Mathematik: Gruppencamper brauchen Iso(morphie)matten
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Mathematik

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Gruppenzwang IV

Hallo, Freunde der Gruppentheorie und -therapie! Es soll in diesem Kapitel um die sogenannten Isomorphiesätze gehen. Diese sind besonders interessant, wenn man (Na, was wohl?) Isomorphien von Gruppen nachweisen will (Na? Wen hat's überrascht?). Sie bieten einige Hilfsmittel und grundlegende Ideen zum Suchen und Finden von Isomorphien. Wir werden einige sehr nützliche Sätze und Lemmata kennenlernen, die vielseitig einsetzbar sind und ein tiefer gehendes Verständnis der Gruppen ermöglichen. Die Isomorphiesätze werden in Büchern und Quellen verschieden angegeben. Manchmal sind es drei, manchmal zwei Isomorphiesätze, einmal wird der Homomorphiesatz (siehe dazu das vorhergehende Kapitel der Gruppenzwang-Reihe) als erster Isomorphiesatz betitelt und einmal nicht. Ich werde hier drei Isomorphiesätze vorstellen, von denen die ersten zwei die beiden bekanntesten Isomorphiesätze sind, während der dritte Satz selten erwähnt wird, dafür aber sehr interessant und sein Beweis vielleicht auch lehrreich ist.


 
Hilfssätze und Konventionen

In den folgenden Abschnitten werden bestimmte Konstrukte immer wieder auftauchen. Die sollen hier nochmal zusammengefasst da stehen, da sie vielleicht für einige neu und ungewohnt sind: Wenn A und B zwei Teilmengen einer Gruppe G sind und g\in\ G ein beliebiges festes Element, dann werden wir folgende Bezeichungen benutzen: gA:=menge(ga | a\in\ A) Ag:=menge(ag | a\in\ A) AB:=menge(ab | a\in\ A, b\in\ B) A^(-1):=menge(a^(-1) | a\in\ A) Die Menge AB wird auch \darkblue\ array(Komplexprodukt von A und B)__\black genannt, im Gegensatz etwa zum kartesischen oder direkten Produkt. Wir wollen jetzt noch einige nützliche und auch anderweitig verwendbare Hilfsätze über Komplexprodukte beweisen, die für unsere Beweise (insbesondere vom dritten Isomorphiesatz) benötigt werden. \darkred\ll(Tausch-Lemma) \darkred\ Sei G eine Gruppe, N<|G ein Normalteiler und X\subseteq\ G eine beliebige Teilmenge. Dann gilt NX=XN. \blue\ Beweis: NX = union(Nx,x\in\ X) = union(xN,x\in\ X) = XN \blue\ q.e.d. \darkred\ll(ABBA-Lemma) \darkred\ Sei G eine Gruppe und A,B<=G zwei Untergruppen. Dann gilt: \darkred\ AB=BA <=> AB ist Untergruppe \blue\ Beweis: \blue\ => AB enthält nach Definition das Element 1=1*1 ist also nichtleer. Seien a_1, a_2\in\ A, b_1, b_2\in\ B beliebig. Dann gilt: (a_1 b_1)*(a_2 b_2)^(-1) = a_1 (b_1 b_2^(-1)) a_2^(-1) Weil AB=BA ist, gibt es a_3\in\ A, b_3\in\ B, sodass (b_1 b_2^(-1)) a_2^(-1) \- was ja in BA liegt \- als a_3 b_3 geschrieben werden kann. Eingesetzt ergibt sich: (a_1 b_1)*(a_2 b_2)^(-1) = a_1 (a_3 b_3) = (a_1 a_3) b_3 \in\ AB Also erfüllt AB das Untergruppenkriterium. \blue\ <== Für jede Untergruppe U<=G gilt U^(-1) = menge(u^(-1) | u\in\ U) = U da U als Untergruppe gegenüber Inversenbildung abgeschlossen ist und jedes u das Inverse von u^(-1)\in\ U ist. Wenn nun AB eine Untergruppe ist, dann gilt also: AB=(AB)^(-1) = B^(-1) A^(-1) = BA da A und B ja selbst Untergruppen sind. \blue\ q.e.d.

