Stern Mathematik: Zwischen Genie und Wahnsinn - John F. Nash
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Mathematik

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Zwischen Genie und Wahnsinn – das Leben des genialen Mathematikers John Forbes Nash



Manchmal schreibt das Leben Geschichten, die wundervoll und tragisch zugleich sind. Der Lebenslauf von John F. Nash ist zweifelsohne eine dieser Geschichten. Der Autor eines Bestsellerromans hätte sich eine solche Geschichte nicht besser ausdenken können. Eine Lebensgeschichte, welche die Komplexität und Zerbrechlichkeit, die Anmut, Einzigartigkeit und Schönheit des menschlichen Geistes nicht besser, nicht deutlicher, nicht pointierter hätte darstellen können.
Die Geschichte von John Forbes Nash ist eine Geschichte über das Mysterium des menschlichen Verstandes. Ein Drama in drei Akten: Genie, Wahnsinn und Wiedererwachen.


1. Akt – Genie

Hunderte von Talenten zeigen die Größe
ihrer Epoche, aber nur ein Genie ahnt,
was ihr fehlt.
E. Geibel



Anfang

John Forbes Nash wurde 1928 in Bluefield Virginia geboren. Einer kleinen Bergbaustadt im Westen von Virginia, die ihren Namen den großen Feldern azurblauen Chicorées zu verdanken hat. Sein Vater John Senior war Elektroingenieur und ein ernster, konservativ eingestellter und sorgfältiger Mann mit einem scharfen Verstand und großem Forscherdrang. Seine Mutter Margaret Virginia Martin, bekannt als Virginia war eine charmante, energiegeladene und vitale Frau. Sie war flexibler und weniger starr als ihr Mann und spielt im Leben von John Junior eine weit aktivere Rolle als ihr zurückhaltender und reservierter Mann. Wie ihr Mann stammte Virginia aus einer Familie, die Kirche und gute Ausbildung wertschätzte. So ist es nicht verwunderlich, dass Virginia Englisch, Französische, Deutsch und Latein in der West Virginia University studierte. Als sie ihren zukünftigen Ehemann traf, unterrichtete sie bereits seit 6 Jahren.
John hatte eine glückliche und behütete Kindheit. Er wuchs auf unter dem Schutz nicht nur einer liebenden Mutter und eines liebenden Vater, sondern auch im Beisein seiner Großmutter, Tanten und mehreren jungen Cousins. Die Nashs waren vermögend und hatten ein eigenes Haus und Auto, sowie eine Putzfrau.
Die einstmals anerkannte Theorie über die Ursachen von Schizophrenie, der Geisteskrankheit der John später erliegen sollte, sahen Vernachlässigung, Verweigerung von Zuwendung oder Missbrauch in jungen Jahren als Auslöser an. Dies war im Hause Nash jedoch keinesfalls der Fall.

Einzelgänger

Trotzdem war John ein Einzelgänger, selbständig und introvertiert. Er war ein Bücherwurm, seltsam und ein wenig merkwürdig. Während seine Schwester Martha und ihre Cousins draußen Verstecken oder mit Puppen spielten, konnte man John immer in ein Buch vertieft im Wohnzimmer finden. Obwohl seine Mutter ihn dazu drängte, mit den Nachbarskindern zu spielen, zog er es vor, alleine im Haus zu bleiben.
John war ein neugieriges und aufgewecktes Kind, der seinen Vater mit Fragen löcherte. Seine Mutter machte es zu ihrer Aufgabe über die Ausbildung ihrer Kinder zu wachen und sie zu fördern. Sie sorgte dafür, dass John im Alter von 4 Jahren lesen konnte, schickte ihn auf einen privaten Kindergarten und schulte ihn ein Jahr früher ein. Sie unterrichtete ihn zusätzlich zu Hause. In der Schule war John zunächst jedoch nicht erfolgreich, seine Unreife und soziale Unbeholfenheit überdeckten seine intellektuelle Begabung. Er träumte vor sich hin und hatte Probleme dem Unterricht zu folgen. Er sprach unaufgefordert und seine Handschrift war grauenhaft. Sein Zeugnis der vierten Klasse, in dem Mathematik und Musik seine schlechtesten Fächer waren, besagte, dass sich seine Aufmerksamkeit, seine Anstrengungen und der Respekt für die Regeln verbessern müssten.
Eine seiner großen Leidenschaften, war das Experimentieren mit Chemikalien und Elektrizität. Im Alter von 12 Jahren hatte er sein Zimmer zu einem Labor umfunktioniert, mit allen möglichen Chemikalien und elektrischen Geräten.
Obwohl John keine Freunde hatte, liebte er es, anderen etwas vorzuführen, sie zu beeindrucken und im Mittelpunkt zu stehen. Ein Charakterzug, der auch während seines späteren Lebens immer wieder zu Tage trat. Beispielsweise aß er vor den Augen mehreren Nachbarjungen Giftsumachblätter, nachdem er von einer alten Methode der Indianer gelesen hatte, die einen immun gegen das Gift machte.
Johns soziale Isolation und sein mangelndes Interesse an kindgerechten Beschäftigungen besorgte seine Eltern zunehmends. Ihre verstärkten Bemühungen, dies zu ändern, hatten jedoch wenig Erfolg und führten nur dazu, dass er sich weiter in seine eigene, private Welt zurückzog. Seine Eltern schickten ihn zu den Pfadfindern, in sonntägliche Bibelstunden, in Tanzkurse und später auf von seiner Schwester organisierte Blind-Dates. Für John waren diese Dinge unliebsame Unterbrechungen, die ihn davon abhielten sich mit seinen Büchern zu beschäftigen. Er rebellierte nicht offen gegen die ihm auferlegten Verpflichtungen, jedoch nahm er sie nur wahr, um seine Eltern zufrieden zu stellen und fand weder Freunde, noch erwarb er zwischenmenschliche und soziale Fertigkeiten und Umgangsformen.
John wuchs auf ohne Freundschaften zu knüpfen. Seine gelegentliche Gemeinheit, sein Überlegenheitsgefühl und kühle Distanziertheit waren Mittel um mit seiner Unsicherheit und Einsamkeit fertig zu werden.

Anzeichen

Die ersten Anzeichen, seines mathematischen Talents zeigten sich in der Highschool. Er schaffte es oft, nachdem ein Lehrer einen langen und vorschriftsmäßigen Beweis angeschrieben hatte, zu zeigen, dass man den Beweis ebenfalls in zwei oder drei eleganten Schritten erbringen konnte.
Zu dieser Zeit fiel John auch das Buch Men of Mathematics von E. T. Bell in die Hände, welches aus schillernden, biographischen Darstellungen berühmter Mathematiker und farbenfrohen Beschreibungen mathematischer Probleme bestand. Bells Buch zeigte dem 13-jährigen Jungen eine andere Seite der Mathematik, die mit ihren mysteriösen Symbolen und ihrer Magie, so gänzlich anders als die Schulmathematik zu sein schien. Besonders das Kapitel über Fermat faszinierte den jungen John Nash. Obwohl er zunächst noch (und noch bis zum Ende der High-School) vorhatte, in die Fußstapfen seines Vater zu treten und ein Elektroingenieur zu werden, so weckte dieses Ereignis doch das Interesse des Jungen und führte dazu, dass er in der Folge anfing, sich mit höherer Mathematik und vor allem mit Zahlentheorie zu beschäftigen. John, dem es später gelingen sollte die Fermatsche Annahme (wenn n eine ganze Zahl ist und p irgendeine Primzahl, dann ist n^p - n teilbar durch p) zu beweisen, begann sich immer stärker für die Mathematik zu interessieren.

Für einen intelligenten, jedoch sozial unterwickelten Jungen wie John, mit nahezu keinem Interesse für Sport war die Schulzeit und Jugend alles andere als leicht. Zwar wurde er aufgrund seiner Größe und seines muskulösen Körperbaus selten gehänselt oder verspottet, jedoch fanden Johns Mitschüler seine Art zu Sprechen und sein Verhalten äußerst sonderbar. Er hatte kaum Freunde, wurde als sonderbar abgestempelt und weitestgehend ausgeschlossen. Langeweile und jugendliche Aggression führten dazu, dass er Mitschülern, Nachbarsjungen oder seiner Schwester gemeine Streiche spielte. Beispielsweise verkabelte er einen Stuhl elektrisch und versuchte seine Schwester dazu zu bringen, auf ihm Platz zu nehmen. Einem befreundeten Mathematiker in MIT erzählte er einmal, dass er es als Jugendlicher manchmal genossen hatte, Tiere zu quälen.
Seine Leistungen in der High-School, waren im Gegensatz zu seiner Grundschulzeit sehr gut.
Ermuntert von seiner Mutter nahm John Kurse im College von Bluefield. Er las wie ein Wahnsinniger, von Comics über futuristische Science-Fiction-Bücher und Fachmagazine bis zu wissenschaftlichen Texten.
Sein Chemielehrer erinnerte sich daran, dass John bei der Lösung einer Aufgaben niemals einen Stift benutzte, er starrte einfach minutenlang auf die Aufgabe an der Tafel, während seine Mitschüler damit anfingen die Aufgabe abzuschreiben. Bevor irgendjemand die Aufgabe fertig abgeschrieben hatte, stand er auf und gab die korrekte Lösung an.
John nahm an dem George Westinghouse Wettbewerb teil und gewann eines von 10 national vergebenen Stipendien. Lloyd Shapley, ein Sohn des berühmten Harvard Astronomen Harlsow Shapley, gewann ebenfalls ein Stipendium, die beiden sollten sich später noch einmal in Princeton begegnen.
John wurde vom Carnegie Institute of Technology (Pittsburgh) akzeptiert. Er verließ Bluefield um in Pittsburgh Chemieingenieur zu werden.

Chemieingenieur

Obwohl John nach Pittsburgh ging, um chemisches Ingenieurwesen zu studieren, so interessierte er sich doch immer stärker für die Mathematik. Er hasste die langen Laboraufenthalte, die sein Studium mit sich brachte, und fühlte sich intellektuell unterfordert.
In Nashs zweitem Jahr in Carnegie nahm er Kurse in Tensoranalysis, dem mathematischen Werkzeug, dessen sich Einstein bediente, um seine Relativitätstheorie zu formulieren. Von Anfang an beeindruckte John seine Professoren - sogar so sehr, dass einer von ihnen John einen jungen Gauss nannte. Sein Professor John Synge war beeindruckt von Johns Originalität und seinem Hunger nach schweren Problemen.
Hatte John zu Beginn noch Zweifel gehabt, seinen Lebensunterhalt als Mathematiker verdienen zu können, so war dies Mitte des zweiten Studienjahres vergessen. John konzentrierte sich nun vollkommen auf Mathematik.
Während seine Professoren ihn als den nächsten Stern am Mathematikhimmel feierten, war John bei seinen Mitstudenten alles andere als beliebt. Er galt als merkwürdiger Kerl, war sozial Unbeholfen, hatte äußerst exzentrische Angewohnheiten, war rücksichtslos und aufbrausend. Beispielsweise lies er im Speisesaal eine Eiskugel, die ihm auf sein ausgezogenes Jacket gefallen war, seelenruhig vor sich hinschmelzen. Ein anderes Mal trat er auf den schlafenden Körpers seines Mitbewohners, um das Licht auszumachen.
Später als sich seine Erfolge summierten, wurde er stärker respektiert. In Carnegie jedoch wurde er ausgeschlossen, isoliert, gemobbt und provoziert.
Eine Anektdote charakterisiert Nashs soziale Position unter den Mitstudenten recht deutlich. Seine Kommilitonen, die von Johns extremer Abneigung gegen Zigarettenrauch wussten, rauchten ein Päckchen Zigaretten leer und sammelten den Rauch in einer Plastiktüte. Sie gingen damit zu Johns Zimmertür und bliesen den gesammelten Rauch unter Johns Tür hindurch. John explodierte vor lauter Ärger, packte einen der Täter, warf ihn auf sein Bett, riss ihm das T-Shirt herunter und biss ihm in den Nacken.
Erste Anzeichen von homosexuellen Neigungen manifestierten sich ebenfalls in seiner Zeit in Carnegie. In einer Nacht kletterte er in das Bett eines schlafenden Mitstudenten und machte auch in anderen Situationen Annäherungsversuche an Gleichgeschlechtliche. Dies brachte ihm dem Spitzamen Homo und Nash-Mo ein.

Rückschlag

Ein herber Rückschlag für den ambitionierten, jungen Mathematiker, der sich selbst für intelligenter als den Rest und für ein mathematisches Genie hielt, war die William Lowell Putnam Mathematical Competition 1947. Ein außerordentlich bedeutender, amerikaweiter Mathematikwettbewerb für Studenten, dessen 5 beste Teilnehmer schlagartig in der Mathematikwelt bekannt wurden. Heute nehmen bis zu 2000 Teilnehmer an diesem Wettbewerb Teil, während es 1947 nur 120 waren. Damals wie heute wurden den Teilnehmer ein Dutzend mathematische Probleme gestellt und eine halbe Stunde Zeit gegeben um jedes von ihnen zu lösen. Die Probleme des Putman-Wettbewerbs, waren berühmt für ihre Schwere. In jedem Jahr von 1937 bis heute, war die durchschnittliche Ausbeute die ein Teilnehmer erreichte 0 Punkte. Und das obwohl fast alle Teilnehmer von ihrer Fakultät ausgesucht wurden. Um zu gewinnen musste man entweder unglaublich schnell oder außerordentlich genial sein.
Es gab ein Preisgeld von 20 - 40 Dollar für die zehn besten Teilnehmer und 200 - 400 Dollar für die 5 besten Universitätsteams. Dies war jedoch nichts verglichen mit dem, was einem Teilnehmer aus den Top-5 bevorstand. Die 5 besten Studenten wurden von der mathematischen Welt gefeiert und mit Stipendienangeboten überhäuft. Besonders Harvard schätzte ein gutes Abschneiden beim Putnam-Wettbewerb. Harvard bot damals jedem der 5 besten Teilnehmern ein 1500-Dollar-Stipendium an.
John nahm als Studienanfänger und in seinem zweiten Jahr in Carnegie an dem Wettbewerb teil. Beim zweiten Mal schaffte er es in die Top-Ten zu kommen, er war jedoch nicht auf einem der begehrten fünf vordersten Plätzen.
Obwohl Nash im Vorbereitungsseminar auf den Putman-Wettbewerb in der Lage war, Probleme aus alten Wettbewerben zu lösen, die sonst niemand in der Lage war zu lösen, kam er nicht unter die Top Fünf. Für Nash, der auch damals schon den Plan hatte, später nach Harvard zu gehen, war sein „Versagen“ im Putnam-Wettbewerb eine schmerzhafte Niederlage.
Hier ist der Testbogen, den Nash im März 1947 vor sich liegen hatte. 12 Aufgaben, 120 Punkte, 6 Stunden Bearbeitungszeit:

(Die Lösungen zu den Aufgaben finden sich ebenfalls unter: www.kalva.demon.co.uk/putnam/putn47.html )
(Die Aufgaben aller Putnam-Wettbewerbe - sowie deren Lösungen finden sich unter: www.kalva.demon.co.uk/putnam.html )

Auswahl

Im Herbst 1947 besuchte Nash Prof. Duffins Kurse über mathematische Grundlagen der Quantenmechanik. Prof. Duffin, der über Nash sagte er habe den Stil eines reifen Mathematikers („He tried to reduce things to something tangible. He tried to relate things to what he knew about. He tried to get a feeling for things before he actually tried them.”) verstieg sich hoffnungslos in einem Beweis mit Hilberträumen. Auch die anderen Studenten, unter ihnen Weinberger, der oft die schweren Stellen in von Neumanns Buch, welches Grundlage der Vorlesung war, erklären konnte, wusste keinen Rat. Als Duffin schließlich Nash an die Tafel holte, führte dieser mit krakeliger Handschrift den Beweis zu Ende.
Sein Kommilitonen erinnern sich an Nash als verträumte, nachdenkliche Person. Weinberger sagte einmal über Nash: „Er dachte immer viel nach. Während andere mit da saßen, ihrer Nase in einem Buch begraben, saß er einfach nur und dachte nach. Er hatte ein wahnsinniges Hintergrundwissen. Er kannte sich mit Zahlentheorie aus wie verrückt. Diophantische Gleichungen waren seine große Liebe, niemand von uns wusste etwas über sie, aber er arbeitete zu dieser Zeit an ihnen.“
Aus diesen Anekdoten wird ersichtlich, dass viele von Nashs lebenslangen Interessengebieten ( Zahlentheorie, diophantische Gleichungen, Quantenmechanik und Relativität ) schon den 19 jährigen interessierten.
Im Frühling 1948 war Nash bereits von den 4 Top-Absolventenprogrammen im Bereich Mathematik, Harvard, Princeton, Chicago und Michigan akzeptiert worden. Nur in eines von diesen zu kommen war bereits eine sehr gute Vorraussetzung später ein gutes akademisches Angebot zu erhalten.
Harvard war Nashs erste Wahl. Harvards Ruf, Prestige und sozialer Status reizten ihn. Als Universität hatte Harvard nationale Bedeutung, während Chicago und Princeton mit seiner größtenteils europäischen Fakultät es nicht hatten. Das Problem war, dass Harvard weniger Geld als Princeton bot.
Lefschetz der Vorsitzender der mathematischen Fakultät von Princeton bot Nash, als er dessen Zögern bemerkte, das sogenannte John S. Kennedy Stipendium an. Dieses Stipendium war das prestige-trächtigste, das die Fakultät zu bieten hatte. Es beinhaltete wenig bzw. gar keinen Unterricht und garantierte dem Glücklichen ein Zimmer in Princetons Wohnheim. Das 1150-Dollar-Stipendium deckte die 450 $ Studiengebühren, die 200 $ Miete für das Zimmer und die wöchentlichen 14 $ für das Essen mehr als ab.
Lefschetz half Nash auch dabei, ihm einen Sommerjob in einem von der Navy initiierten Forschungsprojekt zu verschaffen, um John vor einem möglichen Einzug in die Armee zu bewahren.
Letztlich entschied sich Nash dann doch für Princeton, da er wohl zu Recht der Meinung war, sie meinten es ehrlicher mit ihm und wären stärker an seiner Person interessiert.
Princeton griff damals den Löwenanteil der besten Absolventen ab. Im Gegensatz zu Harvard, die 25 Absolventen aufnahmen, bot Princeton nur 10 Kandidaten Platz. Princeton war selektiver in der Auswahl der Kandidaten, stand es jedoch einmal fest, dass sie einen Absolventen nach Princeton holen wollten, dann setzten sie alle möglichen Hebel in Bewegung, um ihn auch zu bekommen.
1948 war Princeton für die Mathematik das, was Athen für die Philosophen und Paris für die Maler und Autoren einst war. Der Physiker Harald Bohr erklärt Princeton zum „mathematischen Zentrum des Universums“.

