Mathematik: Anonyme Mathematiker bieten Gruppentherapie an
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Mathematik

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Gruppenzwang II


Hallo, Gruppentheorie-Fans und solche, die es einmal werden wollen!

In diesem Kapitel der Gruppenzwang-Reihe soll es darum gehen, verschiedene Grundkonzepte der Gruppentheorie einzuführen, mit denen die Axiome, die wir im letzten Artikel eingeführt haben, hoffentlich etwas besser zu verstehen sind und es uns ermöglichen werden, aus vorhandenen Gruppen neue zu konstruieren.


 
Untergruppen

\darkred\ array(Definition: Untergruppen)__ Sei G eine Gruppe. Eine Teilmenge U \subseteq G heißt \darkblue\ array(Untergruppe von G)__\black||, falls U zusammen mit der auf U eingeschränkten Verknüpfung selbst eine Gruppe ist. Eine übliche, abkürzende Notation für "U ist Untergruppe von G" ist U<=G. Zunächst überlegen wir uns ein paar elementare Dinge über Untergruppen. Was sagt uns beispielsweise das erste Gruppenaxiom? Wir erinnern uns: \ll(E)Existenz und Wohldefiniertheit: Die Verknüpfung ist eine Abbildung U\times\ U\to\ U. Die Verknüpfung hier ist die Einschränkung der Gruppenverknüpfung von G laut Definition, d.h., das Produkt zweier Elemente von U ist dasselbe, wie es das auch schon in G war. Die wesentliche Forderung besteht jetzt darin, dass dieses Produkt wieder in U landen muss. Man sagt dazu U sei array(abgeschlossen unter der Multiplikation)__. Was sagt uns das zweite Gruppenaxiom? \ll(A)Assoziativität: \forall a,b,c\in\ U: (ab)c=a(bc). Hier ist nichts passiert, denn das Assoziativitätsgesetz gilt ja schon für G und wenn die Gleichung für alle Elemente von G richtig ist, dann ist sie erst recht auch für alle Elemente von U richtig. Weiter zum nächsten Axiom: \ll(N)Neutrales Element: \exists e_U\in\ U \forall u\in\ U: e_U*u=u. Jetzt wird es schon spannender: Wir wissen, dass G ebenfalls ein neutrales Element besitzt. Aber sind das jetzt zwei verschiedene Elemente oder ist es ein und dasselbe? Wir prüfen das nach: Es muss ja e_U e_U=e_U gelten. Wenn wir nun das Inverse \(in G\) von e_U benutzen, erhalten wir e_U = (e_U^(-1) e_U) e_U = e_U^(-1) (e_U e_U) = e_U^(-1) e_U = e_G. Also unterscheiden sich das neutrale Element von U und von G nicht voneinander. Das liefert eine weitere Begründung dafür, weshalb man neutrale Elemente meist ohne Unterscheidung für alle Gruppen als 1 \(bzw. 0, falls es sich um additiv geschriebene Gruppen handelt\) bezeichnet. Was sagt uns das letzte der vier Gruppenaxiome? \ll(I)Inverse Elemente: \forall u\in\ U \exists u'\in\ U: u' u=e_U. Auch hier stellt sich die naheliegende Frage: Ist das in G berechnete Inverse von u dasselbe, wie das in U berechnete? Ja, das ist der Fall, denn u' u = e_U = e_G, wie wir uns eben überlegt haben. Das Inverse in der Gruppe G ist nun eindeutig durch diese Gleichung bestimmt, d.h. u' ist auch das Inverse von u bzgl. G. Dies wird auch als array(Abgeschlossenheit unter Inversenbildung)__ bezeichnet. Dies liefert uns eine Rechtfertigung, alle Inversen stets mit x^(-1) \(bzw. eben -x bei additiv geschriebenen Gruppen\) zu notieren, ungeachtet der Gruppe, auf die wir uns beziehen. Ab jetzt werden wir das auch tun.

 
Das Untergruppenkriterium

Unsere Überlegungen fassen wir in folgendem Lemma zusammen, das uns zugleich auch eine Methode in die Hand gibt, Teilmengen darauf zu untersuchen, ob sie denn wirklich Untergruppen sind: \darkred\ array(Lemma: Untergruppenkriterium)__ Sei G eine Gruppe und U\subseteq\ G eine Teilmenge. Äquivalent sind: \ll(1.) U<=G, d.h. U ist eine Untergruppe von G. \ll(2.) U erfüllt: | | (a) \forall u,v\in\ U: uv\in\ U | | (b) 1\in\ U | | (c) \forall u\in\ U: u^(-1)\in\ U \ll(3.) U erfüllt: | | (a) U != \emptyset | | (b) \forall u,v\in U: uv^(-1)\in\ U \blue\ Beweis: \blue\ 1. => 2. haben wir uns eben überlegt. \blue\ 2. => 1. folgt aus genau denselben Überlegungen: Wenn 2.a) gegeben ist, dann ist die Multiplikation eine Abbildung U\times\ U\to\ U, also ist E gegeben. Die Assoziativität gilt sowieso, weil sie für G gilt. Also stimmt auch A. Ist 1\in\ U, so gilt \forall u\in\ U: 1u=u, da das bereits für alle Elemente von G gilt, also erst recht für die von U. Das zeigt N. Schließlich gilt \forall u\in\ U: u^(-1)\in U und u^(-1)\.u=1, d.h. auch I ist für U erfüllt. Somit ist U eine Untergruppe. \blue\ 2. => 3. ist ebenfalls sehr einfach: U!=\emptyset gilt, da 1\in\ U. Sind u,v\in\ U, so gilt nach 2.c) v^(-1)\in U und nach 2.a) uv^(-1)\in\ U, also ist 3.b) erfüllt. \blue\ 3. => 2. Das ist der einzige Punkt, bei dem ein kleiner Trick versteckt ist. Sei zunächst u\in\ U ein beliebiges Element. Nach 3.a) gibt es so etwas. Dann gilt nach 3.b): 1=uu^(-1)\in\ U, also ist 2.b) erfüllt. Nun sind also 1 und u Elemente von U. Nach 3.b) gilt also u^(-1) = 1u^(-1)\in\ U. Damit haben wir 2.c) bewiesen. Schließlich folgt auch 2.a), denn sind u,v\in\ U beliebig, so gilt, wie eben gesehen, v^(-1)\in\ U und mittels 3.b) damit: uv = u(v^(-1))^(-1) \in\ U. \blue\ q.e.d.

