Stern Mathematik: Konstruktion der Zahlenmengen - Teil 1
Released by matroid on Di. 17. August 2004 18:43:33 [Statistics]
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Mathematik

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Konstruktion der Zahlenmengen - Teil 1

Wann immer wir auch etwas abzählen wollen, verwenden wir die natürlichen Zahlen

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, etc.

Das Addieren, Multiplizieren und Vergleichen damit ist uns sehr vertraut. Man könnte meinen, dass wir alle wissen, womit wir da rechnen.

In der Mathematik fragt man sich aber: Wie weit darf uns die Anschauung tragen? Gibt es vielleicht Gesetze, die wir für wahr halten, aber gar nicht stimmen?
Bild



Eine sehr gute Möglichkeit, dieses Problem zu lösen, besteht darin, alle Gesetze, die man kennt, auf bestimmte Grundannahmen zurückzuführen, die wir Axiome nennen. Axiomatisierung hat auch den Vorteil, dass man das Wissen über eine Theorie viel kompakter fassen kann, als es mit einer Aufzählung der bekannten Gesetze, die meistens schon voneinander abhängen, möglich wäre.

Wir wollen hier aber nicht uns bekannte Gesetze aus solchen Axiomen folgern, sondern diese Axiomatisierung vereinheitlichen. Das heißt konkret, wir sagen nicht, dass die natürlichen Zahlen so und so sind, die ganzen Zahlen dies und das können, sondern für alle Zahlenbereiche nur ein einziges Axiomensystem verwenden, das so allgemein ist, dass sich damit sogar der Großteil der gesamten Mathematik aufbauen lässt.

Gemeint ist das System ZF der Zermelo-Fraenkelschen Mengenlehre, das den Umgang mit Mengen beschreibt. Darauf aufbauend werden wir die Zahlenmengen definieren und deren Axiome beweisen. Damit werden die scheinbar gegensätzlichen Gedanken des Formalismus, also die Gründung der Mathematik auf Axiome, und des Konstruktivismus miteinander verbunden.


Natürliche Zahlen

Zur Einführung der natürlichen Zahlen und dem 2. Teil dieser Artikelserie stellen wir ein paar einfünhrende Ergebnisse zu Ordinalzahlen zusammen, die hier bis einschließlich Seite 11 weiter ausgeführt werden.

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Was man mit natürlichen Zahlen sonst noch alles anstellen kann, wird hier sehr ausführlich behandelt. Die natürlichen Zahlen können als einzige Grundlage für die weiteren Zahlenmengen angesehen werden, weil wir in den folgenden Teilen dieser Artikelserie nur noch die Eigenschaften der natürlichen Zahlen und nicht mehr konkret ZF benötigen werden. Dies drückte der berühmte Zahlentheoretiker Leopold Kronecker im nachstehenden Zitat aus.


Die natürlichen Zahlen hat der liebe Gott erschaffen,
alles andere ist Menschenwerk.



So, das war's erst einmal. Im nächsten Teil werden wir sehen, wie man mit unseren natürlichen Zahlen, ja sogar ganz allgemein mit Ordinalzahlen, addiert und multipliziert.



1. Teil
2. Teil
3. Teil
4. Teil
5. Teil

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Ordinalzahlen und natürliche Zahlen
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"Stern Mathematik: Konstruktion der Zahlenmengen - Teil 1" | 15 Comments
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Re: Konstruktion der Zahlenmengen - Teil 1
von: Rebecca am: Di. 17. August 2004 19:22:40
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Hi Martin,

Am Ende schreibst du: "Was man mit natürlichen Zahlen sonst noch alles anstellen kann, wird hier sehr ausführlich behandelt."

Aber bei mir ist hier ein toter Link.

