des Erratens, da selten sehr komplizierte Zahlen als Nullstellen genommen werden. Viele Lehrer bevorzugen auch des Korrigierens wegen Funktionen, die ganzzahlige Nullstellen rund um 0 besitzen. Wenn man außerdem noch weiß, dass in einem solchen Fall ausschließlich Teiler des Absolutglieds Nullstellen sein können, lohnt sich das Raten bei Funktion 3ten und höheren Grades auf jeden Fall und ist in Arbeiten einer aufwändigen Lösungsformel vorzuziehen. Dass die Nullstellen eines Polynoms Teiler des Absolutglieds sein müssen, falls alle Nullstellen ganzzahlig sind, folgt aus der Zerlegung des Polynoms in seine Linearfaktoren (siehe ref(4.7)).
Wenn man dies ausmultipliziert, stellt man fest, dass das Absolutglied der Funktion x_1*x_2*x_3*... lautet, die Nullstellen also Teiler dieses Glieds sein müssen. Natürlich funktioniert das nicht immer, da ein Polynom auch Nullstellen haben kann, die nicht ganzzahlig sind, obwohl alle Koeffizienten ganzzahlig sind. z.B. Diese Gleichung:
0=x^2-2 Sie hat die Lösungen +sqrt(2) und -sqrt(2), beides Teiler des Absolutglieds, aber keine ganzen Zahlen und daher beim Probieren i.d.R. nicht aufzuspüren. Trotzdem ist es manchmal (gerade bei Gleichungen dritten und vierten Grades angebracht erstmal durch Raten eine Lösung zu finden und dann eine Polynomdivision durchzuführen.) \boxon\darkblue\Am Beispiel: f(x)=x^3+6x^2+12x+8
Probe mit x=1 f(+1)=27 #kein Erfolg
Probe mit x=-1 f(-1)=1 #wieder kein Erfolg
Probe mit x=+2 f(+2)=64 #ebenfalls nichts
Probe mit x=-2 f(-2)=0 #Volltreffer
Wenn wir Das Polynom durch (x+2) dividieren, erhalten wir diese Restgleichung: x^2+4x+4=0
Hier können wir wieder die Lösungsformel anwenden: x_(2\/3)=-2+-sqrt(4-4)=-2
Hier stimmen alle 3 Nullstellen überein. Es gibt also eine (dreifache) Nullstelle bei x=-2. \boxoff
Ich hoffe, dass ich euch einen Überblick über die Lösungsmöglichkeiten von Polynomen mit elementaren Mitteln verschafft habe.
Standardwege, Tipps & schmutzige Tricks zum Lösen von Polynomgleichungen:
1. Lineare Gleichungen
2. Quadratische Gleichungen
3. Gleichungen dritten und vierten Grades
4. Weitere Lösungsverfahren für Spezialfälle
4.1 Kreisteilungspolynome
4.2 Die Biquadratische Gleichung
4.3 Andere durch Substitution lösbare Gleichungen
4.4 Spezialfall einer Kreisteilungsgleichung
4.5 Binom-Gleichungen
4.6 Gradreduzierung durch Ausklammern von x
4.7 Gradreduzierung durch Polynomdivision
5. Seltene Lösungsverfahren und Approximierungen
5.1 Methode des Quadrat-Extrems
5.2 Die Newton-Iteration
5.3 Regula falsi
5.4 Das allseits beliebte Raten
das ist ja super, das ist eine sehr interessante Darstellung der verschiedenen Lösungsverfahren. Du hast offenbar viel darüber nachgedacht und ich finde die Gliederung auf Anhieb überzeugend.
Die Wahl des Themas allein zeigt schon, daß Du ein Auge für die Lücke hast. Und die Ausführung des Artikels, die Dir sehr gut gelungen ist, beweist noch einmal, daß Du ein aufmerksames und kritisches Auge hast.
\(\begingroup\)Das ist ein schöner Artikel, der über das hinausgeht was ein durchschnittlicher Oberstufenschüler bis zum Abitur können muß.
Leider stören mich die Nährungslösungen und die Nährungsmethode.\(\endgroup\)
\(\begingroup\)SchuBi: Warum stört es Dich? Näherungen sind oft genau das, was übrig bleibt. Gerade weil hier die exakten Verfahren und auch Näherungsverfahren aufgeführt sind, ist es ein realistischer Artikel, der tatsächlich die Struktur eines Lehrplans nicht einhält.
Bzw. - ich habe nichte gegen Lehrpläne - aber der Artikel geht einen Weg quer durch die Halbjahre, und das ist ein Weg, der selten so gezeigt wird.