 
Beispiele und Gegenbeispiele

\darkred\ array(Triviale Beispiele)__ In jeder Gruppe G sind menge(1) und G selbst Untergruppen von G, denn natürlich sind beide nichtleer, abgeschlossen unter Multiplikation und unter Inversenbildung. Es kann passieren, dass dies die einzigen Untergruppen von G sind. Das tritt z.B. \(genauer gesagt: dann und nur dann\) ein, wenn G die Gruppe menge(0,1,...,p-1) mit der Addition modulo p ist, wobei p eine Primzahl ist. \darkred\ array(Modulorechnen)__ Erinnern wir uns an das Rechnen modulo n aus dem letzten Kapitel. Die "Uhren\-Arithmetik", also menge(0,1,2,...,23) zusammen mit der Addition modulo 24, hat die Untergruppe U:=menge(0,6,12,18), denn wenn a und b durch 6 teilbar sind, so auch a+b und auch a+b-k*24 für alle k\in\IZ. Also ist (a+b) MOD 24 ebenfalls durch 6 teilbar, d.h. wieder eine von den vier Zahlen aus U. Also ist U unter Addition modulo 24 abgeschlossen. U enthält auch das neutrale Element 0, es bleibt also noch die Abgeschlossenheit unter Inversenbildung nachzuprüfen. 0 ist das Inverse von 0. Für alle anderen ist 24-x das Inverse und, wenn 6 \| x, dann ist auch 6 \| (24-x). \darkred\ array(Gewöhnliche Zahlen)__ Für die Gruppen bzgl. Addition gilt: \IZ<=\IQ<=\IR<=\IC Für die Gruppen bzgl. Multiplikation gilt genauso \IQ^opimg(\times) <= \IR^opimg(\times) <= \IC^opimg(\times) \darkred\ array(Gegenbeispiele)__ \IN ist keine Untergruppe von \IZ. Es gilt zwar 0\in\IN und auch \forall a,b\in\IN: a+b\in\IN, jedoch ist \IN nicht unter Inversion abgeschlossen, denn es ist etwa -1\notin\IN. menge(-1,0,+1)\subseteq\IZ ist unter Inversion abgeschlossen und enthält das neutrale Element, ist jedoch keine Untergruppe von \IZ, da z.B. 1+1\notin\ menge(-1,0,+1) ist. \emptyset ist unter Inversion und Multiplikation abgeschlossen, ist jedoch auch keine Untergruppe \(egal, von welcher Gruppe\), weil das neutrale Element nicht enthalten ist.

 
Untergruppen der ganzen Zahlen

Wir wollen ein klein wenig komplexeres, dafür aber um so wichtigeres Beispiel besprechen und alle Untergruppen der ganzen Zahlen klassifizieren: \darkred\ Satz__ Die Untergruppen von \IZ sind exakt die Teilmengen der Form n\IZ:=menge(nk | k\in\IZ) für n\in\IN. \blue\ Beweis: Zunächst überzeugen wir uns davon, dass alle diese Teilmengen wirklich Untergruppen sind. Dazu benutzen wir natürlich wieder das Untergruppenkriterium. Da 0=n*0\in\ n\IZ ist, für jedes n, sind alle diese Mengen nichtleer. Sind nk und nm zwei beliebige Elemente von n\IZ, so ist nk-nm=n(k-m)\in\ n\IZ, d.h. n\IZ ist eine Untergruppe von \IZ. Es muss nun noch gezeigt werden, dass jede__ Untergruppe U<=\IZ die Form n\IZ für ein geeignet zu wählendes n hat. Ist U=menge(0), so ist nichts zu beweisen, denn menge(0)=0\IZ hat bereits die gewünschte Form. Ist U!=menge(0), so gibt es also ein Element k\in\ U, das ungleich 0 ist. Falls k<0 ist, so liegt auch das Inverse -k in U \(denn U ist eine Untergruppe\) und -k wäre größer als 0. Es gibt also in jedem Fall ein Element in U, das größer als 0 ist. Wir bezeichnen mit n nun das kleinste__ positive Element von U und behaupten, dass für diese natürliche Zahl U=n\IZ gilt. n ist ein Element von U, d.h. n+n, n+n+n, n+n+n+n, ... und -n, (-n)+(-n), (-n)+(-n)+(-n), ... sind ebenfalls Elemente von U, da U als Untergruppe unter Inversenbildung und Addition abgeschlossen ist. Damit haben wir schon n\IZ\subseteq\ U gezeigt. Es muss also noch die umgekehrte Inklusion gezeigt werden. Sei dafür u\in U ein beliebiges Element. Wir führen eine Division mit Rest durch, um u als u=qn+r mit q\in\IZ und r\in\ menge(0,1,...,n-1) zu schreiben. Nun ist u\in\ U und qn\in\ n\IZ\subseteq\ U, d.h. u-qn=r ist auch in U. Jetzt war n aber das array(kleinste positive)__ Element von U und r ist nach Konstruktion echt kleiner als n. r darf also nicht positiv sein. Es bleibt damit als einzige Lösung r=0, d.h. u=qn übrig. Damit ist u\in\ n\IZ und, weil u\in\ U beliebig war, auch U=n\IZ gezeigt. \blue\ q.e.d.