Gruß
Rebecca

PS: Jetzt (20:00) geht der Link\(\endgroup\)
 

Re: Konstruktion der Zahlenmengen - Teil 1
von: Martin_Infinite am: Di. 17. August 2004 20:42:50
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Danke für den Hinweis Rebecca, ich hab's korrigiert.\(\endgroup\)
 

Re: Konstruktion der Zahlenmengen - Teil 1
von: matroid am: Di. 17. August 2004 21:31:35
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Hi Martin,

das Symbol oben gefällt mir gut 😉 Und ein schönes Thema, das Du strikt angegangen bist. Eine gute Leistung, es ist ja ein sehr abstraktes Thema. Man führt also Ordinalzahlen als Mengen ein. Der Gewinn ist, daß man mit ZF nur axiomatische Mengenlehre betreibt, anstatt sich mit einem Mischmasch aus Zahlen, Mengen, Regeln auseinandersetzen zu müssen. Der Nachteil ist, wenn es jemand nicht schon wüßte, was Zahlen sind, würde ihm dieser Ansatz auch nicht aufklären können. Aber das ist nicht Deine Schuld, Martin, so wurde es von anderen ausgedacht und steht in der langen Reihe der Bemühungen, die Mathematik auf ein sicheres Fundament zu stellen. Je weniger verschiedenartige Dinge man vorauszusetzen hat, und je klarer man sagt, was man noch voraussetzt (Axiome sind gewissermaßen Selbstverständlichkeiten), desto sicherer fühlt man sich in allem, was man darauf aufbaut.

Falls sich jemand fragt, wie eine Menge aussehen kann, in der jedes Element auch Teilmenge ist, könntest Du noch ein Beispiel geben, wie so etwas nur aussehen kann, oder gemeinhin man es sich vorstellt.

Man könnte es sogar als Rätsel stellen, für die Leser. ;-)

Gruß
Matroid\(\endgroup\)
 

Re: Konstruktion der Zahlenmengen - Teil 1
von: Martin_Infinite am: Di. 17. August 2004 21:43:05
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Hi Matroid,
 
Danke dir für die Blumen, und dass du noch einmal den Sinn von Axiomen beleuchtet hast! :-)
 
Zum "Rätsel":
 
0, die leere Menge, ist offenbar eine Ordinalzahl. Wie schon erwähnt, ist S(x) = x u {x} für jede Ordinalzahl x auch eine Ordinalzahl. Damit lauten die ersten Ordinalzahlen:
 
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Sie sind zugleich die ersten transitiven Mengen, und ebenfalls die ersten natürlichen Zahlen 0,1,2,3, usw..
 
 Gruß
Martin\(\endgroup\)
 

Re: Konstruktion der Zahlenmengen - Teil 1
von: susi0815 am: Mi. 18. August 2004 17:05:10
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Hallo,

ich kenne das Kronecker-Zitat nur mit den ganzen Zahlen. Wenn man danach googelt, findet man es in unterschiedlichen Abwandlungen sowohl mit natürlichen als auch mit ganzen Zahlen. Also hab ich mal nachgeschlagen und hoffentlich das Original gefunden (Wußing: Biographien bedeutender Mathematiker, dort zitiert nach Math. Annalen von 1893)

Kronecker soll 1886 vor der Berliner Naturforscher-Versammlung gesagt haben:

" Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk. "

Gruß, Susi\(\endgroup\)
 

Re: Konstruktion der Zahlenmengen - Teil 1
von: Gockel am: Mi. 18. August 2004 17:14:24
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Hi susi.

Ich glaube, dass Kronecker sich da auf das Vorkommen in der Natur bezog... Und da sind eindeutig nur die natürlichen Zahlen gemeint... oder kannst du mir mal einen negativen Baum zeigen? ;-)
Ich kenne das Zitat ausschließlich mit natürlichen Zahlen... bis eben wusste ich gar nicht, dass es noch eine andere Version gibt.

mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

Re: Konstruktion der Zahlenmengen - Teil 1
von: susi0815 am: Mi. 18. August 2004 17:31:53
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Naja, wenn ich in mein schlaues Buch gucke, scheint mir der Herr Kronecker eher die gebrochenen und die irrationalen Zahlen zu vermeiden und da ist der Gegensatz nun mal ganze Zahl.

Außerdem sollte der von Wußing zitierte Artikel von 1893 das Zitat schon von der Nähe der Zeit her richtig wiedergeben.

Ob in dem Zusammenhang vielleicht doch vorwiegend natürliche Zahlen vorgekommen sind, vermag ich nicht zu sagen und würde ich auch nicht spekulieren.

