There Are Infinitely Many Prime Twins
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Mathematik

\(\begingroup\)\(\newcommand{\IX}{\mathbb{X}} \newcommand{\IW}{\mathbb{M}} \newcommand{\politician}[1]{\text{Ich habe die Frage nicht verstanden. #1}} \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Primzahlzwillinge
Wikipedia definiert:
Gilt für zwei aufeinanderfolgende Prim\-
zahlen p_1 und p_2 die Beziehung p_1+2=p_2,
so heißen diese Primzahlzwillinge__.
Das kleinste Paar von Primzahlzwillingen
ist (3\;5). [...] Je höher die Zahlen
werden, desto weniger Primzahlen gibt es.
Daher ist es ungewiß, ob es unendlich
viele Primzahlzwillinge gibt.
Nun könnte es sein, daß die Ungewißheit ein Ende hat!



Am 26. Mai 2004 veröffentlichte der amerikanische Mathematiker Richard Arenstorf aus Nashville einen 35-seitigen Beweis. Der Titel lautet: "There Are Infinitely Many Prime Twins"
Zu finden im Internet: arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0405/0405509.pdf.

Seine Arbeit beginnt so:
There Are Infinitely Many Prime Twins

Daran schließt sich eine zweieinhalb-seitige Einleitung an, in der Arenstorf eine Skizze des folgenden Beweises gibt. Davon verstehe ich nicht so viel. Ich verstehe aber, daß Arenstorf der Name sein wird, wenn der Beweis den kommenden Prüfungen standhält. Ich freue mich schon jetzt darüber, wenn ein so altes Problem mit - wie es heißt - "using methods from classical analytic number theory." bewiesen werden konnte.
Arenstorf hat nach eigener Aussage 20 Jahre an dem Problem gearbeitet. In dieser Zeit hat er Höhen und Tiefen erlebt, ist falschen Fährten gefolgt und hat sich verrannt. Bis, schließlich, er einen machbaren Weg durch diesen Dschungel gefunden hat. Aufschlußreich gibt seine Arbeit Einblick in die Umwege der Erkenntnis, gibt Auskunft über die vielen Sackgassen und kontraproduktiven Ansätze. Meist endete Arenstorf in einer solchen, wenn er tat, was alle Welt für angemessen und 'am aussichtsreichsten' hielt. Er hat - schon gesagt - 20 Jahre gebraucht, um Spreu vom Weizen zu trennen.

Niemand dürfte Arenstorf auf der Liste gehabt haben. Er hat nicht viel veröffentlicht in den letzten 27 Jahren - alle 10 Jahre einen Fachartikel, der letzte (eigene Monographie) 1993. Mittlerweile ist er emeritiert.

Sein Lebenswerk wird der Beweis der Primzahlzwillingvermutung sein. Es ist ein langer und komplizierter Weg, mit unerwarteten Abzweigungen und ebenso unerwarteten Richtungswechseln.
Richard Arenstorf hat für mich das längste mathematische Adventure Game gespielt, das ich mir denken kann.

Ich wünsche seiner phantastischen und ehrlichen Arbeit, daß sie richtig ist, und ihm, daß er der Wiles des 21. Jh. wird.

Matroid, 31.5.2004

\(\endgroup\)
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: Mathematik :: Forschung :: Primzahlen :: Zahlentheorie :: Über Wissenschaft :
There Are Infinitely Many Prime Twins [von matroid]  
Wikipedia definiert: Gilt für zwei aufeinanderfolgende Prim- zahlen p_1 und p_2 die Beziehung p_1+2=p_2, so heißen diese Primzahlzwillinge__. Das kleinste Paar von Primzahlzwillingen ist (3;5). [...] Je höher die Zahlen werden, desto weniger Primzahlen gibt es.
[Die Arbeitsgruppe Alexandria katalogisiert die Artikel auf dem Matheplaneten]

 
 
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"There Are Infinitely Many Prime Twins" | 32 Comments
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Re: There Are Infinitely Many Prime Twins
von: scorp am: Mo. 31. Mai 2004 23:26:05
\(\begingroup\)Wahnsinn... druecken wir die Daumen, dass ihm kein Schnitzer untergekommen ist, und er nochmals ran muss, so wie Wiles seiner Zeit.

