Mathematik: Konstruktion der Zahlenmengen - Teil 3
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Mathematik

\(\begingroup\) Konstruktion der Zahlenmengen - Teil 3 Ganze Zahlen
Es wäre natürlich schön, wenn es neben natürlichen noch "negative" Zahlen gäbe, damit Gleichungen der Form a + b = c stets nach b aufgelöst werden können. Somit könnten wir den Abstand zweier natürlichen Zahlen auch genau angeben. Wir werden diese Zahlen mit folgender Idee konstruieren: Wir führen formale Differenzen von natürlichen Zahlen ein, indem wir sagen, wann zwei Differenzen "a - b", "c - d" gleich seien sollen. Das soll für a + d = c + b der Fall sein.
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Das bedeutet, wir definieren eine Äquivalenzrelation auf \IN \times \IN durch (a,b) \D (c,d) <=> a + d = c + b und unsere Menge, die aus formalen Differenzen von natürlichen Zahlen besteht, ist die Menge aller Äquivalenzklassen, hier \big\darkblue ganze Zahlen genannt, die wir nun mit \IZ bezeichnen wollen. Zunächst müssen wir nachvollziehen, dass wir überhaupt eine Äquivalenzrelation vorliegen haben: Reflexivität und Symmetrie bedeuten die schon bewiesene Kommutativität der Addition auf \IN. Für (a,b) \D (c,d) \D (e,f) kann man (a+f)+c =(e+b)+c nachrechnen, woraus a+f=e+b, also (a,b) \D (e,f) folgt. Damit ist auch die Transitivität gezeigt, und \D ist tatsächlich eine Äquivalenzrelation. Als nächstes wollen wir auf \IZ eine Addition definieren. Anschaulich gesehen soll gelten: "a-b"+"c-d" = "(a+c)-(b+d)" Daher lautet die Definition einfach [a,b]_\D + [c,d]_\D := [a+c,b+d]_\D Diese Zuordnung ist wohldefiniert, was man schnell nachrechnen kann. Das Nullelement lautet etwa [0,0]_\D, das zu [a,b]_\D inverse Element ist [b,a]_\D. Assoziativität und Kommuativität werden von \IN vererbt. Damit ist (\IZ,+) eine abelsche Gruppe. Nun zur Multiplikation. Anschaulich soll nach Ausmultiplizieren und Zusammenfassen gelten: "a-b" * "c-d" = "(ac+bd)-(ad+bc)" Das motiviert die Definition [a,b]_\D*[c,d]_\D := [ac+bd,ad+bc]_\D Hier muss zunächst die Wohldefiniertheit nachgewiesen werden. Sei dazu [a,b]_\D=[a',b']_\D, [c,d]_\D=[c',d']_\D. Dann kann man ((ac+bd)+(a'd'+b'c'))+ad'=((a'c'+b'd')+(ad+bc))+ad' nachrechnen. Daraus folgt (ac+bd)+(a'd'+b'c')=(a'c'+b'd')+(ad+bc) d.h. [ac+bd,ad+bc]_\D=[a'c'+b'd',a'd'+b'c']_\D und die Wohldefi- niertheit ist gezeigt. Das Einselement lautet [1,0]_\D ; Kommutativität und Assoziativität der Multiplikation und das Distributivgesetz lassen sich leicht nachweisen. Damit ist \IZ ein kommuativer Ring mit 1. Nun wollen wir auf \IZ eine Totalordnung definieren. Anschaulich soll gelten "a-b"<"c-d" <=> a+d < c+b Daher definieren wir auch [a,b]_\D < [c,d]_\D <=> a+d < c+b Die dafür erforderliche Wohldefiniertheit ist leicht nachzurechnen, ebenso die Tatsache, dass \IZ damit totalgeordnet wird. Wir sehen nun ein, inwiefern man wie gewohnt \IZ = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...} schreiben kann. Sei [a,b]_\D \in \IZ. Angenommen a <= b. Dann gibt es ein c \in \IN mit a+c=b=b+0, also [a,b]_\D=[0,c]_\D=-[c,0]_\D <= [0,0]_\D. Dieses c ist offenbar eindeutig bestimmt. Wir schreiben in diesem Falle -c für [a,b]_\D. Nun sei b <= a. Auch hier finden wir ein eindeutig bestimmtes c \in \IN mit b+c=a, d.h. [a,b]_\D=[c,0]_\D >= [0,0]_\D und wir schreiben analog c für [a,b]_\D. Diese Schreibweisen sind gerechtfertigt, weil offenbar f : \IN -> \IZ , c -> [c,0]_\D eine verknüpfungs- und ordnungstreue Injektion ist, die damit \IN in \IZ einbettet. Das zu \IN isomorphe Bild davon ist \IZ_(>=0). Wir können also schreiben: \IZ = menge(-c|c\in\IN) \union menge(c|c\in\IN) = {...,-3,-2,-1,0,+1,+2,+3,...