Mathematik: Gruppencamper brauchen Iso(morphie)matten
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Mathematik

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Gruppenzwang IV



Hallo, Freunde der Gruppentheorie und -therapie!

Es soll in diesem Kapitel um die sogenannten Isomorphiesätze gehen. Diese sind besonders interessant, wenn man (Na, was wohl?) Isomorphien von Gruppen nachweisen will (Na? Wen hat's überrascht?). Sie bieten einige Hilfsmittel und grundlegende Ideen zum Suchen und Finden von Isomorphien. Wir werden einige sehr nützliche Sätze und Lemmata kennenlernen, die vielseitig einsetzbar sind und ein tiefer gehendes Verständnis der Gruppen ermöglichen.

Die Isomorphiesätze werden in Büchern und Quellen verschieden angegeben. Manchmal sind es drei, manchmal zwei Isomorphiesätze, einmal wird der Homomorphiesatz (siehe dazu das vorhergehende Kapitel der Gruppenzwang-Reihe) als erster Isomorphiesatz betitelt und einmal nicht.

Ich werde hier drei Isomorphiesätze vorstellen, von denen die ersten zwei die beiden bekanntesten Isomorphiesätze sind, während der dritte Satz selten erwähnt wird, dafür aber sehr interessant und sein Beweis vielleicht auch lehrreich ist.



 
Hilfssätze und Konventionen



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Wir wollen jetzt noch einige nützliche und auch anderweitig verwendbare Hilfsätze über Komplexprodukte beweisen, die für unsere Beweise (insbesondere vom dritten Isomorphiesatz) benötigt werden.

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Der erste Isomorphiesatz



Dieser Satz ist relativ einfach zu beweisen. Er wird in einigen Quellen auch als der zweite Isomorphiesatz bezeichnet. Das sind i.d.R. die Quellen, die den Homomorphiesatz zu den Isomorphiesätzen hinzuzählen und für diesen dann die Nummer Eins reservieren. Der Homomorphiesatz wird in jedem Fall essentiell sein für die meisten der folgenden Beweise, daher sollte man ihn zur Not im vorangegangenen Artikel noch einmal nachlesen.

Zunächst beweisen wir ein kleines, aber feines Lemma, das sich immer wieder als nützlich erweist:
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Auch der erste Isomorphiesatz dreht sich um Teilmengen der Form UV der Gruppe. Besonders interessant ist natürlich der Fall, wo dies nicht nur eine bloße Teilmenge ist (was der Allgemeinfall wäre), sondern sogar eine Untergruppe von G. Der erste Isomorphiesatz zeigt dann, dass die eben bewiesene Gleichung für die Kardinalitäten der auftretenden Teilmengen kein bloßer arithmetischer Zufall ist, sondern von einem Isomorphismus der Gruppe herkommt:

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Isomorphe Gruppen sind insbesondere gleich groß, d.h. es ergibt sich aus dieser Isomorphie, wie schon erwähnt, ein neuer Beweis der Gleichung aus dem vorherigen Lemma:
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Allerdings mussten wir für die Isomorphie mehr Voraussetzungen hineinstecken nämlich, dass N ein Normalteiler von G ist. Das obige Lemma setzt ja nur die Untergruppeneigenschaft voraus.

 
Der zweite Isomorphiesatz



Der zweite Isomorphiesatz (oder auch der dritte, das hängt, wie gesagt, von der Zählweise ab) gehört zu einer Reihe von Eigenschaften, die einen sehr engen Zusammenhang zwischen der Faktorgruppe G/N und der Gruppe G herstellen und ist damit unverzichtbar für das Verständnis der Gruppentheorie.

Es stellt sich nämlich heraus, dass viele der wichtigen Eigenschaften und Strukturen von G/N denen von G "oberhalb von N" gleichen. Wir werden gleich sehen, wie das genau zu verstehen ist. Der zweite Isomorphiesatz selbst ist eine Art "Kürzungsregel" für Faktorgruppen und stellt auf diese Weise einen Zusammenhang zwischen Quotienten von G und von G/N her.