Ehrfuerchtige Gruesse,
/Alex\(\endgroup\)
 

Re: There Are Infinitely Many Prime Twins
von: matroid am: Mo. 31. Mai 2004 23:45:35
\(\begingroup\)Noch etwas:
Wie es scheint, hat Arenstorf 1956 in Mainz seinen Doktor gemacht -> The Mathematics Genealogy Project.\(\endgroup\)
 

Re: There Are Infinitely Many Prime Twins
von: dollardollar am: Di. 01. Juni 2004 09:32:39
\(\begingroup\)Wenn der Beweis keine größeren Lücken enthält, dann ist das wahrhaftig eine Sensation! Nachdem erst kürzlich die Poincaréschen Vermutung bewiesen wurde, wäre damit ein weiteres mathematisches Hammerproblem gelöst.

Ich freue mich schon auf den Beweis der Riemannschen Vermutung 😉\(\endgroup\)
 

Re: There Are Infinitely Many Prime Twins
von: hansibal am: Di. 01. Juni 2004 09:37:22
\(\begingroup\)Wow, beeindruckend.
Nachdem ich für Wiles noch zu jung war, freue ich mich jetzt umso mehr, auch weil ich Primzahlen mehr mag als diophantische Gleichungen.
Wann kann man mit Sicherheit sagen, dass der Beweis stimmt?

mfg
Hansibal\(\endgroup\)
 

Gibt es unendlich viele Primzahlen
von: Joda am: Di. 01. Juni 2004 12:09:38
\(\begingroup\)Vielleicht wird dann auch das Problem der Existenz und Bildung durch Primzahlen zu beweisen sein?!

Immerhin ist es schon ein wares "Wunder", dass sich jede(!) gerade Zahl durch zwei und jede(!) ungerade Zahl durch drei Primzahlen darstellen lässt.

Es ist bislang noch kein Gegenbeispiel gefunden worden; aber leider auch kein Beweis für die Richtigkeit...\(\endgroup\)
 

Re: There Are Infinitely Many Prime Twins
von: Martin_Infinite am: Di. 01. Juni 2004 12:22:41
\(\begingroup\)@Joda: Hier eine Formel für die n-te Primzahl:

p_n=1+\sum([](\root(n,n)*\sum([](cos^2(\p*((x-1)!+1)/(x))),x=1,m)^(-1/n)),m=1,2^n)
\(\endgroup\)
 

Re: There Are Infinitely Many Prime Twins
von: Gockel am: Di. 01. Juni 2004 15:39:37
\(\begingroup\)Hallo.

In letzter Zeit scheinen viele Vermutungen aus dem Bereich der Zahlentheorie bewiesen worden zu sein, von denen man früher nur Dinge las wie "es ist heute noch ungewiss ob gilt...".
Unter anderem die Vermutung, dass eine Zahl in der Form (6k+1)(12k+1)(18k+1) eine Carmichael-Zahl ist, wenn alle drei Faktoren prim sind. Auch wurde in diesem Zusammenhang bewiesen, dass es unendlich viele Carmichael-Zahlen gibt.
Ich lasse mich deshalb einfach hinreißen und warte ab jetzt voller Spannung auf einen Beweis der Riemann'schen Hypothese.

mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

Re: There Are Infinitely Many Prime Twins
von: Rebecca am: Di. 01. Juni 2004 16:20:47
\(\begingroup\)@Gockel: Interessant ist, dass Hilbert (1900) in seinem 8. Problem meinte, dass das Problem der Primzahlzwillinge erst nach der Riemannschen Hyphothese behandelt werden könnte:

"Nach einer erschöpfenden Diskussion der Riemannschen Primzahlenformel wird man vielleicht dereinst in die Lage kommen, an die strenge Beantwortung des Problems von zu gehen, ob jede gerade Zahl als Summe zweier Primzahlen darstellbar ist, ferner an die bekannte Frage, ob es unendlich viele Primzahlenpaare mit der Differenz 2 gibt."

