Mathematik: Sensation: Homo Morphismus ist ein Gruppentier
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Mathematik

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Gruppenzwang III


Hallo, Gruppentheorie-Fans!

Wir sind nun schon im dritten Artikel der Gruppenzwang-Reihe angekommen.

Diesmal soll es uns vor allem um Gruppenhomomorphismen gehen, die es uns erlauben werden, Verbindungen zwischen verschiedenen Gruppen zu knüpfen. Dabei möchte ich euch grundsätzliches Handwerkszeug zur Arbeit mit diesen Abbildungen in die Hand geben.


 
Gruppenhomomorphismen

\darkred\ array(Definition: Gruppenhomomorphismen)__ Seien G und H zwei Gruppen. Eine Abbildung f: G\to\ H heißt \darkblue\ array(Gruppenhomomorphismus)__\black oder einfach kurz \darkblue\ array(Homomorphismus von G nach H)__\black||, falls \forall a,b\in G: f(a*b)=f(a)*f(b) gilt. Dabei ist auf der linken Seite mit opimg(*) natürlich die Gruppenverknüpfung von G und auf der rechten Seite die von H gemeint. Aus dieser Gleichung leitet sich die Bezeichnung "Homomorphismus" ab: "homo" ist griechisch für "gleich, ähnlich" und "morph" ist das griechische Wort für "Gestalt, Form". Ein Homomorphismus ist - wörtlich übersetzt - also eine "formähnliche" Abbildung. Moderner würde man "strukturerhaltend" sagen: Ein Homomorphismus erhält die Struktur, die eine Gruppe auszeichnet, nämlich die Verknüpfung der Gruppe. \darkred\ array(Beispiel: Potenzieren)__ Betrachten wir die Gruppen \IR (wie immer mit der Addition) und \IR^opimg(\times) (mit der Multiplikation). Dann ist für jedes a>0 die Abbildung f_a:=cases(\IR\to\IR^\times; x\mapsto a^x) ein Homomorphismus zwischen diesen Gruppen, denn es gilt ja bekanntlich: f_a(x+y) = a^(x+y) = a^x *a^y = f_a(x)*f_a(y) \(Die Gruppenverknüpfung in \IR ist die Addition!\) Mit demselben Argument zeigt man, dass \exp: \IC\to\IC^opimg(\times) ein Homomorphismus ist. \darkred\ array(Beispiel: Noch einmal Potenzieren)__ Ist G eine Gruppe und g\in\ G ein beliebiges Element, so ist ja \forall n,m\in\IZ: g^(n+m) = g^n*g^m, d.h. cases(\IZ\to G;n\mapsto g^n) ist ein Homomorphismus von \IZ nach G. Da wir für allgemeine Gruppen keine Definition über Potenzen g^x mit x\notin\IZ getroffen haben \(das ist auch nur in Spezialfällen auf sinnvolle Weise möglich\), müssen wir uns hier im Gegensatz zum vorherigen Beispiel auf ganzzahlige Exponenten beschränken. \darkred\ array(Beispiel: Determinante)__ Für quadratische Matrizen über dem Körper K gilt bekanntlich die Determinantenmultiplikationsformel: \forall A,B\in\ K^(n\times n): \det(A*B) = \det(A)*\det(B) d.h. die Determinante ist ein Homomorphismus \ GL_n(K) \to K^opimg(\times).

 
Strukturerhaltung

Da Homomorphismen mit der Gruppenverknüpfung verträglich sind, erhalten sie auch viele Strukturen, die von der Multiplikation abgeleitet sind. Wir wollen uns genauer ansehen, welche das sind: \darkred\ array(Lemma)__ Seien G und H Gruppen und f:G\to\ H ein Homomorphismus. Dann gilt: \ll(1.)f(1)=1 \ll(2.)\forall g\in\ G: f(g^(-1))=f(g)^(-1) Man achte wieder darauf, was gemeint ist: In der ersten Aussage ist die 1 linker Hand das neutrale Element in G, die rechts das neutrale Element von H. Nur so ergibt die Aussage auch einen Sinn. \blue\ Beweis: Es gilt f(1)=f(1*1)=f(1)*f(1). Wenn wir jetzt f(1) kürzen \(d.h. mit dem Inversen multiplizieren\), dann bleibt nur die gewünschte Gleichung f(1)=1 übrig. Die zweite Gleichung geht genauso einfach: 1=f(1)=f(g*g^(-1))=f(g)*f(g^(-1)). Also muss f(g^(-1)) das Inverse von f(g) sein. \blue\ q.e.d. \darkred\ array(Lemma: Bilder und Urbilder)__ Seien G und H Gruppen und f:G\to\H ein Homomorphismus. Dann gilt: \ll(1.)Ist U<=G, so ist f(U)<=H. \ll(2.)Ist V<=H, so ist f^(-1)(V)<=G. Ist sogar V<|H, so ist auch f^(-1)(V)<|G. Man beachte die Asymmetrie zwischen Bildern und Urbildern: Urbilder erhalten auch Normalteiler, nicht nur Untergruppen. Für Bilder ist das i.A. falsch. \blue\ Beweis: Wir benutzen natürlich das Untergruppenkriterium. Wegen 1=f(1)\in\ f(U) ist f(U)!=\emptyset. Sind x_1, x_2\in\ f(U), so gibt es u_1, u_2\in\ U mit x_1=f(u_1), x_2=f(u_2). Es gilt dann: x_1*x_2^(-1) = f(u_1)*f(u_2^(-1)) = f(u_1*u_2^(-1)) \in\ f(U) Genauso funktioniert der zweite Beweis. Es ist 1\in\ f^(-1)(V), da f(1)=1\in\ V. Sind x_1, x_2\in\ f^(-1)(V) beliebig, so gilt: f(x_1*x_2^(-1)) = f(x_1)*f(x_2)^(-1) \in\ V => x_1*x_2^(-1)\in\ f^(-1)(V) Ist nun V ein Normalteiler von H, so gilt weiter für alle x\in\ f^(-1)(V) und alle g\in\ G: f(gxg^(-1))=f(g)f(x)f(g)^(-1) \in\ V => gxg^(-1)\in\ f^(-1)(V) Also ist f^(-1)(V) ein Normalteiler. \blue\ q.e.d. Das Lemma ist ganz besonders nützlich, weil diese Situation sehr häufig auftritt. Die meisten Untergruppen und Normalteiler, die einem so über den Weg laufen, sind Bilder oder Urbilder unter bestimmten Homomorphismen. Man muss dann nur erkennen, ob diese Situation vorliegt, wendet das Lemma an und hat auf einen Schlag nachgewiesen, dass es sich um eine Untergruppe oder ggf. sogar um einen Normalteiler handelt.