Der Satz, der diesen Zusammenhang darstellt, hat keine einheitliche Bezeichnung in der Literatur und wird auch nicht immer in einem Satz zusammengefasst dargestellt. Manchmal wird er als Korrespondenzsatz bezeichnet. So werde ich das auch handhaben:
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Der zweite Isomorphiesatz liefert also eine "Kürzungsregel" für Gruppenquotienten und somit eine weitere Rechtfertigung für die Verwendung dieser Schreibweise.

Wenn man noch mehr gruppentheoretische Strukturen kennt, dann stellt man immer wieder fest, dass noch mehr dieser Strukturen von dieser Korrespondenz erhalten werden. So werden z.B. Konjugationsklassen von Untergruppen bijektiv aufeinander abgebildet unter dieser Korrespondenz. Allerdings gibt es auch Grenzen, so werden beispielsweise Normalisatoren erhalten, Zentralisatoren jedoch i.A. nicht.

Kommen wir nun zum Beweis des Satzes:
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Bisher ist nicht viel gewonnen, denn 1. sagt uns nur, dass die beiden Mengen gleich viele Elemente haben. Punkt 2. sagt uns hingegen, dass auch die Inklusionsbeziehungen erhalten bleiben:
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Bisher wurde immer nur über Untergruppen geredet, jetzt kümmern wir uns auch einmal um Normalteiler.
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Der dritte Isomorphiesatz



Das folgende Lemma werden wir für diverse Umformungen brauchen:
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Die Dedekind-Identität werden wir jetzt anwenden beim Beweis des dritten Isomorphiesatzes, welcher auch Schmetterlingslemma oder Zassenhaus-Lemma genannt wird:
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Es hilft, sich die Untergruppen - es sind ja doch ein paar mehr - in einem Hasse-Diagramm (siehe Abbildung) zu veranschaulichen, um zu erkennen, was in welcher anderen Gruppe enthalten ist. Die Anordnung der Untergruppen hat dem Satz den Namen Schmetterlingslemma gegeben.



Man möge verzeihen, dass dieses Mal entgegen der Konvention die größeren Gruppen weiter unten stehen als die kleineren, aber so kommt der Schmetterling einfach besser zur Geltung.

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Eine Anwendung der Isomorphiesätze



Wir wollen nun eine der unzähligen Anwendungen dieser Isomorphiesätze vorstellen. Es soll uns um folgenden Satz gehen:

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Abschluss



Isomorphiesätze sind eine sehr nützliche Angelegenheit, wenn man Isomorphien von Gruppen nachweisen will. Da sich die Gruppentheorie u.a. auch lange Zeit damit beschäftigt hat, alle endlichen einfachen Gruppen zu klassifizieren, waren Isomorphieuntersuchungen natürlich unverzichtbar. Da sind die Isomorphiesätze und insbesondere der Homomorphiesatz ein sehr wichtiges Werkzeug.

Ich hoffe, ich konnte euch ein wenig für dieses Werkzeug begeistern.

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Die Gruppenzwang-Reihe



Teil 1: Wir rechnen mit allem
Teil 2: Anonyme Mathematiker bieten Gruppentherapie an
Teil 3: Sensation: Homo Morphismus ist ein Gruppentier
Teil 4: Gruppencamper brauchen Iso(morphie)matten
Teil 5: Dr.Cauchy und Dr.Sylow bitte zur GruppenOP
Teil 6: Randale: Gruppendemo musste aufgelöst werden
Teil 7: Gruppen sind immer noch top!
Teil 8: Konvois auf der A20: Autos nur noch in Gruppen unterwegs
Teil 9: Unfall im Genlabor: (Per)mutationen in der Bevölkerung
Teil 10: Jäger der verlorenen Gruppe - Special Xtended Version
Teil 11: Der Gruppentheorie-Adventskranz
Teil 12: Wegen guter Führung entlassen: Gruppen sind frei
Teil 13: Amnestie: Auch Untergruppen frei