 
Der erste Isomorphiesatz

Dieser Satz ist relativ einfach zu beweisen. Er wird in einigen Quellen auch als der zweite Isomorphiesatz bezeichnet. Das sind i.d.R. die Quellen, die den Homomorphiesatz zu den Isomorphiesätzen hinzuzählen und für diesen dann die Nummer Eins reservieren. Der Homomorphiesatz wird in jedem Fall essentiell sein für die meisten der folgenden Beweise, daher sollte man ihn zur Not im vorangegangenen Artikel noch einmal nachlesen. Zunächst beweisen wir ein kleines, aber feines Lemma, das sich immer wieder als nützlich erweist: \darkred\ll(Lemma) \darkred\ Sei G eine Gruppe und U,V<=G zwei Untergruppen. Dann gilt: \darkred\ abs(U\cut\ V)*abs(UV)=abs(U)*abs(V) \blue\ Beweis: UV ist offenbar gleich union(uV,u\in\ U). Wir wissen aus der Diskussion des Satzes von Lagrange in Teil 1, dass Nebenklassen einer Untergruppe paarweise disjunkt sind. Wir würden also gerne abs(UV)=abs(V)*(Anzahl dieser Nebenklassen) schreiben. Dafür müssen wir uns aber überlegen, wieviele dieser Nebenklassen es denn überhaupt gibt. Es könnte natürlich sein, dass für zwei u,u'\in\ U der Fall uV=u'V eintritt. Das geschieht aber genau dann, wenn u'^(-1)\.u\in\ V ist. Andererseits sind u,u'\in\ U => u'^(-1)\.u\in\ U, d.h. das tritt genau dann ein, wenn u'^(-1)\.u\in\ U\cut\ V ist. Das wiederum tritt genau dann ein, wenn u(U\cut\ V)=u'(U\cut\ V) ist. Daraus schlussfolgern wir: Es gibt genauso viele verschiedene Nebenklassen der Form uV, u\in\ U wie es Nebenklassen der Form u(U\cut\ V), u\in\ U gibt. Weil U\cut\ V eine Untergruppe von U ist, ist uns diese zweite Anzahl als Index abs(U:U\cut\ V) bekannt. Alles zusammen ergibt also abs(UV)=abs(V)*abs(U:U\cut\ V) => abs(UV)*abs(U\cut\ V)=abs(V)*(abs(U:U\cut\ V)*abs(U\cut\ V))=abs(V)*abs(U). \blue\ q.e.d. Auch der erste Isomorphiesatz dreht sich um Teilmengen der Form UV der Gruppe. Besonders interessant ist natürlich der Fall, wo dies nicht nur eine bloße Teilmenge ist (was der Allgemeinfall wäre), sondern sogar eine Untergruppe von G. Der erste Isomorphiesatz zeigt dann, dass die eben bewiesene Gleichung für die Kardinalitäten der auftretenden Teilmengen kein bloßer arithmetischer Zufall ist, sondern von einem Isomorphismus der Gruppe herkommt: \darkred\ll(Erster Isomorphiesatz) \darkred\ Sei G eine Gruppe, H<=G eine Untergruppe und N<|G ein Normalteiler. Dann gilt: \darkred\ll(1)HN<=G und N<|HN. \darkred\ll(2)N\cut\ H<|H und HN\/N ~= H\/(N\cut\ H). \blue\ Beweis: Die erste Aussage ist relativ einfach: Da N ein Normalteiler ist, gilt nach Tausch\-Lemma HN=NH und wegen des ABBA\-Lemmas ist HN eine Untergruppe. Offenbar ist N=1*N\subseteq\ HN, also eine Untergruppe von HN. Da gN=Ng für alle g\in\ G gilt, gilt es natürlich auch für alle g\in\ HN, d.h. N ist auch ein Normalteiler von HN. Die Isomorphie der Faktorgruppen folgt dann aus dem Homomorpiesatz. Dazu brauchen wir einen Homormorphismus H\to\ HN\/N, dessen Kern genau H\cut\ N ist. Ein Homomorphismus bietet sich regelrecht an, nämlich die Einschränkung des kanonischen Homomorphismus x\mapsto\ xN auf H: \phi:=cases(H\to HN\/N;h\mapsto\ hN) Um den Homomorphiesatz anwenden zu können, müssen wir überprüfen, dass \phi surjektiv ist und ker(\phi) bestimmen. Den Kern zu bestimmen ist noch am einfachsten: Das neutrale Element der Faktorgruppe ist die Nebenklasse von 1 und es gilt: hN=1N <=> h\in\ N <=> h\in\ H\cut\ N, da h ja ein Element von H ist. Damit haben wir ker(\phi)=H\cut\ N gezeigt. Insbesondere folgt daraus, dass H\cut\ N ein Normalteiler von H ist. Um die Surjektivität von \phi zu überprüfen, schauen wir uns die Elemente von HN\/N einmal genauer an. Das sind Nebenklassen der Form xN wobei x\in\ HN ist. Die Elemente von HN haben nun die Form hn für bestimmte h\in\ H,n\in\ N, d.h. die Nebenklassen haben die Form hnN = hN, da nN=N für alle n\in\ N gilt. Das Bild von \phi besteht nun aber genau aus allen Nebenklassen der Form hN mit h\in\ H, also ist \phi surjektiv. Mit dem Homomorphiesatz folgt jetzt die Behauptung. \blue\ q.e.d. Isomorphe Gruppen sind insbesondere gleich groß, d.h. es ergibt sich aus dieser Isomorphie, wie schon erwähnt, ein neuer Beweis der Gleichung aus dem vorherigen Lemma: HN\/N ~= H\/(H\cut\ N) \align\ => abs(HN)*abs(H\cut\ N)><=abs(HN\/N)*abs(N)*abs(H\cut\ N) ><= abs(H\/(H\cut\ N))*abs(N)*abs(H\cut\ N) ><= abs(H)*abs(N) Allerdings mussten wir für die Isomorphie mehr Voraussetzungen hineinstecken nämlich, dass N ein Normalteiler von G ist. Das obige Lemma setzt ja nur die Untergruppeneigenschaft voraus.

