Stern Mathematik: Geometrie in der Teetasse
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Mathematik

\(\begingroup\) Geometrie in der Teetasse Manchmal erwischt einen die Mathematik im unpassendsten Moment. Da sitzt man völlig arglos mit seiner Familie an einem sonnigen Tag draußen am Teetisch und freut sich des Lebens. Wie durch Zufall fällt der Blick in die Teetasse - und es ist um die Harmonie geschehen. Was erblickt man dort? Teetasse Aus: Ucke/Engelhardt, Physik in unserer Zeit 29 (1998), 120-122
Eine interessante Kurve!

Zur pdf-Version dieses Artikels: hier Sie tritt noch an vielen anderen Stellen auf, immer dort, wo näherungsweise parallel einfallendes Licht an einer kreisrund konkav gewölbten Fläche reflektiert und auf eine ebene Fläche projiziert wird. Sie begleitet das rollende Fahrrad als Lichterscheinung auf dem Radweg genauso wie den Fensterputzer in seinem Wassereimer und scheint doch nichttrivial genug, um schlichte Gemüter völlig abzuschrecken, frei nach dem Motto: "Wer noch beim Sonntagstee an Mathematik denkt, der kann nicht mehr ganz normal sein." Nun ist die Neugier geweckt. Der Physiker in einem selbst ruft "paralleler Lichteinfall", "Wölb- und Hohlspiegel", "Einfallswinkel gleich Ausfallswinkel" sowie "Brennweite gleich halber Radius" und ähnliche Dinge, die in einen Zusammenhang gebracht sein wollen. Erinnern wir uns: \squaredot Die reflektierende Fläche ist Teil eines Zylinders, dessen Höhenausdehnung ist wegen des parallelen Lichteinfalls (Richtung E=(0;1)) vernachlässigbar. Gleichung: y(z)=-sqrt(1-z^2). \squaredot Jeder Lichtstrahl wird so reflektiert, als wäre im Auftreffpunkt eine tangentiale Spiegelebene, die die Steigung y'(z) besitzt. \squaredot Das Lot steht stets senkrecht auf der reflektierenden Fläche, seine Steigung beträgt also -1/y'(z). \squaredot Der Einfallswinkel des einfallenden Strahls zum Lot ist gleich groß dem des ausfallenden zum Lot. \squaredot Der Winkel \alpha zwischen zwei Vektoren v_1, v_2 kann über = norm(v_1)*norm(v_2)*cos(\alpha) bestimmt werden. Damit haben wir schon alle Zutaten für ein Modell zusammen, und auch ein Rezept, um die Gleichung der Teetassenkurve zu finden. Bild Betrachten wir den Lichtstrahl, der um z>0 neben der Symmetrieachse eintrifft. Der Hohlspiegel sieht für ihn lokal wie die Gerade (z;y(z))+t*T, T = (1;y'(z)) aus. Das Lot wird beschrieben durch (z;y(z))+t*L, L = (-y'(z);1). Der einfallende Strahl wird reflektiert in den Strahl (z;y(z))+t*A, A = (1;a) (a = Steigung des reflektierten Strahls in cartesischen Koordinaten), wobei wegen des Reflexionsgesetzes die Gleichung gilt: = <(0;1),(-y'(z);1)> = <(-y'(z);1), (1;a)/sqrt(1+a^2)> <=> 1=(-z/sqrt(1-z^2)+a)/sqrt(1+a^2) Daraus ergibt sich die Beziehung zwischen a und z: sqrt(1-z^2)*sqrt(1+a^2)=-z+a*sqrt(1-z^2) Zwecks besserer Lösbarkeit quadrieren wir auf beiden Seiten: => (a^2+1)*(1-z^2)=a^2*(1-z^2)-2az*sqrt(1-z^2)+z^2 <=> (-a^2*z^2+a^2-z^2+1)-a^2+a^2*z^2-z^2=-2az*sqrt(1-z^2) <=> 1-2*z^2=-2az*sqrt(1-z^2) Nochmals quadrieren: =>(1-2*z^2)^2 = 4a^2*z^2-4a^2*z^4 <=>(1-2*z^2)^2/(4z^2*(1-z^2)) = a^2 <=>+-(1-2*z^2)/(2z*sqrt(z^2-1)) = a Wir haben die