Princeton

Noch 1903 war Princeton nicht viel mehr als eine überladene preperation-school, das amerikanische Äquivalent zum Gymnasium, besonders wenn es um die Naturwissenschaften ging. Dieses Phänomen war jedoch nicht nur auf Princeton beschränkt, sondern traf auf ganz Amerika zu. Europa hatte zu der Zeit drei dutzend Professoren, die nicht anderes machten, als neue Mathematik zu kreieren. Amerika hingegen hatte keinen einzigen. Junge Amerikaner mussten nach Europa reisen, wenn sie ihre mathematische Ausbildung nach ihrem Bachelor of Arts weiterverfolgen wollten. Die Intellektuellen Zentren der damaligen Zeit waren anderswo zu finden und hießen Göttingen, Berlin, Budapest, Wien, Paris und Rom.
Als Solomon Lefschetz 1924 in Princeton ankam, waren nur 7 Männer mit mathematischer Forschung beschäftigt. Es gab keine Büros für die Mathematiker, sie waren gezwungen zu Hause zu arbeiten. Den Physikern erging es nicht besser, sie waren dazu verdonnert viel Zeit mit dem Unterrichten von Studienanfängern zu verbringen, so dass sehr wenig Zeit für die Forschung übrig blieb. Auch hier stellte Princeton eher die Regel als die Ausnahme dar.
Die Rockefellers, die in den frühen 20igern ihre Millionen mit Kohle, Öl, Stahl und dem Bankwesen machten, brachten die Wende und führten Amerika aus der naturwissenschaftlichen Steinzeit heraus. Sie waren sich der wissenschaftlichen Innovationswelle, die aus Europa über den Atlantik schwappte und der schlechten Bildungssituation in Amerika bewusst. Die Rockefellers gründeten eine Stiftung, welche die Rockefeller-Millionen an drei ausgesuchte Universitäten, unter ihnen Princeton, verteilten. Das Geld befähigte Princeton, fünf auf Forschung ausgerichtete Lehrstühle für Professoren nach europäischem Vorbild, einzurichten und zu unterhalten, mit extravaganten Löhnen und Forschungsfonds um Absolventen zu fördern. Unter den ersten Berühmtheiten, die 1930 in Princeton eintrafen, waren John von Neumann, ein genialer Student von Hilbert, Hermann Weyl und Eugene Wigner, der Physiker, der 1963 einen Nobelpreis gewinnen sollte. Ein erstarkender Nationalsozialismus in Deutschland und der zweite Weltkrieg, der die Möglichkeit vernünftiger Forschungsarbeit in Europa sinken ließ, sorgte dafür, diese genialen Köpfe dauerhaft an Princeton zu binden.
Das unabhängige Institiute for Advanced Study in Princeton, eine erstklassige Forschungseinrichtung, ohne Kurse, Studenten oder Lehrer, verdankt seine Existenz einer anderen großzügigen Spenderfamilie, den Bambergers, die am Aktienmarkt ein Vermögen gescheffelt hatten. Nachdem das Institute eingerichtet war, begann man mit einer weltweiten Suche nach berühmten Mathematikern und Physikern. Die Machtübernahme Hitlers in Deutschland und der Massenausschluß von Juden an deutschen Universitäten, erleichterte es die begehrten Wissenschaftler nach Princeton zu holen. Nach längerem Zögern, entschloss sich Einstein nach Princeton zu gehen. Ihm folgten der Wiener Logiker Kurt Gödel und Hermann Weyl, der damalige Star der deutschen Mathematik.
Princeton war quasi über Nacht zum neuen Göttigen und zum Zentrum der Naturwissenschaften geworden.

Landung

Nash hätte überhaupt nichts Besseres passieren können, als in Princeton zu lande, anstatt in Harvard, das zu damaliger Zeit ein riesiges bürokratisches Monster war. In Princeton traf er auf die nötige Freiheit, sich mit der Mathematik zu beschäftigen, die ihn interessierte. Lefschetz schätzte Originalität und unabhängiges Denken über alles und so gab es kaum Regeln, die beachtet werden mussten, keine Anwesenheitspflicht und keine Pflichtfächer. Noten bedeuteten nichts, manche Professoren gaben nur A’s, andere nur C’s, es war total willkürlich. Man musste nicht einmal anwesend sein, um sie zu bekommen. Der einzige Test, der etwas zählte, waren die general examinations, in denen 5 Themengebiete geprüft wurden, von denen 3 von der Fakultät und 2 vom Prüfling ausgewählt wurde. Aber selbst hier beschränkten sich die Prüfer auf Stoffgebiete, von denen bekannt war, dass sie einem Kandidaten lagen. Ansonsten zählte nur die Diplomarbeit und nichts anderes. Während Harvardstudenten 7 oder 8 Jahre brauchten um ihr Diplom in der Tasche zu haben, konnte man es in Princeton in 2 oder 3 Jahren schaffen. Dies bedeutete jedoch nicht, dass man in Princeton ein Mathematikdiplom nachgeschmissen bekam. Durch die kleine Anzahl von Studenten und die sehr engen Beziehungen zwischen Studenten und der Fakultät, waren die Verantwortlichen jederzeit über den Fortschritt ihrer Studenten informiert. Lefschetz scheute sich nicht davor, einem Studenten zu sagen, er solle gehen. Man hatte entweder Erfolg oder man flog raus.

Fine Hall

Die einzige Pflicht, die die Studenten hatten, bestand darin, jeden Nachmittag zur Tea-Time in der Fine Hall, dem großen Gebäude der Mathematikfakultät, zu erscheinen, wo sich die mathematische Fakultät zu Tee und Plätzchen, zum Schach oder Go spielen und nicht zuletzt zum Bereden von mathematischen Problemen und Diskutieren von Mathematik trafen. Hier mischten sich Studienanfänger mit Professoren, Doktoren und gelegentlich Mitgliedern des Institute of Advanced Study wie beispielsweise Einstein.
Die Fine Hall war ein luxuriöses Fort aus rotem Backstein im neugotischem Stil, gebaut und eingerichtet in der Absicht, ein Tempel der Mathematik zu sein, den jeder Mathematiker nur ungern verlassen würde. Die matten Steinkorridore, die den Bau und den großen Innenraum einschlossen, waren gut geeignet, sowohl zum einsamen Herumstreifen, als auch zum gesellschaftlichem Verkehren mit anderen Mathematikern. Die Ecksteine des Gemeinschaftsraumes enthielten ein Fach, das Kopien der Arbeiten von Princetonmathematikern und die Handwerkszeuge eines Mathematikers (Radiergummi, Bleistift und Kreide) enthielten.
Die neun Arbeitszimmer der etablierten Professoren waren ausgestatten mit Tafeln, versteckten Aktenschränke, orientalischen Teppichen und massiven, überdimensionierten Möbeln. Sie waren komplett mit verzierten Holzpaneelen verkleidet.
Im dritten Stock befand sich die Bibliothek, die weltweit größte Ansammlung von mathematischen Journalen und Büchern. Sie hatte 24 Stunden am Tag geöffnet. Außerdem gab es in der Fine Hall einen Umkleideraum mit Dusche.
Man könnte die Fine Hall sicherlich auch als Country Club für Mathematiker bezeichnen.
Einige Fotos, die in den frühen 60ern in der Fine Hall aufgenommen worden sind, findet man hier. Auf Seite 7 in der Mitte ist Nash. Das Mathematische Institut bezog in den 70ern einen Neubau, der wieder Fine Hall heißt.

Volumen

Das Leben in Princeton war männlich, klösterlich und wissenschaftlich. Die Studenten hatten Frühstück, Mittag- und Abendessen zusammen für 14 $ pro Woche. Frühstück und Mittagessen wurden im Frühstückraum serviert und wurde in der Regel in aller Eile eingenommen. Das Abendessen hingegen, welches in der Procter Hall, ein Speisesaal im englischen Stil mit langen Holztischen, großen Fenstern und Portraits von bedeutenden Princetoniern, serviert wurde, war eine gemütlichere Angelegenheit. Es gab zwar keinen Wein, aber das Essen war exzellent.

Die Mischung aus kompletter Freiheit und unnachgiebigem Druck eine Dissertation zu verfassen, waren wie für Nashs Lernstil und Bedürfnisse gemacht. Nashs großes Glück bestand darin, die Mathematische Bühne zu einer Zeit und an einem Ort zu betreten, der ideal für ihn war.
Die Qualität, Vielfältigkeit und das bloße Volumen der Mathematik die täglich in Princeton von Professoren, Studenten und einem ständigem Strom von Besuchern aus aller Welt, zelebriert wurde, war unglaublich. Die Mathematik war zu dieser Zeit einer Revolution unterworfen, und Princeton war das Zentrum - Topologie, Logik, Spieltheorie. Es gab nicht nur Vorlesungen, Kolloquien, Seminare, Klassen und wöchentliche Treffen im Institut (die auch Einstein und von Neumann ab und zu besuchten), sondern auch Frühstück, Mittagessen, Abendessen, after-dinner partys und natürlich die tägliche Tea-time in der Finehall.
Die Tea-time zwischen drei und vier war der Höhepunkt jeden Tages. Mittwochs fand sie im Gemeinschaftsraum West, oder auch Professorenraum genannt, in einer formaleren Atmosphäre statt, die anderen Tage im Aufenthaltsraum Ost, auch bekannt als der Studentenraum. Im flippigen Aufenthaltsraum, der mit Ledersesseln und Couchtischen eingerichtet war, war die Atmosphäre bedeutend relaxter.
Der Hausmeister brachte den Tee und die Kekse ein paar Minuten vor Drei, und die Mathematiker, müde von einem langem Arbeitstag, begannen einzutrudeln. Die Fakultät kam fast immer geschlossen, so wie die meisten der Absolventen und viele der begabteren Studenten. Der große Logiker Alonzo Church, Emil Artin, der berühmte Algebraiker, Wittgenstein, der Topologe und go-Meister Ralph Fox, der Topologe Norman Steenrod - alle waren sie von 15 bis 16 Uhr im Gemeinschaftsraum anzutreffen. Häufiger kamen auch Mitglieder des Institute of Advanced Study zur Teezeit.
Es gab wohl keinen anderen Ort auf der Welt, an dem ein Student mehr Mathematikern begegnen konnte als auf der Tea-Time in Princeton.
Die Studenten, die sich zur Teezeit in der Finehall versammelten, waren ein bunter Haufen. Immigranten, arme Juden, reiche Auswärtige, Teenager und Männer der Arbeitsklasse bildeten eine facettenreiche und brilliante Gruppe. Zu ihr gehörten John Tate, Serge Lang, Gerard Washnitzer, Harold Kuhn, David Gale, Leon Henkin und Eugenio Calabi.

Schüchternheit

Melvin Hausmeister, ein damaliger Princeton-Absolvent erinnerte sich: „Man ging hin um über Mathematik zu diskutieren. Um die Fakultät zu treffen. Um Freunde zu treffen. Wir diskutierten mathematische Probleme. Wir erzählten uns von mathematischen Arbeiten, die wir gelesen hatten.“
Die Tea-time war der Himmel für die Schüchternen und sozial Zurückgebliebenen, die keine Freunde hatten. Einer Kategorie zu der viele der jungen Männer gehörten.
John Milnor, der wohl brillianteste Studienanfänger in der Geschichte der mathematischen Fakultät Princetons, beschrieb es in einem Interview so:
„Alles war neu für mich. Ich war schüchtern und sozial isoliert. Aber alles war wundervoll in Princeton. Dies war eine komplett neue Welt für mich. Hier war eine Gemeinschaft, in der ich mich sehr zuhause fühlte.“
Die Stimmung war jedoch genauso konkurrierend, wie sie freundlich war.
Früher in ihren Undergraduate-Universitäten, waren es die meisten gewöhnt der Beste und Intelligenteste zu sein, aber nun trafen sie auf die Besten und Intelligentesten aus ganz Amerika. Das führte zu Reibereien.
Beschimpfungen und Kampfansagen waren immer wichtige Zutaten der Teatime-Stichelleien.
Nash in seinen Princeton Jahren schien sich für buchstäblich alles mathematische zu interessieren - Topologie, algebraische Geometrie, Logik, Spieltheorie, ... und schien während seines ersten Jahres in Princeton eine Menge Wissen über diese Gebiete aufzusagen wie ein Schwamm.
Seine Hauptmethode der Informationsgewinnung bestand darin, verschiedene Mitglieder der Fakultät und Mitstudenten zu befragen. Er trug einen Notizblock mit sich herum, auf dem er sich ständig Notizen machte.
Nash verbrachte die meiste Zeit, so schien es, einfach nur mit Denken. Er fuhr mit einem Fahrrad über den Campus, er streifte durch den düsteren Korridor im zweiten Stock der Fine Hall. Er lag auf Tischen in der Mitte des Gemeinschaftsraums und starrte an die Wand. Er pfiff so oft ein und dieselbe Melodie von Bach, dass sich sogar die Sekretärinnen bei Lefschetz über ihn beschwerten.
Eine extreme Aversion Wissen einfach nur zu absorbieren und eine starke Neigung die Dinge durch learning bei doing zu erlernen, sind wohl eines der verlässlichsten Zeichen für ein Genie.

Selbstbewußtsein

In Princeton trat Nash mit dem Wunsch an, die Mathematik von Grund auf zu erlernen.

Nash erarbeitete sich selbständig viele mathematische Theorien und Ideen, die andere Mathematiker unabhängig von ihm bereits früher erschlossen hatten. Laut Steenrod kam Nash in seinem ersten Jahr in Princeton zu ihm mit der Beschreibung einer einfachen geschlossen Kurve in der Ebene. Es war im Grunde die gleiche Definition, die Wilder 1932 gegeben hatte. Jedoch bestand laut Steenrod kaum Zweifel daran, dass sich der junge Nash diese Ergebnisse selbst erarbeitet hatte. Einige Zeit später dachte er sich ein System von Axiomen aus, welche auf dem primitiven Konzept des Zusammenhangs basierte. Im Prinzip derselbe Ansatz, den schon Wallace verfolgt hatte.
Nash war immer auf der Suche nach ungelösten Problemen, die sein Interesse weckten. Er fragte die Leute richtiggehend aus, was die wichtigen Probleme seien. Dabei war er wahnsinnig ehrgeizig bei der Sache und zeigte ein ungewöhnliches Maß an Selbstbewusstsein und Selbstgefälligkeit. Nicht lange nach seiner Ankunft in Princeton suchte Nash Einstein auf und skizzierte einige seiner Ideen zur Quantentheorie.
Zu dieser Zeit galt Einstein seit mehr als einem viertel Jahrhundert als weltweite Kultfigur. Seine spezielle Relativitätstheorie wurde 1905 veröffentlicht, genauso wie seine Annahme, dass das Licht im Raum nicht wellenförmig verbreitet, sondern als diskreter Partikel. 1916 erblickte dann auch die Allgemeine Relativitätstheorie, das Licht der Welt. Der Beweis, dass Lichtstrahlen von der Gravitation der Sonne beeinflusst werden, so wie Einstein es vermutet hatte, brachte ihm ein unglaubliches Maß an Ruhm und Bekanntheit, den bis dahin ein Wissenschaftler so noch nie erreicht hatte und wohl auch nie wieder erreichen wird.
Nash hatte eine Idee über Gravitation, Reibung und Strahlung, die er mit Einstein diskutieren wollte. Anfang seines ersten Semesters suchte er den Assistenten Einsteins auf und sagte ihm, er wünsche eine Idee mit Professor Einstein zu besprechen. Nach einer kurzen Begrüßung, fing Nash sofort an, seine Idee an der Tafel zu skizzieren. Die Reibung, an die Nash dachte war die Reibung, der ein Teilchen, beispielsweite ein Photon, auf seinem Weg durch den Raum, aufgrund seines wechselnden Gravitationsfeldes und dessen Beeinflussung durch andere Gravitationsfelder, ausgesetzt sein würde. Während Nash noch an der Tafel stand und sie mit Gleichungen vollkritzelte, konnte er von Einstein immer öfter ein zustimmendes ja ja, interessant, interessant vernehmen. Bald standen Einstein und sein Assistent an der Tafel. Die Diskussionen dauerte eine gute Stunde, bevor Einstein am Ende mit einem freundlichen Lächeln sagt: „Sie hätten sich besser mit etwas mehr Physik beschäftigen sollen.“
Nash beherzigte Einsteins Ratschlag jedoch nicht. Er schrieb auch nie ein Papier über seine Idee. Einige Jahrzehnte später sollte ein deutscher Physiker jedoch eine ähnliche Idee veröffentlichen.

Toleranz

Nash vermied es sorgfältig, sich selbst an ein bestimmtes Mitglied der Fakultät zu binden. Er wollte seine intellektuelle Unabhängigkeit unter allen Umständen bewahren. Steenrod fungierte jedoch als eine Art Resonanzgeber. Steenrod war ein vorsichtiger, geduldiger, hilfsbereiter und methodisch vorgehender Mann, der seine Kleidung nach einer mathematischen Formel aussuchte und eine Manie dafür hatte, soziale Probleme durch Logik zu lösen. Er war wahnsinnig beeindruckt von Nashs Fähigkeiten und behandelte dessen exzentrische Art und Dreistigkeit mit amüsierter Toleranz.
Nash tauschte sich ebenfalls viel mit seinen Mitstudenten aus. Ein Kommilitone erinnert sich: „Manche Mathematiker arbeiten mehr oder weniger alleine. Er war anders, er liebte es Ideen auszutauschen“. John Milnor war einer aus einer Reihe von brillianten Mathematiker zu denen sich Nash hingezogen fühlte. Obwohl Milnor noch ein Studienanfänger war, war er schon der Lieblingsjunge des Instituts. In einem Kurs über Differentialgeometrie hörte er von einer unbewiesenen Annahme eines polnischen Topologen, Karl Borsuk, über die totale Krümmung einer verknüpften Kurve im Raum. Man erzählt sich Milnor habe die Annahme Borsuks als Hausaufgabe missverstanden. Ob das stimmt oder nicht, Milnors Beweis der Annahme landete in Professor Tuckers Büro mit der Notiz, dieser möge ihm doch bitte seinen Fehler in dem Beweis zeigen, da er ihn nicht finden könne. Nachdem Tucker und zwei andere Professoren keinen Fehler finden konnten, ermutigte Tucker Milnor, eine Arbeit über seinen Beweis zu schreiben.