\(\begingroup\)"Nährungslösungen oder Näherungslösungen, das ist hier die Frage." (Hamlet)
Das erste will ich nicht, mit dem zweiten kann ich gut leben. Ich finde den Artikel ja gut, aber diese fehlenden es stören mich.\(\endgroup\)
\(\begingroup\) Klasse Artikel, Gockel. Manchmal kann
man die Nullstellen eines Polynoms auch durch
Faktorisieren finden, dazu muss man auf die
Verhältnisse von Koeffizienten achten, die um 2
oder 3 Stellen auseinander liegen. Ich gebe zwei
Beispiele, von denen Du abstrahieren kannst:
\(\begingroup\)danke für das viele Lob. Ich freue mich, dass der Artikel so gut ankommt.
@Schubi: Ich hätte Words Rechtschreibprüfung wohl doch nicht dranlassen sollen 😉
@shadowking
Das ist ein interessantes Verfahren. Diese Methode ist sehr einfach und doch sehr mächtig. Ich habe das vorher noch nie in der Form gesehen oder selbst angewandt. Deshalb stand davon auch nichts im Artikel, aber ich werde mir diese Methode auf jeden Fall merken.\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Der Artikel gefällt mir gut und er kommt gerade zur rechten Zeit. Newton und Regula Falsi ist bei dir nämlich ausführlicher erklärt als in meinem Numerikskript und jetzt kann ich mir unter letzterem Verfahren wenigstens was vorstellen 😄
Was du vielleicht noch hättest erwähnen können: Newton konvergiert nur lokal gegen die Nullstelle, während Regula Falsi global konvergiert, weshalb diese effektiver ist.
in meiner umfangreichen Formelsammlung
habe ich ein weiteres hier unerwähntes Verfahren
zur Auflösung spezieller polynomialer Gleichungen
gefunden. Hier geht es um den Spezialfall
symmetrischer Polynome geraden Grades.
Beispiel: Gleichung 4. Grades
f(x)=x^4+a*x^3+b*x^2+a*x+1=0, a,b \el \IR
Da das konstante Glied 1 ist, kann 0 als Lösung
ausgeschlossen werden. Man darf also durch x^2
dividieren:
x^2+1/x^2+a*(x+1/x)+b=0
Es gilt x^2+1/x^2=(x+1/x)^2-2,
so dass die Gleichung äquivalent ist zu
z^2+a*z+b-2=0,
z=x+1/x
Die Lösungen z_1 ,z_2 dieser quadratischen
Gleichung erfüllen
x^2-z_i *x+1=0.
Übrigens kann man diese Methode auch
weitertreiben, denn es ist
x^3+1/x^3=(x+1/x)^3-3*(x+1/x)
Damit und mit der Cardanischen Formel kann man
Nullstellen symmetrischer Polynome 6. Grades
bestimmen; mit Ferrari kann man dazu noch
x^4+1/x^4=(x+1/x)^4-4*(x+1/x)^2+2
verwursten, um Nullstellen symmetrischer Polynome
8. Grades zu bestimmen.
Was mich etwas an deinem Artickel stört ( und übrigens auch mich an zahlreicher Fachliteratur stört) ist die Tatsache, das ständig von "normierten Polynomen" gesprochen wird- was ist aber mit dem allgemeinen Fall???
Das Problem fängt schon im Prinzip bei der p-q Formael an:
Anstatt die Gleichung
ax^2+bx+c=0
zu lösen wird erstmal durch a dividiert
x^2+(b/a)x+(c/a)=0
und dann b/a=p und c/a=q gesetzt- schwups da haben wir die p-q Form der Gleichung und die kann man ja wie du erläutert hast mit der "Mitternachtsformel" lösen. Man könnntel also indem man die Substitutionen rückgängig macht die allgemeine Formel aus der Mitternachtsformel herleiten, es gibt aber auch noch den "direkten weg-:
ax^2+bx+c=0
4a^2x^2+4abx+4ac=0
4a^2x^^2+4abx=4ac
quadratische Ergänzung:
(2ax+b)^2=b^2-4ac
x1,2=(-b+-sqrt(b^2-4ac)/2a
Der Vorteil bei der direkten Benutzung der allgemeinen Formel ist die vermeidung von Rundungsfehlern. Durch das normieren solcher Polynome entsthene meist Brüche- und "Böse Brüche" sind "ungenau".
Das bemängle ich übrigens auch bei den Lösungsmethoden zur Lösung von Gleichungen 3. und 4. Grades....sie gehen von normierten Gleichungen aus....
anstatt eine Gleichung der Form
ax^3+bx^2+cx+d=0
zu normieren- also durch a zu teilen, sollte man lieber solche Gleichungen mit 27a^2 multiplizieren....Gewiss, die Zahlen werden dadurch "sehr groß" der Vorteil dabei ist aber, das man dann praktisch bis zum bitteren Ende der Lösungsformel Bruchfrei arbeiten kann!!!