Steigung eines Lichtstrahls gefunden, der im Hohlspiegel an der Stelle z reflektiert wird. Auf das negative Vorzeichen kann verzichtet werden, da die Reflexion nur an einer Seite des Hohlspiegels geschieht. Damit können wir die Geradengleichung des Strahls A_z(t)=(z;y(z))+t*(1;a)=(z;-sqrt(1-z^2))+t*(1;(1-2*z^2)/(2z*sqrt(z^2-1))) und seine Funktionsgleichung A_z(x)=a*(x-z)+y(z)=(1-2*z^2)/(2z*sqrt(1-z^2))*(x-z)-sqrt(1-z^2) angeben Die in der Teetasse angetroffene Kurve ist die Hüllkurve (Katakaustik) all dieser Lichtstrahlen. Wir wollen sie als Funktion h(x) in cartesischen Koordinaten beschreiben. Für die beliebige Stelle x der Horizontalen ist h(x) der maximale unter allen A_z(x) vorkommende Wert. Diesen ermitteln wir nun, indem wir A_z(x) nach z differenzieren und die Ableitung gleich Null setzen: d/dz ((1-2*z^2)/(2z*sqrt(1-z^2))*(x-z)-sqrt(1-z^2))=0 <=> z/sqrt(1-z^2)+(2*z^5-3*z^3+x)/(2z^2*(1-z^2)^(3/2))=0 <=> 2*z^3*(1-z^2)^(3/2)+(1-z^2)^(1/2)*(2*z^5-3*z^3-x)=0 <=> 2*z^3-2*z^5+2*z^5-3*z^3+x=0 <=> x=z^3 <=> wurzel(3,x)=z Nun können wir wurzel(3,x) für z in die Geradengleichung für A_z(x) unserer Teetassenkurve einsetzen und erhalten: h(x)=-1/2*(sqrt(1-x^(2/3))*(2*x^(2/3)+1)) Bild Wegen der Symmetrie können wir h(x) so für negative x fortsetzen, dass gilt: h(-x)=h(x), und die vollständige Beschreibung der Kurve in der Tasse (mit unserem inzwischen eiskalten Tee) lautet: h(x)=-1/2*(sqrt(1-abs(x)^(2/3))*(2*abs(x)^(2/3)+1)) Der Name dieser Kurve ist übrigens Nephroide, das heißt soviel wie "Nierenkurve". Genaugenommen handelt es sich um eine halbe Nephroide, da die Lichtstrahlen nur an der sonnenabgewandten Innenseite der Tasse reflektiert werden. Aus der Funktionsgleichung läßt sich nun auch noch eine "schönere" algebraische Beschreibung herleiten: (x^2+y^2-1/4)^3=(3/4)^3*x^2 Damit entlarvt die Teetassenkurve ihr wahres Gesicht als algebraische Kurve 6. Grades. Zum Schluss sei noch erwähnt, dass es für diese Kurve die Parameterdarstellung x=3/4*cos(\phi)-1/4*cos(3*\phi) y=3/4*sin(\phi)-1/4*sin(3*\phi) gibt, und dass sie genau den achten Teil der Tee-Oberfläche einschließt.
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: Mathematik :: Geometrie :: Algebraische Kurven :: Sonstige Mathematik :
Geometrie in der Teetasse [von shadowking]  
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"Stern Mathematik: Geometrie in der Teetasse" | 15 Comments
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Re: Geometrie in der Teetasse
von: Eckard am: So. 30. Mai 2004 17:31:31
\(\begingroup\)Hallo Norbert,

endlich ein Artikel, der Studenten die sphärische Aberration, vor allem mathematisch durchleuchtet, näher bringt (siehe Aufgabe 1.5). Ich werde ihn wärmstens zum Selbststudium empfehlen.

Gruß Eckard\(\endgroup\)
 

Re: Geometrie in der Teetasse
von: SchuBi am: So. 30. Mai 2004 19:10:44
\(\begingroup\)Hallo, Norbert!
Du hast einen wirklich schönen Artikel geschrieben. Von nun an werde ich meinen Tee noch mehr geniessen können. 😄\(\endgroup\)
 

Re: Geometrie in der Teetasse
von: matroid am: So. 30. Mai 2004 19:48:31
\(\begingroup\)Hi Splendour,

das ist eine tolle Tasse!