 
Kern und Bild

Zwei Spezialfälle dieses Lemmas sind besonders wichtig. \darkred\ array(Definition: Kern und Bild)__ Seien G und H Gruppen und f:G\to\H ein Homomorphismus. Wir definieren das \darkblue\ array(Bild von f)__\black als im(f):=f(G) und den \darkblue\ array(Kern von f)__\black als ker(f):=f^(-1)(menge(1)). Mit obigem Lemma ist das Bild stets eine Untergruppe der Zielgruppe H und der Kern ein Normalteiler von G, da menge(1) ein Normalteiler von H ist. \darkred\ array(Beispiel: Kanonische Homomorphismen auf Faktorgruppen)__ Sei G eine Gruppe und N<|G. Dann ist cases(G\to\ G\/N;g\mapsto gN) ein Gruppenhomomorphismus. Das gilt einfach, weil wir die Verknüpfung in G\/N genauso definiert hatten: g_1\.N*g_2\.N:=g_1 g_2 N Dieser Homomorphismus wird als der \darkblue\ array(kanonische Homomorphismus von G auf G\/N)__\black bezeichnet. Dabei bedeutet "kanonisch" soviel wie "natürlich, naheliegend". Eben weil er so naheliegend ist, wird oft keine eigene Bezeichnung für diesen Homomorphismus vergeben. Wenn ein Homomorphismus G\to\ G\/N irgendwo auftaucht, handelt es sich in fast allen Fällen um den kanonischen Homomorphismus. Falls doch eine Bezeichnung gewählt wird, so ist es oftmals p oder \pi oder etwas Ähnliches. Das kommt daher, dass ein alternativer Name für diesen Homomorphismus \darkblue\ array(Projektion von G auf G\/N)__\black ist. Die dritte Bezeichnungsalternative ist die sogenannte \darkblue\ array(Strich\-Konvention)__\black||, die oftmals dann angewandt wird, wenn man es mit nur einem einzigen Normalteiler N zu tun hat \(der dann aus dem Kontext klar ist\), aber dafür sehr viel in G\/N arbeitet. Man bezeichnet dann gN als g^-, G\/N als G^- etc. Untersuchen wir nun den Kern des kanonischen Homomorphismus. Es gilt nach Definition, dass g\in\ G genau dann im Kern liegt, wenn gN=1N <=> 1^(-1)\.g\in\ N <=> g\in\ N, d.h. der Kern ist genau N. Damit haben wir erkannt, dass jeder Normalteiler Kern mindestens eines Homomorphismus und jeder Kern ein Normalteiler ist. Eine äußerst angenehme Eigenschaft des Kerns ist folgende: \darkred\ array(Lemma)__ Seien G und H Gruppen und f:G\to\H ein Homomorphismus. Dann sind äquivalent: \ll(1.)f ist injektiv. \ll(2.)ker(f)=menge(1). \blue\ Beweis: \blue\ "1. => 2.": Ist f injektiv, so gilt: \forall\ x,y\in\ G: f(x)=f(y) => x=y. Daraus ergibt sich: x\in ker(f) => f(x)=1=f(1) => x=1. Da die 1 jedoch sowieso immer im Kern enthalten ist, muss also ker(f)=menge(1) sein. \blue\ "2. => 1.": Ist andererseits ker(f)=menge(1) bekannt, so sieht man die Injektivität wie folgt: f(x)=f(y) => 1=f(x)f(y)^(-1)=f(xy^(-1)) => xy^(-1)\in\ ker(f) => xy^(-1)=1 => x=y. \blue\ q.e.d.

 
Mehr Homomorphismen

Weil Homomorphismen ein so wichtiges Konzept sind, gibt es verschiedene Spezialisierungen des Begriffes: \darkred\ array(Definition)__ Seien G und H Gruppen und f:G\to\H ein Homomorphismus. f heißt \darkblue\ array(Epimorphismus)__\black \/ \darkblue\ array(Monomorphismus)__\black \/ \darkblue\ array(Isomorphismus)__\black||, falls f surjektiv \/ injektiv \/ bijektiv ist. f heißt \darkblue\ array(Endomorphismus)__\black||, falls G=H ist. f heißt \darkblue\ array(Automorphismus)__\black||, falls f ein Endomorphismus und ein Isomorphismus ist, d.h. ein bijektiver Homomorphismus G\to\ G. Man spricht im Falle eines Monomorphismus auch manchmal von einer \darkblue\ array(Einbettung)__\black von G in H. Das basiert darauf, dass \- da solch ein f ja injektiv ist \- G mit einer bestimmten Teilmenge von H identifiziert werden kann, nämlich mit im(f). Da bei dieser Identifizierung die Multiplikation erhalten bleibt \(f ist ja ein Homomorphismus\), identifizieren wir G dabei nicht nur mit einer bloßen Teilmenge, sondern sogar mit einer Untergruppe von H. \darkred\ array(Beispiel: Einbettungen)__ Umgekehrt erhält man aus jeder Untergruppe U<=G einen Monomorphismus, der von der echten Einbettung von U in G herkommt, das ist die sogenannte Inklusionsabbildung: i:=cases(U\to\ G;u\mapsto\ u) Diese Abbildung ist offenbar ein Monomorphismus. \darkred\ array(Beispiel: Projektionen)__ Sei G eine Gruppe und N<|G. Die Projektion G\to\ G\/N ist nach Konstruktion ein surjektiver Homomorphismus. Wir werden im Zuge des Homomorphiesatzes sehen, dass das auch umgekehrt richtig ist und jeder Epimorphismus im Wesentlichen eine solche Projektion ist.