Wie so oft hatte Nash in Princeton keine engeren Freunde gefunden. Er wurde respektiert aber nicht gemocht. Er wurde von den anderen Studienanfängern nicht zu Partys eingeladen und wurde auch nicht gefragt, ob er mit in die Stadt wolle, um ein Bier zu trinken.
Die meisten Studienanfänger waren selbst schüchtern, hatte komische Angewohnheiten und psychische Ticks aber sie alle zusammen fühlten, dass Nash anders war. Ein ehemaliger Studienanfänger sagte über Nash: „Nash war nicht normal, wenn er in einem Raum mit 20 Leuten gewesen wäre und man hätte einen Beobachter gefragt wer der merkwürdigste im Raum ist, so wäre Nash genannt worden.“ Jemand anderes erinnerte sich: „Nash war total unheimlich. Er sah dich nicht an. Er nahm sich viel Zeit eine Frage zu beantworten. Wenn er dachte die Frage wäre dumm, antwortete er überhaupt nicht. Er zeigte kaum Gefühle oder Emotionen. Es war eine Mischung aus Stolz und etwas anderem.“
Nash war auch fähig Leuten Angst zu machen, wenn er provoziert wurde. Manchmal schlugen die verbalen Ausbrüche in plötzliche Gewalt um. Einmal stieß Nash einen metallernen Aschenbecherständer gegen das Schienbein eines Kommilitonen.

Gesellschaftsspiele

Auf den nachmittäglichen Treffen in der Fine Hall zu Tee und Keksen, spielten Gesellschaftsspiele immer eine große Rolle. Heutzutage hat Backgammon, die einst zu Nashs Zeit vorherrschenden Spiele Kriegsspiel, Schach und go verdrängt.
Kriegsspiel, ein Verwandter des Schachs, wurde als ein Lernspiel für deutsche Militärschulen im 18. Jahrhundert erfunden. Ursprünglich wurde es auf einem Brett, das eine Landkarte der französisch-belgischen Grenze zeigte und über die ein Gitternetz mit 3600 Quadraten gelegt worden war, gespielt. Das Spielfeld stellte einen realen Geländeausschnitt dar. Die Spielfiguren simulierten nicht nur Infanterie- und Kavalleriebrigaden, sondern auch Artillerie, Ausrüstungsgegenstände, Brücken, Befestigungen, Depots und selbst Feldbäckereien. In Übereinstimmung mit der zeitgenössischen Kriegskunst und der Bedeutung der rückwärtigen Linien für Armeen mussten die Figuren eine Verbindung zu ihrer jeweiligen Basis besitzen. Bei der Bewegung der Spielfiguren löste man sich vom Schachvorbild und versuchte ihnen „realistischere“ Operationsmöglichkeiten einzuräumen. So waren sogar reduzierte Bewegungen in den Wintermonaten berücksichtigt.

Im folgenden Bild zu sehen: eine Version von Kriegsspiel (ca. 1940) rund um die Aufteilung und Aktionen verschiedener Streitkräfte wie Kampfflieger-Staffel, Panzerkampfwagen-Kolonne, Geschütz-Batterie, Maschinengewehr-Kompanie, Schützenkompanie sowie Stab.

“Kriegsspiel“
“Kriegsspiel“

Im Gemeinschaftsraum der Finehall wurde besonders gerne eine Version von Kriegsspiel mit drei Schachbrettern gespielt. Es gab einen Schiedsrichter und zwei Spieler. Ein Schachbrett zeigte die Züge beider Spieler und konnte nur vom Publikum und vom Schiedsrichter gesehen werden. Die Spieler saßen Rücken an Rücken und konnten die Züge des Gegenspielers nicht sehen. Der Schiedsrichter teilte ihnen lediglich mit, wenn sie einen illegalen Zug machten und wenn ein Spielstein geschlagen wurde.

Hex

Eine Reihe von Mitstudenten können sich daran erinnern, damals in Princeton gedacht zu haben, Nash würde seine gesamte Zeit in der Finehall mit dem Spielen von Brettspiele verbringen. Nash, der Schach in der High School gespielt hatte, spielte sowohl go als auch Kriegsspiel, letzteres öfters mit Steenrod.
Im Herbst 1949 verblüffte Nash jeden, indem er ein extrem intelligentes Brettspiel erfand, das schnell zum Lieblingsspiel im Gemeinschaftsraum wurde. Der Däne Piet Hein, hatte das Spiel ein paar Jahre vor Nash erfunden. Aber Nashs Erfindung des Spieles scheint komplett unabhängig hiervon gewesen zu sein. Es sollte von Parker Brothers Mitte der Fünfziger als Hex vertrieben werden.
Das folgende Bild zeigt das Original Hex-Spielebrett aus den Fünfzigern:

“Hex

Also was genau ist Hex, wie spielt man es, und was macht das Spiel so besonders?
Erstens ist Hex ein Spiel für zwei Personen, das auf einem n x n - Brett dessen Spielfelder sechseckige Waben sind, die einen Rhombus bilden, gespielt wird. Es gibt verschiedene Spielbrettgrößen. Das originale Parker Brothers Bord ist ein 11 x 11 Board, das als Standardgröße gilt. Zwei schmalere 4 x 4 Bretter sind im folgenden dargestellt:

“Hex

Jeder Spiele bekommt ein gegenüberliegendes Paar von Spielbretträndern zugewiesen sowie eine Anzahl von Spielsteinen. Die Spieler setzen nacheinander in jeder Runde einen ihrer Spielsteine auf ein beliebiges leeres Feld bis ein Spieler einen zusammenhängenden Pfad aus eigenen Spielsteinen gebildet hat, der seine beiden Seiten verbindet. Das rechte Bild zeigt ein von Spieler Blau gewonnenes Hex-Spiel.
Piet Hein und Nash zeigten jeder unabhängig voneinander, dass Hex nicht in einem Unentschieden enden kann, und dass eine Gewinnstrategie für den Beginner existiert. Für kleine Feldgrößen, etwa von 3 x 3 - Feldern ist es einfach nur eine Fleißaufgabe eine Gewinnstrategie zu finden, mit zunehmender Feldgröße wird dieses Unterfangen sehr schnell sehr schwer. Jing Yang war der erste, der eine Gewinnstrategie für Felder der Größe 7, 8 und 9 fand. Für größere Felder existiert bis jetzt keine bekannte Gewinnstrategie.
Hex kann auch auf unsymmetrischen m x n - Bretten gespielt werden. In diesem Fall kann der Spieler der schmaleren Seite immer gewinnen und die Gewinnstrategie lässt sich leicht finden.
Hex ist ein wunderschönes Beispiel eines so genannten zero-sum Zweipersonenspiels mit vollständiger Information, in dem ein Spieler immer eine Gewinnstrategie hat. Schach und tic-tac-toe sind auch zero-sum Zweipersonenspiele mit vollständiger Information, aber sie können mit einem Unentschieden enden. Anders als bei tic-tac-toe wird, auch wenn beide Spieler versuchen zu verlieren, immer einer von ihnen gewinnen, ob sie wollen oder nicht. Hex modelliert folgenden Zusammenhang: Man stelle sich einen elektrischen Kreis vor, wobei Spieler 1 versucht diesen zu durchbrechen und Spieler 2 versucht diesen zu vervollständigen. Am Ende des Spieles kann nur einer der Zustände Strom fließt bzw. Strom fließt nicht, also Spieler 2 gewinnt bzw. Spieler 1 gewinnt, vorherrschen.
Hex ist charakterisiert durch eine außerordentliche kombinatorische Komplexität, aber auch durch extreme Klarheit, denn jeder Spielstein hat die gleiche Stärke und Bedeutung, das Spielbrett ist absolut gleichmäßig aufgeteilt, die Ziele des Spiels sind klar definiert, und es ist oft möglich ein Dutzend oder mehr Züge im Voraus zu planen.

Spielerfolg

Viele große Mathematiker haben sich kleine Spiele und Rätsel ausgedacht, aber es fällt schwer, auch nur einen einzigen zu finden, der ein Spiel entwickelt hat, das andere Mathematiker intellektuell faszinierend und ästhetisch anziehend finden und das auch Nichtmathematiker gern spielen würden. Die Erfinder von Spielen wie Schach, Kriegsspiel oder go, sind schon lange Zeit tot und scheinen unnahbar, dank einem Nebel, der aus der langen Zeitspanne und dem allgemeinen Mysterium entsteht.
Nashs Spiel war seine erste echte Erfindung und der erste harte Beweis seiner Genialität.
Das Spiel wäre ohne das Zutun von David Gale, einem Absolventen und Spielefanatiker in Princeton, der mit Kuhn und Tucker das wöchentliche Spieltheorie-Seminar leitete, wohl nie im Aufenthaltsraum der Finehall aufgetaucht.
Eines Morgens suchte Nash, der von Gales Interesse an mathematischen Puzzles und Spielen wusste, diesen auf. „Gale“, sagte er, „Ich habe ein Beispiel für ein Spiel mit perfekter Information. Es gibt dabei kein Glück nur pure Strategie. Ich kann beweisen, dass der Spieler der beginnt immer gewinnt, aber ich habe keine Ahnung, was seine Strategie sein wird. Wenn der Anfänger dieses Spiel verliert, dann deswegen, weil er einen Fehler gemacht hat.“
Gale der sofort von Nashs Entdeckung begeistert war, begann damit ein Spielbrett zu designen und anzufertigen. Er war es auch, der das Spiel einigen Fabrikanten vorführte, die jedoch alle dachten, das Spiel würde sich niemals verkaufen.
Im Gegensatz zu den Fabrikanten war die mathematische Fakultät Princetons wesentlich begeisterter. Unter dem Namen „John“ oder auch „Nash“ wurde es schnell zum meist gespielten Spiel in der Finehall.

Ein weiteres Spiel, das Nash und eine kleine Gruppe von Studienanfänger in Princeton kreierte und spielte war „Fuck your Buddy“ - ein Spiel in dem es darum ging Koalitionen mit Mitspielern zu formen und diese im richtigen Moment zu lösen. Es ging um geschicktes Bluffen, Täuschen und Betrügen. Das Spiel wurde später unter dem Namen „so long sucker“ veröffentlicht. Gespielt wird es mit verschiedenfarbenen Pokerchips. Nash und die anderen stellten mehrere Regeln auf um zu gewährleisten, dass die Spieler zwar Bündnisse eingehen, diese aber später zu ihrem Vorteil brechen würden.
Das Ziel des Spieles war es eine Atmosphäre des Misstrauens durch eine Art psychologische Kriegsführung zu kreieren.
Die genauen Spielregeln finden sich unter: http://www.lucs.lu.se/Courses/Spel/Parlor/Sucker.html

Spieltheorie

In Princeton hatte sich seit 1920 ein neuer Zweig der Mathematik entwickelt - die Spieltheorie. Von Neumann führte damals eine systematische Theorie rationellen menschlichen Verhaltens ein, die sich einfacher Spiele bediente, um die menschliche Rationalität und Handlungsweise zu beschreiben und zu bewerten. Von Neumanns Fokus lag hierbei eindeutig auf dem Handeln und Interagieren von Wirtschaftssubjekten. Jedoch dauerte es bis 1944, bis das Buch von Morgenstern und von Neumann „The Theory of Games and Economic Behavior“ erschien. Mathematiker waren schon immer von Spielen fasziniert gewesen, und Spiele waren nicht zu letzt eine treibende Kraft für die Entwicklung der Wahrscheinlichkeitstheorie. Von Neumann war mit seinem Buch der erste, der eine vollständige mathematische Definition und Beschreibung von Spielen bereitstellte und ein fundamentales Ergebnis, das sogenannte min-max-Theorem. Das min-max-Theorem sagt aus, dass es immer ein rationale Lösung für einen präzise definierten Konflikt (d.h. mit den Mitteln definiert, die Von Neumann in seinem Buch darstellte) zwischen zwei Personen, deren Interessen gegensätzlich sind, gibt. Es gibt eine rationale Lösung, wenn beide Parteien sich überzeugen können, dass sie unter den gegebenen Umständen des Konflikts nicht besser handeln können.


Von Neumanns Buch, das natürlich ein häufiges Gesprächsthema im Gemeinschaftsraum der Finehall war, dürften Nashs Interesse an der Thematik geweckt haben. Nash besuchte im Folgenden eine Vorlesung von Neumanns und wurde bald einer der regelmäßigen Besucher des Seminars zur Spieltheorie, das donnerstags um 5 stattfand und von Tucker geleitet wurde.
Nash musste damals wohl klar geworden sein, dass die Bibel, wie von Neumanns Buch auch genannt wurde, zwar mathematisch innovativ war, jedoch keine fundamentale neue Theoreme neben dem verblüffenden min-max-Theorem enthielt.
Nash musste realisiert haben, dass von Neumann weder eines der großen offenen Probleme der Spieltheorie gelöst hatte, noch wichtige Fortschritte in der Spieltheorie selber gemacht hatte. Der Hauptteil von „The Theory of Games and Economic Behavior“ bezog sich auf Nullsummenspiele für zwei Personen. Diese Art Spiele haben jedoch kaum Relevanz für sozialwissenschaftliche Problemstellungen, weil sie Spiele totalen Konfliktes sind.

Von Neumanns Theorie von Spielen mit mehr als zwei Spielern, die einen weiteren großen Teil des Buches ausmachten war unvollständig. Er konnte nicht beweisen, dass eine Lösung für alle solchen Spiele existierte. Die letzten 80 Seiten der „von Neumann-Bibel“ behandelte Nicht-Nullsummenspiele, allerdings reduzierte von Neumann solche Spiele lediglich auf Nullsummenspiele, indem er einen fiktiven Spieler einführte, der den Gewinn einstrich und oder den Verlust ausglich.
Ein Rezensent schrieb zu von Neumanns Buch: „ Dieses Buch hilft, aber es war nicht ausreichend für eine vollständige und adäquate Behandlung des Nullsummenfalls. Leider sind gerade diese Art der Spiele in der Praxis am hilfsreichsten.

Bargaining Problem


Für den ambitionieren, jungen Mathematiker Nash müssen die Lücken in von Neumanns Buch faszinierend und irritierend zu gleich gewesen sein. Von Neumanns Scheitern bei der Formulierung einer lückenlosen mathematischen Theorie, die sowohl Nullsummenspiele, als auch Nichtnullsummenspiele adäquat behandelt, muss wohl eine Art Schlüsselerlebnis für Nash gewesen sein und ein Auslöser sich stärker mit dem Thema zu beschäftigen.
Die Arbeit Nashs auf diesem Gebiet sollten schon bald Früchte tragen. 1950 gelang es ihm das sogenannte Bargaining Problem zu lösen. Der Wirtschaftswissenschaftler, der 1881 als erstes das Bargaining Problem formulierte, war Francis Edgeworth. Edgeworth und einige seiner viktorianischen Zeitgenossen waren die ersten, die die historische und philosophische Tradition von Smith, Ricardo und Marx abstreiften und versuchten, die Wirtschaftswissenschaften auf ein solides mathematisches Fundament zu stützen.
Edgeworth sah die Menschen als so viele nach Gewinn und Verlust handelnde Wirtschaftseinheiten, dass die wirtschaftliche Welt eine Welt des perfekten Wettbewerbs war. Diese Welt hatte auch Eigenschaften, die vorteilhaft für mathematische Berechnungen waren, hauptsächliche eine undefinierte Vielzahl und Teilbarkeit, analog zu der von Unendlichkeit und des unendlich Kleinen, die einen so großen Teil der Mathematik ausmacht.
Der schwache Punkt in Edgeworths Definition war, dass sich Menschen eben einfach nicht die ganze Zeit kompetitiv verhalten. Ebenso oft wie sie konkurrierten kooperierten sie. Edgeworths mathematischen Methoden deckten die Ergebnisse von Konkurrenz ab, jedoch nicht die Konsequenzen von Kooperation.
Das erste Prinzip der Wirtschaftswissenschaften ist, dass jedes Wirtschaftssubjekt in seinem Handeln nur von Selbstinteresse bestimmt ist. Eine Wirtschaftseinheit kann mit oder ohne der Zustimmung derjenigen, die von seinem Handeln betroffen sind handeln.
Offensichtlich gründet sich der Wille zur Kooperation darauf, dass gemeinsames Handeln mehr persönlichen Nutzen bringt, als alleine zu handeln. Die Parteien müssen zu einer Einigung kommen, wie sie den Gewinnkuchen unter sich aufteilen. In welchem Verhältnis diese Teilung erfolgt, hängt dabei von der Macht der Verhandelnden ab. Aus der Vielzahl von möglichen Aufteilungen, die dieses sehr allgemeine Kriterium erfüllen, muss also diejenige Lösung gefunden werden, der die Parteien letztendlich zustimmen würden. An diesem Punkt gab Edgeworth sein Scheitern mit dem nüchternen Satz „Die Antwort auf diese Frage ist: Eine Einigung ohne Wettbewerb ist nicht deterministisch.“ zu.
Im Folgenden haben sich ein halbes Dutzend berühmter Wirtschaftswissenschaftler, unter ihnen John Hicks, Alfred Marshall und F. Zeuthen mit dem Bargaining Problem von Edgeworth beschäftigt, aber auch sie gaben verzweifelt auf. Von Neumann und Morgenstern vermuteten, dass die Antwort in der Neuformulierung des Problems als ein Strategiespiel zu finden sei, jedoch waren sie nicht in der Lage dieses Spiel zu formulieren.
Nash benutzte einen komplett neuen Ansatz um das Problem, wie zwei rationale Wirtschaftssubjekte in einem Handel interagieren würden, anzugehen. Anstatt zu versuchen eine Lösung auf direktem Wege anzugeben, begann er damit eine Menge von vernünftigen Bedingungen zu formulieren, die jede plausible Lösung erfüllen müsste. Dann versuchte er auf Basis dieser Bedingungen zu einer Lösung zu kommen.
Dies wird axiomatische Methode genannt - eine Methode, die 1920 Einzug in die Mathematik hielt und von Von Neumann in seinem Buch über Quantentheorie benutzt wurde.
Wir erinnern uns, dass Edgeworth das Bargaining Problem als nichtdeterministisch bezeichnet hatte. In anderen Worten, wenn alles was wir über die Handelnden wissen, ihre Präferenzen sind, dann können wir nicht vorhersagen wie sie sich verhalten würden bzw. wie sie den Gewinnkuchen aufteilen würden. Der Grund für den Nichtdeterminismus lag auf der Hand. Es gab nicht genug Information, also musste man zusätzliche Annahmen treffen. Nashs Theorie setzt voraus, dass beide Seiten Erwartungen über das Verhalten der anderen Partei haben, die sich auf die Eigenschaften der Handelsituation stützen. Die Essenz einer solchen Handelsituation sind zwei Individuen, die mehr als eine Möglichkeit zur Zusammenarbeit haben. Wie sie den Gewinn aus der Zusammenarbeit aufteilen werden, hängt davon ab, wieviel der Handel für jeden der Beiden wert ist. Nash begann sich zu fragen, welche vernünftigen Bedingungen jeder Ausgang des Handels, d.h. jede Mögliche Aufteilung des Kuchens erfüllen müsste. Dann stellte er 4 solcher Bedingungen auf und zeigte unter der Benutzung eines genialen mathematischen Arguments, dass falls seine Axiome erfüllt seien, eine einzige Lösung (Aufteilung) existierte, die den Gewinn beider Parteien maximierte.
Das Bemerkenswerte an Nashs Arbeit zum Bargaining Problem ist nicht seine Schwierigkeit, Tiefe, Eleganz oder Allgemeinheit, sondern dass es schlichtweg eine Antwort auf eine wichtige Frage gibt.
Nachdem Nash seinen Ansatz zum Bargaining-Problem in Tuckers Seminar vorgestellt hatte, wurde er von Oskar Morgenstern dazu gedrängt darüber ein Papier zu verfassen. Das Papier wurde 1950 in einem führenden Fachjournal für mathematische Ökonomie, Econometria, veröffentlicht.