Bei Gleichungen 4. Grades sollte man die Gleichung
ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0
nicht durch a dividieren, und so normieren, sondern mit 4a multiplizieren, dann kommt man wie gesagt ohne Bruchterme aus!
Außerdem gehst du beim 4. Grad nur ein bischen auf Ferrari ein- Bombelli, der den allgemeinen Fall behandelt hat fehlt aber ganz.
Bei interesse kann ich ja näher darauf eingehen....Ich merke mir jedenfalls solche verfahrensweisen lieber als komplizierte substitutionsfomeln mit Brüchen....
Zuerst einmal danke für das Lob.
Was deine Bedenken betrifft: Ich finde, ehrlich gesagt, dass die allgemeine Lösungsformel überflüssig ist. Wie du selbst gesagt hast: Der allgemeine Fall folgt sofort aus der Lösungformel für den normierten Fall, indem man durch den ersten Koeffizienten dividiert. Und dass dabei Brüche entstehen ist das geringste Übel wie ich finde. Schließlich sollte man als Schüler der 8ten und 9ten Klasse bereits in der Lage sein, mit Brüchen einigermaßen fehlerfrei zu rechnen. Sie sind nuneinmal ein wichtiger Bestandteil der Schulmathematik.
Wenn du lieber mit allgemeinen Lösungsformeln hantierst, hält dich doch nichts davon ab, jedes der hier vorgestellten Verfahren so zu modifizieren, dass es auch für den allgemeinen Fall der jeweiligen Gleichung funktioniert. Wie man das macht hast du ja schon selbst geschrieben:
Man ersetzt die Koeffizienten der normierten Gleichung durch die Koeffizienten der allgemeinen Gleichung geteilt durch a.
stimmt schon, was du sagst, ich dachte nur es wäre zum Verständnis der Theorie die da hinter steckt sinnvoll auch sich mit dem allgemeinen Fall zu beschäftigen. Ich habe manchmal den Eindruck das aber das tiefere Verständnis der Theorie fehlt. Beispielsweise kommt es mir so vor als seien die Substitutionsformeln "vom Himmel" gefallen. Wie aber die Herren del ferro, Tartaglia, Cardano, Ferrari, Bombelli und Co darauf gekommen sind Beispielsweise Ferrari mit seinem "perfect sqare" das ist doch das eigentlich interessante daran finde ich.
Aber vieleicht überfordert man damit einen Schüler der 8. und 9. Klasse obwohl der artikel ja auch nicht für diesen Leserkreis gedacht ist (differenzieren lernt man erst in der 11.)
Ich dachte nur da du dich für das Thema interesseierst plaudere ich aus dem Nähkästchen.
Ich habe mich vor ein paar Jahren damit auch beschäftigt....
Wenn das Thema aber nun abgehackt ist, ist es ja gut....
Deine Bedenken sind unbegründet. Bei einer algebraischen Gleichung kann man oBdA das Polynom auf der einen Seite als normiert ansehen.
Das mit der pq-Formel ist eine andere Sache. Da ist die abc-Formel viel besser (mathematisch gesehen, ich habe da viele Argumente), aber für Schüler schwerer, weil man ja noch eine Variable mehr als sonst hat.
\(\begingroup\)Auch von mir ein Lob an Gockel für diesen übersichtlichen, sehr gut verständlichen und vollständigen Artikel.
Das einzige, was mir irgendwie gefehlt hat, war mein geliebter Satz von VIETA bei den quadratischen Gleichungen. Auch, wenn er wohl nicht zu den sogenannten Lösungsverfahren von Gleichungen zählt, kann man ihn hier ruhig nennen, weil durch ihn sehr elegant und einfach eine Linearfaktorzerlegung möglich ist. Danach können die Nullstellen bzw. Lösungen der Gleichung bequem abgelesen werden.
Hier ist er noch einmal für Unwissende :-):
Man möchte eine Gleichung der Form x^2+p*x+q=0 lösen.
Hierzu soll die Gleichung in Linearfaktoren zerlegt werden, sodass sich folgende Form ergibt: (x+a)*(x+b)=0
Wie man diese Linearfaktorzerlegung einfach durchführen kann, wird beim Ausmultiplizieren der linken Seite der zweiten Gleichung deutlich: (x+a)*(x+b)=x^2+bx+ax+a*b=x^2+(a+b)*x+a*b
Vergleicht man den ausmultiplizierten Term mit der anfänglichen Gleichung, wird folgender Zusammenhang erkennbar:
p=a+b und q=a*b
Findet man also zwei Zahlen a und b, die addiert p und multipliziert q ergeben, kann man die linke Seite der Anfangsgleichung in die Linearfaktoren (x+a) und (x+b) zerlegen. Die Lösungen der Gleichung sind dann -a und -b.