 
Isomorphismen

Von besonderem Interesse sind die Isomorphismen. Greifen wir die Überlegung von oben noch einmal auf, so können wir einen Isomorphismus G\to\H als eine Identifizierung von G mit ganz H \(da f surjektiv ist\) auffassen, bei der die Multiplikation respektiert wird. Etwas umformuliert: Wenn wir mit f von G nach H übergehen, dann verpassen wir zwar allen Elementen von G einen neuen Namen \(f(g) statt g\), aber die Multiplikation bleibt dieselbe. Da Namen bekanntlich nur Schall und Rauch sind, können wir daher zusammenfassen: Falls ein Isomorphismus G\to\H existiert, so sind G und H vom gruppentheoretischen Standpunkt aus betrachtet \(d.h. in allen Punkten, die die Multiplikation betreffen\) im Wesentlichen gleich. Formal gerechtfertigt wird dies durch folgendes Lemma: \darkred\ array(Lemma und Definition: Isomorphie)__ Seien G und H Gruppen. G und H heißen \darkblue\ array(isomorph)__\black||, geschrieben G~=H, falls es einen Isomorphismus f:G\to\ H gibt. Es gilt: \ll(1.)\id_G: G\to\ G ist ein Isomorphismus. Insbesondere ist G~=G, d.h. die Relation "isomorph zu" ist reflexiv. \ll(2.)Ist f: G\to\ H ein Isomorphismus, so ist auch f^(-1): H\to\ G \(das existiert, weil f nach Definition bijektiv ist\) ein Isomorphismus. Insbesondere ist G~=H => H~=G, d.h. die Relation "isomorph zu" ist symmetrisch. \ll(3.)Sind f:G\to\ H, g:H\to\ I Isomorphismen, so ist auch g\circ\ f: G\to\ I ein Isomorphismus. Es ist demnach G~=H \and H~=I => G~=I, d.h. die Relation "isomorph zu" ist transitiv. \blue\ Beweis: Alle drei Behauptungen sind sehr einfach einzusehen. Dass die Identität bijektiv und ein Homomorphismus ist, ist trivial. Dass f^(-1) bijektiv ist, wenn f es ist, ist auch trivial. Dass es ein Homomorphismus ist, wenn f einer ist, wollen wir nachprüfen: Da f surjektiv ist, lassen sich alle Elemente y_1, y_2\in\ H als y_1=f(x_1), y_2=f(x_2) mit x_1, x_2\in\ G darstellen. Es gilt daher: f^(-1)(y_1 *y_2) = f^(-1)(f(x_1)*f(x_2)) = f^(-1)(f(x_1*x_2)) = x_1*x_2 = f^(-1)(y_1)*f^(-1)(y_2) Also ist f^(-1) wirklich ein Isomorphismus. Sind f und g bijektiv, so trifft das natürlich auch auf g\circ\ f zu. Nachzuprüfen, dass dies ein Homomorphismus ist, falls f und g solche sind, ist auch völlig problemlos: \align\ (g\circ\ f)(x_1*x_2) ><= g(f(x_1*x_2)) ><= g(f(x_1)*f(x_2)) ><= g(f(x_1))*g(f(x_2)) ><= (g\circ\ f)(x_1)*(g\circ\ f)(x_1) \blue\ q.e.d. Also ist die Relation ~= eine Äquivalenzrelation. Das trifft unsere Erwartungen, denn wenn wir isomorphe Gruppen als "im Wesentlichen gleich" beschreiben, dann sollte diese Relation auch die grundlegenden Eigenschaften der Gleichheit teilen. \darkred\ array(Beispiel: Potenzieren)__ Der Homomorphismus f:=cases(\IR\to\IR_(>0);x\mapsto\ exp(x)) von der additiven Gruppe \IR in die Gruppe \IR_(>0) zusammen mit der Multiplikation, den wir so ähnlich schon zuvor betrachtet haben, ist bijektiv. Seine Umkehrabbildung ist der natürliche Logarithmus ln:\IR_(>0)\to\IR. Das zeigt, dass diese beiden Gruppen isomorph sind. \darkred\ array(Beispiel: Zyklische Gruppen)__ Bereits im letzten Kapitel haben wir nachgerechnet, dass menge(0,1,...,n-1) zusammen mit der Addition modulo n isomorph ist zur Gruppe \IZ\/n\IZ. Wir hatten nur da die Begrifflichkeiten noch nicht zur Verfügung, die wir jetzt haben. Eine weitere interessante Beobachtung ist, dass die Automorphismen einer Gruppe G, d.h. die Isomorphismen G\to\ G, eine Gruppe bilden: \darkred\ array(Lemma und Definition: Automorphismengruppen)__ Sei G eine Gruppe. Dann ist die \darkblue\ array(Automorphismengruppe von G)__\black als Aut(G):=menge(f:G\to\ G | f ist Automorphismus) mit der Komposition opimg(\circ) von Abbildungen als Verknüpfung definiert. \blue\ Beweis: Es muss gezeigt werden, dass dies wirklich eine Gruppe ist. Eine Verknüpfung haben wir gegeben, denn im eben bewiesenen Lemma haben wir uns davon überzeugt, dass die Komposition zweier Isomorphismen G\to\ G wieder ein Isomorphismus G\to\ G ist. Die Komposition von Abbildungen ist immer assoziativ, auch das haben wir bereits früher nachgeprüft. Das neutrale Element ist uns ebenfalls schon einmal in dem obigen Lemma begegnet: id_G ist ein Element von Aut(G) und wie immer gilt id\circ\ f=f für alle Abbildungen f:G\to\ G. Das inverse Element wird uns ganz genauso vom obigen Lemma geschenkt: Zu jedem f\in\ Aut(G) ist f^(-1)\in\ Aut(G), und natürlich gilt f^(-1)\circ\ f=id. \blue\ q.e.d. Automorphismengruppen beschreiben in einem gewissem Sinne die "innere Symmetrie" der Gruppe G.

