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Selbstverständliches über e und Pi, Teil 1
Jeder von uns kann es wohl im Schlaf auswendig sagen:
die Zahlen e und Pi sind nicht nur irrational, sondern
sogar transzendent, also nicht algebraisch über Q.
Nachdem ich nun schon über algebraische Zahlen
geschrieben habe, möchte ich für die beiden "Klassiker"
e und Pi die Irrationalität zeigen und schließlich
einen Beweis für die Transzendenz von e angeben, der
mit elementaren Mitteln (Arithmetik und Integralrechnung)
auskommt.
Für den Beweis der Transzendenz von Pi, den ich in einem
späteren Artikel darstellen möchte, werden entweder der
Satz von Lindemann-Weierstraß oder aber einige Kenntnisse
über symmetrische Polynome vorauszusetzen sein.
Zur pdf-Version dieses Artikels:
hier
Satz 1: e ist irrational.
Beweis:
Der Beweis ist ohne weitere Klärungen möglich.
Wir verwenden die Reihendarstellung
\ee = sum(1/k!,k=0,\inf)
und nehmen an, \ee sei rational, es gäbe also eine
Darstellung \ee=p/q, p, q \el \IN.
Dann zerlegt man die Summe in
\ee = s+t mit s = sum(1/k!,k=0,q) und t = sum(1/k!,k=q+1,\inf)
und schätzt t mittels
t=1/(q+1)!*sum((q+1)!/(q+1+i)!,i=0,\inf)
<=1/(q+1)!*(sum(1/(q+2)^k,k=0,\inf)
=1/(q+1)!*(1/(1-1/(q+2)))
=1/(q+1)!*(q+2)/(q+2-1)
=(q+2)/(q+1)^2*1/q!
=(q+2)/(q^2+2*q+1)*1/q!
<=(q+2)/(q^2+2*q)*1/q!
=1/q*1/q!
Für b=(\ee-s)*q*q! gilt also 0Historische Anmerkung: Die Irrationalität von e wurde
von Johann Heinrich LAMBERT 1767 erstmals gezeigt.
Er verwendete hierzu eine Kettenbruchentwicklung
(siehe den Artikel von Hans-Juergen).
Diese ist sehr bemerkenswert; es gilt:
\ee-1 = 1+1/(1+1/(2+1/(1+1/(1+1/(4+1/(1+1/(1+1/(6+...))))))))
= [1;1,2,1,1,4,1,1,6,...] (Euler)
Auch interessant:
(\ee+1)/(\ee-1)=2+1/(6+1/(10+1/(14+1/(18+...))))
=[2;6,10,14,18,...] (ebenfalls Euler)
Nun möchte ich die Irrationalität von Pi zeigen. Dazu wird
verwendet, dass die Vielfachen von Pi die Nullstellen der
Sinusfunktion und die Extremstellen des Cosinus sind.
Satz 2: Pi ist irrational.
Beweis: Es wird \pi^2\notel\IQ bewiesen, woraus die
Behauptung sofort folgt. Dazu definiert man ein
Polynom 2*n-ten Grades
f(x)=(x^n*(1-x)^n)/(n!)=1/n!*sum((n;k)*(-1)^k*x^(n+k),k=0,n)
0 und 1 sind n-fache Nullstellen von f, daher gilt
f^(r)(0)=f^(r)(1)=0 für r2n gilt dies sowieso.
Für die übrigen Ableitungen von f gilt
f^((n+r))(x)=1/n!*sum((n;k)*(n+k)!/(k-r)!*(-1)^k*x^(k-r),k=r,n).
Dieser Ausdruck ist für x=0 und x=1 stets ganzzahlig.
Also gilt:
f^(r)(0), f^(r)(1) \el \IZ für alle r \el \IN.
Wir nehmen nun an, dass \pi^2 rational ist, also
\pi^2=p/q mit p,q\el\IN.