 
Erzeugendensysteme

Es gibt eine allgemeine Konstruktionsmöglichkeit für Untergruppen, die ich jetzt vorstellen möchte. Dazu überzeugen wir uns zunächst von folgendem Fakt: \darkred\ Lemma__ Sei G eine Gruppe und \(U_i\.\)_(i\in\ I) eine Familie von Untergruppen U_i<=G. Dann ist auch schnitt(U_i,i\in\ I) <= G. \blue\ Beweis: Der Beweis fällt uns nicht mehr schwer, jetzt, wo wir mit dem Untergruppenkriterium so gut umgehen können: schnitt(U_i,i\in\ I) ist nichtleer, da alle U_i das Element 1 enthalten. Sind x,y\in\ schnitt(U_i,i\in\ I) beliebig, so gilt natürlich x,y\in\ U_i für alle i\in\ I. Da alle diese U_i Untergruppen sind, gilt also xy^(-1)\in\ U_i. Da i hier beliebig war, folgt also xy^(-1)\in\ schnitt(U_i,i\in\ I) wie gewünscht. \blue\ q.e.d. Damit können wir nun folgende Definition treffen: \darkred\ array(Definition: Erzeugte Untergruppen und Erzeugendensysteme)__ Sei G eine Gruppe und E\subseteq\ G eine beliebige Teilmenge. Dann bezeichnen wir mit \ die kleinste Untergruppe von G, die E enthält, d.h.: \ = schnitt(U,array(U<=G;E\subseteq\ U)) Diese Untergruppe bezeichnet man auch als die von \darkblue\ array(E erzeugte Untergruppe)__\black||. Ist U<=G eine Untergruppe und \=U, so nennt man E ein \darkblue\ array(Erzeugendensystem von U)__\black||. Dies ist eine sehr nützliche, abstrakte Beschreibung der von E erzeugten Untergruppe. Genauso nützlich ist aber folgende konkrete Beschreibung: \darkred\ Lemma__ Sei G eine Gruppe und E\subseteq\ G eine beliebige Teilmenge. Dann gilt: \ = menge(e_1^(k_1)*e_2^(k_2)* ... *e_n^(k_n) | n\in\IN, e_i\in\ E, k_i\in\IZ) \blue\ Beweis: Sei U die Menge auf der rechten Seite. Wir müssen nun zwei Dinge zeigen, wenn wir \=U zeigen wollen: \ll(1.)U ist eine Untergruppe, die E enthält, und \ll(2.)jede andere Untergruppe, die E enthält, enthält auch U, d.h. U ist die kleinste__ Untergruppe mit dieser Eigenschaft. Zu 1. U ist nichtleer, denn wenn wir n=0 in der Definition wählen, ist e_1^(k_1)*e_2^(k_2)*...*e_n^(k_n) das leere Produkt mit 0 Faktoren, welches definitionsgemäß gleich 1 ist, d.h. 1\in\ U. Sind x,y\in\ U beliebig, d.h. x=e_1^(k_1)*e_2^(k_2)*...*e_n^(k_n) und y=f_1^(m_1)*f_2^(m_2)*...*f_l^(m_l) für geeignete e_i, f_i\in\ E und geeignete Exponenten k_i, m_i\in\IZ, so ist xy^(-1) = e_1^(k_1)*e_2^(k_2)*...*e_n^(k_n) * f_l^(-m_l)*...*f_2^(-m_2)*f_1^(-m_1). Dieses Gruppenelement ist von der in der Definition geforderten Form, also Element von U. Damit ist U eine Untergruppe. U enthält definitionsgemäß auch alle Elemente der Form e=e^1 mit ein E, d.h. E\subseteq\ U. Zu 2. Ist andererseits V<=G eine Untergruppe mit E\subseteq\ V, dann enthält V alle ein E, also auch alle Potenzen e^k, denn V enthält als Untergruppe 1=e^0 und ist unter Multiplikation mit e und e^(-1)\in\ V abgeschlossen. Und weil V unter Multiplikation abgeschlossen ist, enthält es auch alle Produkte von Potenzen e_1^(k_1)*e_2^(k_2)*...*e_n^(k_n). Das heißt also U\subseteq\ V, und die Aussage ist bewiesen. \blue\ q.e.d. Es gibt natürlich immer Erzeugendensysteme. Beispielsweise ist stets U selbst ein Erzeugendensystem von U. Wir können selbstverständlich auch kleinere Erzeugendensysteme finden. Welches Erzeugendensystem geschickterweise gewählt werden sollte, hängt stark vom Problem ab, das man lösen möchte. \darkred\ array(Beispiel: Rationale Zahlen)__ Ein Erzeugendensystem der additive Gruppe \IQ ist die Menge aller Stammbrüche: E:=menge(1/n | n\in\IN_(>0)) Jede rationale Zahl a/b mit a\in\IZ, b\in\IN_(>0) kann ja als a*1/b, d.h. 1/b+1/b+... \(falls a>=0\) bzw. -1/b-1/b-... \(falls a<0\) geschrieben werden. Wir erkennen jedoch, dass die Darstellung mittels Elementen des Erzeugendensystems keinesfalls eindeutig zu sein braucht, denn es ist z.B. 2/3 = 1/3+1/3 = 1/6+1/6+1/6+1/6. Für manche Gruppen gibt es besonders einfache Erzeugendensysteme, mit deren Hilfe man viel über die Gruppe aussagen kann. Ein Beispiel dafür sind die sogenannten zyklischen Gruppen: \darkred\ array(Definition: Zyklische Gruppen)__ Eine Gruppe, die ein Erzeugendensystem besitzt, welches genau ein Element hat, heißt auch \darkblue\ zyklisch__\black||. Eine zyklische Gruppe G=\ besteht also nach obigem Lemma genau aus allen ganzzahligen Potenzen von g: G=menge(g^k | k\in\IZ). \darkred\ array(Beispiel: Ganze Zahlen)__ Eine unendliche, zyklische Gruppe sind die ganzen Zahlen, denn menge(1) ist ein Erzeugendensystem: Jede ganze Zahl k\in\IZ kann als "Potenz" - aufgrund der additiven Schreibung ist es hier ein Produkt - von 1, nämlich als k*1 geschrieben werden. Es existiert \(genau\) ein weiteres einelementiges Erzeugendensystem, nämlich menge(-1). Die Untergruppen n\IZ sind auch zyklisch, sie werden erzeugt von menge(n) mit analoger Begründung. Ein weiteres Erzeugendensystem wäre menge(-n). \darkred\ array(Beispiel: Modulorechnen)__ Es gibt jedoch auch endliche zyklische Gruppen. Unsere Gruppen aus dem letzten Kapitel menge(0,1,2,...,n-1) zusammen mit der Addition modulo n bilden ein Beispiel dafür: Auch hier ist menge(1) ein Erzeugendensystem, wie man sich leicht überzeugt. An diesem Beispiel wird auch klar, weshalb man von "zyklischen" Gruppen spricht, denn bestimmt man der Reihe nach alle "Potenzen" - auch hier wieder als Produkte geschrieben - von 1 bzgl. der Addition modulo n, so ergibt sich: | | 0*1=0 | | 1*1=1 | | 2*1=2 | | ... | | (n-1)*1= n-1 | | n*1=0 denn wir rechnen modulo n !! | | (n+1)*1=1 | | ... Die Untergruppe menge(0,6,12,18) für n=24, die wir oben als Beispiel hatten, ist ebenfalls zyklisch. Sie wird, wie man sich sofort klar macht, von menge(6) erzeugt. Im Wesentlichen waren das bereits alle zyklischen Gruppen, die es gibt. Wir werden das im nächsten Artikel präzise machen. Im vierten Artikel werden wir dann auch zeigen, dass die Untergruppenbeispiele nur Spezialfälle eines allgemeinen Prinzips sind: Untergruppen zyklischer Gruppen sind immer selbst zyklisch. Ein Wort noch zur Notation: Zwar haben wir die Symbolik \ nur für Teilmengen E\subseteq\ G definiert, benutzt werden jedoch auch verschiedene Abwandlungen dieser Notation, die nicht ganz unserer Definition entsprechen. Will man beispielsweise die Elemente von E explizit angeben, so lässt man ggf. auch die Mengenklammern weg und schreibt beispielsweise \ statt \<\.menge(x,y,z)\>. Insbesondere schreibt man bei zyklischen Gruppen gern G=\, um auszudrücken, dass die einelementige Menge menge(g) ein Erzeugendensystem von G ist. Hat man die Elemente beispielsweise durchnummeriert, so schreibt man auch \ oder Ähnliches in Anlehnung an die entsprechende Mengenschreibweise menge(a_i | i=1... n). Eine Mischform entsteht, wenn man einfach Mengen und Elemente zusammenwürfelt. So meint \ etwa die von E_1\union\ E_2\union\ menge(x,y,z) erzeugte Untergruppe. Es ergibt sich aber üblicherweise aus dem Kontext, welche Menge von Erzeugenden jeweils gemeint ist.