 
Der Homomorphiesatz

Es ist für die Theorie der Gruppen natürlich von Interesse, entscheiden zu können, ob zwei Gruppen isomorph sind oder nicht. Während das in dieser Allgemeinheit ein sehr schwieriges Problem ist (sogar so schwierig, dass es algorithmisch unlösbar ist), gibt es doch viele Sätze, die uns in speziellen Situationen die Sache wesentlich erleichtern. Der erste und wichtigste dieser Sätze ist der Homomorphiesatz: define(labelG,G) define(labelH,H) define(labelGN,G\/N) define(labelf,\small\ f) define(labelfs,\small\exists! f^-) define(labelpi,\small\pi) \geo makro(point, konst(%3.x,%1) konst(%3.y,%2) punkt(%3.x,%3.y,%3) ) konst(dx,0.15) konst(dy,0.15) makro(node,\ point(%1-dx,%2+dy,%3.NW) point(%1,%2+dy,%3.N) point(%1+dx,%2+dy,%3.NE)\ point(%1-dx,%2 ,%3.W) point(%1,%2 ,%3) point(%1+dx,%2 ,%3.E) \ point(%1-dx,%2-dy,%3.SW) point(%1,%2-dy,%3.S) point(%1+dx,%2-dy,%3.SE)\ ) makro(arrow,\ punktform(of) pfeil(%1,%2,%3) punktform(.) \ node(0.5*(%1.x+%2.x),0.5*(%1.y+%2.y),%3.mid) \ ) xy(-0.25,2.25) noaxis() ebene(250,250) nolabel() punktform(.) node(0,2,A) node(2,2,B) node(0,0,C) arrow(A.E,B.W,ar1) arrow(A.S,C.N,ar2) color(888888) arrow(C.NE,B.SW,ar3) color(000000) print(\labelG,-0.025,2.075) print(\labelH, 1.95,2.075) print(\labelGN,-0.125,0.075) print(\labelf,0.95,2.125) print(\labelpi,0.05,1.075) print(\labelfs,1.125,1.075) \geooff \darkred\ array(Satz: Homomorphiesatz)__ Seien G und H Gruppen und f:G\to\ H ein Homomorphismus. Es gilt dann: \ll(1.)Ist N<|G ein Normalteiler und \pi: G\to\ G\/N der kanonische Homomorphismus, so gibt es genau dann einen Homomorphismus f^-: G\/N\to\ H mit f=f^-\circ\pi, falls N\subseteq\ ker(f). Dieser Homomorphismus ist ggf. eindeutig bestimmt. \ll()geoprint() \ll()Man sagt in diesem Zusammenhang auch f faktorisiert über G\/N. \ll(2.)Es gilt G\/ker(f) \isomorph im(f). Ein Isomorphismus ist durch f^- aus der vorherigen Aussage mit N=ker(f) gegeben. \blue\ Beweis: Schauen wir uns zunächst einmal diese Abbildung f^- an. Wenn sie die Bedingung f=f^-\circ\pi erfüllt, dann heißt das ja: \forall x\in\ G: f(x)=f^-(\pi(x)) = f^-(xN) Falls ein Homomorphismus f^-:G\/N\to\ H mit dieser Eigenschaft existiert, so gilt für alle x\in\ N: xN=1N => f(x)=f^-(xN)=f^-(1*N)=1 => x\in\ ker(f). Also ist tatsächlich N\subseteq\ ker(f). Okay, das war der einfache Part. Jetzt müssen wir uns Gedanken darüber machen, wie wir die Existenz und Eindeutigkeit solch eines Homomorphismus beweisen, falls N\subseteq\ ker(f) gegeben ist. Dazu betrachten wir die obige Gleichung. Sie sagt uns genau, wie f^-(xN) auszusehen hat, falls so eine Abbildung überhaupt existiert. Daraus folgt schon einmal, dass, wenn es überhaupt eine Abbildung gibt, diese eindeutig bestimmt ist. Andererseits liefert uns das auch eine Idee, wie wir f^- zu definieren haben, um die Existenz zu beweisen: Nämlich genau durch diese Gleichung: \forall x\in\ G: f^-(xN):=f(x) Natürlich ist das nicht ohne Weiteres möglich. Eine Nebenklasse xN kann ja bekanntlich durch verschiedene x\in\ G dargestellt werden. Woher wissen wir, dass sich f(x) nicht ändert, falls wir zu einer solchen alternativen Darstellung wechseln? Das sagt uns die gegebene Bedingung: Falls xN=x'N ist, folgt x^(-1)\.x'\in\ N \subseteq ker(f) => 1=f(x^(-1) x')=f(x)^(-1)\.f(x') => f(x)=f(x'). Also ist die von uns getroffene Definition tatsächlich zulässig. Die Gleichung f=f^-\circ\pi ist für diese Abbildung f^- \(von der wir jetzt wissen, dass sie tatsächlich existiert\) nun durch die Konstruktion erfüllt. Das war der schwierige Teil. Jetzt müssen wir noch überprüfen, dass das so definierte f^-:G\/N\to\ H wirklich ein Homomorphismus ist. Das ist leicht: f^-(xN*x'N)=f^-(xx'N)=f(xx')=f(x)f(x')=f^-(xN)\.f^-(x'N) Die zweite Aussage ist einfacher. K:=ker(f) ist ein Normalteiler, der offensichtlich in ker(f) enthalten ist. Also gibt es einen Homomorphismus f^-: G\/ker(f) \to\ H, der \forall x\in\ G: f^-(xK)=f(x) erfüllt. Daher ist zum einen im(f^-)=im(f) gesichert und zum anderen f^-(xK)=1 <=> f(x)=1 <=> x\in\ ker(f)=K <=> xK=1*K, d.h. ker(f^-)=menge(1K). Wir haben vorhin erst ein Lemma bewiesen, das uns zeigt, dass f^- daher injektiv ist. Wir fassen zusammen: Die durch f^- gegebene Abbildung G\/ker(f)\to\ im(f) ist ein Homomorphismus, surjektiv und injektiv. Also ist sie ein Isomorphismus dieser Gruppen. Das wollten wir zeigen. \blue\ q.e.d. Die Konsequenzen dieses Satzes sind weitreichend. Die Situation tritt so häufig (teilweise implizit hinter anderen Sätzen versteckt) auf, dass man mit Fug und Recht behaupten kann, hier das wichtigste Werkzeug in der Hand zu haben, um Isomorphien zwischen Gruppen aufzudecken. Eine interessante Konsequenz möchte ich direkt ansprechen: Da die Gruppen G\/ker(f) und im(f) isomorph sind, sind sie natürlich insbesondere gleich groß: abs(G\/ker(f))=abs(im(f)). Daraus folgt mit Hilfe des Satzes von Lagrange: abs(G) = abs(G\/ker(f))*abs(ker(f)) = abs(im(f))*abs(ker(f)) Diese Gleichung ist in gewisser Weise ein Cousin der Gleichung dim(V) = dim(im(f))+dim(ker(f)) für Vektorräume und Vektorraumhomomorphismen f:V\to\ W. Im Falle endlicher Gruppen und endlicher Vektorräume \(d.h. endlichdimensional über endlichen Körpern\) sind beide Gleichungen tatsächlich äquivalent zueinander. Eine weitere Konsequenz ist, wie ich oben schon andeutete, die Tatsache, dass jeder Epimorphismus "im Wesentlichen" eine Projektion ist. Wir können das nun ganz präzise formulieren mit unseren neuen Begrifflichkeiten: Ist f:G\to\ H ein Epimorphismus, so gilt im(f)=H, d.h. der Homomorphiesatz liefert uns mit f^- einen Isomorphismus G\/ker(f) \to\ H, der xker(f) mit f(x) identifiziert. Wenn wir diese Identifikation benutzen, dann entspricht f genau der Abbildung G\to\ G\/ker(f), x\mapsto\ xN, d.h. der Projektion von G auf G\/ker(f).