Gleichgewichtstheorem

Im selben Jahr in dem seine Arbeit zum Bargaining-Problem veröffentlicht wurde, gelang es Nash mit seiner Doktorarbeit dem Gebiet der Spieltheorie zu einem weiteren wichtigem Fortschritt zu verhelfen. Im Oktober 1949 stürmte Nash in David Gales Büro. „Ich denke ich habe eine Weg gefunden von Neumanns min-max-theorem zu verallgemeinern“ platzte es aus ihm heraus. „Meine Idee funktioniert mit jeder Anzahl von Spielern und es braucht kein Nullsummenspiel zu sein.“
Gale realisierte, dass Nashs Idee auf eine breitere Klassen von realitätsnahen Situationen angewendet werden konnte als von Neumanns min-max-Theorem. Aber Gale war weniger beeindruckt von der möglichen Anwendung von Nashs Theorie, als von seiner Eleganz und Allgemeinheit. „Die Mathematik, die dahinter steckte, war so schön. Es war so absolut mathematisch.“
Gale drängte Nash dazu seine Ideen zu Papier zu bringen. „Ich sagte ihm dies sollte oberste Priorität haben und dass ich der Meinung war, dies sollte seine Doktorarbeit werden.“ Er trieb Nash an so schnell wie möglich zu handeln, bevor ein anderer auf dieselbe Idee kam. Er schlug Nash vor, ein Mitglied der National Academy of Sciences zu bitten, den Beweis an die Herausgeber der monatlichen Zeitung der Academy weiterzuleiten. Gale erinnerte sich; „Nash war nicht bodenständig genug. Er wäre nie auf die Idee gekommen so etwas zu tun.“ Nash gab Lefschetz seinen Beweis, der nachdem dieser ihn an die NAS weitergeleitete hatte, in der Novemberausgabe erschien.

Strategische Spiele

Die gesamte Spieltheorie gründet sich auf zwei Theoremen: von Neumanns min-max-Theorem von 1928 und Nashs Gleichgewichtstheorem von 1950. Man kann Nashs Theorem als eine Verallgemeinerung des min-max-Theorems bezeichnen, aber auch als radikale Abkehr von eben diesem. Von Neumanns Theorem war der Eckstein seiner Theorie für Spiele mit vollständiger Konfrontation, so genannte Zwei-Personen-Nullsummenspiele. Allerdings haben diese Art von Spielen praktisch keine Relevanz in der Realität. Selbst im Krieg kann aus einer Kooperation Nutzen gezogen werden. Nash führte den Unterschied zwischen Kooperativen und nicht-kooperativen Spielen ein. Kooperative Spiele sind Spiele in denen die Spieler Koalitionen mit anderen Spielern formen können. Mit anderen Worten können sie sich als Gruppe gewissen gemeinsamen Zielen und Strategien vollständig unterordnen. Im Gegensatz dazu ist in nichtkooperativen Spielen kollektives Handeln unmöglich. Es gibt also keine durchsetzbaren Übereinkommen. Indem Nash die Theorie dahingehend erweiterte, dass sie Spiele enthielt, die aus einen Mix aus Kooperation und Wettbewerb bestanden, gelang es ihm die Spieltheorie anwendbar zu machen für Problemstellungen der Wirtschaftswissenschaften, der Politik, der Soziologie und der evolutionären Biologie.
Obwohl Nash, dasselbe Muster wie von Neumann benutzte, ist sein Ansatz total verschieden. Mehr als die Hälfte von von Neumanns Buch behandelt kooperative Theorie. Des Weiteren besitzt von Neumanns Lösungskonzept nicht für jedes Spiel eine Lösung. Im Gegensatz dazu, gelang es Nash auf 6 Seiten zu beweisen, das seine Theorie für jedes nicht kooperative Spiel mit jeder Anzahl von Spielern mindestens einen Nash-Gleichgewichtspunkt enthält.

Um die Schönheit von Nashs Arbeit zu verstehen, muss man mit der Vorstellung beginnen, das gegenseitige Abhängigkeit das hauptsächliche Merkmal von strategischen Spielen sind. Das Ergebnis eines Spiels für einen Spieler hängt davon ab, was all die anderen Spieler tun und umgekehrt. Spiele wie Tic Tac Toe und Schach beinhalten eine Art von Abhängigkeit. Die Spieler ziehen rundenweise, und jeder ist sich der Züge des anderen bewusst. Jeder Spieler versucht herauszufinden, wie der andere Spieler auf seinen Zug antworten wird und wie er dann diesen Zug des Gegners wiederum beantworten wird, usw.. Das Prinzip ist hierbei vorauszuschauen, wie sich das Spiel entwickeln könnte, und dann aus diesen Einsichten Schlüsse für den aktuellen Zug zu ziehen. Der Spieler antizipiert, wie seine Entscheidung das zukünftige Spielgeschehen beeinflussen wird, und benutzt diese Information, um seine aktuell beste Entscheidung zu treffen. Im Prinzip kann jedes Spiel, das nach einer endlichen Anzahl von Zügen endet, auf diese Art komplett gelöst werden. Die beste Strategie des Spielers ist deterministisch festgelegt, wenn der Spieler jede mögliche Folge seines Zuges in die Kalkulation mit einbezieht. Beim Schach sind die Berechnung jedoch, im Gegensatz zum Tic Tac Toe, viel zu kompliziert für das menschliche Gehirn und auch für Computerprogramme. Die Spieler schauen ein paar Züge in die Zukunft und versuchen aufgrund dieser Überlegungen und auf der Basis von Erfahrung, ihren aktuell besten Zug auszuwählen.
Spiele wie Poker auf der anderen Seite beinhalten simultane Züge. Im Gegensatz zu der linearen Kette von Zügen, die bei sequentiellen Spielen auftreten, beinhalten Spiele mit gleichzeitigen Zügen einen logischen Zyklus. Obwohl die Spieler zur selben Zeit handeln, also quasi nicht über die Züge der Gegner bescheid wissen, ist jeder Spieler dazu gezwungen darüber nachzudenken, was die anderen Spieler wohl machen könnten und was diese denken, wie ich mich verhalte. Poker beispielsweise ist ein Beispiel für den unendlichen Kreislauf von: „Ich denke, dass er denkt, dass ich denke, dass er denk, .....“. Solch kreisläufiges Überlegen scheint keine Lösung zu haben. Nash durchbrach den Kreis, mit seinem Konzept des Gleichgewichts, wobei jeder Spieler seine beste Antwort auf die Züge seiner Gegner auswählt. Die Spieler suchen nach einer Menge von Zügen, so dass der Zug jedes Spielers der beste für ihn ist, wenn alle anderen ihre besten Züge spielen.
Manchmal ist der Zug eines Spielers sein bester, unabhängig davon, was die anderen tun. Dieser Zug wird dann eine dominante Strategie für diesen Spieler genannt. In anderen Situationen kann es möglich sein, dass ein Spieler unabhängig davon was die anderen Spieler tun, beim Spielen eines Zuges immer schlechter dasteht. Man nennt diesen Zug dann eine dominierte Strategie Dies sind jedoch spezielle und sehr seltene Fälle. In den meisten Fällen hängt die beste Entscheidung eines Spielers davon ab, was die anderen tun.
Nash definierte ein Gleichgewicht als eine Situation, in der kein Spieler seine Position durch Wahl einer Alternativen Strategie (eines alternativen Zuges) verbessern konnte, ohne dass die besten Strategien eines jeden Spielers zu einem kollektiv besten, optimalen Ergebnis führten. Er bewies, dass für eine sehr breite Klasse von Spielen mit beliebiger Anzahl an Spielern mindestens ein Gleichgewicht existiert.
Heutzutage ist Nashs Gleichgewichtsprinzip für strategische Spiele eines der Paradigmen der Sozialwissenschaften und der Biologie. Es ist im Wesentlichen seine Errungenschaft, dass die Spieltheorie als eine mächtige und elegante wissenschaftlich Methode akzeptiert wurde. Wie viele andere wissenschaftlichen Ideen, von Newtons Theorie der Gravitation bis zu Darwins Theorie der natürlichen Selektion, erschien auch Nashs Theorie anfangs zu einfach um wirklich von Interesse zu sein, zu schmal um wirklich anwendbar zu sein und später zu offensichtlich, so dass seine Entdeckung durch jemand geradezu überfällig erschien.

Im RAND-Projekt

Nash der sich mit Steenrods Hilfe bereits bei seiner Immatrikulation in Princeton vor dem Militärdienst erfolgreich hatte drücke können, fürchtete auf dem Höhepunkt des kalten Krieges 1950 eventuell doch zum Militärdienst eingezogen zu werden, da er zu diesem Zeitpunkt bereits seine Doktorarbeit fertig gestellt hatte.
Wieder einmal wandte sich Nash mit seinen Befürchtungen an verschiedene Fakultätsmitglieder, die ihm daraufhin tatsächlich einen Posten in einem militärischen Forschungsprojekt besorgten, namentlich der RAND Corporation. Die RAND Corporation war ein ziviler Think-tank in Santa Monica, den die Air Force betrieb und in dem brilliante Akademiker anhand von Szenarien über Nuklearkriegen mit der neuen Spieltheorie herumexperimentierten. Nichts Vergleichbares wie die RAND Corporation hat vorher oder seitdem existiert. Die Angestellten von RAND waren dazu da, das Undenkbare zu durchdenken. RAND zog einige der hellsten Köpfe aus den Bereichen Mathematik, Physik und den Sozialwissenschaften an. Als der Kalte Krieg mit dem Koreakrieg 1950 seinen Höhepunkt erreichte, gründete die Air Force eine private nichtkommerzielle Organisation außerhalb des militärischen Apparates, die Akademiker anlocken sollte, um deren Wissen und Brainpower für das Militär zu erschließen. Das RAND-Projekt, das für research and development stand, war geboren.
Die Probleme die das Militär von den Wissenschaftlern gelöst haben wollte, verlangten nach neuen mathematischen Theorien und Techniken, weswegen es eine starke Fraktion von Mathematikern bei RAND gab. Die schiere Innovationskraft und Modernität der Mathematik und Forschung bei RAND zog weitere Wissenschaftler und Akademiker an.
Die Atmosphäre in Santa Monica war sehr informell. Es ging auf gewisse Weise legerer zu als an einer Universität. Fast jeder, sogar von Neumann wurde bei seinem Vornamen gerufen. Absolventen arbeiteten Hand in Hand mit Professoren, auf eine Art, die in den meisten akademischen Fakultäten undenkbar wäre. Der Präsident von RAND, ein früherer Manager von Douglas Aircraft, war ein umgänglicher Mann, den man fast nie in einem Anzug sah. Bis auf ein oder zwei Akademiker, unter ihnen Nash, kamen fast alle in T-shirts. Die Mathematiker waren, wie gewöhnlich die freiesten Geister in diesem Haufen. Sie hatten keine festen Arbeitszeiten. Wenn sie um 3 Uhr nachts in ihr Büro wollten, so war das kein Problem. Das RAND-Gebäude hatte 24 Stunden am Tag geöffnet und an den Kaffeestationen stand rund um die Uhr Servicepersonal bereit, um die Wissenschaftler mit Kaffee zu versorgen. Shapeley, ein Mitstudent Nashs aus Princeton, bestand auf seinen etwas merkwürdigen Schlafzyklus und war selten vor dem späten Nachmittag anzutreffen. Hastings ein Elektroingenieur, schlief in einer Kammer neben seinem geliebten Computer. Die Mittagessen waren sehr ausgedehnt und es kam oft vor, dass die Mathematiker ihr Mittagessen in einem Konferenzraum zu sich nahmen und anschließen Schach oder Kriegsspiel spielten. Anders als die Physiker und Ingenieure, arbeiteten die Mathematiker meistens alleine. Die Idee war, dass die Mathematiker nach eigenem Gutdünken mathematische Probleme, die im Rahmen der Forschungsarbeit auftraten, lösen sollten und so quasi den Physikern und Ingenieuren mathematische Schützenhilfe leisten sollten. Das RAND-Gebäude war designt worden, um zufällige Begegnungen zwischen Wissenschaftlern zu maximieren. Bei solchen Zusammentreffen tauschte man sich über die neuesten Ergebnisse aus, und Mathematiker wurden auf mathematische Probleme hingewiesen. Das meiste der Forschungsarbeit wurde nicht förmlich festgehalten und existierte meist nur als handschriftliche Notizen in den Büros der Akademiker.
Jeder bei RAND kannte Nash bald vom Sehen. Er streifte stundenlang gedankenverloren durch die Gänge, wobei er üblicherweise an einem leeren Kaffeebecher herumkaute oder eine Melodie vor sich herpfiff. Wenn er jemanden traf, den er kannte, so würdigte er nur selten dessen Anwesenheit oder grüßte ihn gar mit Namen. Selbst wenn er angesprochen wurde reagierte er nicht immer auf den Redner. Sein Ruf als herausragender Problemlöser war ihm vorausgeeilt, und Mathematiker, die an schweren mathematischen Problemen verzweifelten, lernten schnell, sich einfach in seinen Weg zu stellen, um seine Aufmerksamkeit zu erlangen. Sie erkannten schnell, dass Nashs Neugier leicht geweckt werden konnte, vorausgesetzt das Problem war für ihn interessant und der Sprecher mathematisch kompetent. Nash war normalerweise mehr als gewillt mit in das Büro desjenigen zu kommen und sich mit einer Tafel voller Gleichungen zu beschäftigen.
Ein Mathematiker namens Alex Mood war einer der ersten, die das ausprobierten. Mood kam zu Nash mit einem Problem, das er seit einer fehlgeschlagenen Doktorarbeit mit sich herumtrug. Er hatte eine bessere Variante eines berühmten Beweises für dieses Problem gefunden, jedoch war sein Beweis viel zu lang, zu kompliziert und zu unelegant. Konnte Nash einen einfacheren und kürzeren Beweis erbringen? Nash hörte ihm zu, starrte kurz ins Leere und ging ohne ein weiteres Wort zu verlieren aus Moods Büro. Am nächsten Tag jedoch, war er zurück mit einer cleveren und total unerwarteten Lösung. Er hatte die ganze Induktion umgangen, indem er die ganzen Zahlen durch Variablen, die er gegen einen Grenzwert laufen lies, ersetzte. Mood war so fasziniert von Nashs mathematischem Stil, das er in einem späteren Interview sagte: „Wenn Nash ein Problem entdeckte, dann setzte er sich hin und begann damit, es sofort zu attackieren. Er suchte nicht, wie viele seiner Kollegen, in der Bibliothek nach mit dem Thema verwandten Arbeiten.“ Auch Williams der Leiter von RAND war von Nash fasziniert. Er erzählte anderen regelmäßig, dass Nash größere Einsichten in die Struktur der Mathematik hatte als jeder andere Mathematiker, den er kannte. Eine außergewöhnliche Bemerkung von einem Mann, der ein Vertrauter Von Neumanns war und die späten 30er in der Finehall in Princeton verbracht hatte. Er sagte über Nash: „Er wusste welche der hunderttausend Faktoren in einem Problem die Wichtigsten waren. Wenn er in einem Büro still auf eine Tafel vollgequetscht mit Gleichungen starrte und plötzlich, wie aus dem Nichts, das ganze Problem löste, dann war das wie ein Wunder - ein mathematisches Wunder. Nash konnte die Struktur sehen.“