 
Nebenklassen und der Satz von Lagrange

\darkred\ array(Definition: Nebenklassen)__ Sei G eine Gruppe, X,Y\subseteq\ G beliebige Teilmengen. Dann definieren wir XY:=X*Y:=menge(xy | x\in X, y\in Y) und X^(-1):=menge(x^(-1) | x\in X) Ist X=menge(x), so schreiben wir abkürzend auch xY und Yx statt menge(x)Y und Y\.menge(x). Ist U<=G eine Untergruppe und g\in\ G ein beliebiges Element, dann heißt gU eine \darkblue\ array(Linksnebenklasse von U in G)__\black und analog Ug eine \darkblue\ array(Rechtsnebenklasse von U in G)__\black||. Bei additiv geschriebenen Gruppen schreibt man Nebenklassen entsprechend auch als g+U bzw. U+g auf \(wobei man die additive Notation fast nur bei abelschen Gruppen benutzt, wo die Unterscheidung zwischen Rechts\- und Linksnebenklassen dann überflüssig wird\). Wir lassen bei dieser Schreibweise oft Klammerungen weg, da sich die Assoziativität von Elementen auf Teilmengen von G überträgt. Für alle X,Y,Z\subseteq G gilt nämlich: \align X(YZ) ><= menge(xa | x\in X, a\in YZ) ><=menge(x(yz) | x\in X, y\in Y, z\in Z) ><=menge((xy)z | x\in X, y\in Y, z\in Z) ><=menge(bz | b\in XY, z\in Z) ><=(XY)Z \stopalign \darkred\ Beispiel__ Betrachten wir die Nebenklassen der beiden trivialen Untergruppen menge(1) und G von G: g\.menge(1)=menge(g1)=menge(g), d.h. die Nebenklassen von menge(1) in G sind die einelementigen Teilmengen von G. menge(1) hat also genauso viele Nebenklassen in G wie G Elemente hat. Hingegen ist gG=menge(gh | h\in G)=menge(x | x\in G) = G, denn jedes Element von G lässt sich als gh mit geeignetem h schreiben \(nämlich h=g^(-1) x\). Es gibt also stets nur eine Nebenklasse von G in G. Der Sinn der Definition einer Nebenklasse erschließt sich nicht sofort, aber betrachten wir einmal folgendes Lemma: \darkred\ array(Lemma: Gleichheit von Nebenklassen)__ Sei G eine Gruppe, U<=G und g,h\in\ G beliebig. Dann sind folgende Aussagen äquivalent: \ll(1.) gU=hU \ll(2.) gU\cap hU!=\emptyset \ll(3.) h^(-1) g\in U \ll(4.) g^(-1) h\in U Für Rechtsnebenklassen gilt Entsprechendes: \ll(1.) Ug=Uh \ll(2.) Ug\cap Uh!=\emptyset \ll(3.) hg^(-1)\in U \ll(4.) gh^(-1)\in U Lässt man sich die Aussage des Lemmas etwas genauer durch den Kopf gehen, dann kann man folgende Interpretation von Nebenklassen geben: Wenn man die Elemente der Untergruppe U als "vernachlässigbar" \(in welchem Sinne auch immer\) auffasst, so sind zwei Nebenklassen gU und hU genau dann gleich, wenn g und h "im Wesentlichen" gleich sind, d.h. bis auf Multiplikation eines Elementes aus U. Die Elemente unterscheiden sich also nur um etwas Vernachlässigbares. Mit diesem Konzept kommt man schon sehr weit. Je nach Problemstellung ergeben sich oft ganz natürlich Situationen, in denen bestimmte Elemente der Gruppe keine Rolle spielen und dann treten oft auch Nebenklassen auf. Das nützt jedoch alles gar nichts, solange wir das Lemma nicht beweisen können. Also los: \blue\ Beweis: \blue\ 1. => 2. Das ist trivial, denn natürlich ist jede Nebenklasse eine nichtleere Menge \(gU enthält ja immer mindestens g1\). \blue\ 2. => 3. Das sieht man wie folgt ein: Ist x\in\ gU\cut\ hU, so gibt es Elemente u,v\in\ U mit x=gu und x=hv, also gu=hv => h^(-1) g=vu^(-1) \in\ U. \blue\ 3. <=> 4. g^(-1) h ist das Inverse von h^(-1) g. \blue\ 3.+4. => 1. Sei also u_0:=h^(-1) g. Es gilt dann gu = h(h^(-1) g)u=h(u_0 u) \in\ hU für alle u\in\ U. Daher ist gU\subseteq\ hU. Aus Symmetriegründen gilt aber auch hU\subseteq\ gU, d.h. gU=hU. \blue\ q.e.d. Eine wichtige Beobachtung, die aus diesem Lemma folgt: Zwei Linksnebenklassen sind entweder gleich oder disjunkt. Da jedes g\in\ G in einer Linksnebenklasse \(sogar genau einer, nämlich gU\) enthalten ist, bilden die Linksnebenklassen von U in G eine Partition von G. Genau dasselbe gilt natürlich auch für Rechtsnebenklassen. Ganz besonders nützlich ist es oftmals, genau zu wissen, wie viele Nebenklassen es gibt. Daher treffen wir folgende Definition: \darkred\ array(Definition: Index)__ Sei G eine Gruppe und U<=G. Als \abs(G:U) definieren wir die Anzahl der Linksnebenklassen von U in G. Dabei ist übrigens mit keinem Wort ausgeschlossen worden, dass abs(G:U) unendlich ist. U kann durchaus unendlich viele Nebenklassen in G haben. In dieser Definition haben wir uns auf Linksnebenklassen eingeschränkt, obwohl bis jetzt Rechts\- und Linksnebenklassen stets gleichberechtigt waren und im Wesentlichen dieselben Eigenschaften hatten. Natürlich ist auch der Index für Rechts\- und Linksnebenklassen gleich \(sonst hätten wir auch eine Notation gewählt, die deutlich erkennbar rechts\- oder linksseitig ist\). Das sieht man wie folgt: Wenn wir die Inversion auf eine Nebenklasse anwenden, erhalten wir: (gU)^(-1) = menge((gu)^(-1) | u\in U) = menge(u^(-1) g^(-1) | u \in U) = menge(vg^(-1) | v\in U)=Ug^(-1) Aus einer Linksnebenklasse wird so eine Rechtsnebenklasse. Wenn wir nun g\in\ G laufen lassen, so durchläuft auch g^(-1) alle Elemente von G. Damit liefert das mengenweise Invertieren also eine Bijektion von der Menge