 
Einmal mehr zyklische Gruppen

Der Homomorphiesatz erlaubt uns, eine Behauptung zu beweisen, die ich bereits im letzten Kapitel in den Raum gestellt hatte: \darkred\ array(Lemma und Definition: Ordnung)__ Sei G eine zyklische Gruppe, etwa G=\. Es gilt: \ll(1.)Durch \ll()f:=cases(\IZ\to\ G;k\mapsto g^k) \ll()und den Homomorphiesatz wird ein Isomorphismus f^-:\IZ\/n\IZ\to\ G für genau ein n\in\IN bestimmt. \ll(2.)Dieses n heißt auch \darkblue\ array(Ordnung)__\black von g, wird meistens als ord(g) notiert und hat folgende Eigenschaft: \ll()\forall k\in\IZ: g^k=1 <=> n \| k \ll()Im Falle n=0 ist die Bezeichnung jedoch uneindeutig. Man schreibt statt ord(g)=0 auch oft ord(g)=\infty. Mit dieser Symbolik wäre ord(g)=abs(\) die charakterisierende Eigenschaft der Ordnung von g. \ll()Es gibt bis auf Isomorphie genau eine unendliche, zyklische Gruppe \(nämlich \IZ\) und genau eine zyklische Gruppe der Ordnung n für alle n\in\IN_(>0) \(nämlich \IZ\/n\IZ\). \blue\ Beweis: Dank des Homomorphiesatzes müssen wir gar nicht mehr viel machen, um diese Aussagen zu beweisen. Die Potenzgesetze für Gruppen sagen uns, dass f(k+m)=g^(k+m)=g^k*g^m=f(k)*f(m) ist, d.h. dass f ein Homomorphismus ist. Weil G=\ ist, ist f surjektiv. Außerdem wissen wir, dass jede Untergruppe von \IZ \(also insbesondere ker(f)\) die Form n\IZ für genau ein passendes n\in\IN hat. Damit ist dank des Homomorphiesatzes die erste Aussage bereits vollständig bewiesen. Falls G endlich war, so folgt abs(G)=abs(\IZ\/n\IZ)=n, und falls G unendlich war, so folgt abs(G)=abs(\IZ\/0\IZ)=abs(\IZ)=\infty, d.h. mit der zweiten Konvention ist tatsächlich ord(g)=abs(\). Die Charakterisierung der Ordnung durch die Teilbarkeitseigenschaft \(hier müssen wir die Konvention bemühen, die ord(g)=0 erlaubt\), folgt auch völlig aus bereits bekannten Tatsachen: 1=g^k=f(k) <=> k\in\ ker(f)=n\IZ <=> n \| k Die dritte Aussage ist eine Zusammenfassung der ersten. Wenn G_1=\ und G_2=\ zwei zyklische Gruppen derselben Ordnung ord(g_1)=ord(g_2)=n\in\IN_(>0)\union\ menge(\infty) sind, dann ist G_1~=\IZ\/n\IZ~=G_2 \(im endlichen Fall\) bzw. G_1~=\IZ~=G_2 \(im unendlichen Fall\). \blue\ q.e.d. Eine wichtige Konsequenz aus der Beobachtung abs(\)=ord(g) für endliche Ordnungen ist, dass für endliche Gruppen stets ord(g) ein Teiler von abs(G) ist, denn nach dem Satz von Lagrange ist abs(\) ein Teiler von abs(G). Wenn man jetzt das Lemma auf diese Erkenntnis anwendet, erhält man, dass in endlichen Gruppen stets g^(abs(G))=1 ist. Ebenfalls eine sehr einfache, aber unschätzbar wertvolle Information.

