Mathematik: Stoffsammlung über Relationen
Released by matroid on Sa. 19. Mai 2001 10:56:04 [Statistics]
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Mathematik

\(\begingroup\)\(\newcommand{\IX}{\mathbb{X}} \newcommand{\IW}{\mathbb{M}} \newcommand{\politician}[1]{\text{Ich habe die Frage nicht verstanden. #1}} \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
[Hinweise und Fragen erwünscht]
Aufgaben um Relationen gehören zur Basisausbildung von Mathematikern (und Informatikern). Es gibt für Erstsemester nichts schlimmeres, als Übungsaufgaben zu Äquivalenzrelationen.
Geht es z.B. um Extremwertaufgaben in der Differentialrechnung, dann geschieht es selten, daß Voraussetzung und Ergebnis verwechselt werden. Bei Relationen ist das die Regel.
Das ist erstaunlich und verständlich. Ersteres - also erstaunlich - weil das Konzept der Äquivalenzrelation doch seit der Bruchrechnung in der 6. Klassse jedermann gut vertraut sein könnte. Und verständlich, weil in den Aufgaben scheinbar verlangt ist, unwesentliche oder selbstverständliche Aussagen aus dem Nichts zu beweisen.
Ich habe mir vorgenommen, über dieses Thema einiges Material zusammenzutragen. Mein Arbeitstitel dafür ist "Mathematik auf kleinstem Raum". Vorläufige Gliederung:




  1. Wir sind von Relationen umgeben
  2. Die "Gleichheit" von Objekten
  3. Klassen von "gleichen" Objekten
  4. Mengen und Gleichheit von Mengen
  5. Alles muß geordnet sein
  6. Beispiele
    1. Bruchrechnen
    2. Lineare Abhängigkeit
    3. NN



Ich mache diese Ankündigung, weil ich mir den einen oder anderen Hinweis von den Besuchern dieser Seite erhoffe.
Bisher habe ich im Internet keine nennenswerte Ressource zu diesem Thema gefunden, aber vielleicht gibt es sie.
Gibt es didaktische Hinweise?

Hier eine beispielhafte Aufgabe:
Zeige: Für eine reflexive Relation (aRa für alle a) gilt:
[ aRb und aRc Þ bRc ] Û [(aRb Þ bRa) und (aRb und bRc Þ aRc) ]

Beweis: Richtung Þ
Mit c=a folgt aus der linken Seite die Symmetrie.
Denn dort steht dann (aRb und aRa) Þ bRa)
Bemerkung: es hat ja niemand verlangt, daß c ungleich a sein soll.

Zeige die Transitivität: sei (aRb und bRc). Wegen der schon nachgewiesenen Symmetrie ist auch (bRa und bRc) und aus der Voraussetzung folgt dafür aRc, also transitiv.

Nun die Gegenrichtung Ü
Sei R symmetrisch und transitiv und gelte für a,b,c: (aRb und aRc).
Dann ist aber wegen Symmetrie: (bRa und aRc) und daraus folgt wegen Transitivitaet: bRc. Das war zu zeigen.

Mehr ist das nicht.
Worin liegt meiner Meinung nach die Schwierigkeit in diesem Beweis? In der abstrakten Formulierung!
Die Bedeutung dieser Aussage kann man sich mit einer konkreten Relation verdeutlichen. Wenn R die Relation "hat die gleiche Schuhgröße wie" ist, dann ergibt (aRb und aRc Þ bRc) eine sinnvolle und nachvollziehare Aussage. Von dieser Relation würde man auch erwarten, daß sie symmetrisch und transitiv ist.
\(\endgroup\)
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Stoffsammlung über Relationen [von matroid]  
[Hinweise und Fragen erwünscht] Aufgaben um Relationen gehören zur Basisausbildung von Mathematikern (und Informatikern). Es gibt für Erstsemester nichts schlimmeres, als Übungsaufgaben zu Äquivalenzrelationen. Geht es z.B. um Extremwertaufgaben in der Differentialrechnung, dann geschieht es selte
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