der Links\- auf die Menge der Rechtsnebenklassen und umgekehrt. Bevor wir uns dem Satz von Lagrange zuwenden, wollen wir einen weiteren Größenvergleich machen: Nicht nur die Mengen der Links\- und Rechtsnebenklassen sind gleich groß, es sind sogar die Nebenklassen selbst alle von identischer Größe. Das sieht man wie folgt: \lambda_h:=cases(G\to\ G;g\mapsto\ hg) ist eine Bijektion von G auf sich selbst \(die Umkehrabbildung ist \lambda_(h^(-1)), wie man leicht überprüft\), genannt "Linkstranslation". Wendet man diese Abbildung auf eine Linksnebenklasse an, so erhält man: \lambda_h (gU) = menge(h(gu) | u\in U) = menge((hg)u | u\in U) = (hg)U Die Abbildung schickt also gU auf hgU. Weil es sich um eine bijektive Abbildung handelt, erkennen wir, dass gU und hgU gleich groß sind. Da wir die freie Auswahl von h haben und jedes Gruppenelement g'\in\ G als hg geschrieben werden kann, wenn wir h geschickt wählen \(nämlich als h=g'g^(-1)\.\), erkennen wir, dass wirklich alle__ Linksnebenklassen von U in G gleich groß sind. Gänzlich analog funktioniert das natürlich auch für Rechtsnebenklassen, wenn man die Rechtstranslation \rho_h:=cases(G\to\ G;g\mapsto\ gh) benutzt. Nun zum Satz von Lagrange. Er zeigt uns die wesentliche Beziehung von Indizes verschiedener Untergruppen: \darkred\ array(Satz von Lagrange)__ Seien A,B,C Gruppen und A<=B<=C. Dann gilt abs(C:A) = abs(C:B)*abs(B:A) und damit insbesondere auch abs(C)=abs(C:B)*abs(B). \blue\ Beweis: Wir wählen uns eine Familie \(b_i\.\)_(i\in\ I) von Elementen b_i\in\ B, sodass aus jeder Linksnebenklasse von A in B genau ein b_i gewählt wurde. Jedes b_i ist natürlich in der Nebenklasse b_i\.A und, weil wir das so gewählt haben, kommt jede Nebenklasse dabei genau einmal vor. Wir wählen analog eine zweite Familie \(c_j\.\)_(j\in\ J) von Elementen c_j\in\ C für die Linksnebenklassen von B in C. Man nennt solche Familien übrigens auch array(vollständige Repräsentantensysteme)__ der Linksnebenklassen. Es gilt nun also: C=union(c_j\.B,j\in\ J,opimg(*)) $ $ $ $ B=union(b_i\.A,i\in\ I,opimg(*)) \(Der Punkt über dem Vereinigungssymbol zeigt an, dass es sich um eine disjunkte Vereinigung handelt.\) Und noch einmal umformuliert sagt die Bedingung, mit der wir \(b_i\.\) bzw. \(c_j\.\) gewählt haben, dass \forall i,i'\in I: b_i\.A=b_i'\.A \iff i=i' und analog \forall j,j'\in J: c_j\.B=c_j'\.B \iff j=j' gilt. Wenn wir nun diese Gleichungen ineinander einsetzen, erhalten wir: C=union(c_j(union(b_i\.A,i\in\ I)),j\in\ J) = union(union(c_j(b_i\.A),i\in\ I),j\in\ J) = union((c_j\.b_i)A,(i,j)\in\ I\times\ J) Wir haben also eine Familie \(c_j\.b_i\.\)_((i,j)\in\ I\times\ J) von Elementen aus C, sodass alle Linksnebenklassen von A in C die Form c_j\.b_i\.A für geeignete i,j haben. Also kann es höchstens__ abs(I\times\ J) Nebenklassen von A in C geben. Wir zeigen nun, dass das sogar eine disjunkte Vereinigung ist: $ $ $ $ c_j\.b_i\.A = c_j'\.b_i'\.A => $c_j\.B \cut c_j'\.B != \emptyset da b_i\.A und b_i'\.A\subseteq\ B => $ $ $ $ $ c_j = c_j' =>$ $ $ $c_j\.b_i\.A = c_j\.b_i'\.A => $ $ $ $ $b_i\.A = b_i'\.A => $ $ $ $ $ b_i = b_i' Also sind die Nebenklassen paarweise disjunkt, und es gibt daher genau__ abs(I\times\ J)=abs(I)*abs(J) Linksnebenklassen von A in C. Nach Konstruktion war nun abs(I)=abs(B:A) und abs(J)=abs(C:B), d.h. wir erhalten wie gewünscht die Gleichung abs(C:A)=abs(C:B)*abs(B:A). Wenn wir nun speziell die Untergruppe A=menge(1) betrachten, dann haben wir uns vorhin überlegt, dass abs(C:||menge(1))=abs(C) und analog abs(B:||menge(1))=abs(B) gilt. Also ergibt sich als Spezialfall: abs(C)=abs(C:B)*abs(B) \blue\ q.e.d. Interessant wird der Satz von Lagrange insbesondere dann, wenn es um endliche Gruppen geht, denn alle Indizes sind dann natürliche Zahlen größer 0 und wir können folgern, dass beispielsweise abs(A) ein Teiler von abs(B) und abs(B) ein Teiler von abs(C) sein muss, wenn A<=B<=C ist. Das ist eine sehr wichtige Erkenntnis! Dadurch werden die Eigenschaften von endlichen Gruppen und ihren Untergruppen stark eingeschränkt. Viele weitere Teilbarkeitsaussagen \(die letztendlich aber alle aus dem Satz von Lagrange gefolgert werden\) bilden das Rückgrat der endlichen Gruppentheorie. Die erste, sehr wichtige Strukturaussage, die sich daraus folgern lässt, ist die folgende: \darkred\ array(Satz: Gruppen mit Primzahlordnung)__ Sei G eine Gruppe, deren Ordnung abs(G)=p eine Primzahl ist. Dann ist G zyklisch und jedes menge(g) mit g\in\ G\\ menge(1) ist ein Erzeugendensystem. \blue\ Beweis: Betrachten wir die von menge(g) erzeugte Untergruppe, d.h. \=menge(g^k | k\in\IZ). Ist g!=1, so enthält diese Untergruppe mindestens zwei Elemente, nämlich 1 und g^1=g. Der Satz von Lagrange sagt uns jedoch, dass abs(\) ein Teiler der Gruppenordnung p sein muss. Als Primzahl hat p nur zwei Teiler: 1 und p selbst. Die Ordnung der Untergruppe ist mindestens 2, also kommt nur noch p in Frage. Da es insgesamt nur p Elemente in G gibt, muss daher G=\ sein, d.h. G ist zyklisch. \blue\ q.e.d.