Die Kurve ist doch auch als Kardioide bekannt, stimmts?

Hier habe ich noch eine fedgeo-Konstruktion dieser Kurve beizusteuern:
\geo
ebene(400,400) xy(-2,2) nolabel() replace()
p(0,0,O,hide)
name(Kardioide)
c(gray)k(O,1.5,K)c()
for(xx,0,360,6, \
konst(bb,xx*(-2)) \
konst(cc,-1*xx) \
p(K,bb,pk,hide) \
p(K,cc,pkc,hide) \
s(pk,pkc) \
)
\geooff
geoprint(Kardioide,Kardioide)


Gratuliere zu dieser Story, es war Zeit, darüber zu schreiben.

Gruß
Matroid
\(\endgroup\)
 

Re: Geometrie in der Teetasse
von: shadowking am: So. 30. Mai 2004 23:55:16
\(\begingroup\)Nein Matroid, es ist keine Kardioide, sondern eine
Nephroide.
Mich hat sie auch erst an die Kardioide erinnert und
ich googelte danach, doch zum Glück klärte mich bereits
die erste Fundstelle darüber auf, dass man eine Kardioide
erhält, wenn alle Strahlen von einem Punkt am Tassenrand
ausgehen, jedoch eine Nephroide, wenn der Lichteinfall
parallel ist. Daher erscheint die Kurve auch nur auf einer
Seite der Tasse.
Ich hätte gerne ein "richtiges" Photo von der
Lichterscheinung in der Tasse, konnte aber keines auftreiben.
Könnte jemand eins beisteuern und es dann schicken, ich bin
mit dieser Lösung nicht ganz zufrieden.

Gruß Norbert\(\endgroup\)
 

Re: Geometrie in der Teetasse
von: Hans-Juergen am: Mo. 31. Mai 2004 01:21:29
\(\begingroup\)Hallo Norbert,

Dein Artikel gefällt mir sehr.
Bisher dachte auch ich, die
"Teetassenkurve" sei eine Kardioide.

Ein schönes Katakaustikfoto
findet man hier.

Herzliche Grüße,
Hans-Jürgen\(\endgroup\)
 

Re: Geometrie in der Teetasse
von: Hans-Juergen am: Mo. 31. Mai 2004 21:33:48
\(\begingroup\)Hi,

ich füge noch eine Katakaustik-Graphik für
parallel einfallende Lichtstrahlen hinzu:

Bild

MfG Hans-Jürgen\(\endgroup\)
 

Re: Geometrie in der Teetasse
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mo. 31. Mai 2004 21:59:08
\(\begingroup\)Danke, Hans-Jürgen!\(\endgroup\)
 

Re: Geometrie in der Teetasse
von: Plex_Inphinity am: Mi. 02. Juni 2004 18:59:40
\(\begingroup\)Hallo Norbert,

schöner Artikel. Allerdings verstehe ich die Physik die dahinter steckt nicht.
Wie kommt es, dass die Hüllkurve der reflektierten Strahlen gerade dieser helle Bereich in der Teetasse ist? Und warum nimmt man nur
die Hüllkürve von einer Seite der Symmetrieachse?

Gruß Plex.

\(\endgroup\)
 

Re: Geometrie in der Teetasse
von: shadowking am: Mi. 02. Juni 2004 20:59:08
\(\begingroup\)Hi Plex,

wie Du selbst sagst: Das Modell ist symmetrisch zu der Geraden, die
durch den Tassenmittelpunkt geht und parallel zum Lichteinfall ist.
Also ist auch die linke Seite der Hülkurve symmetrisch zur rechten.
Ich betrachte die Hüllkurve als die Grenze des Bereiches, durch den
die reflektierten Strahlen verlaufen. Dass die Kurve heller ist als
dieser Bereich, hat damit zu tun, dass in der Grenzzone die
Strahlendichte höher ist. Darüber wollte ich hier nicht schreiben, da
man die Gleichung der Kurve auch mit elementaren Mitteln (Analytische
Geometrie und Differentialrechnung) bestimmen kann, für die
Strahlendichte wäre es jedoch wohl ein Ausflug in die Integralrechnung
geworden.

