Stern Mathematik: Geometrie in der Teetasse
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Title Geometrie in der Teetasse
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Title Geometrie in der Teetasse
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: Mathematik :: Geometrie :: Algebraische Kurven :: Sonstige Mathematik :
Geometrie in der Teetasse [von shadowking]  
Manchmal erwischt einen die Mathematik im unpassendsten Moment. Da sitzt man völlig arglos mit seiner Familie an einem sonnigen Tag draußen am Teetisch und freut sich des Lebens. Wie durch Zufall fällt der Blick in die Teetasse - und es ist um die Harmonie
[Die Arbeitsgruppe Alexandria katalogisiert die Artikel auf dem Matheplaneten]

 
 
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"Stern Mathematik: Geometrie in der Teetasse" | 15 Comments
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Re: Geometrie in der Teetasse
von: Eckard am: So. 30. Mai 2004 17:31:31
\(\begingroup\)Hallo Norbert,

endlich ein Artikel, der Studenten die sphärische Aberration, vor allem mathematisch durchleuchtet, näher bringt (siehe Aufgabe 1.5). Ich werde ihn wärmstens zum Selbststudium empfehlen.

Gruß Eckard\(\endgroup\)
 

Re: Geometrie in der Teetasse
von: SchuBi am: So. 30. Mai 2004 19:10:44
\(\begingroup\)Hallo, Norbert!
Du hast einen wirklich schönen Artikel geschrieben. Von nun an werde ich meinen Tee noch mehr geniessen können. 😄\(\endgroup\)
 

Re: Geometrie in der Teetasse
von: matroid am: So. 30. Mai 2004 19:48:31
\(\begingroup\)Hi Splendour,

das ist eine tolle Tasse!

Die Kurve ist doch auch als Kardioide bekannt, stimmts?

Hier habe ich noch eine fedgeo-Konstruktion dieser Kurve beizusteuern:
\geo
ebene(400,400) xy(-2,2) nolabel() replace()
p(0,0,O,hide)
name(Kardioide)
c(gray)k(O,1.5,K)c()
for(xx,0,360,6, \
konst(bb,xx*(-2)) \
konst(cc,-1*xx) \
p(K,bb,pk,hide) \
p(K,cc,pkc,hide) \
s(pk,pkc) \
)
\geooff
geoprint(Kardioide,Kardioide)


Gratuliere zu dieser Story, es war Zeit, darüber zu schreiben.

Gruß
Matroid
\(\endgroup\)
 

Re: Geometrie in der Teetasse
von: shadowking am: So. 30. Mai 2004 23:55:16
\(\begingroup\)Nein Matroid, es ist keine Kardioide, sondern eine
Nephroide.
Mich hat sie auch erst an die Kardioide erinnert und
ich googelte danach, doch zum Glück klärte mich bereits
die erste Fundstelle darüber auf, dass man eine Kardioide
erhält, wenn alle Strahlen von einem Punkt am Tassenrand
ausgehen, jedoch eine Nephroide, wenn der Lichteinfall
parallel ist. Daher erscheint die Kurve auch nur auf einer
Seite der Tasse.
Ich hätte gerne ein "richtiges" Photo von der
Lichterscheinung in der Tasse, konnte aber keines auftreiben.
Könnte jemand eins beisteuern und es dann schicken, ich bin
mit dieser Lösung nicht ganz zufrieden.

Gruß Norbert\(\endgroup\)
 

Re: Geometrie in der Teetasse
von: Hans-Juergen am: Mo. 31. Mai 2004 01:21:29
\(\begingroup\)Hallo Norbert,

Dein Artikel gefällt mir sehr.
Bisher dachte auch ich, die
"Teetassenkurve" sei eine Kardioide.

Ein schönes Katakaustikfoto
findet man hier.

Herzliche Grüße,
Hans-Jürgen\(\endgroup\)
 

Re: Geometrie in der Teetasse
von: Hans-Juergen am: Mo. 31. Mai 2004 21:33:48
\(\begingroup\)Hi,

ich füge noch eine Katakaustik-Graphik für
parallel einfallende Lichtstrahlen hinzu:

Bild

MfG Hans-Jürgen\(\endgroup\)
 

Re: Geometrie in der Teetasse
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mo. 31. Mai 2004 21:59:08
\(\begingroup\)Danke, Hans-Jürgen!\(\endgroup\)
 

Re: Geometrie in der Teetasse
von: Plex_Inphinity am: Mi. 02. Juni 2004 18:59:40
\(\begingroup\)Hallo Norbert,

schöner Artikel. Allerdings verstehe ich die Physik die dahinter steckt nicht.
Wie kommt es, dass die Hüllkurve der reflektierten Strahlen gerade dieser helle Bereich in der Teetasse ist? Und warum nimmt man nur
die Hüllkürve von einer Seite der Symmetrieachse?