 
Normalteiler und Faktorgruppen

Eine ganz besondere Klasse von Untergruppen sind die sogenannten Normalteiler. Man kann ganz kurz formulieren, dass Normalteiler genau diejenigen Untergruppen sind, deren Rechts- und Linksnebenklassen sich nicht unterscheiden. Es gibt verschiedene äquivalente Formulierungen, die wir uns gleich zu Beginn anschauen wollen: \darkred\ array(Lemma und Definition: Normalteiler)__ Sei G eine Gruppe und N<=G eine Untergruppe. Dann sind folgende Bedingungen äquivalent: \ll(1.) \forall g\in G: gN=Ng \ll(2.) \forall g\in G: gNg^(-1)=N \ll(3.) \forall g\in G: gNg^(-1)\subseteq N \ll(4.) \forall g\in G, n\in N: gng^(-1) \in N Erfüllt N in dieser Situation eine Bedingung \(und damit alle Bedingungen\), so nennt man N einen \darkblue\ array(Normalteiler von G)__\black oder sagt auch, N sei \darkblue\ array(normal in G)__\black||. Man notiert dies auch kurz als N<|G. \blue\ Beweis des Lemmas: \blue\ 1. <=> 2. sieht man leicht durch Multiplikation mit geeigneten Elementen ein: \align gN=Ng ><<=> (gN)g^(-1)=(Ng)g^(-1) ><<=> gNg^(-1) = Ngg^(-1) = N \stopalign \blue\ 3. <=> 4. ist offensichtlich, da \forall n\in\ N: gng^(-1)\in\ N nur die ausformulierte Version der Aussage gNg^(-1)\subseteq\ N ist. \blue\ 2. => 3. ist auch offensichtlich. Einzig zu zeigen bleibt also \blue\ 3. => 2.\black||: Dafür benutzen wir, dass die Bedingung array(für alle)__ g\in\ G gelten soll, d.h. insbesondere gilt sie auch für g^(-1): g^(-1)\.N(g^(-1))^(-1)\subseteq N => N=(gg^(-1))N(gg^(-1)) = g(g^(-1)\.Ng)\.g^(-1) \subseteq gNg^(-1) Da die umgekehrte Inklusion gNg^(-1)\subseteq N auch vorausgesetzt ist, gilt also die Gleichheit gNg^(-1)=N. \blue\ q.e.d. Besonders der erste Punkt sagt uns, dass in abelschen Gruppen kein Unterschied zwischen gewöhnlichen Untergruppen und Normalteilern besteht. Nur in nichtabelschen Gruppen ist es sinnvoll, dazwischen zu unterscheiden. \darkred\ array(Beispiel: Triviale Normalteiler)__ In jeder Gruppe G sind menge(1) und G normal, denn für alle g\in\ G gilt natürlich g*1*g^(-1) = gg^(-1) = 1\in\ menge(1) bzw. \forall h\in\ G: ghg^(-1)\in\ G. Es kann passieren, dass es keine anderen Normalteiler von G gibt. Man nennt G in diesem Fall eine \darkblue\ array(einfache Gruppe)__\black \(man darf sich aber vom Namen nicht verwirren lassen, denn die Theorie der einfachen Gruppen kann ziemlich kompliziert sein\). Besonders interessant werden Normalteiler im Zusammenhang mit den sogenannten Faktorgruppen. Wir erinnern uns an die Veranschaulichung, die wir uns für Nebenklassen überlegt hatten. Eine Nebenklasse gU umfasst alle Elemente, die "im Wesentlichen" gleich g sind, wobei das, was "unwesentlich" ist, durch U definiert wird. Wenn wir jetzt zwei Elemente g,g' haben, die aus derselben Nebenklasse sind, d.h. sich nur um (Rechts)Multiplikation eines Elementes aus U unterscheiden, und zwei Elemente h,h' die ebenfalls aus einer Nebenklasse sind, dann ist es wünschenswert, dass dann auch gh und g'h' aus derselben Nebenklasse sind, denn wenn g und g' sowie h und h' "im Wesentlichen gleich" sind, dann sollte das doch auch auf ihre Produkte gh und g'h' zutreffen, oder? Nun, das ist nicht immer der Fall. Es ist ganz genau dann der Fall, wenn U eine normale Untergruppe von G ist, wie wir jetzt sehen werden: \darkred\ Lemma__ Sei G eine Gruppe und N<=G. Dann sind äquivalent: \ll(1.) N ist Normalteiler. \ll(2.) \forall g,g',h,h'\in\ G: gN=g'N \wedge hN=h'N => ghN=g'h'N. \blue\ Beweis: \blue\ 1. => 2. Seien also g,g',h,h' wie in 2. gegeben. Dann gibt es n,m\in\ N mit g^(-1)\.g'=n und h^(-1)\.h'=m, d.h. g'=gn und h'=hm. Daraus ergibt sich: g'h'=(gn)(hm)=g(hh^(-1))nhm = gh(h^(-1) nh)m Jetzt ist N aber ein Normalteiler, d.h. es ist h^(-1)\.nh\in\ N. Da N auch eine Untergruppe ist, ist das Produkt (h^(-1)\.nh)m wieder in N, d.h. g'h' und gh unterscheiden sich nur um die Multiplikation eines Elements aus N und daher ist ghN=g'h'N wie gewünscht. \blue\ 2. => 1. Dieser Beweis basiert auf demselben Gedanken: g und gn sind Elemente derselben Nebenklasse für g\in\ G und n\in\ N beliebig, d.h. gN=(gn)N. Natürlich ist auch g^(-1)\.N=g^(-1)\.N. Also muss nach Annahme (gn)g^(-1)\.N = gg^(-1)\.N = 1N sein, d.h. gng^(-1) = 1^(-1)*gng^(-1)\in\ N. Da dies nun für alle g\in\ G und n\in\ N gilt, muss also N ein Normalteiler sein. \blue\ q.e.d. Wo kommen nun die Faktorgruppen ins Spiel? Hier: \darkred\ array(Definition: Faktorgruppen)__ Sei G eine Gruppe und N<|G ein Normalteiler. Dann definiere G\/N als die Menge der \(Links\- oder Rechts\-, das ist egal\) Nebenklassen von N in G zusammen mit der Multiplikation gN*hN := ghN. Das so definierte G\/N heißt \darkblue\ array(Faktorgruppe von G nach N)__\black||. Eine alternative Bezeichnung ist \darkblue\ array(Quotient von G nach N)__\black||. Wenn etwas schon Faktor||gruppe__ heißt, liegt die Vermutung nahe, dass es sich dabei wirklich um eine Gruppe handelt. Wir prüfen das nach: \ll(E)Existenz und Wohldefiniertheit der Verknüpfung. \ll()Das wird durch das obige Lemma sichergestellt. Es sagt uns ja gerade, dass die oben beschriebene Verknüpfung wirklich wohldefiniert ist: Egal, wie wir die Nebenklassen darstellen, ob als gN und hN oder mit anderen Vertretern als g'N und h'N schreiben, solange gN=g'N und hN=h'N ist, ist auch ghN=g'h'N. Alle weiteren Eigenschaften folgen, sobald man die Wohldefiniertheit erst einmal hat, direkt aus den Gruppenaxiomen für G: \ll(A)Assoziativität: \ll()(g_1 N*g_2 N)*g_3 N = g_1 g_2 N *g_3 N \ll() | | = (g_1 g_2)g_3 N \ll() | | = g_1 (g_2 g_3) N \ll() | | = g_1 N *g_2 g_3 N \ll() | | = g_1 N *(g_2 N *g_3 N) \ll(N)Neutrales Element: \ll()1 N*g N = 1g N = g N \ll(I)Inverse Elemente: \ll()g^(-1) N*gN =g^(-1) g N = 1 N Eine interessante Beobachtung über Faktorgruppen ist die Anwendung des Satzes von Lagrange auf sie. Da die zugrunde liegende Menge G\/N die Menge der Nebenklassen von N in G ist, gilt: abs(G)=abs(G\/N)*abs(N) Das heißt, falls G endlich ist, so gilt abs(G\/N) = abs(G)/abs(N), was die Notation G\/N und die Bezeichnung Quotientengruppe zum Teil erklärt. Weitere Motivationen, inwiefern G\/N einem Quotienten gleicht, werden in späteren Kapiteln folgen.