Gruß Norbert\(\endgroup\)
 

Re: Geometrie in der Teetasse
von: Plex_Inphinity am: Mi. 02. Juni 2004 21:43:57
\(\begingroup\)Hi Norbert,
danke für deine Antwort,
aber die Hüllkurve begrenzt doch nur die Strahlen die auf einer Seite
der Symmetrieachse auftreffen.
Wenn man nämlich mal Hans-Jürgens Skizze betrachtet, sieht man dass die reflektierten Strahlen ja an der Symmetrieachse praktisch abgeschnitten werden. Wenn man sie weiterlaufen läßt, ragen sie jedoch noch in den anderen Bereich hinein.
Also muß es irgendeinen physikalischen Grund dafür geben, dass man nur die Hüllkurve der Strahlen, die auf einer Seite auftreffen, nimmt und diese dann spiegelt. Hat das auch mit der Strahlendichte zu tun?

Gruß Plex.
\(\endgroup\)
 

Re: Geometrie in der Teetasse
von: shadowking am: Mi. 02. Juni 2004 22:55:10
\(\begingroup\)Ich habe die Strahlen, die von der anderen Seite der Tasse her
reflektiert werden, genauso vernachlässigt wie diejenigen, die
mehrfach an der Tassenwand reflektiert werden. Liest man sich durch
die Fachartikel, so spielt die Zahl der Reflexionen, die ein Strahl
macht, bevor er auf die Flüssigkeitsoberfläche trifft, eine Rolle.
So kann man Zwischendinge zwischen Nephroide und Kardioide erhalten.
Das wollte ich hier aber alles nicht thematisieren, da es mir hier
nur um die "klassische" Kurve ging.
Ich gebe Dir und allen aber gern einige Links mit
Aufsätzen zum Thema:

diesen,

diesen

und diesen

Gruß Norbert
\(\endgroup\)
 

Re: Geometrie in der Teetasse
von: cryptonomicon am: Do. 03. Juni 2004 12:08:20
\(\begingroup\)Hi!

Toller Artikel, das muss ich schon sagen. Interessieren würde es mich jetzt noch, wie man auf die (zum Schluß erwähnten) Parameterdarstellungen kommt 😄

nette grüße,
cryptonomicon\(\endgroup\)
 

Re: Geometrie in der Teetasse
von: shadowking am: So. 06. Juni 2004 14:59:12
\(\begingroup\)Ich habe dies schon in einem Forum geschrieben, aber es passt
hier auch ganz gut als Ergänzung hinein.

Einen guten oder sogar einzigen Weg, die Parameterdarstellung
aus der algebraischen Gleichung zu entwickeln, gibt es nicht.
Man kann die Kurve schließlich mit so unterschiedlichen
Geschwindigkeiten durchlaufen, dass man keinen Zusammenhang sieht.
Ich werde daher die algebraische Gleichung aus der Parameterform
entwickeln. Woher die Parameterdarstellung kommt, kann ich nicht
sagen, möglicherweise gibt es ein geometrisches Argument oder es ist
Zufall gewesen, dass jemand die Identität dieser Katakaustik mit einer
anderen Kurve aufdeckte:

Die Nephroide ist eine spezielle Epizykloide, die man erhält,
wenn man an einem Kreis mit Radius r außen einen anderen mit
halbem Radius ohne Gleiten abrollen läßt und der Spur eines
Punktes auf der äußeren Kreislinie folgt.

