Stern Mathematik: Das Kugelwunder
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Mathematik

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Das Kugelwunder

Der Satz von Banach-Tarski



Globus-Puzzle


Übersicht
______________________________________________________________________

  • Einleitung

  • Die freie Gruppe mit zwei Erzeugern

  • Paradoxe Zerlegung einer löchrigen Sphäre

  • Von der löchrigen Sphäre zur Vollkugel

  • Abschluss

  • Quellenverzeichnis

  • ______________________________________________________________________



    Einleitung


    Darauf nahm er die fünf Brote und die zwei Fische, blickte zum
    Himmel auf, sprach den Lobpreis, brach die Brote und gab sie
    den Jüngern, damit sie sie an die Leute austeilten. Auch die zwei
    Fische ließ er unter allen verteilen. Und alle aßen und wurden
    satt. Als die Jünger die Reste der Brote und auch der Fische
    einsammelten, wurden zwölf Körbe voll. Es waren aber fünftausend
    Männer, die von den Broten gegessen hatten.

    Mk 6,41--44


    1900 Jahre später zeigten die polnischen Mathematiker Banach und Tarski,
    dass Vergleichbares möglich ist, wenn man an ein gewisses Axiom der Mengenlehre
    glaubt: das Auswahlaxiom. Bedeutende Vorarbeit hatte der deutsche Mathematiker
    Hausdorff geleistet.

    Das Auswahlaxiom wird verwendet, um eine Vollkugel in endlich viele Teile zu
    zerlegen und diese dann zu zwei vollen Kugeln von gleichem Radius zusammenzusetzen.

    Eine verstörende Aussage der Mathematik, von vielen zum Paradoxon erhoben,
    ist dieser "Satz von der Verdopplung der Kugel".

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    Die freie Gruppe mit zwei Erzeugern

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    Bild

    Abbildung 1: Der Cayley-Graph der freien Gruppe mit zwei Erzeugern. Die
    Verästelungen setzen sich bis in beliebige Tiefe fort. Ein "Ast" des Graphen
    (ohne ε) repräsentiert alle mit dem gleichen Zeichen beginnenden Wörter.
    Durch Davorschreiben des inversen Zeichens wird der Ast auf drei Äste
    (incl. ε) abgebildet.

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    Paradoxe Zerlegung einer löchrigen Sphäre

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    Von der löchrigen Sphäre zur Vollkugel

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    Abschluss

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    Quellenverzeichnis


    Reinhard Winkler, Wie macht man 2 aus 1?

    Björn Karge, Das Banach-Tarski-Paradoxon

    Appell K. und Appell J., Mengen - Zahlen - Zahlbereiche.
    Eine elementare Einführung in die Mathematik. Elsevier GmbH, München 2005

    Stan Wagon, The Banach-Tarski-Paradox, Cambridge University Press 1985

    Dieser Artikel ist in unserem Buch enthalten:

    Mathematisch für Anfänger
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    Das Kugelwunder [von shadowking]  
    Eine Kugel ist eine Kugel ist... sind zwei Kugeln?! - Der Satz von Banach-Tarski
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    "Stern Mathematik: Das Kugelwunder" | 18 Comments
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    Re: Das Kugelwunder
    von: matroid am: Fr. 03. September 2004 21:00:56
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    Super, ich bin ganz stolz, daß es auf dem Matheplaneten nun einen Aufsatz über dieses so schwer verständliche Paradoxon gibt. Ich habe schon andere Ausarbeitungen dazu gelesen, aber das hier ist sicher eine der besten.

    Vielen Dank, Du bist großartig.

    Gruß
    Matroid\(\endgroup\)
     

    Re: Das Kugelwunder
    von: Wauzi am: Sa. 04. September 2004 10:33:00
    \(\begingroup\)
    Das Auswahlaxiom sollte bei diesem Satz nicht weiter stören. Wurde nicht im August nach zwei spektakulären Beweisen (Primzahlzwillinge, Riemannsche Vermutung) auch das Konstruktionslemma bewiesen? Es besagt, daß jede per Auswahlaxiom ausgewählte Menge auch von Laien in endlich vielen Schritten konstruierbar ist.
    Leider gibt es bis jetzt nur einen Existenzbeweis, weil beim Beweis des Konstruktionslemmas das Auswahlaxiom gebraucht wurde.....

