Doch warum untersucht man denn nicht andere vollständig angeordnete Körper als den Körper der reellen Zahlen? Das liegt daran, dass man das damit bereits macht. Wir weisen nämlich nun nach, dass alle vollständig angeordneten Körper isomorph sind. Dabei lernen wir gleich etwas über angeordnete Körper, besonders wie sich die beiden Eigenschaften Archimedizität und Vollständigkeit verhalten. Dafür klickt HIER. Zum Schluss des Artikels wollen wir noch die folgende echte Inklusionskette herleiten: | | | | | | | | | | | | | \IN \subset \IZ \subset \IQ \subset \IR Mit unseren Definitionen stimmt sie noch nicht ganz. Und dafür definieren wir einfach \IN ,\IZ ,\IQ neu: \IQ sei von nun an \IQ_\IR, \IZ sei von nun an \IZ_\IQ und \IN sei von nun an \IN_\IZ. Damit folgt sofort | | | | | | | | | | | | | \IN \subsetequal \IZ \subsetequal \IQ \subsetequal \IR und die neuen Strukturen sind zu den alten isomorph, wir haben also an der Struktur nichts geändert, und nur die interessiert uns. Weil es in \IZ im Gegensatz zu \IN negative Zahlen gibt, \IZ kein Körper ist und die Gleichung x^2=2 zwar in \IR, aber nicht in \IQ lösbar ist, gilt sogar | | | | | | | | | | | | | \IN \subset \IZ \subset \IQ \subset \IR Damit kann man sagen, dass die Konstruktion komplett ist: Wie eben gesehen, erfüllen die Zahlenmengen die gewohnten Inklusionsbeziehungen; außerdem erfüllt jede ihre Axiome, aus denen alle Rechengesetze folgen. Wie in den vorigen Teilen angesprochen, gilt auch hier: Es ist uninteressant wie, sondern dass die Zahlenmengen mit ihren charakteristischen Eigenschaften zu Stande gekommen sind. Naja, vielleicht sollten wir nicht vergessen, dass natürliche Zahlen als spezielle Ordinalzahlen, also Mengen, ganze Zahlen als bestimmte Äquivalenzklassen von natürlichen Zahlen, rationale Zahlen als bestimmte Äquivalenzklassen von ganzen Zahlen und reelle Zahlen als bestimmte Mengen von rationalen Zahlen eingeführt worden, sodass jede Zahl eine Menge ist! Zum Beispiel ließe sich die eulersche Zahl als Zeichenfolge, einzig und allein bestehend aus Mengenklammern, leeren Mengen und Element-Symbolen darstellen. Das wird sicher pervers aussehen und entspricht ja auch nicht dem Ziel, das wir verfolgt haben; lassen wir das lieber . Wer jetzt noch algebraische oder komplexe Zahlen, Quaternionen oder Oktaven vermisst, kann hier, hier, hier oder hier nachlesen. Das wird dann so aussehen: | | | | | | \IN \subset \IZ \subset \IQ \subset \IA \subset \IR \subset \IC \subset \IH \subset \IO Diese Artikelserie wäre ohne die Mitglieder des Matheplaneten nicht möglich gewesen! Der in der Einleitung präsentierte Zweck der gesamten Reduktion auf ZF stammt von Martin. Fabi lieferte diesen genialen Gedanken, bei dedekindschen Schnitten schrittweise nach vorne zu gehen, um einen Beweis für das additive neutrale Element zu erhalten. Zaos fand heraus, dass die Definition der Multiplikation für negative Elemente anders definiert werden muss. Buri half entscheidend bei den Ordinalzahlen sowie beim Nachweis weiter, dass die angegebene Abbildung zwischen vollständig angeordneten Körpern wirklich ein Isomorphismus ist. Buri und Zaos lieferten außerdem die Beweisideen zum multiplikativen inversen Element bei dedekindschen Schnitten. Vielen Dank dafür!