 
Charakteristische Untergruppen

Mit Homomorphismen kann man sich in der Gruppentheorie vieles erleichtern. Sie treten oft genug auf, um viel Arbeitsersparnis zu bedeuten. Eine Möglichkeit haben wir bereits gesehen: Kerne von Homomorphismen sind immer Normalteiler, Bilder sind stets Untergruppen. Eine weitere, von Zeit zu Zeit nützliche Methode, sich Normalteiler zu beschaffen, sind charakteristische Untergruppen: \darkred\ array(Definition:Charakteristische Untergruppen)__ Sei G eine Gruppe und U<=G eine Untergruppe. U heißt \darkblue\ array(charakteristische Untergruppe von G)__\black||, falls für alle f\in\ Aut(G) stets f(U)\subseteq\ U gilt. U heißt \darkblue\ array(voll charakteristisch)__\black, falls dies sogar für alle Endomorphismen f:G\to\ G gilt. Ganz allgemein definiert man entsprechend für beliebige Teilmengen X\subseteq\ End(G), dass U \darkblue\ array(X\-invariant)__\black heißt, falls \forall\ f\in\ X: f(U)\subseteq\ U ist. Wie kommen da die Normalteiler ins Spiel? So: \darkred\ array(Lemma und Definition: Innere Automorphismen)__ Sei G eine Gruppe. Dann gilt: \ll(1.)Sei g\in\ G. Die \darkblue\ array(Konjugation mit g)__\black||, d.h. \ll()\kappa_g:=cases(G\to\ G;x\mapsto\ gxg^(-1)) \ll()ist ein Automorphismus von G. Automorphismen dieser Form heißen \darkblue\ array(innere Automorphismen)__\black||. \ll(2.)Inn(G):=menge(\kappa_g | g\in\ G) ist ein Normalteiler von Aut(G). \ll(3.)Eine Untergruppe N<=G ist genau dann ein Normalteiler, wenn sie Inn(G)\-invariant ist. Insbesondere sind charakteristische und voll charakteristische Untergruppen stets auch Normalteiler. \blue\ Beweis: Die ersten beiden Punkte beweisen wir gemeinsam in mehreren Schritten. Erster Schritt: \kappa_g ist ein Homomorphismus G\to\ G. Das sieht man wie folgt ein: \forall x,y\in\ G: \kappa_g(xy)=g(xy)g^(-1) = (gxg^(-1))(gyg^(-1))=\kappa_g(x)\kappa_g(y) Zweiter Schritt: Wir schauen uns an, wie die inneren Automorphismen zueinander in Verbindung stehen. Für alle g,h,x\in\ G gilt: (\kappa_g\circ\kappa_h)(x)=\kappa_g(hxh^(-1))=ghxh^(-1)\.g^(-1)=(gh)x(gh)^(-1)=\kappa_gh(x) Also ist \kappa_g\circ\kappa_h=\kappa_gh. Dritter Schritt: Weil offenbar \kappa_1=id_G ist, ist \kappa_g\circ\kappa_(g^(-1))=id_G=\kappa_(g^(-1))\circ\kappa_g, d.h. alle \kappa_g sind tatsächlich Automorphismen von G. Weiterhin zeigt uns die Gleichung aus Schritt 2, dass \kappa:=cases(G\to\ Aut(G);g\mapsto\kappa_g) ein Homomorphismus von Gruppen ist. Also ist Inn(G)=im(\kappa) schon einmal mindestens eine Untergruppe von Aut(G). Vierter Schritt: Inn(G) ist aber sogar ein Normalteiler, denn es gilt für alle \alpha\in\ Aut(G), g,x\in\ G: (\alpha\circ\kappa_g\circ\alpha^(-1))(x) = \alpha(\kappa_g(\alpha^(-1)(x))) = \alpha(g\alpha^(-1)(x)g^(-1))=\alpha(g)x\alpha(g)^(-1) = \kappa_(\alpha(g))(x), d.h. \alpha\circ\kappa_g\circ\alpha^(-1)\in\ Inn(G). Also ist tatsächlich Inn(G)<|Aut(G). Die dritte Aussage ist nur eine Umformulierung des uns schon bekannten Kriteriums N<|G <=> \forall g\in\ G: gNg^(-1) \subseteq\ N, denn gNg^(-1) ist natürlich nichts anderes als \kappa_g(N). \blue\ q.e.d. \darkred\ array(Das Zentrum)__ Ein besonders interessantes Beispiel, das zugleich eine nette Anwendung des Homomorphiesatzes bereithält, ist folgendes: Definiere das \darkblue\ array(Zentrum der Gruppe G)__\black als Z(G):=menge(g\in\ G | \forall x\in\ G: gxg^(-1) = x), man könnte natürlich auch umstellen und Z(G)=menge(g\in\ G | \forall x\in\ G: gx=xg) schreiben. Das Zentrum besteht also aus allen Elementen von G, die mit allen anderen Elementen von G kommutieren. Ich behaupte nun, dass Z(G) eine charakteristische Untergruppe von G ist, mithin also sogar ein Normalteiler. Jetzt könnte man natürlich mit dem Untergruppenkriterium anfangen und sich dann Schritt für Schritt alles zusammensammeln, was man braucht. Der wesentlich elegantere Weg ist aber, sich einen geeigneten Homomorphismus zu besorgen und diese Arbeit von den Lemmata, die bereits bewiesen wurden, erledigen zu lassen. Wir benutzen dafür den Homomorphismus aus dem Lemma: \kappa: G\to\ Aut(G). Es gilt nämlich g\in\ ker(\kappa) <=> \kappa_g=id <=> \forall x\in\ G: x=\kappa_g(x)=gxg^(-1) <=> g\in\ Z(G), d.h. Z(G)=ker(\kappa). Damit haben wir in nur einer Zeile bewiesen, dass Z(G) mindestens ein Normalteiler von G ist. Der Homomorphiesatz gibt uns direkt noch die schöne Zusatzaussage, dass G\/Z(G)~=Inn(G) ist. Das Einzige, was jetzt noch zu tun ist, ist zu beweisen, dass Z(G) nicht nur normal \(d.h. Inn(G)\-invariant\), sondern sogar charakteristisch \(d.h. Aut(G)\-invariant\) in G ist. Das sieht man wie folgt: Wenn \alpha\in\ Aut(G) ist, dann ist \alpha insbesondere ein surjektiver Homomorphismus, d.h. jedes x\in\ G lässt sich als \alpha(y) schreiben. Dann gilt für alle g\in\ Z(G): x\alpha(g)=\alpha(y)\alpha(g)=\alpha(yg)=\alpha(gy)=\alpha(g)\alpha(y)=\alpha(g)x Da x\in\ G beliebig war, folgt, dass \alpha(g)\in\ Z(G) ist, d.h. \alpha(Z(G))\subseteq\ Z(G). Genauer haben wir also gezeigt, dass Z(G) nicht nur unter allen Automorphismen, sondern sogar unter allen Epimorphismen G\to\ G invariant ist.