Daraus könnte man in der Tat schließen, dass die Vermutungen von Riemann und Goldbach nun auch bald bewiesen werden können. Allerdings kannte Hilbert damals noch nicht die Vermutung von Hardy und Littlewood (1923).

Wenn der Beweis von Richard Arenstorf bestätigt wird, gibt es einen Kindertraum weniger (analog zum Kindertraum von Wiles: Wenn ich mal groß bin, werde ich Fermats letzte Vermutung beweisen).

Gruß
Rebecca
\(\endgroup\)
 

Re: There Are Infinitely Many Prime Twins
von: dollardollar am: Di. 01. Juni 2004 17:31:40
\(\begingroup\)@Martin: Ich glaub du hast ne Gaußklammer vergessen ;)
Mathworld\(\endgroup\)
 

Re: There Are Infinitely Many Prime Twins
von: Rebecca am: Di. 01. Juni 2004 19:29:29
\(\begingroup\)Hi,

vielleicht bin ich naiv, aber ich hätte gedacht, dass so eine Meldung wie eine Bombe einschlägt und nicht nur in Matheforen oder Wissenschaftsnachrichten. Das ist ein jederman verständliches Problem, an dem sich Generationen von Mathematikern die Zähne ausgebissen haben bis hin zur Vermutung, dass das überhaupt nicht beweisbar ist. Und jetzt - 6 Tage nach einer seriösen Beweisbehauptung - was findet man im Internet ?? Neben dem Matheplaneten eine Meldung auf Deutsch und knapp 40 Meldungen auf Englisch und keine davon in der Tagespresse oder in Nachrichtenmagazinen !!

Gruß
Rebecca\(\endgroup\)
 

Re: There Are Infinitely Many Prime Twins
von: Gockel am: Di. 01. Juni 2004 19:54:29
\(\begingroup\)Hi Rebecca.

Das letzte Mal, dass ein wirklich spannendes Problem gelöst wurde, wobei spannend hier im Sinne von "Für die Massen-Medien spannend" zu verstehen ist, ist der Beweis vom Großen Fermat durch Wiles gewesen. Sein erster (leider fehlerhafter) Versuch schaffte es noch auf die Titelseiten. Der wirkliche Durchbruch wurde dann nur noch als Anmerkung veröffentlicht.
Und gerade dieses Problem der Primzahlzwillinge ist so unnütz für die Praxis des Durchschnittsmenschen, dass eine Meldung in der Tagespresse/Fernsehen/Radio wohl eher dazu beitragen würde, dass Image der Mathematik als vollkommen sinnlose Angelegenheit zu verstärken.

Die meisten Deutschen scheinen sich eh nicht für Mathe zu interessieren und es sogar gut zu finden, wenn jemand mit schelchten Mathenoten o.Ä. prahlt. Ich finde es zum Beispiel sehr bezeichnend, dass es noch nicht einen einzigen Artikel über Mathematische Fortschritte im Wissenschaftlichen Teil des Spiegels oder anderer Magazine gab, seit ich diese regelmäßig lese, d.h. seit inzwischen fast einem Jahr.
Sicherlich ist es ein Durchbruch ungeahnten Ausmaßes und wahnsinnig spannend für Mathe-Begeisterte wie uns, aber interessieren tut es den Durchschnittsmenschen deshalb trotzdem nicht.