Duelle

Die Spieltheorie wurde von Anfang an groß geschrieben in Santa Monica. Militärstrategen waren die ersten, die die Ideen der Spieltheorie für ihre Zwecke zu nutzen versuchten. Viele Wirtschaftswissenschaftler ignorierten zunächst die Spieltheorie und die paar die das nicht taten, hatten signifikanten Kontakt zum Militär. Ein Artikel von John McDonald in der Zeitschrift Fortune im Jahre 1949 machte klar, dass das Militär hoffte von Neumanns Theorie der Spiele zu benutzen um Aufklärungsmissionen, nukleare Verteidigungsstrategien und Bombereinsätze zu entwerfen. Spieltheorie wurde bereits während des zweiten Weltkrieges benutzt um Taktiken zur U-Boot-Abwehr zu entwerfen als deutsche U-Boote Amerikanische Militärtransporter zerstörten.
Zu der Zeit als Nash in Santa Monica ankam, hatte sich eine Forschungsgruppe, die sich hauptsächlich mit Spieltheorie befasste, gebildet. Ihr gehörten Spieltheoretiker wie Lloyd S. Shapley, J. C. McKinsey, N. Dalkey, F. B. Thompson oder H. F. Bohnenblust, reine Mathematiker wie John Milnor, Statistiker wie David Blackwell, Sam Karlin oder Abraham Girschick und Wirtschaftswissenschaftler wie Paul Samuelson, Kenneth Arrow oder Herbert Simon an. Die Spieltheorie wurde meist dazu verwendet Kampftaktiken für das Schlachtfeld zu entwerfen. Luftkämpfe zwischen Kampfjägern und -bombern wurden als Duelle modelliert. Das strategische Problem in einem Duell ist das Timing. Der erste Schuss jedes Duellanten maximiert die Wahrscheinlichkeit, dass dieser Schuss nicht trifft. Aber ein zu langes Warten erhöht auch die Wahrscheinlichkeit getroffen zu werden. Die Frage ist, wann man feuern sollte. Es gibt einen Kompromiss. In dem jeder Duellant ein bisschen länger wartet, erhöht er seine Chance für einen Treffer, aber es erhöht sich auch die Gefahr abgeschossen zu werden. Solche Duelle können still oder laut sein. Mit leisen Waffen wissen die Duellisten nicht, ob der andere gefeuert hat, bis sie getroffen werden. Also weiß keiner von beiden, ob der andere noch Munition hat oder seinen Schuss schon abgegeben hat und nun schutzlos ist.
Ein Beispiel für ein Szenario für gestaffelte Bomberangriffe ist folgendes Problem:

\stress\ Problem:
Gegeben: eine Basis mit Abfangjägern, die I Kampfflugzeuge hat. Jedes Kampflugzeug hat eine gegebene Reichweite. Wenn ein Kampfflugzeug das wegen einem Bomberangriff ausgerückt ist, noch nicht sein Ziel ange\-
griffen hat, so kann es wieder zurückgerufen werden, um für einen zwei\-
ten Angriff zur Verfügung zu stehen.
Der Angreifer hat eine Staffel von N Bombern und A Bomben. Der Angreifer wählt zwei Punkte aus, die er angreifen will, und schickt N_1 Bomber mit A_1 Bomben für den ersten Angriff. t Minuten später sendet er N_2=N-N_1 Bomber mit A_2=A-A_1 Bomben für den zweiten Angriff.
Die Auszahlungen für den Angreifer sind die Anzahl der Bomber die nicht durch die Kampfflugzeuge zerstört werden.
\stress\ Lösung:
Beide Spieler haben optimale Strategien. Eine optimale Strategie des Angreifers ist es beide Ziele gleichzeitig anzugreifen und die A Bomben in Proportion zu der Anzahl der Bomber aufzuteilen.
Eine optimale Strategie für den Verteidiger ist es die Abfangjäger in Proportion zu der Anzahl der angreifenden Bombern loszuschicken und
keine Jäger zurückzurufen.
Der Wert des Spiels für den Angreifer ist: V=Max(0, A*(1-1/N*k))
Wobei k die Wahrscheinlichkeit ist, dass ein Abfangjäger einen Bomber abschießt.

Verhandlungsmodelle

In seinen 4 Jahren bei RAND gelang es Nash unter anderem ein Problem zu lösen, an dem er und Shapeley bereits in Princeton gearbeitet hatten. Das Problem bestand darin ein Verhandlungsmodell zwischen zwei Parteien zu modellieren, welche entgegengesetzte oder kollidierende Interessen hatten, mit dessen Hilfe die Spieler herausfinden konnten, welche Drohungen sie der anderen Seite entgegenwerfen sollten, um sie dazu zu bewegen, auf den Deal einzugehen.
Anstatt die Lösung axiomatisch herzuleiten, d.h. eine Reihe von Bedingungen aufzulisten, die eine vernünftige Lösung erfüllen muss und dann zu beweisen, dass diese Bedingungen wirklich zu einem einzigen Ergebnis führen, modellierte Nash einen 4-stufigen Verhandlungsablauf:
Stufe 1:
Jeder Spieler wählt eine Drohung aus. Das ist etwas, das derjenige Spieler wahr macht, wenn in den Verhandlungen kein Ergebnis erzielt wird. Die Verhandlung scheitert, wenn die Forderungen beider Seiten nicht kompatibel sind.

Stufe 2: Die Spieler informieren einander über ihre Drohungen.

Stufe 3
eder Spieler wählt eine Forderung aus. Eine Forderung ist ein Ergebnis der Verhandlung, das für ihn eine gewisse Quantität wert ist. Wenn der Handel ihm diese Quantität nicht gewährt, willigt er in den Handel nicht ein.

Stufe 4:
Wenn es sich herausstellt, dass ein Kompromiss (Handel) existiert, der den Forderungen beider Spieler genügt, dann bekommen die beiden Spieler das, was sie in ihrer Forderung formuliert haben. Ansonsten müssen die Drohungen ausgeführt werden.
Es stellt sich heraus, dass ein solches Spiel eine unendliche Anzahl von Nash-Gleichgewichten hat, aber Nash hatte ein cleveres Argument dafür, dass ein einziges stabiles Gleichgewicht existierte, dass mit der Lösung des Bargaining-Problems übereinstimmte, welche er vorher axiomatisch gefunden hatte. Er zeigte, dass jeder Spieler eine optimale Drohung besitzt. Dies ist eine Drohung die gewährleistet, dass der Handel zustande kommt, egal welche Strategie der andere Spieler verfolgt.

Mannigfaltigkeiten

Als Nashs letztes Jahr bei RAND endete (1954), konnte das Angebot einer festen Anstellung seitens des Leiters von RAND ihn nicht dazu bewegen in Santa Monica zu bleiben. Nash wollte die Freiheit besitzen sich mit jedem Gebiet der Mathematik beschäftigen zu können und sich nicht auf Spieltheorie beschränken müssen. Um das tun zu können, musste er einen Platz in der Fakultät einer führenden Universität erlangen. Als Übergangslösung arbeitete Nash in Princeton als Forschungsassistent im Institut für Marinetechnologie. Er unterrichtete außerdem einen Analysiskurs für Studienanfänger. Allerdings verbrachte Nash seine Zeit hauptsächlich mit eigenen mathematischen Arbeiten und der Suche nach einer akademischen Anstellung an einer Universität für den nächsten Herbst.
So komisch wie es klingen mag, reichte Nashs Dissertation, die ihm später einen Nobelpreis einbringen sollte, nicht aus um ihm ein Angebot der Fakultät einer führenden Universität zu garantieren. Spieltheorie genoss keinen guten Ruf unter Mathematikern. Sie galt als uninteressant und unmathematisch. Nashs Mentoren in Princeton und Carnegie waren enttäuscht von ihm, sie hatten erwartet, dass sich ihr Schützling, der einst Theoreme von Brouwer und Gauss bewiesen hatte, mit wirklich wichtigen und tief greifenden Problemen in einem abstrakten Feld der Mathematik, wie Topologie, beschäftigen würde. Sogar sein größter Anhänger, Tucker, gab zu, dass sich Nash zwar auf dem Gebiet der reinen Mathematik behaupten konnte, es jedoch nicht seine Stärke war.
In seiner Zeit in Princeton begann Nash an einem Problem zu arbeiten, von dem er hoffte es würde ihm Anerkennung als reiner Mathematiker bringen. Das Problem betraf geometrische Objekte, die Mannigfaltigkeiten genannt werden und seit jeher von großem Interesse für Mathematiker sind. Mannigfaltigkeiten waren so ein innovativer Blickwinkel auf die Welt der Mathematik, dass schon allein ihr Definieren zu einem Stolperstein für berühmte Mathematiker werden konnte. In Princeton passierte Salomon Bochner, einer der führenden Analytiker dieser Tage und ein guter Lehrer und Redner, genau dies. In einer Vorlesung fing er an eine Definition für eine Mannigfaltigkeit anzuschreiben, verhedderte sich hoffnungslos und gab schließlich auf, in dem er verzweifelt fortfuhr: „Nun sie alle wissen was eine Mannigfaltigkeit ist.“

In der ersten Dimension kann eine Mannigfaltigkeit eine gerade Linie sein, in zwei Dimensionen eine Ebene, oder die Oberfläche eines Würfel, eines Ballons oder eines Donuts. Die eigentliche Eigenschaft einer Mannigfaltigkeit ist, dass vom Blickwinkel jeder Stelle auf einem solchen Objekt die Umgebung total symmetrisch und normal aussieht im euklidischen Raum. Stellen Sie sich vor, sie wären auf die Größe einer Stecknadel zusammengeschrumpft und säßen auf einem Donut. Schauen sie sich um und es scheint, als würde sie auf einer flachen Scheibe sitzen. Gehen sie nun eine Dimension tiefer und setzen sie sich auf eine Kurve. Das Stück in ihrer Nähe sieht aus wie eine gerade Linie. Sollten sie sich auf einer dreidimensionalen Mannigfaltigkeit befinden, so würde ihre unmittelbare Umgebung wie das innere eines Balles aussehen.
Mit anderen Worten, wie das Objekt von weiten aussieht ist meist total verschieden von der Betrachtung desselben aus der näheren Umgebung.
Im Jahre 1950 gab es einen topologischen Arbeitsbereich, dessen einzige Aufgabe es war jedes Objekt als Mannigfaltigkeit neu zu definieren. Die Verschiedenartigkeit und schiere Anzahl von Mannigfaltigkeiten ist so groß, dass heute, obwohl alle zweidimensionalen Objekte topologisch als Mannigfaltigkeit definiert wurden, dies nicht annähernd für 3 oder 4-dimensionalen Objekte gilt, von denen eine unendliche Anzahl existiert. Mannigfaltigkeiten tauchen in einer Vielzahl von physikalischen Problemstellungen auf, inklusiven einiger kosmologischer Probleme, bei denen es oft sehr schwierig ist, mit ihnen umzugehen.
Bereits im Herbst 1949 machte Nash, der sich bereits seit Carnegie mit Mannigfaltigkeiten beschäftigt hatte, eine wichtige Entdeckung bezüglich Mannigfaltigkeiten und reellen algebraischen Varietäten. Die Entdeckung machte Nash lange bevor er den langen Beweis erbrachte. Er arbeitete immer auf diese Art - also quasi „rückwärts“. Er dachte über ein Problem nach - immer und immer wieder - und an irgendeinem Punkt würde er eine Einsicht haben, eine Idee, eine Vision der Lösung die er suchte. Diese Einsichten kamen typischerweise sehr früh, so wie es z.B. beim Bargainingproblem der Fall war, manchmal Jahre bevor er in der Lage war sie zu beweisen. Andere große Mathematiker, wie Riemann, Poincaré oder Wiener - arbeiteten ebenfalls auf diese Art und Weise. Ein Mathematiker, der zu beschreiben versuchte wie Nashs Verstand arbeitete, sagte: „Er gehörte zu jener Art von Mathematikern, für die die geometrischen visuellen Einsichten, den größten und stärksten Teil ihres Talents ausmachten. Er sah eine mathematische Situation als Bild in seinem Kopf. Was auch immer ein Mathematiker tut muss gerechtfertigt werden durch einen korrekten Beweis. Aber das war nicht der Weg auf dem sich Nash die Lösung erarbeitete. Stattdessen ist es ein Haufen von Eingebungen, die er zusammenfügte, um zur Lösung zu gelangen. Und einige der frühen Intuitionen manifestierten sich visuell.
Allerdings fehlten Nash noch 1950 wichtige Teile des Beweises zu seiner Entdeckung. Nash wollte den Beweis nach seiner Rückkehr von RAND vervollständigen, jedoch dränge Lefschetz Nash eine fertige Arbeit über seine Entdeckung bis zu seiner Anstellung in Santa Monica fertig zu haben. Allerdings war Steenrod, der mit Abstand beste Topologe in Princeton, zu dieser Zeit auf dem Weg nach Frankreich. Ihm fehlte ein kompetenter Ansprechpartner. Also schickte Lefschetz Nash zu Donald Spencer, ein Gastdozent, den Lefschetz von Stanford geholt hatte. Als Nash sich mit dem ersten Entwurf seiner Arbeit bei ihm meldete, hatte Spencer wenig Vertrauen, dass Nash dazu fähig war das Ziel zu erreichen, das er sich selbst gesetzt hatte. Nash tauchte jedoch monatelang einmal oder zweimal pro Woche bei Spencer auf und unterrichtete ihn über seine Fortschritte. Nash stand an der Tafel und kritzelte Gleichungen darauf und erklärte seine Ideen. Spencer saß am Schreibtisch, hörte zu und entkräftigte Nashs Argumente. Spencers anfänglicher Pessimismus verwandelte sich schnell in Respekt. Er war beeindruckt von der ruhigen, professionellen Art mit der Nash auf die Herausforderung reagierte. „Er versuchte seine fehlgeleiteten Ideen nicht zu verteidigen. Er reagierte nachdenklich auf Kritik. Er war einfach in seine Arbeit vertieft. Je mehr Spencer Nash zuhörte, desto mehr erkannte er die Originalität dieses Problems an. „Es war nicht ein Problem, das jemand Nash gegeben hatte. Man gab Nash keine Probleme. Er war ein höchst außergewöhnlicher Querdenker. Niemand sonst hätte an so ein Problem gedacht.“
Steenrod ermutigte Nash auch im September 1950 trotz des fehlenden Beweises eine kurze Rede über sein Theorem auf dem Internationalen Mathematikerkongress in Cambridge zu halten.

Durchbruch

Viele wichtige Durchbrüche auf dem Gebiet der Mathematik wurden erzielt, indem unerwartete Relationen zwischen Objekten ausgenutzt wurden, die anfangs keine Gemeinsamkeiten zu haben schienen.
Nash konzentrierte sich auf eine sehr breite Klasse von Mannigfaltigkeiten, nämlich all jene Mannigfaltigkeiten die kompakt sind (d.h. sie sind begrenzt und dehnen sich nicht bis in die Unendlichkeit aus, wie es eine Ebene beispielsweise tut, die jedoch gleichzeitig geschlossen sind wie eine Sphäre) und glatt (was bedeutet, dass sie keine scharfen Ecken oder Kanten haben, wie z.B. auf der Oberfläche eines Würfels). Seine bemerkenswerte Entdeckung war im Grunde, dass es viel einfacher war mit diesen Objekten zu hantieren, als es zunächst den Anschein hatte. Sie waren nämlich eng verwandt mit einer einfacheren Klasse von Objekten, den so genannten reellen algebraischen Varietäten. Diese Eigenschaft war etwas vollkommen Unerwartetes.
Algebraische Varietäten sind, wie Mannigfaltigkeiten, ebenfalls geometrische Objekte, allerdings sind sie Objekte, die durch eine Menge von Punkten, welche durch eine oder mehrere algebraische Gleichungen festgelegt sind, beschrieben werden. Beispielsweise repräsentiert x^2 + y^2 = 1 einen Kreis in der Ebene, während x * y = 1 eines Hyperbel darstellt. Nashs Theorem sagt nun folgendes: Für jede glatte, kompakte k-dimensionale Mannigfaltigkeit M existiert eine reelle algebraische Varietät V in R^(2k+1) und eine zusammenhängende Komponente W von V, so dass W eine glatte Mannigfaltikeit ist, die diffeomorph zu M ist. Auf gut Deutsch behauptete Nash, dass es für jede Mannigfaltigkeit möglich ist eine algebraische Varietät zu finden, so dass ein Teil von ihr mit dem ursprünglichen Objekt korrespondiert. Um diese algebraische Vielfachheit zu finden, muss man in eine höhere Dimension wechseln.
Nashs Ergebnis war eine große Überraschung. Die Mathematiker, die Nash 1996 für die National Academy of Science nominierten, drückten es so aus: „ Es wurde angenommen, dass glatte Mannigfaltigkeiten viel generellere Objekte als Vielfachheiten waren. Heute beeindruckt Nashs Theorem die Mathematiker immer noch durch seine Schönheit und Originalität. Schon das Ersinnen des zugrunde liegenden Konzeptes des Theorems ist äußerst beachtenswert.“

Genauso wie Biologen so viele Arten, die sich nur wenig voneinander unterscheiden, wie möglich finden wollen um evolutionäre Muster zu untersuchen, trachten Mathematiker danach die Lücken zwischen topologischen Räumen auf der einen Seite und den bekannten, etablierten Strukturen, wie z.B. algebraischen Varietäten, zu schließen. Ein fehlendes Glied in dieser großen Kette zu finden, wie es Nash mit seinem Theorem gelang, erschließt neue Möglichkeiten Probleme aus dem Bereich der Topologie mit bekannten Mitteln zu lösen. Barry Mazur ein Mathematiker in Harvard und Michal Artin ein Professor von MIT drückten es so aus: „Wenn man ein topologisches Problem lösen wollte, so konnte man nun, dank Nash, die Leiter ein Stück herabsteigen und Techniken aus der algebraischen Geometrie benutzen.“
Was Nashs Kollegen besonders beeindruckte, war seine Dreistigkeit und sein Mut, mit dem er eigene Ideen verfolgte und vertrat. Schon der Gedanke, dass jede Mannigfaltigkeit durch eine polynomielle Gleichung beschrieben werden kann, ist eine kaum fassbare Behauptung, schon alleine aufgrund der immensen Anzahl und der unglaublichen Vielzahl von Mannigfaltigkeiten erscheint es sehr unwahrscheinlich, dass alle auf so einfache Weise beschrieben werden können. Zu glauben, dass jemand so etwas auch noch beweisen kann grenzt an Größenwahn. Das Ziel, das Nash erreichen wollte erschien zu hoch gesteckt. Andere Mathematiker vor Nash haben Gemeinsamkeiten zwischen manchen Mannigfaltigkeiten und manchen algebraischen Varietäten entdeckt, behandelten diese Fälle jedoch als sehr speziell und unnormal.