} Aus dieser Darstellung folgt schnell die Nullteilerfreiheit des Ringes \IZ, die wir ja schon von Ordinalzahlen, insbesondere natürlichen Zahlen kennen. Nun zeigen wir, dass die Monotoniegesetze in \IZ gelten: 1. y x+y 0 => xy < xz Mit anderen Worten: Bei Ungleichungen darf man auf beiden Seiten addieren und mit positiven Zahlen multiplizieren. Mit Ordinalzahlen, also insbesondere natürlichen Zahlen, hatten wir dies schon im zweiten Teil bewiesen. Das erste Monotoniegesetz kann man leicht nachrechnen. Der Nachweis des zweiten sei nun weiter ausgeführt: Seien [a,b]_\D , [c,d]_\D , [e,f]_\D \el \IZ mit [a,b]_\D < [c,d]_\D . Für [e,f]_\D > [0,0]_\D gibt es ein x \in \IN_(>0) mit [e,f]_\D=[x,0]_\D. Wegen a+d < b+c ist dann ax+dx = (a+d)x < (b+c)x = bx+cx = cx+bx Daraus ergibt sich [a,b]_\D [e,f]_\D=[a,b]_\D [x,0]_\D=[ax+a0,b0+bx]_\D=[ax+0,0+bx]_\D =[ax,bx]_\D < [cx,dx]_\D = [cx+0,0+dx]_\D =[cx+c0,d0+dx]_\D =[c(x+0),d(0+x)]_\D=[c,d]_\D [x,0]_\D = [c,d]_\D [e,f]_\D also das 2. Monotoniegesetz. Wir wollen zum Schluss noch einsehen, dass \IZ kein Körper ist. Wenn dies doch der Fall sein sollte, dann hätte 2, sprich [2,0]_\D , ein multiplikatives inverses Element z. Aus z <= 0 folgte nach Multiplikation von 2 der Widerspruch 1<=0. Also ist z>0, womit es ein n\in\IN_(>0) mit z=[n,0]_\D gibt. Wegen 2z=1 gilt dann 2n=1. Aus n >= 1 folgt aber 2n >= 2, Widerspruch. Unser Ergebnis lautet also: \big\darkblue\IZ ist ein monoton total angeordneter Integritätsbereich mit 1, \big\darkblue\aber kein Körper, wobei \IN mit \IZ_(>=0) identifiziert werden kann. Daraus ergeben sich alle Rechenregeln für ganze Zahlen, die wir nun auch voraussetzen wollen. Und mehr als unser Ergebnis muss man daher über sie nicht wissen. Wie__ die Konstruktion von \IZ vor sich ging, ist nun unwichtig. Hauptsache wir wissen, dass__ sie funktioniert hat und mit der gewöhnlichen Vorstellung von ganzen Zahlen konform ist. Eine sehr schöne und ausführliche Abhandlung über die Konstruktion der ganzen Zahlen sowie deren Eigenschaften findet ihr hier. Nachdem wir nun mit ganzen Zahlen subtrahieren können, werden wir im nächsten Teil dieser Artikelserie definieren, was es formal heißt, sie durcheinander zu teilen.
1. Teil
2. Teil
3. Teil
4. Teil
5. Teil

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"Mathematik: Konstruktion der Zahlenmengen - Teil 3" | 2 Comments
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Re: Konstruktion der Zahlenmengen - Teil 3
von: BorisK am: Do. 26. August 2004 18:43:18
\(\begingroup\)Hi Martin, netter Artikel auch wenn ich noch nicht ganz durch bin aber sollte es nicht: "a-b"+"c-d" = "(a+c)-(b+d)" statt "a-b"+"c-d" = "(a+c)-(b+c)" heißen`? Noch ein schönes Lesen den anderen Boris\(\endgroup\)
 

Re: Konstruktion der Zahlenmengen - Teil 3
von: Martin_Infinite am: Do. 26. August 2004 18:51:07
\(\begingroup\)Hi Boris, du kannst ja gleich mal die neue Bearbeituns-Funktion von Artikeln ausprobieren, um meinen Tippfehler zu korrigieren 😄 Gruß Martin\(\endgroup\)
 

 
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