 
Uhrenarithmetik reloaded

Kommen wir noch einmal auf das Hauptbeispiel aus dem ersten Artikel zurück. Dort habe ich bereits angedeutet, dass es für theoretische Überlegungen nicht ganz clever ist, die Gruppen auf die dortige Weise einzuführen, während dieses Vorgehen für Berechnungen von Hand und insbesondere auch zum Programmieren besser geeignet ist. Die theoretisch günstigere Alternative ist die Konstruktion über Faktorgruppen. Dabei wird die Faktorgruppe \IZ\/n\IZ benutzt \(das ist wirklich eine Faktorgruppe, weil \IZ ja abelsch ist und daher jede Untergruppe von \IZ Normalteiler ist\). Da dies sehr wichtige Gruppen sind, gibt es diverse Kurzschreibweisen dafür, die u.a. \IZ\/(n), \IZ\/n und \IZ_n enthalten. Letzteres birgt Verwechslungsgefahr, wenn man sich mit Mathematikern unterhält, die p\-adische Zahlen benutzen, denn diese werden auch als \IZ_p bezeichnet. Die anderen beiden Notationen sind meines Wissens kollisionsfrei. Wir wollen uns jetzt noch überlegen, dass \IZ\/n\IZ und die im letzten Kapitel vorgestellte Gruppe mit n Elementen - sie wurde mit G_n bezeichnet - für alle n\in\IN_(>0) im Wesentlichen dasselbe sind. Formal präzise machen können wir das noch nicht, das wird uns erst im nächsten Kapitel mit dem Begriff des Isomorphismus gelingen, aber einen Eindruck davon können wir uns verschaffen: Erster Schritt ist es, sich klarzumachen, dass \IZ\/n\IZ genau n Elemente hat, d.h. dass abs(\IZ:n\IZ)=n für alle n\in\IN_(>0) ist. Clevererweise vermuten wir sofort, dass diese Elemente 0+n\IZ, 1+n\IZ, ..., (n-1)+n\IZ sind, denn dann hätten wir auch gleich die Entsprechung zu G_n. Natürlich sind dies höchstens__ n Elemente. Wir wissen jedoch erst einmal nicht, ob nicht vielleicht einige dieser Restklassen identisch sein könnten. Prüfen wir das nach: Angenommen, 0<=i n \| j-i. Nun ist aber 0

 
Abschluss

Ich hoffe, euch hat auch diese Gruppentherapie gefallen. Vielleicht hat der eine oder andere ja sogar etwas dabei über Untergruppen, Quotienten, den Satz von Lagrange, Anwendungen davon sowie den Ideen dahinter gelernt. Ich würde es mir wünschen. mfg<=Goc\/kel