Schade, aber es ist nunmal so.

mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

Re: There Are Infinitely Many Prime Twins
von: Eckard am: Di. 01. Juni 2004 19:59:53
\(\begingroup\)Hi Leute,

weiß jemand, ob das _der_ Arenstorf ist, nachdem die "Arenstorf orbits" (eingeschränktes Dreikörperproblem) benannt sind? Mein googeln hat mich bisher erfolglos gelassen -> Zaunpfahl@Rebecca. Würde mich nicht wundern. 😉

Gruß Eckard\(\endgroup\)
 

Re: There Are Infinitely Many Prime Twins
von: matroid am: Di. 01. Juni 2004 20:19:48
\(\begingroup\)Na sowas, von Richard F. Arenstorf ist nicht bekannt, von wem er stammt. Dafür stammen von Hans Rohrbach einmal Richard Arenstorff und auch Richard Schulze-Arenstorff, und von beiden ist nicht vermerkt, was aus ihnen geworden ist.

(Alle Links führen ins Mathematics Genealogy Project.


@Rebecca: Nehmen wir es als vorläufig gutes Zeichen, daß man nichts hört. Es bedeutet doch schon die Abwesenheit von Fehlern, die ein Spezialist in 5 Tagen entdecken kann.

Gruß
Matroid

\(\endgroup\)
 

Re: There Are Infinitely Many Prime Twins
von: Rebecca am: Di. 01. Juni 2004 20:36:57
\(\begingroup\)@Eckard: Ja das ist wohl nach diesem R. F. Arenstorf benannt. Er hat jedenfalls eine Arbeit mit dem Titel: "New periodic solutions of the plane three-body-problem corresponding to elliptic motion in the lunar theory" veröffentlicht.

Gruß
Rebecca\(\endgroup\)
 

Re: There Are Infinitely Many Prime Twins
von: Rebecca am: Di. 01. Juni 2004 20:49:30
\(\begingroup\)@Nachschlag zu Eckards Frage: Hier auf Seite 70 wird deine Vermutung zur Namensgebung bestätigt.

Gruß
Rebecca
\(\endgroup\)
 

Re: There Are Infinitely Many Prime Twins
von: Eckard am: Di. 01. Juni 2004 21:40:41
\(\begingroup\)Danke an Rebecca und matroid! Alles klar, das Bild auf Seite 69 kam mir sehr bekannt vor. Übrigens auch 'ne geniale Sache, dieses restricted three body problem.

Gruß Eckard\(\endgroup\)
 

Re: There Are Infinitely Many Prime Twins
von: huepfer am: Do. 03. Juni 2004 11:41:34
\(\begingroup\)Schade, eigentlich dachte ich, dass ich diesen Beweis Mal führen würde *lollollollol*. Naja, dann ich kann ich meine Beweis immerhin direkt überprüfen *g* Aber Mal im Ernst: Ich finde es toll, dass diese Vermutung endlich bewiesen wurde und ich bin schon auf die nächsten Durchbrüche gespannt.\(\endgroup\)
 

Re: There Are Infinitely Many Prime Twins
von: Ex_Mitglied_40174 am: Do. 03. Juni 2004 15:50:04
\(\begingroup\)Wie lange dauert es voraussichtlich
bis man sagen kann ob der Beweis
von R. F. Arenstorf keine Fehler
bzw. Lücken enthält?

Gruß
Anonymous \(\endgroup\)
 

Re: There Are Infinitely Many Prime Twins
von: Shooty am: Do. 03. Juni 2004 16:09:00
\(\begingroup\)Hallo.

Könnte man theoretisch und "eventuell" diesen Beweis für einen Laien wie mich wie folgt zusammenfassen:
"Was für den Beweis von Euklid über die unendliche Anzahl von Primzahlen m+1 gilt, muss auch für m-1 gelten. Wenn beide Eigenschaften zusammen treffen m+/-1 ist der Beweis der unendlichen Anzahl von Primzahlenzwillingen erbracht."