Wir bilden aus den Ableitungen, die für x=0 und x=1
ganzzahlig werden, den für x=0 und x=1 ebenfalls
ganzzahligen Ausdruck
F_n(x)=q^n*(\pi^2n*f(x)-\pi^(2n-2)*f''(x)+\pi^(2n-4)*f^(4)(x)-+...+(-1)^n*f^(2n)(x))
=q^n*sum((-1)^j*\pi^(2*(n-j))*f^((2*j))(x),j=0,n), n \el \IN beliebig.
Nun leitet man (F'_n(x)*sin(\pi*x)-\pi*F_n(x)*cos(\pi*x))
nach x ab (um es später als Ableitung von etwas anderem
zu identifizieren) und erhält
F''_n(x)*sin(\pi*x) + \pi*F'_n(x)*cos(\pi*x)-\pi*F'_n(x)*cos(\pi*x)+\pi^2*F_n(x)*sin(\pi*x)
=(F''_n(x)+\pi^2*F_n(x))*sin(\pi*x)
Bei der Auswertung dieses Ausdrucks heben sich alle Terme
mit Ableitungen von f weg:
q^n*sin(\pi*x)*(sum((-1)^j*\pi^(2*(n-j))*f^((2*j+2))(x),j=0,n)+\pi^2*sum((-1)^j*\pi^(2*(n-j))*f^((2*j))(x),j=0,n))
=q^n*sin(\pi*x)*(sum((-1)^j*\pi^(2*(n-j))*f^((2*j+2))(x),j=0,n)+sum((-1)^j*\pi^(2*(n-j+1))*f^((2*j))(x),j=0,n))
=q^n*sin(\pi*x)*(sum((-1)^j*\pi^(2*(n-j))*f^((2*j+2))(x),j=0,n)-sum((-1)^(j-1)*\pi^(2*(n-(j-1)))*f^((2*(j-1)+2))(x),j=0,n))
=q^n*sin(\pi*x)*(sum((-1)^j*\pi^(2*(n-j))*f^((2*j+2))(x),j=0,n)-sum((-1)^j*\pi^(2*(n-j))*f^((2*j+2))(x),j=-1,n-1))
=q^n*sin(\pi*x)*(\pi^(2*n+2)*f(x))
=p^n*\pi^2*f(x)*sin(\pi*x).
Da f auf [0,1] nur Werte zwischen 0 und 1/n! annimmt, ist klar, dass
0 < int(f(x),x,0,1) < 1/n! .
Also gilt wegen 0<=sin(\pi*x)<=1 auf [0,1] auch
0 < int(f(x)*sin(\pi*x),x,0,1)<1/n! und also
0 < int(p^n*\pi*f(x)*sin(\pi*x),x,0,1) < \pi*p^n/n! .
Wählt man n groß genug, so kann also
int(p^n*\pi*f(x)*sin(\pi*x)*\pi*p^n,x,0,1) < 1
erreicht werden.
int(p^n*\pi*f(x)*sin(\pi*x),x,0,1) ist aber nach der Vorrede
das Integral der Ableitung von
((F'_n(x)*sin(\pi*x))-\pi*F_n(x)*cos(\pi*x))/\pi
über dem Intervall [0,1], also gleich der Differenz der
Randwerte
stammf((F'_n(x)*sin(\pi*x))/\pi-F_n(x)*cos(\pi*x),0,1)
=(F'_n(1)*0)/\pi-F_n(1)*(-1)-(F'_n(0)*0)/\pi+F_n(0)*1
=F_n(1)+F_n(0)
und dies ist ganzzahlig, also kann es nicht
zwischen 0 und 1 liegen: Widerspruch.