 
Die Gruppenzwang-Reihe

Teil 1: Wir rechnen mit allem Teil 2: Anonyme Mathematiker bieten Gruppentherapie an Teil 3: Sensation: Homo Morphismus ist ein Gruppentier Teil 4: Gruppencamper brauchen Iso(morphie)matten Teil 5: Dr.Cauchy und Dr.Sylow bitte zur GruppenOP Teil 6: Randale: Gruppendemo musste aufgelöst werden Teil 7: Gruppen sind immer noch top! Teil 8: Konvois auf der A20: Autos nur noch in Gruppen unterwegs Teil 9: Unfall im Genlabor: (Per)mutationen in der Bevölkerung Teil 10: Jäger der verlorenen Gruppe - Special Xtended Version Teil 11: Der Gruppentheorie-Adventskranz Teil 12: Wegen guter Führung entlassen: Gruppen sind frei Teil 13: Amnestie: Auch Untergruppen frei

 
Dieser Artikel ist enthalten in unserem Buch
Mathematisch für fortgeschrittene Anfänger
Mathematisch für fortgeschrittene Anfänger

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: Gruppentheorie :: Algebra :: Leicht verständlich :: Mathematik :
Gruppenzwang II: Anonyme Mathematiker bieten Gruppentherapie an [von Gockel]  
Faktorgruppen, das Zentrum einer Gruppe, das direkte Produkt und das Untergruppenkriterium: Alles ist hier zu finden
[Die Arbeitsgruppe Alexandria katalogisiert die Artikel auf dem Matheplaneten]

 
 
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"Mathematik: Anonyme Mathematiker bieten Gruppentherapie an" | 7 Comments
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Re: Anonyme Mathematiker bieten Gruppentherapie an
von: huepfer am: Mi. 23. November 2005 17:07:11
\(\begingroup\)Hallo Gockel, mir gefällt Deine Einleitung in die Gruppentheorie sehr gut. Allerdings könnte man vielleicht am Ende von Kapitel 3 schon mal auf den "chinesischen Restsatz" hinweisen, der mit diesen Eigenschaften sehr stark zusammenhängt. Ich vermute, dass Du diesen in einem der weiteren Artikel auch noch ausführlich erklärt hast. Gruß, Felix\(\endgroup\)
 

Re: Anonyme Mathematiker bieten Gruppentherapie an
von: Martin_Infinite am: Mi. 23. November 2005 18:27:07
\(\begingroup\)Hi Felix, mit dem chinesischen Restsatz meinst die folgende Isomorphie von Gruppen? ggT(m,n)=1 <=> \IZ\/n \times \IZ\/m ~= \IZ\/(mn) Sie gilt ja sogar für die Ringstruktur, siehe hier. Gruß Martin\(\endgroup\)
 

Re: Anonyme Mathematiker bieten Gruppentherapie an
von: Diophant am: Sa. 22. November 2008 18:37:01
\(\begingroup\)Hallo Gockel, habe gerade mit dem Studium dieses zweiten Teils der "Gruppentherapie" begonnen. Die anschauliche Art und Weise, in welcher der Artikel geschrieben ist, ohne auf Exaktheit zu verzichten, macht das Durcharbeiten auch für mich alten "Turnschuh-Mathematiker" zu einer wahren Freude! Gruß, Diophant\(\endgroup\)
 

Re: Anonyme Mathematiker bieten Gruppentherapie an
von: Gockel am: Do. 16. Dezember 2010 20:11:48
\(\begingroup\)Bemerkung: Dieser Artikel ist Ende September 2010 durch eine von Grund auf überarbeitete und erweiterte Version ersetzt worden (nämlich die Version, die sich jetzt auch im neuen MP-Buch findet). Alle Kommentare vor diesem Datum beziehen sich auf die sechs Jahre ältere Version des Artikels. mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

Re: Anonyme Mathematiker bieten Gruppentherapie an
von: Ex_Mitglied_40174 am: Do. 15. März 2012 17:54:10
\(\begingroup\)Hallo Gockel, vorweg: mir gefallen deine Artikel zur Gruppentheorie sehr gut, ich habe die mittlerweile bis zu den Sylow-Sätzen durchgearbeitet und es hat mir für das Verständnis wirklich viel gebracht, zumal du hier viele Sachen genauer / ausführlicher erklärst als das bei mir an der Uni der Fall ist. Aber ein Punkt bereitet mir immer noch Kopfschmerzen, und zwar ist das die Stelle, an der du zeigst, dass das neutrale Element von einer Gruppe und deren Untergruppe gleich ist. Die erste Umformung ist ja e_U = (e_U^(-1) e_U) e_U und die letzte Unformung ist e_U^(-1) e_U = e_G, dass heißt e_U^(-1) ist sowohl das Inverse Element zu e_U in U als auch das Inverse Element zu e_U in G. Aber setzt diese Annahme nicht gerade voraus, dass die neutralen Elemente übereinstimmen? Oder habe ich da bei der ersten Umformung was falsch verstanden? MfG Christian \(\endgroup\)
 

Re: Anonyme Mathematiker bieten Gruppentherapie an
von: Martin_Infinite am: Do. 15. März 2012 21:21:03
\(\begingroup\)Ich weiß jetzt nicht, was sich Gockel dabei gedacht hatte, aber man kann so argumentieren: Lemma: In einer Gruppe G gibt es nur ein Element g mit g2=g, nämlich das neutrale Element. Beweis: Kürze g raus. Folgerung: Wenn U eine Untergruppe von G ist (mit Gockels Definition, die übrigens nicht so üblich ist), dann gilt für das neutrale Element e von U ja offenbar e*e=e mit der Verknüpfung in U und damit auch in G, weil die auf U ja einfach eine Einschränkung ist. Aus dem Lemma folgt, dass e das neutrale element von G ist.\(\endgroup\)
 

Re: Anonyme Mathematiker bieten Gruppentherapie an
von: Gockel am: Fr. 16. März 2012 10:21:28
\(\begingroup\)Hi Christian. Dieses Inverse ist eben genau das Inverse in G. Ich habe an der Stelle noch nicht benutzt, dass in U Inverse existieren oder sie mit den G-Inversen übereinstimmen. Genau deshalb kürzt sich das ja auch zu e_G zusammen am Ende. @Martin: Ja, ein gutes Argument. Was ich mir gedacht habe, ist einfach, dass ich einfach eine Umformung haben wollte, die mit e_U = ... anfängt und mit ... = e_G aufhört. Ich fand das einfacher für absolute Anfänger. mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

 
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