Beispiel: zu lösende Gleichung x^2-5x-6=0 (p=-5 und q=-6)
Für die Zahlen a=-6 und b=1 gilt: (-6)+1=-5 und (-6)*1=-6
Die Gleichung kann also umgeformt werden in: (x-6)*(x+1)=0
Die Lösungen der Gleichung sind somit 6 und -1.
Der Satz von VIETA macht natürlich nur Sinn, wenn man schnell die passenden Zahlen a und b findet. Das ist meist nur bei ganzzahligen Koeffizienten p und q der Fall (Auch da natürlich nicht immer, bei Schulaufgaben aber öfters). Ansonsten kann natürlich die Mitternachtsformel verwendet werden.
Gruß th1908
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo, es geht um
2.Quadratische Gleichungen:
!Die Wurzel aus -e ist mathematisch nicht definiert.
Man sollte darauf hinweisen, um Fehler zu vermeiden .
Gruss
Jan\(\endgroup\)
\(\begingroup\) Hallo, Jan!
Du schreibst, die Wurzel aus (-e) sei mathematisch nicht definiert.
Ich frage mich vor allem, wieso Du gerade die Gleichung
\ll(1)x+d=+-sqrt(-e)
kritisierst und nicht bereits die etwas oberhalb stehende
\ll(2)x=+-sqrt(a)
oder auch diese, die ganz am Anfang zu finden ist:
\ll(3)x=-m/n
Die rechten Seiten aller drei Gleichungen sind nicht für alle
reellen Werte der in ihnen vorkommenden Variablen definiert:
\ref(3) gilt nur für n\el \IR \\ menge(0)
\ref(2) gilt nur für a\el \IR \\ \IR^\-
\ref(1) gilt nur für e\el \IR \\ \IR^\+
Auch unterhalb von Gleichung \ref(3) finden sich noch einige
andere Terme, für die Analoges gilt.
Daß Gockel in dem Artikel alle__ Variablen einführt,
ohne ihre Grundmenge anzugeben und alle__ Terme verwendet,
ohne deren Definitionsmenge festzustellen,
wird wahrscheinlich didaktische Gründe haben,
über die man vielleicht anderer Ansicht sein kann als er.
Er überläßt die allfällige Einschränkung des Gültigkeitsbereiches
jedenfalls durchgängig__ dem Leser und setzt offenbar unausgesprochen
voraus, daß alle Variablen \IR als Grundmenge haben.
Das scheint mir aber nicht Deine Stoßrichtung zu sein.
Vielmehr dürftest Du (fälschlicherweise) davon ausgehen,
daß e in Gleichung \ref(1) eine positive__ Variable,
daß also G_e=\IR^\+ sei.
Nur so wäre Deine einleitend von mir zitierte Aussage verständlich.
sqrt(-e) ist jedenfalls genausoviel oder genausowenig definiert wie sqrt(a).
Das Minuszeichen bei e ist array(kein Vorzeichen)__, das den Schluß (-e)<0 zuließe,
sondern array(bezeichnet die Gegenzahl)__ \(das additive Inverse) zu e
und bringt nur zum Ausdruck, daß e+(-e)=0 ist.
Wenn also e nicht positiv ist, ist (-e)>=0 und sqrt(-e) definiert,
genauso wie sqrt(a) für a>=0 definiert ist.
Liebe Grüße, Franz
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\(\begingroup\)Es gibt eine neue Veröffentlichung unter arxiv.org/abs/math.GM/0605183
Hier werden die Polynom Nullstellen auf Lösungen Quadratische Formen zurückgeführt.
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Das Beispiel zu (4,7) ist falsch:
(x^3+6x^2+3x+10)/(x-5) hat einen Rest, d.h. x-5 ist nicht Linearfaktor des Zählers.
Fehler in zweiter Zeile:
x^2*(x-5)=x^3 MINUS 5x^2
Ich hatte keine Lust das Bsp. vollst. zu ändern.
(x^3-6x^2+3x+10)/(x-5) ist ungünstig wegen der Vorzeichen.
MfG Th.K.
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Gratuliere! Nach stundenlangem Suchen im Internet habe ich nun bei Ihnen endlich ein sehr gut verständliches und klares Lösungs-Beispiel betreffend Standard-Lösungsverfahren für Polynome gefunden!
Das hat mir wirklich sehr! weitergeholfen!!
Hierfür 1000 Dank an Sie!! \(\endgroup\)
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