Enttäuschung

Nashs Arbeit über algebraische Mannigfaltigkeiten etablierten ihn als Mathematiker der ersten Stunde. Jedoch reichte dies nicht aus ihm eine Lehrstelle in Princeton zu verschaffen, so wie Nash gehofft hatte. Obwohl die mathematische Fakultät in Princeton an eigene Absolventen keine Lehrstellen vergab, wurde von dieser Richtlinie in besonderen Fällen abgewichen. Im Januar machten Tucker und Lefschetz die formelle Anfrage für einen Lehrstuhlplatz für Nash. Der Antrag der Beiden war jedoch zum Scheitern verurteilt, da bei so einer kleinen Fakultät wie Princeton kein Lehrstuhl ohne die vollständige Zustimmung der Fakultätsmitglieder vergeben werden konnte und mindestens drei Mitglieder gegen Nash waren, darunter auch Emil Artin. Artin glaubte schlicht und einfach, dass er mit so jemandem wie Nash, den er als arrogant, aggressiv und ruppig bezeichnete, nicht unter einem Dach arbeiten konnte. Also wurde Nash kein Angebot unterbreitet. Es muss ein bitterer Moment für Nash gewesen sein. Der Gedanke, dass er nicht wegen seiner fachlichen Qualifikation abgelehnt wurde, sondern wegen seiner Persönlichkeit, muss Nash hart getroffen haben. Ein noch größere Schlag ins Gesicht jedoch war die gleichzeitige Aussprache der Hoffnung, dass John Milnor, der zu dieser Zeit noch ein Studienanfänger war, eines Tages Mitglied der Fakultät werden würde.
Jedoch waren MIT und Chicago daran interessiert Nash als Dozenten einzustellen. Bochner hatte Verbindungen zu Ted Martin, dem neuen Vorsitzenden der Mathematikfakultät bei MIT und drängte ihn Nash ein Angebot zu unterbreiten und die Gerüchte über Nashs schwierige Persönlichkeit zu ignorieren. Tucker, bearbeitete in der Zwischenzeit Chicago dasselbe zu tun. Als MIT Nash schließlich eine sog. C. L. E. Moore Dozentenstelle anbot, akzeptierte dieser, weil ihm der Gedanke in Cambridge zu leben gefiel.

MIT

Ein deutlicherer Gegensatz zu dem mathematischen HotSpot Princeton als MIT zu dieser Zeit ist wohl schwer zu finden. MIT’s groß angelegter Campus mit seinen modernen Stahlbauten und militärischen und industriellen Forschungseinrichtungen, die durch eine eigene Campus-Sicherheitseinheit bewacht wurden, bildeten einen deutlichen Kontrast zu Princetons familiärer Atmosphäre. Die Fakultäten für Mathematik, Physik und Chemie existierte eigentlich nur dazu den Ingenieursstudiengänge die Grundlagen zu vermitteln. Besonders die Mathematikfakultät wurde als eine Art Tankstelle angesehen, wo junge Ingenieure vorfahren konnten, um sich ihre Dosis Elementarmathematik abzuholen. Die Wirtschaftswissenschaftliche Fakultät hatte keinen Magisterstudiengang und die Physikfakultät hatte keine Nobelpreisträger in ihren Reihen. Zu dieser Zeit war MIT zu 85 % in den Händen der Ingenieurswissenschaften, nur 15 % entfielen auf die Naturwissenschaften.
MIT war jedoch dabei sich zu verändern. Die Anstellung von brillianten, jungen Mathematikern, wie Nash, war bereits ein Zeichen dafür. Innerhalb der nächsten 10 Jahre sollte sich das 85 / 15 - Verhältnis zwischen Ingenieuren und Wissenschaftlern auf 50 / 50 eingependelt haben. Die Mathematik war dabei zu einer wichtigen Fakultät zu werden, obwohl das zur damaligen Zeit nicht für jeden erkennbar war. Die Fakultät hatte ein berühmtes Mitglied, Norbert Wiener, der hauptsächlich aufgrund von Harvards Antisemitismus nach Cambridge kam, und zwei oder drei erstklassiger junge Männer, unter ihnen der Topologe George Whitehead und der Analytiker Norman Levinson. Aber ansonsten bestand die Fakultät mehr aus kompetenten Lehrkräften als aus großen Forschern. Der Vorsitzende der Mathematischen Fakultät, Ted Martin, versuchte seinen Plan die Fakultät möglichst schnell und möglichst billig aufzuwerten, dadurch zu erreichen, dass er junge akademische Aufsteiger für ein oder zwei Jahre nach MIT holte, um sie mit Samthandschuhe anzufassen. Dazu diente das C. L. E. Moore Instructorship, einer speziellen Dozentenstelle, bei der von den Moore-Dozenten nicht erwartete wurde, dass diese der Fakultät dauerhaft beitraten. Dieser stetige Strom von mathematischem Talent, so hoffte Martin, würden dann als ein Katalysator funktionieren, der MIT’s mathematischen Motor zum laufen bringen würde, so dass im Folgenden bessere Studenten nach MIT kommen würden.
Das attraktivste Fakultätsmitglied war, aus Nashs Sicht, Norbert Wiener. Wiener war in mancher Hinsicht ein amerikanischer John von Neumann, ein vielseitig interessierter Forscher, der bis zum zweiten Weltkrieg verblüffende Beiträge zur reinen Mathematik geleistet hatte, um sich danach dann ebenso erfolgreich im Bereich der angewandten Mathematik zu engagieren. Letzteres machte ihn, ebenso wie von Neumann, der breiten Öffentlichkeit bekannt. Er war, unter anderem der Vater der Kybernetik und ein Antreiber der Anwendung von Mathematik und Ingenieurskunst auf dem Gebiet der Kommunikations- und Kontrollprobleme. Wiener war außerdem berühmt für sein exzentrisches Verhalten. Seine Erscheinung allein war außergewöhnlich. Er hatte einen Vollbart und sah mit seinen fetten Zigarren, von denen er ständig eine rauchte, wie ein alter Seefahrer aus. Sein watschelnder Gang ließ ihn aussehen wie die Parodie eines zerstreuten Professors. Oft wusste er nicht wo er war und es konnte gut geschehen, dass er jemanden fragte: „Als wir uns vorhin trafen, lief ich da zum Fakultätsclub oder von ihm weg? Sollte letzteres der Fall sein, dann hatte ich mein Mittagessen bereits. Als Nash nach MIT kam, begrüßte ihn Wiener enthusiastisch und gab Nashs wachsendem Interesse auf dem Gebiet der Strömungsdynamik neuen Antrieb. Nash sah Wiener als Genie an, der wie er selbst in seiner Kindheit sozial isoliert war, und als eine Art verwandte Seele.
Sonst hatte Nash anfangs mit keinem anderen Fakultätsmitglied Kontakt. Jedoch sollte Nash in den folgenden Monaten einen immer enger werdenden Kontakt mit Norman Levinson aufbauen, einem erstklassigen Mathematiker, der später eine wichtige Rolle in Nash Karriere als eine Mischung aus Vaterersatz und fachlicher Ratgeber spielen sollte. Levinson, zu dieser Zeit in seinen frühen Vierzigern, war zugänglicher als Wiener, jedoch genauso rätselhaft. Nash war von Levinsons starker Persönlichkeit und von einer Eigenschaft, die sie beide teilten und bewunderten, nämlich die Bereitschaft neue und schwierige Probleme anzugehen, angetan. Levinson war ein früher Pionier in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen, der den Bocher Preis gewonnen hatte und der der Autor eines wichtigen Theorems auf dem Gebiet der Quantentheorie war. Am Bewundernswertesten ist wohl, dass ihm als er in seinen frühen Sechzigern unter einem Gehirntumor litt, der ihn schließlich tötete, die Lösung eines Teilproblems der berühmten Riemann Hypothese gelang. Auf vielerlei Weise war Levinson so etwas wie ein Vorbild für Nash.

Dozent

Nash war gerade mal 23 Jahre alt, als er als C. L. E. Moore Dozent ans MIT kam. Er war nicht nur das jüngste Mitglied der Fakultät, sondern auch jünger als viele der Absolventen. Sein jugendliches Aussehen und Verhalten brachte ihm den Spitznamen Kid Professor ein. Die Anzahl der Unterrichtsstunden die ein C. L. E. Moore Dozent halten musste waren im Vergleich zu denen eines vollen Professors gering. Nash fand jedoch schon diese wenigen Unterbrechungen seiner Forschungsarbeit sehr ärgerlich und lästig. Später war er einer der wenigen Forscher der Fakultät die es vermieden Kurse auf ihrem Forschungsgebiet zu geben. Er war sich bewusst, dass sein Erfolg an der Fakultät nicht davon abhing, wie gut er vor den Studenten abschnitt. In den sieben Jahren, in denen er am MIT lehrte, scheint er nur drei Kurse für fortgeschrittenere Studenten gegeben zu haben, einen über Logik, einen über Spieltheorie und einen in Wahrscheinlichkeitstheorie. Alle anderen Kurse beinhalteten Stoff für Studienanfänger.
Er war ein lausiger Lehrer und seine Vorlesungen erinnerten eher an freie Assoziation als an korrekte Darstellung der Thematik. Es kümmerte ihn auch nicht, ob die Studenten etwas lernten oder nicht und stellte unglaubliche Anforderungen an die Studenten. Beispielsweise redete er über Themen die entweder irrelevant waren oder viel zu kompliziert und fortgeschritten. Außerdem war er ein harter Korrektor. Manchmal hatte seine Lernkonzepte mehr mit Psychospielen zu tun als mit Pädagogik. Robert Aumann, der später ein bedeutender Spieltheoretiker werden sollte und damals ein Studienanfänger in MIT war, beschrieb Nashs Eskapaden im Hörsaal als schelmenhaft und großspurig. Joseph Kohn, der später der Vorsitzende von Princetons Mathematikfakultät wurde, bezeichnete Nash als eine Art Spieler. Während des Stevenson / Eisenhower - Wahlkampf 1952 schloss er mit Studenten hohe Wetten ab, die so konstruiert waren, dass er gewinnen würde, unabhängig davon wer letztlich Präsident würde. Die intelligenteren Studenten waren amüsiert, aber auch erschrocken von Nash und mieden bald seine Kurse.
In seinem ersten Jahr in MIT, hielt Nash eine Analysisvorlesung für fortgeschrittenere Studienanfänger. Der Kurs sollte eine Einsicht geben in Beweise auf dem Gebiet der Analysis und wie man solche Beweise aufbaut. Zwischen dem ersten und dem zweiten Semester, des zweisemestrigen Kurses, fiel die Besucherzahl von 30 auf 5 Studenten.
Kohn erinnert sich: „Er machte einen einstündigen Test. Er verteilte blaue Heft auf deren Deckblätter man den Namen und die Kursnummer eintragen sollte. Wenn die Klingel ertönte, sollte man das Heft aufschlagen und anfangen an dem Test zu arbeiten. Es gab 4 Probleme, die es zu lösen galt. Das erste war: Wie ist ihr Name? Die anderen drei Probleme aus der Mathematik waren sehr schwer. Weil ich ungefähr wusste, wie Nash dachte, schrieb ich zu Problem 1: Mein Name ist Joseph Kohn. Andere, die annahmen, dass ihr Name auf dem Deckblatt des Tests ausreichte, bekamen 25 Punkte abgezogen.“
Ein anderer beliebter Trick von Nash war es ungelöste Probleme als Testaufgaben zu stellen. Aumann erinnert sich: „Die Studenten sollten zeigen, dass Pi eine irrationale Zahl ist. Später, als Nash von dem Vorsitzenden der Fakultät zur Rede gestellt wurde, weil er das Äquivalent zu Fermats Letztem Satz in eine Abschlussklausur aufgenommen hatte, antwortete er, dass die Leute mental gehemmt wären, wenn sie von Fermats Letztem Satz hörten. Sicher würde niemand so eine Aufgabe in einer Klausur erwarten, dies würde dazu beitragen die Mentale Blockade zu lösen, so dass jemand das Problem lösen könnte.“
In einem anderen Test fanden die Studenten folgende Frage:
Wenn sie eine Reihe von Bruchteilen von Pi = 3.141592 aufstellen und angefangen beim Dezimalpunkt, die erste Ziffer nehmen und den Dezimalpunkt nach links verschieben, so erhalten sie .1
Wenn sie dies dann für die nächsten beiden Ziffern machen, so erhalten sie .41
Und für die nächsten drei Ziffern .592, usw.
So erhalten sie schließlich eine Folge von Brüchen zwischen 0 und 1. Wie lauten die Häufungspunkte dieser Folge?
Dies ist eine Frage die bisher niemand beantwortet hat. Die Dezimalentwicklung von Pi ist kein berühmtes ungelöstes Problem, aber es gehört zu den Arten von Dingen, die sich Mathematiker untereinander fragen und nicht Studienanfänger fragen. Nur eine Aussage wurde bewiesen, nämlich dass es mindestens einen Häufungspunkt geben muss.

Nashs lausige Vorlesung und seine unfairen Tests machten ihn bei den Studenten nicht gerade beliebt. Eines Tages tauchten auf mehreren Tafeln in Gebäude 2 die Nachricht: Heute ist der Wir-Hassen-John-Nash-Tag!
Allerdings konnte Nash zu Studenten, die er als mathematisch begabt ansah sehr charmant sein und solche Studenten fanden sehr viel Bewundernswertes an ihm. Für ein paar ausgewählte Studenten investierte Nash viel Zeit um mit ihnen über Mathematik zu diskutieren. Barry Mazur, ein Zahlentheoretiker in Harvard, der Nash zum ersten Mal während seiner Studienjahre in MIT begegnete, erinnert sich: „Es war wundervoll, über was er alles willens war zu reden. Man hatte bei jedem Gespräch den Eindruck es stünde für dieses ein unbegrenzter Zeitraum zur Verfügung.“

Außerhalb des Klassenzimmers legte Nash dieselben seltsamen Verhaltensweisen an den Tag wie in Princeton. Er streifte pfeifend durch die langen Gänge von Gebäude 2 und verbrachte nur sehr wenig Zeit in dem Büroabteil, das er mit den anderen Moore Dozenten teilte. Stattdessen verbrachte er die meiste Zeit in dem Gemeinschaftsraum der Mathematiker, der jedoch ein kläglicher Abklatsch der Finehall von Princeton war.
Nash neuester Tick bestand darin, sich selbst als freier Denker darzustellen. Er kündigte an, dass er ein Atheist war. Er hatte sein ganz eigenes Vokabular. Beispielsweise bezeichnete er Mitmenschen als Humanoide und leitete seine Antwort in einem Dialog stets mit: „Nun, betrachten wir diesen Aspekt einmal genauer“ ein.
Er übernahm auch die Verhaltensweisen anderer exzentrischer Genies. Von Wiener übernahm er die Angewohnheit beim Laufen im Mathematikgebäude mit seinem Finger stets in der Rille zwischen den Holzpaneelen und den Mauersteinen entlangzufahren. Warren Ambrose hasste konventionelle Begrüßungen wie: „Und wie geht’s?“ Nash machte es ihm nach. Newman verachtete alle Musik nach Beethoven. Nash stampfte in die Bibliothek und erzählte jedem, der etwas Moderneres hörte, dass es Schrott sei.

Freundeskreis

Nashs sozialer Status als Moore-Dozent und seine wachsende Reputation als Mathematiker brachten ihm jedoch Respekt und Bewunderung. Er wurde nun als interessanter Gesprächspartner gesehen. Seine Arroganz wurde als Beweis seines Genies interpretiert, ebenso seine exzentrischen Ticks. Wie Donald Newman es ausdrückte: „Die Leute waren irritiert von seiner frivolen und anmaßenden Art, aber sie waren nicht wirklich verärgert. Und so fand Nash auch Zugang zu einer Clique von Mathematikern unter ihnen Newman, ein Harvardabsolvent, der die meiste seiner Zeit am MIT damit verbrachte mit seinen alten Freunden und Nash herumzuhängen. Außerdem waren da noch: Gustave Solomon, der Mitentwickler des Reed-Solomon-Code, Walter Weißgold, Harry Gonshor, der später Professor in Rutgers wurde und Leopold Flatto.
Newman war derjenige, der Nash in Bezug auf Verstand, Konkurrenzdenken und arrogantem Benehmen am nächsten kam. Newman wurde als Genie gefeiert und war der beste Problemlöser der Gruppe. Was Nash vor allem beeindruckte war die Tatsache, dass Newman den Putnam-Wettbewerb ganze 3 mal gewonnen hatte.
Danke der Akzeptanz von Newman und seinen Freunden hatte Nash wohl zum ersten Mal in seinem Leben einen richtigen Freundeskreis. Die Gruppe aß öfters Mittagessen zusammen im Walker Memorial und traf sich außerdem nachmittags in mehreren billigen Restaurants, Coffeeshops und Biergärten.
In diesem Freundeskreis versuchte Nash ständig seine Einzigartigkeit, Überlegenheit und Selbstständigkeit zu unterstreichen. Er sagte ständig, dass es nur ein oder zwei Leute im Department, Wiener war immer einer von diesen, mathematisch mit ihm aufnehmen konnten. Seine Demütigungen waren legendär: „Sie sind ein Kind!“ war sein Lieblingsausdruck, aber auch Aussprüche wie „Wie trivial“, „Sie wissen gar nichts“ oder „Sie werden niemals etwas erreichen“ waren öfters von ihm zu hören.
Er liebte es im Mittelpunkt zu stehen. Auf Partys gab er sich nicht einfach nur damit zufrieden sich zu unterhalten, er wollte sich vor den Anderen profilieren. Er liebte es andere herauszufordern und herausgefordert zu werden. Aber er hasste es von jemandem, den er als mathematisch unterlegen ansah, zu einem Wettstreit aufgefordert zu werden. Eines Tages im Gemeinschaftsraum des Mathematikergebäudes sprach eine Gruppe von Studenten über das Jeep-Problem, ein berühmtes Logik-Rätsel aus dem zweiten Weltkrieg.
Das Jeep-Problem lautet folgendermaßen:
Man will mit einem Jeep die 2000 Meilen große Sahara überqueren, allerdings reicht der Tank des Jeeps nur für 200 Meilen. Der einzige Weg die Wüste zu überqueren ist es eine Zwei-Schritte-Vorwärts, Einen-Schritt-RückwärtsStrategie zu verfolgen. Man belädt den Jeep mit Benzinkanistern, fährt 100 Meilen in die Wüste, lädt die Kanister ab und fährt wieder zurück um mehr Benzinkanister zu holen, usw. Die Frage ist, wie viele Benzinkanister man braucht um die Wüste zu durchqueren.
Jeder schlug eine Lösung vor. Nash nannte eine Zahl, die ein Student namens Seymour Haber, der eine Zahl, die halb so groß war nannte, jedoch als zu hoch betitelte. Nash behauptete die Lösung, die Haber genannt hatte, wäre Blödsinn. Als Haber um einen Beweis von Nash bat, erwiderte Nash: „Meine Lösung ist die bessere.“
Haber erinnert sich: „Ich sah nicht, dass seine Lösung richtig war. Ich bestand darauf, dass er sie bewies. Er wollte nicht. Er sagte es wäre offensichtlich. Als ich das immer noch nicht akzeptieren wollte, machte er die Berechnungen. Es stellte sich heraus, dass er mit seiner Lösung fast richtig lag. Er war wütend auf mich, dass ich ihn gezwungen hatte die lästigen Berechnungen durchzuführen, wo die Lösung doch die ganze Zeit über klar gewesen war.