    Wenn Dir, Splendour, eine ebenso schöne Darstellung des Beweises des Konstruktionslemmas gelingt wie bei dieser wirklich tollen Ausarbeitung, werde ich sofort meine Bierkästen zerlegen, bewegen, verdopppeln, vervierfachen,.......

    Es grüßt Wauzi, ziemlich zerlegt, leicht ins Drehen geraten aber noch nicht verdoppelt.\(\endgroup\)
     

    Re: Das Kugelwunder
    von: Spock am: So. 05. September 2004 19:36:02
    \(\begingroup\)
    Hallo Norbert,

    eine gelungene und "abgerundete" Ausarbeitung!

    Gruß
    Juergen\(\endgroup\)
     

    Re: Das Kugelwunder
    von: scm am: Fr. 19. November 2004 19:31:35
    \(\begingroup\)
    Find' ich auch!
    Toll!
    Gruß
    Sven\(\endgroup\)
     

    Re: Das Kugelwunder
    von: Ex_Mitglied_40174 am: Di. 06. Februar 2007 14:27:42
    \(\begingroup\)
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    Re: Das Kugelwunder
    von: Ex_Mitglied_40174 am: Mi. 30. Mai 2007 23:22:51
    \(\begingroup\)
    Allerdings muss nach Lemma 3  gelten:

    (Wurzel(10^50 * Bx0)) / B/N{0} = Bx0'(10^5) * B/N - wurzel((x1*g1)^N / (x2*g2)^N) --> nach Satz des Ptolomäus

    Also ist Zerlegesumme ExB:

    E1 = 10^50          (~)
    E2 = wurzel(10^50)  (~)
    E3 = -10^-50        (~)

    Eg = sum(E1,E2,E3)
    ==================

    \(\endgroup\)
     

    Re: Das Kugelwunder
    von: Ex_Mitglied_40174 am: Fr. 23. November 2007 12:01:11
    \(\begingroup\)
    Das Banach-Tarski-Paradox zeigt schön den fundamentalen Unterschied zwischen Geometrie und Wirklichkeit. Letztere kennt nur existierende Volumina, erstere kennt aber auch den Punkt, die Gerade und die Fläche.
    In der Geometrie kann man ein Volumen in unendlich viele Schnittflächen zerlegene, ebenso eine Fläche in unendlich viele Strecken und eine Strecke in unendlich viele Punkte. Der Umkehrschluss ist aber ein verbreiteter Irrtum: Es ist nicht möglich aus unendlich vielen Punkten eine Strecke aufzubauen, und es ist genauso nicht möglich, aus Strecken Flächen und aus Flächen Volumina aufzubauen. Strecken können sich nur aus Strecken konstituieren, Flächen nur aus Flächen und Volumina nur aus Volumina, die jeweils in der entsprechenden Einheit messbar (!) sein müssen.
    Würden nichtmessbaren Teile akzeptiert, kann man das Banach-Tarski-Paradox auf den ganz allgemeinen Satz umformulieren: Aus jedem kann alles werden.\(\endgroup\)
     

    Re: Das Kugelwunder
    von: Hans-Juergen am: Fr. 23. November 2007 19:19:10
    \(\begingroup\)
    Hallo Norbert,

    die von Dir bei den Literaturquellen angegebene Arbeit von Winkler ist hier vom Matheplaneten aus nicht direkt durch Anklicken erreichbar, wohl aber über den entsprechenden Wikipedia-Artikel über das Paradoxon von Banach-Tarski ( de.wikipedia.org/wiki/Banach-Tarski-Paradoxon ); ihre Adresse ist:
    dmg.tuwien.ac.at/winkler/pub/bata/index.html (Der Winkler-Artikel erhebt den Anspruch, das "Kugelwunder" mit Hilfe der Schulmathematik zu erklären. Er ist sehr lang und ausführlich und geht auch auf die inner- und außermathematischen Konsequenzen des PvBT ein.)  