\geo
e(300,300)
punkt(2,2,M)
punkt(3.2,2.9,Z)
color(blue)
kreis(M,1,innerer Kreis)
kreis(Z,0.5,äußerer Kreis)
punkt(3.2,3.4,P)
punkt(2.8,2.6,B)
\geooff
geoprint()


Der Pfeil vom Mittelpunkt Z des äußeren Kreises zu dem Punkt P
auf dessen Rand macht die Drehung des Berührpunktes von 0 bis \phi
um den inneren Kreis mit, zusätzlich dreht er sich beim Abrollen
von 0 bis \phi um 2*\phi - gleiche Rollstrecke führt zu doppeltem
Drehwinkel wegen des halben Radius.
Also ist seine Winkelgeschwindigkeit 3-mal so groß wie die des
Pfeils vom Mittelpunkt M des inneren Kreises zum Berührpunkt B an
dessen Rand.
Daher läßt sich der Ortsvektor seiner Spitze als

(x;y)=r*(cos(\phi);sin(\phi))+r/2*(cos(\phi);sin(\phi))+r/2*(cos(3*\phi);sin(3*\phi))
=r/2*(3*cos(\phi)+cos(3*\phi);3*sin(\phi)+sin(3*\phi))

beschreiben. Der Rest ist Skalierung, so dass die Kurve genau
in den Einheitskreis passt, wir können daher setzen: r=1/2.

(x;y)=(3/4*cos(\phi)+1/4*cos(3*\phi);3/4*sin(\phi)+1/4*sin(3*\phi))

Nun muss man noch einsehen, dass die Nephroide gleich dieser
Epizykloide ist. Der Weg ist hier, die Gleichung für x=x(\phi)
nach \phi zu \phi(x) (oder einer Funktion davon) umzustellen und
dieses dann in y einzusetzen.

Dazu formen wir zunächst die trigonometrischen Ausdrücke um:
es ist cos(3*\phi)=4*cos^3(\phi)-3*cos(\phi)
und sin(3*\phi)=3*sin(\phi)-4*sin^3(\phi).
(Additionstheoreme und Trigonometrische Eins)

So erhält man x=cos^3(\phi), also
sin(\phi(x))=sqrt(1-cos^2(\phi(x)))=sqrt(1-x^(2/3)).

Das führt eingesetzt zu
y(x)=3/4*sin(\phi(x))+1/4*sin(3*\phi(x))
=3/4*sqrt(1-x^(2/3))+1/4*(3*sqrt(1-x^(2/3))-4*sqrt(1-x^(2/3))^3)
=3/2*sqrt(1-x^(2/3))-sqrt(1-x^(2/3))^3
=3/2*(sqrt(1-x^(2/3))*(1-2/3*(1-x^(2/3)))
=3/2*(sqrt(1-x^(2/3))*(1/3+2/3*x^(2/3)))
=1/2*(sqrt(1-x^(2/3))*(2*x^(2/3)+1))

Das Vorzeichen ist hier positiv, weil wir hier den oberen
statt den unteren Nephroidenbogen betrachtet haben (\phi>0).\(\endgroup\)
 

Re: Geometrie in der Teetasse
von: lookias am: Sa. 07. Mai 2005 08:23:15
\(\begingroup\)hallo, ich kann nicht behaupten diesen artikel von der mathematischen seite wirklich verstanden zu haben. aber heute morgen hab ich mich an ihn erinnert als ich zufaellig das hier gesehen habe: www.loonanet.de/bild.bmp das passt hier gut rein, hoffe ihr koennt es erkennen. auf der entgegengesetzten seite steht ein weiterer block, vermutlich wird das licht von einer viereckigen scheibe reflektiert. fuer mich sieht das so aus als waere da ein kreuz, aus vielen geraden, und im zentrum ein kreis. \(\endgroup\)
 

Re: Geometrie in der Teetasse
von: praeci am: Mi. 06. Dezember 2006 19:04:20
\(\begingroup\)Hallo, auch wenn dieser Artikel inzwischen schon etwas in die Jahre gekommen ist, möchte ich noch einen weiteren Weg zur Erzeugung der Kurve angeben: Dazu betrachtet man die nichtlineare PDE erster Ordnung F(x__, u, q) = 1/2*(q_1^2 + q_2^2 - c^2) = 0 mit c > 0, x__ = (x_1, x_2), und skalarem u, q_i = u_(x_i), mit der Randbedingung u(x__) = 0 für x = E(\xi) = (cos\xi, sin\xi)^T, 0 <= \xi < 2\pi Die Kurve ensteht dann durch die Schnittpunkte der Projektionen der Charakteristiken in die Grundebene. --Andi.\(\endgroup\)
 

 
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