SHOOTY\(\endgroup\)
 

Re: There Are Infinitely Many Prime Twins
von: morbus am: Do. 03. Juni 2004 16:43:43
\(\begingroup\)hi shooty,
Das kann ich zwar nicht wirklich überblicken, aber im Artikel steht, der Beweis wird erbracht "using methods from classical analytic number theory." Darunter fällt dein Verfahren nicht *gg*

mfg
morbus\(\endgroup\)
 

Re: There Are Infinitely Many Prime Twins
von: Gockel am: Do. 03. Juni 2004 17:03:23
\(\begingroup\)Hi shooty.

Soweit ich weiß kann man mit Euklids Methode nur beweisen, dass die Faktoren von m+/-1 kein Element der (als endlich angenommenen) Primzahlmenge sind, dass heißt m+/-1 kann beides sein: Primzahl oder zusammengesetzte Zahl aus Primfaktoren die nicht in der endlichen Menge drin sind.
Das beweißt zwar, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, aber keineswegs, dass es auch unendlich viel m gibt, für die sowohl m+1 als auch m-1 eine Primzahl ist.

mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

Re: There Are Infinitely Many Prime Twins
von: Shooty am: Do. 03. Juni 2004 17:08:18
\(\begingroup\)hi morbus.

Dann warte ich auch mit Spannung, wie sich diese Sache so entwickelt.

gruss shooty\(\endgroup\)
 

Re: There Are Infinitely Many Prime Twins
von: Wauzi am: Do. 03. Juni 2004 18:52:53
\(\begingroup\)Natürlich mußten zwei Namen fallen, Riemann und Fermat. Sind die beiden mit dem Primzahlzwillingsproblem das "Problemschatzkästchen" der Zahlentheoretiker.
Und sind doch total verschieden.
Bei der Riemannschen Vermutung ist die Aussage, unabhängig vom Beweis, etwas, das die Zahlentheorie meilenweit voranbrächte. Im Gegensatz dazu sind die jetzt bewiesenen beiden anderen Vermutungen vom Ergebnis zwar wunderschön, aber nicht gerade wichtig. Dafür hat Wiles mit seinen Beweisverfahren soviel Neues geschaffen, dass er sich auch bei einem Scheitern unsterblich gemacht hätte.
Was ist dann an diesem Beweis hier so schön?
Dass er gezeigt hat, dass die "alten" Methoden doch noch Ergebnisse liefern? Dachte man doch schon vor über 20 Jahren, dass sich mit den üblichen Ansätzen über die Dirichletreihen kein neues, tiefliegendes Ergebnis mehr erzielen läßt.
Ich habe es immer als einen Schönheitsfehler beim Beweis für den Fermat gesehen, dass hier ein elementares Problem mit solch einer unbändigen Wucht erschlagen wurde.
Dem ist hier nicht so, eine der einfachsten und damit auch schönsten Vermutungen der Zahlentheorie hat sich mit den klassischen Methoden ergeben. Das ist das, was mich an diesem Beweis freut und ich hoffe nur, dass sich nicht doch noch ein Fehler findet.

cu Wauzi
\(\endgroup\)
 

Re: There Are Infinitely Many Prime Twins
von: Zahlenteufel am: Fr. 04. Juni 2004 12:39:22
\(\begingroup\)Hallo

Wie man so munkelt hat ein gewisser Michel Balazard von der Uni Bordeaux einen schwerwiegenden Fehler entdeckt.

> J'ai malheureusement trouv une erreur grave dans
> l'article 'Arenstorf.
> Le lemme 8, page 35 est manifestement faux, et il est fondamental. > Il est possible que la demonstration puisse tre repare, mais c'est
> non trivial.