Gruß, Susi\(\endgroup\)
 

Re: Konstruktion der Zahlenmengen - Teil 1
von: Martin_Infinite am: Mi. 18. August 2004 18:13:59
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Hi Susi,
 
das ist ja interessant, was du da entdeckt hast. Weißt du, ich kenne dieses Zitat schon sehr lange, undzwar ausschließlich mit natürlichen Zahlen, und habe es auch oft rezitiert.
 
Wäre mir irgendwie unangenehm, wenn im Zitat ursprünglich ganze Zahlen gemeint waren. ;-)
 
 Gruß
Martin\(\endgroup\)
 

Re: Konstruktion der Zahlenmengen - Teil 1
von: susi0815 am: Mi. 18. August 2004 19:25:31
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Ich hatte meine Anfängervorlesung "Lineare Algebra" bei einer Professorin, deren Hobby Geschichte der Mathematik war, da wurde man gut mit Zitaten versorgt :)

Gruß, Susi\(\endgroup\)
 

Re: Konstruktion der Zahlenmengen - Teil 1
von: Fabi am: Do. 19. August 2004 11:54:39
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Hi!

Das Zitat passt zwar gut an diese Stelle, bezieht sich aber ursprünglich nicht auf die Konstruktion der anderen Zahlbereiche aus den ganzen/natürlichen Zahlen, sondern eher darauf, dass Kronecker eine Art "Neo-Pythagoräer" war und alles außer den ganzen Zahlen als unnatürlich und unmathematisch ansah - er führte einen Krieg gegen die Analysis und andere "indiskrete" Mathematik. Mit Weierstraß und Cantor hat er sich deshalb lange Zeit gestritten, sogar verhindert, dass Cantor eine Lehrstelle an der Uni Berlin bekommt, weil er seine Arbeiten als keine richtige Mathematik betrachtete.

Das Zitat steht in einem meiner Bücher übrigens auch mit ganzen Zahlen.

Gruß
Fabi\(\endgroup\)
 

Re: Konstruktion der Zahlenmengen - Teil 1
von: Martin_Infinite am: Do. 19. August 2004 15:27:43
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Hi Fabi,
 
danke für diese Aufklärung! Ich will mal ehrlich sein, ich habe das Zitat ein wenig missbraucht. Der ursprüngliche Sinn mag zwar anders sein, aber es passte halt so gut in den Kontext hinein :/
 
 Gruß
Martin\(\endgroup\)
 

Re: Konstruktion der Zahlenmengen - Teil 1
von: susi0815 am: Do. 19. August 2004 15:42:47
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Hallo Martin,

Du befindest Dich damit in guter Gesellschaft :)

Auch wenn das Zitat ja mal wie von Fabi beschrieben gemeint war,
wird es doch meist in dem Sinn, wie Du es benutzt hast, gebraucht.

Gruß, Susi

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Re: Konstruktion der Zahlenmengen - Teil 1
von: Ex_Mitglied_40174 am: Fr. 12. Oktober 2007 21:37:23
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Beim Beweis des Dedekindschen Rekursionssatzes hat sich ein Fehler eingeschlichen:  f  muss als Durchschnitt (cut) von  H  definiert werden, nicht als Vereinigung (union). Aber sonst ein schöner Beweis, kannte ich noch nicht.

Danke,  Hendrik Vogt\(\endgroup\)
 

Re: Konstruktion der Zahlenmengen - Teil 1
von: Martin_Infinite am: Fr. 12. Oktober 2007 23:21:59
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danke, so war es auch gemeint. ich werde es korrigieren.\(\endgroup\)
 

Re: Konstruktion der Zahlenmengen - Teil 1
von: Diophant am: Sa. 11. Oktober 2008 18:56:45
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Hallo Martin_Infinite,

heute habe ich diesen Artikel gelesen, und möchte nun auch dir mal aus der Sicht des Hobby-Mathematikers ein dickes Lob aussprechen.
Die Problematik ist mir zwar nicht ganz neu (ich habe vor Jahren in einem Mengenlehre-Buch darüber gelesen), aber der Artikel scheint mir äußerst gut strukturiert, wissenschaftlich und dabei sehr gut verständlich geschrieben. Und last but not least: das erste Überfliegen hat mich sehr motiviert, mich mit der Thematik eingehender zu befassen.
Ich freue mich nun schon auf ein weiteres Studium dieser ganzen Serie!


Gruß, Diophant\(\endgroup\)
 

 
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