 
Dieser Artikel ist enthalten in unserem Buch

Mathematisch für fortgeschrittene Anfänger
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Gruppenzwang IV: Gruppencamper brauchen Iso(morphie)matten [von Gockel]  
Die 3 Isomorphiesätze werden hier bewiesen
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"Mathematik: Gruppencamper brauchen Iso(morphie)matten" | 5 Comments
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Re: Gruppencamper brauchen Iso(morphie)matten
von: Martin_Infinite am: Fr. 10. September 2004 14:58:19
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Hi Gockel,
 
weil ja sonst keiner seinen Senf dazugeben will 😉 will ich das hier mal tun. Ich hatte ja schon beim Probelesen bemerkt, wie klasse ich diesen Artikel finde 😄 und der Titel erst! :D
 
Er strahlt vor Übersichtlichkeit, durch Layout, Farben und Schrifttyp. Aber das Highlight ist (mE) dein Beweis zum 3. Isomorphiesatz. Wer von uns hätte gedacht, dass sich der Beweis schließlich doch auf nur 2 Browser-Seiten fassen lässt, und dann auch noch mit solch genialen Beweisgedanken.
 
Deine Anwendung ist nicht nur ein Zusammenspiel der Isomorphiesätze und des Homomorphiesatzes, sondern auch eine Demonstration davon, dass die Gruppentheorie nicht in ihren Formeln stecken bleiben muss, sondern auch in die Geometrie übergehen kann und dort einen Teil ihrer Bedeutung findet.
 
 Gruß
Martin
 
PS: Ist der Isomorphismus von Gockel auf Johannes kanonisch? 😉\(\endgroup\)
 

Re: Gruppencamper brauchen Iso(morphie)matten
von: Ex_Mitglied_4018 am: Di. 28. September 2004 10:01:24
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Hi Gockel,

sehr saubere und klare Darstellung.

Da kann sich ein ungeübter ein Beispiel nehmen, wie man den Homomorphiesatz anwendet.

Ich stimme Martin zu, vor allem seine Aussage über den Zusammenhang zwischen Geometrie und Gruppentheorie, den Du in deinen Artikeln angdeutet hast.

Gruß
Zaos\(\endgroup\)
 

Re: Gruppencamper brauchen Iso(morphie)matten
von: Martin_Infinite am: Fr. 02. September 2005 19:36:27
\(\begingroup\)
Hi,
 
vielleicht noch eine Anmerkung zum 3. Isomorphiesatz:
 
Üblichere Namen sind Schmetterlingslemma 😄 (engl. butterfly lemma) und Zassenhaus Lemma. Siehe auch bei Mathworld und bei Wikipedia.
 
Man hat dann das folgende kommutative Diagramm:
 
Bild
 
 Gruß
Martin

\(\endgroup\)
 

Re: Gruppencamper brauchen Iso(morphie)matten
von: Gockel am: Do. 16. Dezember 2010 20:15:26
\(\begingroup\)
Bemerkung:
Dieser Artikel ist Mitte Dezember 2010 durch überarbeitete und erweiterte Version ersetzt worden (nämlich die Version, die sich jetzt auch im neuen MP-Buch findet). Neu ist unter anderem der viel allgemeinere Zugang zum zweiten Isomorphiesatz. Alle Kommentare vor diesem Datum beziehen sich auf die sechs Jahre ältere Version des Artikels.

mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

Re: Gruppencamper brauchen Iso(morphie)matten
von: Martin_Infinite am: So. 16. Dezember 2012 10:33:35
\(\begingroup\)
Eine schöne Verallgemeinerung von dem, was hier der erste Isomorphiesatz genannt wurde, ist der Diamant-Isomorphiesatz für modulare Gitter.\(\endgroup\)
 

 
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