Für den nicht französisch sprachigen Planetenbewohner eine freie Übersetzung:

Ich habe unglüchlicherweise einen schwerwiegenden Fehler in dem
Paper von Arenstorf gefunden.
Das Lemma 8 von Seite 35 ist falsch und fundamental. Es ist
möglich, dass sich der Beweis reparieren lässt, aber das ist
nicht trivial.

Wenn das stimmt ist das schade, hoffentlich kann er seinen Beweis
retten.
Ich hoffe aber, dass irgendwann irgendjemand kommt, der einen
elementaren Beweis findet, ähnlich wie beim großen Primzahlsatz.

Gruß
Christoph
\(\endgroup\)
 

Re: There Are Infinitely Many Prime Twins
von: UggaBugga am: Fr. 04. Juni 2004 19:48:20
\(\begingroup\)Oben kursiert das Gerücht, man führe den Beweis auf den euklidischen Primzahlensatz zurück, was mir nicht so erscheint (er behandelt Konvergenz uneigentlicher Integrale im Zusammenhang mit Teilbarkeiten, (ggT)).
Bemerkung zum weiter oben Erwähnten:
2 * 3 * 5 * 7 - 1 = 11 * 19
Unabhängig vom Primzahlzwillingsbeweis ist es meines Wissens nach leider nicht bekannt, ob Produktfolgen der ersten n Primzahlen und dann +- 1 in unendlich vielen Primzahlen, in unendlich vielen zusammengesetzten Zahlen mit größeren Primfaktoren (Beispiel) enden, oder ob beides unendlich oft vorkommt.

Ugga\(\endgroup\)
 

Re: There Are Infinitely Many Prime Twins
von: susi0815 am: Mi. 09. Juni 2004 22:48:22
\(\begingroup\)Es gibt mittlerweile auch noch ein paar mehr Zweifel: siehe
hier

Gruß, Susi\(\endgroup\)
 

Re: There Are Infinitely Many Prime Twins
von: susi0815 am: Mi. 09. Juni 2004 22:52:18
\(\begingroup\)natürlich
hier\(\endgroup\)
 

Re: There Are Infinitely Many Prime Twins
von: Ex_Mitglied_40174 am: Do. 10. Juni 2004 11:58:50
\(\begingroup\)Im Beweis von Arendstorf wurde
eine Lücke entdeckt!

Jetzt ist alles aus!

Gruß
TheDisProof\(\endgroup\)
 

Re: There Are Infinitely Many Prime Twins
von: Wauzi am: Fr. 11. Juni 2004 00:27:54
\(\begingroup\)Hallo zusammen,
ich habe noch immer Hoffnung, daß der Beweis nicht zusammenbricht.
Obwohl ich langsam den Eindruck habe, es müssen mit Gewalt die alten Probleme gelost werden. Ob korrekt oder nicht. Jetzt ist wieder mal ein Beweis der Riemannschen Vermutung aufgetaucht: http://www.math.purdue.edu/~branges/
Allein mir fehlt der Glaube.
Gruß Wauzi\(\endgroup\)
 

Re: There Are Infinitely Many Prime Twins
von: Niels am: Fr. 18. Juni 2004 22:15:12
\(\begingroup\)Der Beweis ist Zusammengebrochen- Arenstorf hat seinen Beweis wegen eines Fehlers zurückgezogen- 20 Jahre Arbeit für die Katz....

Tjo also es darf weiter geforscht werden....\(\endgroup\)
 

Re: There Are Infinitely Many Prime Twins
von: Niels am: Fr. 18. Juni 2004 22:16:37
\(\begingroup\)Übrigens, habt ihr schon den angeblichen Beweis für die Riemansche Hyphothese gesehen....23 Seiten....

der ist noch auf dem Markt....\(\endgroup\)
 

Re: There Are Infinitely Many Prime Twins
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mi. 15. November 2006 09:35:34
\(\begingroup\)Die Arbeit von Arenstorf im arXiv wurde inzwischen zurückgezogen.\(\endgroup\)
 

 
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