 
Direkte Produkte und direkte Summen von Gruppen

Wir wollen zum Abschluss noch eine weitere Möglichkeit kennenlernen, sich aus vorhandenen Gruppen neue zu basteln. \darkred\ array(Definition: Summen und Produkte)__ Ist \(G_i\.\)_(i\in\ I) eine Familie von Gruppen, so definieren wir das \darkblue\ array(direkte)__\black oder auch \darkblue\ array(kartesische Produkt)__\black als die Menge produkt(G_i,i\in\ I) := menge(\(g_i\.\)_(i\in\ I) | g_i\in\ G_i). Die Gruppenverknüpfung ist \darkblue\ array(komponentenweise)__\black definiert, d.h.: \(g_i\.\)_(i\in\ I)*\(h_i\.\)_(i\in\ I) := \(g_i h_i\.\)_(i\in\ I) Die \darkblue\ array(direkte Summe)__\black dieser Gruppen ist nun definiert als bigop(\oplus,G_i,i\in\ I):=menge(\(g_i\.\)_(i\in\ I) \in\ produkt(G_i,i\in\ I) | g_i=1 bis auf endlich viele Ausnahmen) Man kann sich leicht anhand der Axiome bzw. anhand des Untergruppenkriteriums davon überzeugen, dass produkt(G_i,i) eine Gruppe und bigop(\oplus,G_i,i) eine Untergruppe davon ist. Offenbar unterscheiden sich direkte Summe und direktes Produkt höchstens dann, wenn I unendlich groß ist; falls wir endlich viele Mengen betrachten, sind beide Gruppen identisch. Durch die Konstruktion als kartesisches Produkt haben wir folgende Formel für die Ordnungen automatisch sichergestellt: abs(produkt(G_i,i\in\ I)) = produkt(abs(G_i),i\in\ I) Von Zeit zu Zeit nützlich ist das folgende Lemma, das es uns erlaubt, zyklische Gruppen in bestimmten Fällen in direkte Produkte zu zerlegen bzw. ein Produkt zyklischer Gruppen zu einer zyklischen Gruppe zusammenzufassen: \darkred\ array(Lemma)__ Sind G und H endliche, zyklische Gruppen, etwa mit Ordnungen n:=abs(G), m:=abs(H), so gilt: G\times\ H zyklisch <=> ggT(n,m)=1 Speziell gilt: \IZ\/n\IZ\times\IZ\/m\IZ ~= \IZ\/nm\IZ <=> ggT(n,m)=1 \blue\ Beweis: \blue\ "=>" Sei etwa x:=(g,h)\in\ G\times\ H ein erzeugendes Element. Wir nutzen das Lemma über die Elementordnungen und seine Konsequenzen aus und erhalten: x^n=(g^n, h^n)=(1, h^n) und x^m=(g^m, h^m)=(g^m, 1). Daraus folgt x^kgV\(n,m\)=(1,1). Wie wir in diesem Lemma ebenfalls gesehen haben, folgt daraus, dass ord(x) ein Teiler von kgV(n,m) \| nm ist. Als erzeugendes Element erfüllt x aber auch ord(x)=abs(G\times\ H)=nm, d.h. kgV(n,m)=nm => ggT(n,m)=1. \blue\ "<==" Ist umgekehrt ggT(n,m)=1 und sind g\in\ G bzw. h\in\ H erzeugende Elemente, so gilt für alle k\in\IN: 1=(g,h)^k <=> 1=g^k \and 1=h^k <=> n=ord(g) \| k \and m=ord(h) \| k <=> nm=kgV(n,m) \| k Daraus folgt, dass (g,h) mindestens die Ordnung nm hat, d.h. die Untergruppe \<(g,h)\><=G\times\ H hat mindestens die Ordnung nm. Weil nm aber auch die höchstmögliche Ordnung ist, folgt G\times\ H=\<(g,h)\>. Also ist G\times\ H zyklisch wie behauptet. \blue\ q.e.d.