Gruß Plex.

\(\endgroup\)
 

Re: Geometrie in der Teetasse
von: shadowking am: Mi. 02. Juni 2004 20:59:08
\(\begingroup\)Hi Plex,

wie Du selbst sagst: Das Modell ist symmetrisch zu der Geraden, die
durch den Tassenmittelpunkt geht und parallel zum Lichteinfall ist.
Also ist auch die linke Seite der Hülkurve symmetrisch zur rechten.
Ich betrachte die Hüllkurve als die Grenze des Bereiches, durch den
die reflektierten Strahlen verlaufen. Dass die Kurve heller ist als
dieser Bereich, hat damit zu tun, dass in der Grenzzone die
Strahlendichte höher ist. Darüber wollte ich hier nicht schreiben, da
man die Gleichung der Kurve auch mit elementaren Mitteln (Analytische
Geometrie und Differentialrechnung) bestimmen kann, für die
Strahlendichte wäre es jedoch wohl ein Ausflug in die Integralrechnung
geworden.

Gruß Norbert\(\endgroup\)
 

Re: Geometrie in der Teetasse
von: Plex_Inphinity am: Mi. 02. Juni 2004 21:43:57
\(\begingroup\)Hi Norbert,
danke für deine Antwort,
aber die Hüllkurve begrenzt doch nur die Strahlen die auf einer Seite
der Symmetrieachse auftreffen.
Wenn man nämlich mal Hans-Jürgens Skizze betrachtet, sieht man dass die reflektierten Strahlen ja an der Symmetrieachse praktisch abgeschnitten werden. Wenn man sie weiterlaufen läßt, ragen sie jedoch noch in den anderen Bereich hinein.
Also muß es irgendeinen physikalischen Grund dafür geben, dass man nur die Hüllkurve der Strahlen, die auf einer Seite auftreffen, nimmt und diese dann spiegelt. Hat das auch mit der Strahlendichte zu tun?

Gruß Plex.
\(\endgroup\)
 

Re: Geometrie in der Teetasse
von: shadowking am: Mi. 02. Juni 2004 22:55:10
\(\begingroup\)Ich habe die Strahlen, die von der anderen Seite der Tasse her
reflektiert werden, genauso vernachlässigt wie diejenigen, die
mehrfach an der Tassenwand reflektiert werden. Liest man sich durch
die Fachartikel, so spielt die Zahl der Reflexionen, die ein Strahl
macht, bevor er auf die Flüssigkeitsoberfläche trifft, eine Rolle.
So kann man Zwischendinge zwischen Nephroide und Kardioide erhalten.
Das wollte ich hier aber alles nicht thematisieren, da es mir hier
nur um die "klassische" Kurve ging.
Ich gebe Dir und allen aber gern einige Links mit
Aufsätzen zum Thema:

diesen,

diesen

und diesen

Gruß Norbert
\(\endgroup\)
 

Re: Geometrie in der Teetasse
von: cryptonomicon am: Do. 03. Juni 2004 12:08:20
\(\begingroup\)Hi!

Toller Artikel, das muss ich schon sagen. Interessieren würde es mich jetzt noch, wie man auf die (zum Schluß erwähnten) Parameterdarstellungen kommt 😄

nette grüße,
cryptonomicon\(\endgroup\)
 

Re: Geometrie in der Teetasse
von: shadowking am: So. 06. Juni 2004 14:59:12
\(\begingroup\)Ich habe dies schon in einem Forum geschrieben, aber es passt
hier auch ganz gut als Ergänzung hinein.

Einen guten oder sogar einzigen Weg, die Parameterdarstellung
aus der algebraischen Gleichung zu entwickeln, gibt es nicht.
Man kann die Kurve schließlich mit so unterschiedlichen
Geschwindigkeiten durchlaufen, dass man keinen Zusammenhang sieht.
Ich werde daher die algebraische Gleichung aus der Parameterform
entwickeln. Woher die Parameterdarstellung kommt, kann ich nicht
sagen, möglicherweise gibt es ein geometrisches Argument oder es ist
Zufall gewesen, dass jemand die Identität dieser Katakaustik mit einer
anderen Kurve aufdeckte:

Die Nephroide ist eine spezielle Epizykloide, die man erhält,
wenn man an einem Kreis mit Radius r außen einen anderen mit
halbem Radius ohne Gleiten abrollen läßt und der Spur eines
Punktes auf der äußeren Kreislinie folgt.