Hier bekommt man eine Vorstellung davon, wie schwierig es sein
kann, die Irrationalität nicht-algebraischer Ausdrücke nachzuweisen:
Zunächst völlig undurchschaubare polynomiale Ausdrücke werden
definiert, diese werden dann analytisch nach oben abgeschätzt,
während die algebraische Behandlung eine konträre Abschätzung
nach unten liefert. Diese Methode ist dabei trotz der abschreckenden
Terme noch als elementar zu bezeichnen, da man die Hilfsmittel
Ableiten, Integrieren, geometrische Reihe etc. noch in der Schule
bzw. in den ersten Semestern eines Studiums lernt.
Historische Anmerkung: Erstmals wurde die Irrationalität
von Pi 1761 bewiesen, und zwar ebenfalls von Johann Heinrich LAMBERT.
Er kam damit EULER um 14 Jahre zuvor, der dies erst 1775 vermutet
hatte. Auch vermutete Lambert damals bereits, dass Pi transzendent
sei, wenngleich diese Begrifflichkeit noch gar nicht streng
geklärt war.
Prinzipiell die gleiche Vorgehensweise nimmt man auch bei den
Transzendenzbeweisen: Annahme des Gegenteils, Basteln eines
Funktionals aus dem Minimalpolynom, analytische und algebraische
Abschätzungen widersprechen einander und fertig ist der Beweis.
Satz 3: Die Zahl e ist transzendent.
Bevor ich den Beweis angehe, definiere ich das
Funktional
I_f(t)=int(exp(t-u)*f(u),u,0,t)
für eine reelle Zahl t und ein beliebiges Polynom f \el \IC [x]
mit f(x)=sum(a_j*x^j,j=0,n).
(Diese Definition läßt sich auch auf komplexes t erweitern,
da der Integrationsweg in der komplexen Zahlenebene wegen der
Holomorphie des Integranden keine Rolle spielt. Im Beweis der
Transzendenz von Pi wird davon Gebrauch gemacht.)
I_f (t) wird mittels partieller Integration ausgerechnet;
man erhält
I_f (t)=stammf(-exp(t-u)*f(u),0,t)-int(-exp(t-u)*f'(u),u,0,t)
=-exp(0)*f(t)+exp(t)*f(0)+(stammf(-exp(t-u)*f'(u),0,1)-int(-exp(t-u)*f''(u),u,0,t))
=-f(t)+exp(t)*f(0)+(-f'(t)+exp(t)*f'(0))-int(-exp(t-u)*f''(u),u,0,t)
=...
=exp(t)*sum(f^(j)(0),j=0,n)-sum(f^(j)(t),j=0,n),
wobei höhere Ableitungsgrade als n = grad f nicht auftauchen.
Die analytische Standardabschätzung für I_f (t) lautet
abs(I_f (t))<=abs(int(abs(exp(t-u)*f(u)),u,0,t))
<=abs(t)*max(abs(exp(t-u)))*max(abs(f(u)))
<=abs(t)*exp(abs(t))*f^^(abs(t)),
wobei f^^ das Polynom \el \IR [X] ist mit f^^(x)=sum(abs(a_j)*x^j,j=0,n).
Da alle Koeffizienten positiv sind, liegt das Maximum
von f^^(u) am rechten Rand des Integrationsintervalls.
Beweis von Satz 3:
Nehmen wir an, \ee sei Nullstelle eines
Polynoms g \el \IZ [x], also
g(x)=b_0+b_1(x)+...+b_r*x^r,
g(\ee)=0.
Wir wählen eine Primzahl p > max (r, abs(b_0))
(wir werden später brauchen, dass p beliebig groß
gewählt werden kann)
und definieren ein Polynom f,
f(x)=x^(p-1)*(x-1)^p*(x-2)^p*...*(x-r)^p.
Es gilt grad f =(r+1)*p-1 =: n.
Weiter sei ein Funktional definiert:
J_f = b_0*I_f (0) + b_1*I_f (1) + ... + b_r*I_f (r).