 
Abschluss

Ich hoffe, ich konnte euch in den bisher drei Teilen der Reihe einen guten Eindruck von der Gruppentheorie vermitteln. Vielleicht teilt ja jetzt der eine oder andere von euch mein Interesse und meine Begeisterung für dieses Gebiet. Ich wünsche den Neu-Begeisterten noch viel Spaß, und dass sie am Ende keine Gruppentherapie brauchen! mfg:G\to\ ockel

 
Die Gruppenzwang-Reihe

Teil 1: Wir rechnen mit allem Teil 2: Anonyme Mathematiker bieten Gruppentherapie an Teil 3: Sensation: Homo Morphismus ist ein Gruppentier Teil 4: Gruppencamper brauchen Iso(morphie)matten Teil 5: Dr.Cauchy und Dr.Sylow bitte zur GruppenOP Teil 6: Randale: Gruppendemo musste aufgelöst werden Teil 7: Gruppen sind immer noch top! Teil 8: Konvois auf der A20: Autos nur noch in Gruppen unterwegs Teil 9: Unfall im Genlabor: (Per)mutationen in der Bevölkerung Teil 10: Jäger der verlorenen Gruppe - Special Xtended Version Teil 11: Der Gruppentheorie-Adventskranz Teil 12: Wegen guter Führung entlassen: Gruppen sind frei Teil 13: Amnestie: Auch Untergruppen frei

 
Dieser Artikel ist enthalten in unserem Buch
Mathematisch für fortgeschrittene Anfänger
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: Gruppentheorie :: Algebra :: Leicht verständlich :: Mathematik :
Gruppenzwang III: Sensation: Homo Morphismus ist ein Gruppentier [von Gockel]  
Einführung in Gruppenhomomorphismen, Bild und Kern sowie den Homomorphiesatz
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"Mathematik: Sensation: Homo Morphismus ist ein Gruppentier" | 6 Comments
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Re: Sensation: Homo Morphismus ist ein Gruppentier
von: Martin_Infinite am: Fr. 20. August 2004 22:01:33
\(\begingroup\)Hi Gockel, eine sehr ausführliche und klare Einführung in Gruppenhomomorphismen und charakteristischen Untergruppen! 😄 Die Anwendung Inn(G) ~ G/Z(G) für den Homomorphiesatz sowie den Ausblick auf andere Theorien mit Gruppenhomomorphismen wie LA hast du super gesetzt! Gruß Martin\(\endgroup\)
 

Re: Sensation: Homo Morphismus ist ein Gruppentier
von: Niels am: Sa. 21. August 2004 09:59:19
\(\begingroup\)Hi Gockel, gibt es noch so ein hübschen Beitrag in der Reihe "Gruppentheorie"? Sehr gut Strukturiert die Artikel! Mich ineressiert zwar die Analysis eigentlich mehr als die Algebra, aber Algebra muss man ja auch machen.... Gruß N.\(\endgroup\)
 

Re: Sensation: Homo Morphismus ist ein Gruppentier
von: Gockel am: Sa. 21. August 2004 13:17:52
\(\begingroup\)Hi niels. Es sind von meiner Seite vorerst keine weiteren Fortsetzungen geplant. EInige andere MPler haben aber mir eggenüber schon Interesse angemeldet, selber einen Beitrag zur Reihe zu leisten. Wie weit diese Personen schon angefangen haben mit dem Schreiben, weiß ich nicht, aber ich würde mich freuen, wenn es nicht bei diesen 3 Artikel bleiben würde. mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

Re: Sensation: Homo Morphismus ist ein Gruppentier
von: matroid am: Sa. 21. August 2004 23:50:24
\(\begingroup\)Hi Gockel, Du mußt (spätestens) in Papenburg viel gelernt haben, jedenfalls schreibst Du erstaunlich klar und zutreffend, vor allem Dingen auch verständlich. Also, mein Dank - und schade, daß es vorbei ist, aber - nun - das war mal die Gruppentheorie 😉 Gruß Matroid\(\endgroup\)
 

Re: Sensation: Homo Morphismus ist ein Gruppentier
von: Gockel am: So. 22. August 2004 13:07:33
\(\begingroup\)Hi matroid. Wer sagt denn, dass es vorbei ist? Irgendwann gibts bestimmt mehr davon. Vielleicht sogar auch von andern, nicht nur von mir. (siehe oben) Aber auf jeden Fall ein dickes Danke für das Lob. Das tut einem Süchtigen wie mir gut 😉 mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

Re: Sensation: Homo Morphismus ist ein Gruppentier
von: Gockel am: Do. 16. Dezember 2010 20:12:49
\(\begingroup\)Bemerkung: Dieser Artikel ist Mitte November 2010 durch eine von Grund auf überarbeitete und erweiterte Version ersetzt worden (nämlich die Version, die sich jetzt auch im neuen MP-Buch findet). Alle Kommentare vor diesem Datum beziehen sich auf die sechs Jahre ältere Version des Artikels. mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

 
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