Herausgefordert

Als Nash im Frühjahr eine Assistenz Professorenstelle vom MIT angeboten bekam, eskalierte der bereits seit langem schwelende Konflikt zwischen ihm und Warren Ambrose, einem Mathematiker in den späten Dreißigern, der Mitglied der mathematischen Fakultät in Princeton war und ebenfalls eine Stelle als Assistenzprofessor anstrebte. Die meisten der älteren Fakultätsmitglieder ignorierten Nashs Sticheleien und Demütigungen, Ambros hingegen ließ sich von Anfang an nichts gefallen. Schon bald nach Nashs Ankunft führten die beiden eine Art Privatkrieg. Als Ambros der für seine Sorgfalt und Ordentlichkeit berühmt war einen umständlichen Schritt-für-Schritt-Beweis in einem seiner Seminare anschrieb, störte Nash, der ebensolche Beweise wie die Pest hasste, ihn ständig indem der „Hack Hack“ von hinten hereinrief.
Ambros wurde Opfer vieler Sticheleien von Seiten Nashs. Beispielsweise trug dieser in den Seminarplan um 14 Uhr ein „Seminar der wirklichen Mathematik“ ein. Dies war aber genau die Zeit in der Ambrose seinen Analysiskurs gab.
Ambrose wehrte sich. Er schrieb „Fuck Myself“ auf die To-Do-Liste, die Nash auf seinem Schreibtisch liegen hatte.
Während einer Diskussion schließlich, in der Nash wieder einmal mit seinen mathematischen Fähigkeiten prahlte, platzte Ambrose der Kragen und er sagte empört zu Nash: „Wenn du so gut bist, wieso löst du nicht das Einbettungsproblem für Mannigfaltenkeiten?“ Und das war genau das was Nash tat. Das Einbettungsproblem ist ein für seine Schwierigkeit berühmtes Problem, das seit seinem Aufstellen durch Riemann ungelöst war.

Zwei Jahre später in der Universität von Chichago, begann Nash seinen Vortrag zu seinem ersten wirklich großem Theorem mit den Worten: „Ich tat dies wegen einer Wette.“ Der Beginn seiner Rede sagt alles darüber, was er für eine Art Mathematiker war. Er sah die Mathematik nicht als großes zusammenhängendes Gebilde, sondern als eine Kollektion von interessanten Themen. Es gibt zwei Gruppen von Mathematiker, die Problemlöser und die Theoretiker und Nash gehörte eindeutig zur Ersten. Er war kein Spieltheoretiker, kein Analytiker, kein Topologe oder mathematischer Physiker. Aber er erzielte erstaunliche Ergebnisse auf Gebieten, in denen niemand zu vor etwas Wichtiges erreicht hatte.
Bevor er Ambroses Herausforderung annahm, wollte er sich sicher sein, dass die Lösung des Problems ihm Ruhm und Ehre bringen würden. Er befrage mehrere Experten über die Bedeutung des Problems.

Einbettungsfrage

Die exakte Frage, die Ambrose von Nash damals beantwortet haben wollte war folgende: Ist es möglich, jede Riemannsche Mannigfaltigkeit in den euklidischen Raum einzubetten?
Dies ist eine sehr tiefe, ja geradezu philosophische Frage, die sich wirklich jeder Mathematiker des letzten Jahrhunderts, der auf dem Gebiet der Differentialgeometrie arbeitete, selbst gestellt hatte. Die Frage wurde zuerst von Ludwig Schläfli ca. 1875 gestellt. So große Namen wie Riemann, Hilbert, Cartan und Weyl scheiterten jedoch bei der Beantwortung der Frage.
Zunächst studierten die Mathematiker gewöhnliche Kurven, dann Oberflächen und schließlich, dank Riemann einer der großen Figuren der Mathematik des 19. Jahrhunderts, geometrische Figuren in höheren Dimensionen. Riemann entdeckte Beispiele von Mannigfaltigkeiten im Euklidischen Raum. Um 1950 herum verlagerten sich die Interessen zu Mannigfaltigkeiten, hauptsächlich wegen der großen Bedeutung die ihnen in Einsteins Relativitätstheorie zukam.
Einbettung beinhaltet ein geometrisches Objekt als Raum in einer Dimension darzustellen oder etwas präziser, eine Untermenge von ihr zu bilden. Nimmt man beispielsweise die Oberfläche eines Ballons. Man kann sie auf eine Tafel, die ein zweidimensionaler Raum ist, zeichnen. Aber man kann sie auch als eine Untermenge von Räumen der dritten, vierten oder einer höheren Dimension betrachten. Nimmt man nun ein etwas komplizierteres Objekt, etwa eine kleinsche Flasche. Eine Kleinsche Flasche sieht wie eine Bleichdose aus, deren Deckel und Boden weggenommen wurden und deren oberer Rand so nach außen gebogen wurde, dass er den unteren Rand berührt.

‘Kleinsche

Wenn man darüber nachdenkt, so ist es offensichtlich, dass es, wenn man dieses Verbiegen der Blechdose im dreidimensionalen Raum macht, zu Überschneidungen kommt. Das ist schlecht von einem mathematischen Standpunkt aus, weil die Nachbarschaft der unmittelbaren Umgebung der Überschneidung unregelmäßig und verzerrt aussehen und die Versuche verschiedene Eigenschaften dieser Figur, wie z.B. die Distanz eines Punktes in so einem Bereich, zu berechnen fehlschlagen.
Aber eine Kleinsche Flasche im vierdimensionalen Raum überschneidet sich nicht mehr länger. Wie ein Ball im dreidimensionalem Raum ist eine Kleinsche Flasche im Vierdimensionale eine sich normal verhaltende Mannigfaltigkeit.

Einbettungssatz

Nashs Theorem sagt nun aus, dass jede Art von Oberfläche, die einer speziellen Art von Glattheit genügt, wirklich im Euklidischen Raum eingebettet werden kann. Er zeigte, dass man eine Mannigfaltigkeit wie ein Taschentuch falten kann, ohne es zu verzerren. Niemand hätte erwartet, dass Nashs Theorem zutreffen würde. Mehr noch jeder glaubte es wäre falsch. „Es strotzte nur so von Originalität“, erzählte Mikhail Gromov, der Geometriker, dessen Buch Partial Differential Relations auf Nashs Arbeit aufbaute. Er fuhr fort: „Viele von uns haben die Fähigkeit existierende Ideen weiterzuentwickeln. Wir folgen den Pfaden, die andere für uns bereitet haben. Aber viele von uns schaffen niemals so etwas wie Nash. Die psychologische Barriere, die er einriss ist unglaublich. Er hat die Perspektive, mit der partielle Differentialgleichungen betrachtet werden, komplett und radikal verändert.“

John Conway, der Mathematiker aus Princeton der die surreale Zahlen entdeckte und das Game of Life? Erfand, nannte Nashs Theorem „eines der wichtigsten Stücke Analysis in diesem Jahrhundert.“
Es war außerdem der Todesstoß für die zu dieser Zeit üblichen Herangehensweisen an Mannigfaltigkeiten, genauso wie Nashs Arbeit im Bereich der Spieltheorie eine direkte Konkurrenz zu von Neumanns Ansatz war. Ambrosa z.B. war damals selbst mit einer höchst abstrakten und konzeptuellen Beschreibung solcher Mannigfaltigkeiten beschäftigt. Wie es Jürgen Moser, ein junger deutscher Mathematiker, der Nash Mitte der Fünfziger gut kannte, ausdrückte: „Nash mochte diese Art von Mathematik kein bisschen. Er wollte zeigen, dass diese, seiner Meinung nach, exotische Herangehensweise total unnötig war, weil jede solche Mannigfaltigkeit einfach nur eine Untermannigfaltigkeit eines höherdimensionalen euklidischen Raumes war. Nashs wichtigstes Ergebnis war wohl die mächtige Technik die er erfand um sein Theorem zu verifizieren. Um sein Ergebnis zu beweisen, sah sich Nash mit der Herausforderung konfrontiert eine Menge von partiellen Differentialgleichungen zu lösen, die mit den bestehenden Techniken nicht zu lösen waren.
Diese Art von Hindernis taucht in vielen mathematischen und physikalischen Problemstellungen auf, immer dann, wenn es gilt nichtlineare Probleme zu lösen. Wenn man normalerweise eine Gleichung löst, so ist eine Funktion gegeben und man findet Schätzungen von Lösungen der Funktion, indem man die Ableitungen der gegebenen Funktion bestimmt. Die in Nashs Lösung auftauchenden Funktionen waren dadurch bemerkenswert, dass sie die im Vorhinein bestimmten Schätzungen, d.h. die Ableitungen verloren. Niemand wusste wie man mit solchen Gleichungen umgehen sollte. Nash erfand eine neue iterative Methode dafür, d.h. eine Prozedur um eine Folge von fundierten Vermutungen anzustellen um die Lösungen der Gleichungen zu finden. Er verband dies mit einer Technik, die die Fehler, welche durch das Fehlen der Ableitungen auftraten, ausglichen.
Newman beschrieb Nash als einen sehr poetischen, sehr andersartigen Denker. In diesem Fall benutzte Nash Differentialrechnung, nicht geometrische Bilder oder algebraische Manipulationen. Methoden also, die klassische Auswüchse der Analysis des 19. Jahrhunderts waren. Die Technik ist nun bekannt unter dem Namen Nash-Moser Theorem, obwohl es keinen Zweifel daran gibt, das Nash ihr Erfinder war. Jürgen Moser zeigte wie Nashs Technik modifiziert und auf Probleme der Himmelmechanik (die Bewegungen der Planeten) angewandt werden konnte.
Nash löste das Einbettungsproblem in zwei Schritten: Er entdeckte, dass man eine Riemannsche Mannigfaltigkeit in einem dreidimensionalen Raum einbetten konnte, wenn man deren Glätte ignorierte. Man musste umgangssprachlich gesagt die Mannigfaltigkeit zerknittern. Dies war eine sonderbare und interessante Entdeckung, aber eine mathematische Seltenheit und Merkwürdigkeit. Mathematiker waren daran interessiert die Mannigfaltigkeit ohne den Verlust ihrer Glätte einzubetten.
Nash präsentiert diese erste Entdeckung auf einem Seminar in Princeton. Emil Artin saß im Publikum. Er machte aus seinen Zweifeln kein Geheimnis. „Nun das ist alles schön und gut, aber was ist mit dem Einbettungsproblem. Du wirst es niemals lösen.“ Sagte er zu ihm. Nash keifte zurück: „Ich löse es nächste Woche.“
Nach diesem Seminar tauchte Nash Woche für Woche in Levinsons Büro im MIT auf. Er beschrieb Levinson was für Fortschritte er gemacht hatte und Levinson zeigte ihm warum sie falsch waren. Isadore Singer, zu dieser Zeit selbst ein Moore Dozent erinnerte sich:
„Er zeigte seine Versuche Levinson. Die ersten paar Male lag er total falsch. Aber er gab nicht auf. Als er sah dass das Problem schwerer und schwerer zu werden schien, opferte er mehr und mehr Zeit dafür. Er war motiviert dadurch es allen zu zeigen. Wenn er sich einmal an einem Problem festgebissen hatte, dann gab er nicht auf, auch wenn das Problem schwerer zu sein schien als anfangs geglaubt“

Es kann nicht geklärt werden, was einen brillianten Mathematiker dazu befähigt ein schweres Problem zu lösen, während ein anderer ebenso intelligenter Mathematiker dazu nicht fähig ist. Manche Genies waren Sprinter, die ein Problem in Rekordzeit lösten. Nash war anders, er war eher ein Langläufer. Er stieg ein in die Materie klassischer mathematischer Domänen ohne mehr als nur grundlegende Kenntnisse (wenngleich natürlich auf hohem Niveau) in dieser Fachrichtung zu haben. Jeder Fachmann dachte, er wüsste, was möglich ist und was nicht. Nash ließ sich davon jedoch nicht beirren, er war jemand der den Fachleuten zeigte, was über ihren Horizont hinausging. „Es brauchte ein enormes Maß an Mut um diese Problem anzugehen“ sagte Paul Cohen ein Mathematiker der Stanford University und ein Fields-Medaillien-Träger.
Nashs Bereitschaft Einsamkeit in Kauf zunehmen, seine ausgeprägte Selbstsicherheit und seine Überzeugung von den eigenen Intuitionen, seine Unverwundbarkeit gegenüber Kritik, die sich bereits in jungen Jahren zeigten, halfen ihm nun dabei das Einbettungs-Problem zu lösen. Er war ein fleißiger Arbeiter und er arbeitete meistens nachts in seinem MIT-Büro, von 10 Uhr abends bis 3 Uhr morgens. Schwartz sagte einmal über Nash „er habe die Fähigkeit solange mit dem Kopf gegen die Wand zu rennen, bis sie brechen würde.“
Die farbenprächtigste Beschreibung von Nashs Arbeitsweise lieferte Moser:

„Die Schwierigkeit die Levinson Nash aufgezeigt hatte, würde jeden normalen Menschen vor dem Problem erstarren lassen. Aber Nash war anders. Wenn er eine Ahnung, eine Intuition hatte, so konnte ihn konventionelle Kritik nicht aufhalten. Er hatte kein Hintergrundwissen und verhielt sich in seinem anscheinend aussichtslosen Versuch das Problem zu lösen geradezu unheimlich. Niemand verstand, wie so jemand das Problem tatsächlich lösen konnte. Er war die einzige Person mit dieser Art von mentaler Kraft, die mir je begegnet ist. Einfach nur rohe, mentale Kraft.“

Bestätigung

Die Herausgeber der Annals of Mathematics wussten gar nicht was sich mit Nashs Manuskript anfangen sollten, als es Ende Oktober 1954 auf ihren Schreibtisch landete. Das Manuskript war so dick wie ein Buch und war handschriftlich verfasst worden. Es war total chaotisch und benutzte Konzepte und Terminologie die eher den Ingenieurswissenschaften angehörten als der Mathematik. Also sandten sie es einem Mathematiker an der Brown University, Herbert Federer, der im Ruf stand hohe Standards, einen guten Geschmack und eine außergewöhnliche Bereitschaft sich mit schweren Problemen zu beschäftigen, zu haben.
Die Mathematik wird meistens zu Recht als die einsamste aller Wissenschaften bezeichnet. Aber wenn ein ernsthafter Mathematiker bekannt gibt, dass er die Lösung für ein bedeutendes Problem gefunden hat, dann legen als Folge einer jahrhundertealten Tradition mindestens einer und meistens mehrere Mathematiker ihre Arbeit nieder für Wochen oder gar Monate, um den Beweis durchzusehen und auf Fehler zu überprüfen.
Nashs Manuskript konfrontierte Federer mit einem unglaublich kompliziertem Puzzle und er nahm diese Aufgabe mit Freude an. Die Zusammenarbeit zwischen Autor und Rezensent dauerte Monate. Ein langes Treffen, viele Telefonate und unzählige Anfragen eingeschlossen. Nash übermittelte die durchgesehene Version der Arbeit nicht vor dem folgenden Sommer.
Armand Borel, der ein Gastdozent in Chicago war als Nash einen Vortrag über sein Einbettungstheorem hielt, erinnert sich an die geschockte Reaktion des Publikums. Er sagte 1995: „Die Leute waren sehr skeptisch. Es war ein verführerisches Ergebnis. Aber wenn es keine Technik dafür gibt, dann ist man skeptisch.“
Gian-Carlo Rota, Professor der Mathematik und Philosophie am MIT, bestätigte Borels Aussage. „Einer der großen Experten dieses Fachgebietes sagte mir, falls einer seiner Studenten ihm solch eine haarsträubende Idee in seinem Büro vorgetragen hätte, so hätte er ihn hinausgeworfen.“
Das Resultat war so unerwartet und die Methoden mit denen es erreicht wurde so neu, dass sogar die Fachleute starke Schwierigkeiten hatten, nachzuvollziehen was Nash getan hatte. Nash legte Kopien im Gemeinschaftsraum des MIT-Mathematikergebäudes aus. Ein früherer MIT-Student erinnert sich an eine lange und verwirrte Diskussion zwischen Ambrose, Singer und Masatake Kuranishi (ein Mathematiker der Columbia University, der später Nashs Theorem anwendete), bei dem jeder der drei versucht Nashs Arbeit den anderen zu erklären, jedoch ohne Erfolg.
Jack Schwartz erinnert sich:
„Nashs Lösung war nicht nur neu, sondern auch sehr mysteriös, ein mysteriöse Menge von seltsamen Ungleichungen die alle zusammenhingen. In der Erklärung die ich mir zurechtlegte, versuchte ich nachzuvollziehen was passierte und konnte das Geschehene generalisieren und es in eine abstrakte Form pressen. Ich realisierte, dass es auch auf andere Situationen als der spezielle Beispielfall, der in seinem Skript vorkam, anwendbar war. Aber ich war weit davon entfernt seine Arbeit wirklich zu verstehen.“
Später hielt Heinz Hopf, Professor für Mathematik in Zürich und früherer Präsident der International Mathematical Union, der alles über Differentialgeometrie wusste, eine Rede über Nashs Einbettungs-Theorem in New York. Normalerweise waren Hopfs Vorträge ein Vorbild an Klarheit und Strukturiertheit. Moser, der im Publikum saß erinnert sich: „ Wir dachten alle, Jetzt werden wir endlich verstehen was Nash getan hat“. Aber als die Vorlesung fortschritt, verhedderte sich Hopf in seinen eigenen Erklärungen. Er konnte kein vollständiges Bild herstellen. Er war von der Komplexität von Nashs Theorem überwältigt.