\geo
e(300,300)
punkt(2,2,M)
punkt(3.2,2.9,Z)
color(blue)
kreis(M,1,innerer Kreis)
kreis(Z,0.5,äußerer Kreis)
punkt(3.2,3.4,P)
punkt(2.8,2.6,B)
\geooff
geoprint()


Der Pfeil vom Mittelpunkt Z des äußeren Kreises zu dem Punkt P
auf dessen Rand macht die Drehung des Berührpunktes von 0 bis \phi
um den inneren Kreis mit, zusätzlich dreht er sich beim Abrollen
von 0 bis \phi um 2*\phi - gleiche Rollstrecke führt zu doppeltem
Drehwinkel wegen des halben Radius.
Also ist seine Winkelgeschwindigkeit 3-mal so groß wie die des
Pfeils vom Mittelpunkt M des inneren Kreises zum Berührpunkt B an
dessen Rand.
Daher läßt sich der Ortsvektor seiner Spitze als

(x;y)=r*(cos(\phi);sin(\phi))+r/2*(cos(\phi);sin(\phi))+r/2*(cos(3*\phi);sin(3*\phi))
=r/2*(3*cos(\phi)+cos(3*\phi);3*sin(\phi)+sin(3*\phi))

beschreiben. Der Rest ist Skalierung, so dass die Kurve genau
in den Einheitskreis passt, wir können daher setzen: r=1/2.

(x;y)=(3/4*cos(\phi)+1/4*cos(3*\phi);3/4*sin(\phi)+1/4*sin(3*\phi))

Nun muss man noch einsehen, dass die Nephroide gleich dieser
Epizykloide ist. Der Weg ist hier, die Gleichung für x=x(\phi)
nach \phi zu \phi(x) (oder einer Funktion davon) umzustellen und
dieses dann in y einzusetzen.

Dazu formen wir zunächst die trigonometrischen Ausdrücke um:
es ist cos(3*\phi)=4*cos^3(\phi)-3*cos(\phi)
und sin(3*\phi)=3*sin(\phi)-4*sin^3(\phi).
(Additionstheoreme und Trigonometrische Eins)

So erhält man x=cos^3(\phi), also
sin(\phi(x))=sqrt(1-cos^2(\phi(x)))=sqrt(1-x^(2/3)).

Das führt eingesetzt zu
y(x)=3/4*sin(\phi(x))+1/4*sin(3*\phi(x))
=3/4*sqrt(1-x^(2/3))+1/4*(3*sqrt(1-x^(2/3))-4*sqrt(1-x^(2/3))^3)
=3/2*sqrt(1-x^(2/3))-sqrt(1-x^(2/3))^3
=3/2*(sqrt(1-x^(2/3))*(1-2/3*(1-x^(2/3)))
=3/2*(sqrt(1-x^(2/3))*(1/3+2/3*x^(2/3)))
=1/2*(sqrt(1-x^(2/3))*(2*x^(2/3)+1))

Das Vorzeichen ist hier positiv, weil wir hier den oberen
statt den unteren Nephroidenbogen betrachtet haben (\phi>0).\(\endgroup\)
 

Re: Geometrie in der Teetasse
von: lookias am: Sa. 07. Mai 2005 08:23:15
\(\begingroup\)hallo, ich kann nicht behaupten diesen artikel von der mathematischen seite wirklich verstanden zu haben. aber heute morgen hab ich mich an ihn erinnert als ich zufaellig das hier gesehen habe: www.loonanet.de/bild.bmp das passt hier gut rein, hoffe ihr koennt es erkennen. auf der entgegengesetzten seite steht ein weiterer block, vermutlich wird das licht von einer viereckigen scheibe reflektiert. fuer mich sieht das so aus als waere da ein kreuz, aus vielen geraden, und im zentrum ein kreis. \(\endgroup\)
 

Re: Geometrie in der Teetasse
von: praeci am: Mi. 06. Dezember 2006 19:04:20
\(\begingroup\)Hallo, auch wenn dieser Artikel inzwischen schon etwas in die Jahre gekommen ist, möchte ich noch einen weiteren Weg zur Erzeugung der Kurve angeben: Dazu betrachtet man die nichtlineare PDE erster Ordnung F(x__, u, q) = 1/2*(q_1^2 + q_2^2 - c^2) = 0 mit c > 0, x__ = (x_1, x_2), und skalarem u, q_i = u_(x_i), mit der Randbedingung u(x__) = 0 für x = E(\xi) = (cos\xi, sin\xi)^T, 0 <= \xi < 2\pi Die Kurve ensteht dann durch die Schnittpunkte der Projektionen der Charakteristiken in die Grundebene. --Andi.\(\endgroup\)
 

 
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