    Herzlichen Gruß,
    Hans-Jürgen


    \(\endgroup\)
     

    Re: Das Kugelwunder
    von: shadowking am: Fr. 14. Dezember 2007 00:42:56
    \(\begingroup\)
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    Re: Das Kugelwunder
    von: wasseralm am: Do. 10. April 2008 23:06:56
    \(\begingroup\)
    Hallo shadowking,

    was hat dich denn bewogen, in der Einleitung bei den 3 beteiligten Mathematikern ihre Religion anzugeben? Das sieht man eigentlich nie. Hat es für die hier behandelte mathematische Aussage eine Bedeutung?

    Neugierig, Helmut\(\endgroup\)
     

    Re: Das Kugelwunder
    von: PeterTheMaster am: Sa. 22. November 2008 17:23:02
    \(\begingroup\)
    na wohl der vorangehende bibelspruch...\(\endgroup\)
     

    Re: Das Kugelwunder
    von: DaFlu am: Fr. 09. Januar 2009 14:37:03
    \(\begingroup\)
    schoener artikel! Danke.

    >Dass nichtmessbare Teilmengen von \IR existieren, war schon vor
    >Banach\-Tarski bekannt \(Vitali 1905\).

    Das wuerde ich aber nicht so absolut formulieren.

    Gruss DaFlu\(\endgroup\)
     

    Re: Das Kugelwunder
    von: Ex_Mitglied_40174 am: Di. 11. Januar 2011 19:20:43
    \(\begingroup\)
    Hallo!

    Ich glaube ich habe einen Fehler im Artikel gefunden.

    So ganz verstehe ich den folgenden Schritt noch nicht:
    fed-Code einblenden

    Dieser Beweis scheint mir nicht ganz schlüssig.
    fed-Code einblenden

    Deutlich schlüssiger erscheint mir das folgende Argument:
    fed-Code einblenden

    Vielen Dank übrigens für den fantastischen Artikel!
    \(\endgroup\)
     

    Re: Das Kugelwunder
    von: Ex_Mitglied_40174 am: Mi. 08. August 2012 13:08:42
    \(\begingroup\)
    Dieser Editor ist ...... reiner Quatsch und eine Perversion des Guten Willens.
    Natürlich kann man sich mit Hilfe von aufwendigen Kursen und Helfern
    die Benutzung beibringen - aber dazu ist der Computer erfunden worden.

    Aber diese Voraussetzung wurde ins Gegenteil verdreht.

    \(\endgroup\)
     

    Re: Das Kugelwunder
    von: shadowking am: So. 12. August 2012 01:06:00
    \(\begingroup\)
    Was willst Du uns damit sagen, Anonymer?

    Der Computer kann Dir nicht das Aufschreiben Deiner Gedanken abnehmen, weil er sie nicht kennen kann - und wenn doch, würde sich das Aufschreiben dann noch lohnen?

    Wenn Du schon mal ein CAS benutzt hast, dann kannst Du nicht sagen, daß der FED hier nicht intuitiv und leicht erlernbar sei.\(\endgroup\)
     

    Re: Das Kugelwunder
    von: Martin_Infinite am: Sa. 23. März 2013 23:24:08
    \(\begingroup\)
    Und was passiert, wenn Mathematiker versuchen, das Banach-Tarski Paradoxon physikalisch umzusetzen? Darum geht es in der Kurzgeschichte

    Michael D. Taylor, Eine Menge Nichts

    Sehr zu empfehlen :)\(\endgroup\)
     

    Re: Das Kugelwunder
    von: Martin_Infinite am: So. 02. August 2015 21:45:42
    \(\begingroup\)
    Vorgestern wurde auf dem YouTube-Kanal Vsauce ein sehr anschauliches Video zum Banach-Tarski-Paradoxon veröffentlicht:

    The Banach–Tarski Paradox

    Es geht sogar auf die Ideen des Beweises ein und gibt am Anfang eine kleine Einführung in die benötigten Grundlagen der Mengenlehre.\(\endgroup\)
     

    Re: Das Kugelwunder
    von: Slash am: Mo. 03. August 2015 00:20:50
    \(\begingroup\)
    In diesem Video wird das Paradoxon auch für Laien verständlich erklärt:

    Vortrag von Prof. Rudolf Taschner

    Gruß, Slash\(\endgroup\)
     

     
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