Jedoch war Nashs Arbeit vollkommen korrekt. Federer gab nicht nur Nashs Papier heraus, um es zugänglicher zu machen, sondern war auch der erste, der die mathematische Gemeinde davon überzeugte, dass Nashs Theorem wirklich korrekt war.


--- Ende des ersten Aktes ---
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Zwischen Genie und Wahnsinn - John F. Nash [von InWi]  
Zwischen Genie und Wahnsinn – das Leben des genialen Mathematikers John Forbes Nash Manchmal schreibt das Leben Geschichten, die wundervoll und tragisch zugleich sind. Der Lebenslauf von John F. Nash ist zweifelsohne eine dieser Geschichten. Der Autor eines Bestsellerromans hätte sich eine solc
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"Stern Mathematik: Zwischen Genie und Wahnsinn - John F. Nash" | 32 Comments
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Re: Zwischen Genie und Wahnsinn - John F. Nash
von: asterisque am: So. 06. Juni 2004 21:29:18
\(\begingroup\)Echt guter Artikel!!
sehr interessant.
aber ich habe einige rechtschreibfehler gefunden(für die menge an text sehr wenige):
Aus diesen Anekdoten wird ersichtlich, dass viele von Nashs lebenslangen Interessengebieten ( Zahlentheorie, diophantische Gleichungen, Quantenmechanik und Relativität ) schon den 19 jähriger(!jährigen) interessierten.
Junge Amerikaner musste(!mussten) nach Europa reisen, wenn sie ihre mathematische Ausbildung nach ihrem Bachelor of Arts weiterverfolgen wollten.
Die Ecksteine des Gemeinschaftsraumes enthielten ein Fach, das Kopien der Arbeiten von Princetonmathematiker(!Princetonmathematikern) und die Handwerkszeuge eines Mathematikers (Radiergummi, Bleistift und Kreide) enthielten.
Spieler(!Spiele) wie Poker auf der anderen Seite beinhalten simultane Züge.
Bei solchen Zusammentreffen tauschte man sich über die neuesten Ergebnisse aus, und Mathematiker wurde(!wurden) auf mathematische Probleme hingewiesen.
ich kann nur loben!\(\endgroup\)
 

Re: Zwischen Genie und Wahnsinn - John F. Nash
von: InWi am: So. 06. Juni 2004 21:33:15
\(\begingroup\)Sooo ich hoffe mein Artikel gefällt ein wenig. Ich wollte noch einen Buchtipp loswerden für alle, die sich ein bisschen mehr mit Nash und der Mathematikwelt um 1930 herum beschäftigen wollen.

Nämlich: A beautiful Mind - von Sylvia Nassar

hier in Englisch
LINK-AMAZON

hier in Deutsch
Link-AMAZON

Dem Buch gelingt es wirklich sehr gut ein wohl historisch korrektes Bild der damaligen Mathematikwelt zu zeichen und es ist sicher auch eine sehr gute und was noch viel wichtiger ist sehr gut zu lesende Biographie von John Nash. Ich habe es für diesen Artikel als Grundlage hergenommen, aber natürlich ist dieses Buch bei weitem sehr viel umfangreicher und genauer als dieser Artikel. Man merkt an den rund 1000 Fußnoten, dass die einzelnen Anekdoten und Geschichten gut recherchiert wurden. Und dieses Buch dient auch als Legetimierung, dass ich mir hier nicht ein Ammenmärchen ausgedacht habe.\(\endgroup\)
 

Re: Zwischen Genie und Wahnsinn - John F. Nash
von: matroid am: So. 06. Juni 2004 21:53:53
\(\begingroup\)Hi InWi,

ich gratuliere zu dieser außergewöhnlichen Story. Ich hab's ja zuerst lesen dürfen und bin wirklich von Nashs Leben beeindruckt und eingesponnen.

Leider ist bei der Veröffentlichung zuerst ein Fehler aufgetreten. Der Artikel ist so umfangreich, daß nur die Hälfte angezeigt wurde.
Das habe ich soeben geändert.
Wer schon gelesen hat, soll bitte an 'Duelle' weiterlesen.

Gruß
Matroid\(\endgroup\)
 

Re: Zwischen Genie und Wahnsinn - John F. Nash
von: matroid am: So. 06. Juni 2004 22:03:04
\(\begingroup\)Die von starlight gefundenen Rechtschreibfehler habe ich korrigiert. Außerdem habe ich noch Annekdote in Anekdote geändert.

Gruß
Matroid\(\endgroup\)
 

Re: Zwischen Genie und Wahnsinn - John F. Nash
von: DareDevil am: So. 06. Juni 2004 22:05:25
\(\begingroup\)Hi InWi,

selten hat mich ein Artikel so fasziniert und so stark gefesselt, wie es deiner getan hat. Auf einer Skala von 1-10 (wobei 10 die Bestnote ist) bekommst du von mir eine 15! 😉

Gruß,
DareDevil\(\endgroup\)
 

Re: Zwischen Genie und Wahnsinn - John F. Nash
von: Ende am: So. 06. Juni 2004 22:56:42
\(\begingroup\)Hallo, InWi!

Schoener Artikel, gut geschrieben. Auf die Fortsetzung freue ich mich jetzt schon.

Gruss, E. ;)\(\endgroup\)
 

Re: Zwischen Genie und Wahnsinn - John F. Nash
von: Hans-Juergen am: So. 06. Juni 2004 23:02:11
\(\begingroup\)Danke, InWi, für diesen wunderbaren, lebendigen,
detailreichen und informativen Artikel, auf dessen
Fortsetzung ich sehr gespannt bin.

Mit besten Grüßen,
Hans-Jürgen.

\(\endgroup\)
 

Re: Zwischen Genie und Wahnsinn - John F. Nash
von: hansibal am: Mo. 07. Juni 2004 16:51:48
\(\begingroup\)Was das Lob betrifft, kann ich mich voll und ganz anschließen. Ich möchte allerdings noch anmerken, dass der Artikel, ins Word kopiert, 29 Seiten lang ist. Eine derartige Arbeit für den Matheplaneten auf sich zu nehmen ist bewundernswert.

mfg
Hansibal\(\endgroup\)
 

Klasse
von: SchuBi am: Mo. 07. Juni 2004 19:04:07
\(\begingroup\)\(\endgroup\)
 

Re: Zwischen Genie und Wahnsinn - John F. Nash
von: Konrad am: Mo. 07. Juni 2004 22:06:16
\(\begingroup\)Liest sich wie ein gutes Buch!

Echt ein klasse Artikel !!\(\endgroup\)
 

Re: Zwischen Genie und Wahnsinn - John F. Nash
von: space am: Di. 08. Juni 2004 22:22:20
\(\begingroup\)Lang, aber absolut lesenswert.

Ich freu mich auf die Fortsetzung :)

space\(\endgroup\)
 

Re: Zwischen Genie und Wahnsinn - John F. Nash
von: Ex_Mitglied_40174 am: So. 13. Juni 2004 10:56:36
\(\begingroup\)Ich finde, der Autor des Artikels hat in weiten Teilen nur das oben zitierte Buch von Silvia Nassar abgeschrieben, von dem ich sowohl die englische als auch die deutsche Ausgabe gelesen habe. Insbesondere die Einleitung erinnert stark an das Buch ... Hat der Autor etwa das Buch von Silvia Nassar nur eingescannt? Ich konnte jedenfalls nach Studium des Artikels kein einziges Detail erkennen (bis vielleicht auf die Bidchen), welches ich nicht schon aus dem Buch kannte. Das Buch ist ohne Zweifel sehr gut ... Der obige Artikel jedoch nur eine Abschreibaktion ... Kauft auch lieber das Buch. Bereits als TB erhältlich.\(\endgroup\)
 

Re: Zwischen Genie und Wahnsinn - John F. Nash
von: Martin_Infinite am: So. 13. Juni 2004 10:58:33
\(\begingroup\)@Anon: Abschreibaktionen sind aber auch hilfreich, damit sich nicht jeder das Buch erst ausleihen/zulegen muss.\(\endgroup\)
 

Re: Zwischen Genie und Wahnsinn - John F. Nash
von: InWi am: So. 13. Juni 2004 13:23:12
\(\begingroup\)@ Anonymus: Ja ich gebe zu, dass ich viele der Annekdoten und der Beschreibungen der mathematischen Arbeiten von Nash, die in dem Buch auch für Laien verständlich erklärt, werden aus dem Buch übernommen habe. Aber ich habe das Buch ganz sicher nicht eingescannt. Ich hatte eigentlich auch nur dieses Buch und das worldwideweb als Materialien für diesen Artikel und ich wollte einfach den Stoff den mir das Buch liefert kompakter und auf bestimmte Themenbereiche konzentriert darstellen, da das Buch noch sehr viel umfangreicher ist und einen sehr viel weiteren Themenbereich hat. Deswegen habe ich mich aufs bestimmte Bereiche, wie z.B. Nashs mathematische Arbeit konzentriert und versucht das noch zu ergänzen und zu vertiefen. In dem Buch kommen eben sehr viele Geschichten und Annekdoten vor, an die man wohl auf anderem Wege nur sehr schwer herankommt.

mfg florian\(\endgroup\)
 

Re: Zwischen Genie und Wahnsinn - John F. Nash
von: Ex_Mitglied_40174 am: So. 13. Juni 2004 13:55:20
\(\begingroup\)@ Florian

Du hast Dir ohne Zweifel Mühe gegeben. Betrachtet man deinen Artikel als Zusammenfassung des Buches mit weiteren mathematischen Ergänzungen, so gewinnt dieser vielleicht an Wert im Vergleich zum Buch. Ich habe mich nur etwas gewundert, da ich das Buch von Nassar erst kürzlich gelesen habe und doch sehr viel Übereinstimmungen erkannt habe. Meine Kritik war vielleicht zuerst etwas zu heftig und erkannte deine Mühezu wenig an.
\(\endgroup\)
 

Re: Zwischen Genie und Wahnsinn - John F. Nash
von: InWi am: So. 13. Juni 2004 14:31:07
\(\begingroup\)@Anonymus: Nein eigentlich hast du völlig recht. Ich hätte mich nicht so stark an dem Buch orientieren sollen, vielleicht überarbeite ich den Artikel nochmal. Ich bin irgendwie mit dem Ergebnis auch nicht mehr so zufrieden, wie ich es am Anfang war. Der Artikel ist viel zu lang und enthält für Leute, die das Buch gelesen haben, wohl wirklich zu wenig neues. Ich denke, da werde ich nochmal was ändern.

mfg florian
\(\endgroup\)
 

Re: Zwischen Genie und Wahnsinn - John F. Nash
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mo. 14. Juni 2004 11:31:45
\(\begingroup\)
Im Gegensatz dazu, gelang es Nash auf 6 Seiten zu beweisen, das seine Theorie für jedes nicht kooperative Spiel mit jeder Anzahl von Spielern mindestens einen Nash-Gleichgewichtspunkt enthält.


Das stimmt ja nun nicht ganz. Der Strategienraum muss kompakt und konvex sein und die darauf definierte Nutzenfunktion muss stetig und quasikonkav sein, damit garantiert (mindestens) ein Nash-Gleichgewichtspunkt existiert. (Für die Mathematiker hier: Denn dann kann man auf die entstehende "Beste-Antwort-Korrespondenz" - welche dadurch entsteht, daß man für Spieler i für jede Stragienkombination aller anderen Spieler die für i beste(n) Antwort(en) sucht - Kakutanis Fixpunktsatz anwenden.)

Einfaches Beispiel: 2-Personenspiel, beide nennen gleichzeitig eine Zahl. Wer die höhere Zahl nennt, gewinnt. Dieses Spiel besitzt kein (Nash)-Gleichgewicht.\(\endgroup\)
 

Kampf und Sieg ?
von: Ex_Mitglied_40174 am: Sa. 19. Juni 2004 21:17:51
\(\begingroup\)Würden die Menschen nach dem Nashgleichgewicht streben, dann gäb es keine Kriege. Wir sind alle Egoisten.\(\endgroup\)
 

Re: Zwischen Genie und Wahnsinn - John F. Nash
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mo. 21. Juni 2004 19:22:32
\(\begingroup\)Das Nash-Gleichgewicht ist durch und durch ein egoistisches Konstrukt. Es wird einzig und allein der eigene Nutzen betrachtet (Natürlich kann man in die Nutzenfunktion altruistische Motive einfließen lassen, das ändert aber nichts daran, daß nur der eigene Nutzen betrachtet wird).

"Krieg" kann durchaus das Ergebnis eines Nash-Gleichgewichts sein. Nash wäre imho einer der letzten, der den Menschen Egoismus absprechen würde.\(\endgroup\)
 

Re: Zwischen Genie und Wahnsinn - John F. Nash
von: Manni_das_Mammut am: Sa. 03. Juli 2004 21:22:41
\(\begingroup\)Sehr schön ausführlich geschriebener Artikel über das faszinierende Leben eines großen Mathematikers. Wenn ich mir aber die Geschichten der Fine Hall in Princeton durchlese, dann weiß ich ganz genau, was für eine Atmosphäre ich heute an unseren Universitäten vermisse.\(\endgroup\)
 

Re: Zwischen Genie und Wahnsinn - John F. Nash
von: Cocolin am: Mo. 11. April 2005 18:36:20
\(\begingroup\)Hat mir sehr gut gefallen! freu mich auf die Fortsetzung :) wann ist die denn fertig? :) mfg. Cocolin\(\endgroup\)
 

Re: Zwischen Genie und Wahnsinn - John F. Nash
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mi. 03. August 2005 14:26:11
\(\begingroup\)War nicht schlecht es war interessant es zu lessen \(\endgroup\)
 

Re: Zwischen Genie und Wahnsinn - John F. Nash
von: Ex_Mitglied_40174 am: Fr. 05. August 2005 21:36:26
\(\begingroup\)War echt fesselnd! Und wie geht es weiter?\(\endgroup\)
 

Re: Zwischen Genie und Wahnsinn - John F. Nash
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mi. 15. Februar 2006 16:53:57
\(\begingroup\)Gut recherchierter und fundierter Artikel ! Hinweis: Wer einen vergleichbaren komplexen Nachfolger eines "Kriegsspiels" mit Nash´s Spieltheorie-Forderungen sucht sollte sich mit "COMBAT MISSION" beschäftigen. Die Spiel-Simulation wird in internationalen Militärkreisen sehr geschätzt. volkerlehnert@bundeswehr.org \(\endgroup\)
 

Re: Zwischen Genie und Wahnsinn - John F. Nash
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mi. 22. März 2006 17:23:59
\(\begingroup\)Boahh, der das alles hier geschrieben hat, bekommt einen dicken, fetten Respekt von mir. Ich interessiere mich sehr für John Forbes Nash. Ich habe Bücher über ihn gelesen und den Film 'A beautiful mind' gesehen. Der Film faszinierte mich einfach.\(\endgroup\)
 

Re: Zwischen Genie und Wahnsinn - John F. Nash
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mo. 26. Juni 2006 12:00:07
\(\begingroup\)"Die Geschichte von John Forbes Nash ist eine Geschichte über das Mysterium des menschlichen Verstandes. Ein Drama in drei Akten: Genie, Wahnsinn und Wiedererwachen." Wann ist der Aufzug für den zweiten Akt? \(\endgroup\)
 

Re: Zwischen Genie und Wahnsinn - John F. Nash
von: Ex_Mitglied_40174 am: Sa. 12. August 2006 01:26:35
\(\begingroup\)sehr super - wann gehts weiter?\(\endgroup\)
 

Re: Zwischen Genie und Wahnsinn - John F. Nash
von: matroid am: Sa. 12. August 2006 22:35:32
\(\begingroup\)Nun, was seit mehr als 2 Jahren nicht fortgesetzt ist, wird es wohl nie werden. Tut mir leid, der Autor macht was anderes jetzt. Vielleicht magst Du die Buchtipps beachten, die ich aus einem früheren Kommentar kopiere und hier wiedergebe: Nämlich: A beautiful Mind - von Sylvia Nassar hier in Englisch LINK-AMAZON hier in Deutsch Link-AMAZON Gruß Matroid \(\endgroup\)
 

Re: Zwischen Genie und Wahnsinn - John F. Nash
von: malliavin am: Mo. 01. Oktober 2007 20:49:38
\(\begingroup\)Das Video-Interview hier: nobelprize.org/nobel_prizes/economics/laureates/1994/nash-interview.html kennt Ihr alle bestimmt schon?!\(\endgroup\)
 

Re: Zwischen Genie und Wahnsinn - John F. Nash
von: Ex_Mitglied_40174 am: Do. 14. Februar 2008 20:50:10
\(\begingroup\)Toller Artikel. Aber ich bezweifele stark, dass Wittgenstein jeden Tag zur Tea-Time aus Cambridge angereist ist. Die sollen ja in England auch ganz guten Tee haben. ^^ \(\endgroup\)
 

Re: Zwischen Genie und Wahnsinn - John F. Nash
von: Ex_Mitglied_40174 am: Fr. 29. Mai 2015 01:12:03
\(\begingroup\)https://mks.mff.cuni.cz/kalva/ Putnams Problems and Solutions \(\endgroup\)
 

Re: Zwischen Genie und Wahnsinn - John F. Nash
von: digerdiga am: Di. 25. Juli 2017 22:41:34
\(\begingroup\)Gabs hierzu eigentlich einen fortgeführten Artikel? Was mich mal interessieren würde ist, ob Nash sich jemals wirklich von den Medikamenten und der sogenannten "Therapie" die er erfahren musste erholt hat, d.h. ob er jemals wieder zu der geistigen Stärke zurückgefunden hat, wenn auch er danach ja nicht mehr entsprechende Arbeiten vorzulegen hatte...\(\endgroup\)
 

 
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