Es ist J_f=sum((b_k*exp(k)*sum(f^(j)(0),j=0,n)-b_k*sum(f^(j)(k)),j=0,n),k=0,r)
=sum(b_k*exp(k),k=0,r)*sum(f^(j)(0),j=0,n)-sum(sum(b_k*f^(j)(k),j=0,n),k=0,r)
=-sum(sum(b_k*f^(j)(k),j=0,n),k=0,r).
0 ist p-1-fache Nullstelle von f, 1,...,r sind p-fache
Nullstellen von f. Es bleiben von der Doppelsumme übrig:
J_f = -sum(b_0*f^(j)(0),j=p-1,n)+sum(sum(b_k*f^(j)(k),j=p,n),k=1,r)
Da in dieser Doppelsumme die p-te und höhere Ableitungen eines
Polynoms n. Grades, n > p, mit ganzzahligen Koeffizienten steht,
sind alle Summanden durch p! teilbar (ein Vielfaches jedes Faktors
aus p! findet sich in der Folge der Exponenten von x, die vor den
Koeffizienten aus \IZ multipliziert werden).
Der erste Summand der Einzelsumme ist immerhin noch mit der
gleichen Begründung durch (p-1)! teilbar. Da in f die Faktoren
(x-k)^p keinen Beitrag zur p-1. Ableitung liefern
(p-fache Nullstellen), ist
f^(p-1)(0)=(p-1)!*(-1)^p*(-2)^p*...*(-r)^p
=(p-1)!*(-1)^(r*p)*(r!)^p.
Wegen abs(b_0) < p ist J_f eine ganze Zahl und ein Vielfaches von
(p-1)!, nicht mehr aber von p. Daraus folgt
abs(J_f) >= (p-1)!.
Dies ist die algebraische Abschätzung. Für die analytische gehen
wir zu f^^ über, d. h. zu dem Polynom, dessen Koeffizienten
gleichen Betrag wie die von f haben, aber alle positiv sind,
also
f^^(x)=x^(p-1)*(x+1)^p*(x+2)^p*...*(x+r)^p.
Es ist f^^(k)=k^(p-1)*(k+1)^p*(k+2)^p*...*(k+r)^p
<= (2*r)^(p*r+(p-1))
= (2*r)^n, falls 0<=k<=r.
Daraus folgt für J_f :
abs(J_f) <= sum(abs(b_j)*abs(I_f (j)),j=0,r)
<= sum(abs(b_j)*j*exp(j)*f^^(j),j=0,r)
<= sum(abs(b_j)*(2*r)*exp(j)*(2*r)^((r+1)*p-1),j=0,r)
= c*(2*r)^((r+1)*p).
c = sum(abs(b_j)*exp(j),j=0,r) ist eine von p unabhängige Konstante.
Aus den unterschiedlichen Wachstumsordnungen der
Abschätzungen ergibt sich nun der Widerspruch.
Historische Anmerkung: Die Transzendenz von e wurde erstmals
1873 von Charles HERMITE bewiesen. Sein Ansatz entsprach im
wesentlichen dem, der auch hier - wesentlich vereinfacht -
verwendet wurde.
Dieser Artikel wird demnächst fortgesetzt mit einem Transzendenz-
beweis für die Zahl Pi. Ich hoffe, ihr denkt demnächst an diesen
Artikel und an die große Leistung von Herrn Lambert, wenn ihr
demnächst die Irrationalität von e und Pi verwendet.
Quellen:
http://www.uni-konstanz.de/FuF/mathe/homepages/racke/mblatt/mb6.pdf
(Irrationalität von e)
http://www.pi314.at/math/irrational.html
(Irrationalität von Pi)
http://www.math.sc.edu/~filaseta/gradcourses/Math785/Math785Notes6.pdf
(Transzendenz von e)
Peter Bundschuh, Einführung in die Zahlentheorie, Springer Verlag 1996
Kaleidoskop, Ein mathematischer Almanach, herausgegeben von
Eberhard Oettinger, Klett Verlag 1988
Zur Fortsetzung 
Teil 2: Die Transzendenz von Pi
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