 
Der zweite Isomorphiesatz

Der zweite Isomorphiesatz (oder auch der dritte, das hängt, wie gesagt, von der Zählweise ab) gehört zu einer Reihe von Eigenschaften, die einen sehr engen Zusammenhang zwischen der Faktorgruppe G/N und der Gruppe G herstellen und ist damit unverzichtbar für das Verständnis der Gruppentheorie. Es stellt sich nämlich heraus, dass viele der wichtigen Eigenschaften und Strukturen von G/N denen von G "oberhalb von N" gleichen. Wir werden gleich sehen, wie das genau zu verstehen ist. Der zweite Isomorphiesatz selbst ist eine Art "Kürzungsregel" für Faktorgruppen und stellt auf diese Weise einen Zusammenhang zwischen Quotienten von G und von G/N her. Der Satz, der diesen Zusammenhang darstellt, hat keine einheitliche Bezeichnung in der Literatur und wird auch nicht immer in einem Satz zusammengefasst dargestellt. Manchmal wird er als Korrespondenzsatz bezeichnet. So werde ich das auch handhaben: \darkred\ array(Satz: Korrespondenzsatz)__ Sei G eine Gruppe und N<|G ein Normalteiler von G. Bezeichne mit \pi:G\to\ G\/N den kanonischen Homomorphismus \pi(g):=gN. Dann gilt: \ll(1.)Untergruppen von G\/N entsprechen eindeutig Untergruppen von G oberhalb von N. Präzise: \ll()cases(menge(U\subseteq\ G | U Untergruppe, N\subseteq\ U) \to\ menge(V\subseteq\ G\/N | V Untergruppe);\U\mapsto\pi(U)) \ll()ist eine Bijektion. Die inverse Abbildung ist durch Bildung von Urbildern bzgl. \pi gegeben: V\mapsto\pi^(-1)(V). \ll()Insbesondere hat jede Untergruppe von G\/N die Form \pi(U)=U\/N für eine geeignete Untergruppe U von G. \ll(2.)Diese Korrespondenz erhält alle Inklusionsbeziehungen: Für alle Untergruppen U_1, U_2 und U_i (i\in\ I) mit N<=U_i<=G gilt: \ll()(i) $ $U_1\subseteq\ U_2 <=> \pi(U_1) \subseteq\ \pi(U_2) \ll()(ii) $ \pi(schnitt(U_i,i\in\ I))=schnitt(\pi(U_i),i\in\ I) \ll()(iii) $\pi(\)=\<\pi(U_i) \| i\in\ I\> \ll() $ $ $ $\(Dabei ist auf der linken Seite natürlich die erzeugte \ll() $ $ $ $ Untergruppe von G und auf der rechten Seite die erzeugte \ll() $ $ $ $ Untergruppe von G\/N gemeint.\) \ll(3.)Indizes werden erhalten: Für N<=U<=V<=G gilt: \ll()abs(V:U) = abs(\pi(V) : \pi(U)) \ll()Insbesondere ist abs(\pi(U))=abs(U:N). \ll(4.)Normalteiler von G\/N entsprechen eindeutig Normalteilern von N bzgl. dieser Korrespondenz: Für N<=U<=V<=G gilt: \ll()U<|V <=> \pi(U) <|\pi(V) \ll()Insbesondere liefert die Korrespondenz nicht nur eine Bijektion zwischen den Untergruppen oberhalb von N mit den Untergruppen von G\/N, sondern auch zwischen den Normalteilern oberhalb von N und den Normalteilern von G\/N. \ll(5.)\darkred\ array(Zweiter Isomorphiesatz)__ \ll()Sei N<=M<=G und M ein Normalteiler von G. Dann ist, wie eben gesehen, \pi(M)=M\/N ein Normalteiler von \pi(G)=G\/N und für die Quotienten gilt: \ll()(G\/N)\/(M\/N) ~= G\/M Der zweite Isomorphiesatz liefert also eine "Kürzungsregel" für Gruppenquotienten und somit eine weitere Rechtfertigung für die Verwendung dieser Schreibweise. Wenn man noch mehr gruppentheoretische Strukturen kennt, dann stellt man immer wieder fest, dass noch mehr dieser Strukturen von dieser Korrespondenz erhalten werden. So werden z.B. Konjugationsklassen von Untergruppen bijektiv aufeinander abgebildet unter dieser Korrespondenz. Allerdings gibt es auch Grenzen, so werden beispielsweise Normalisatoren erhalten, Zentralisatoren jedoch i.A. nicht. Kommen wir nun zum Beweis des Satzes: \blue\ Beweis: 1. U\mapsto\pi(U) ist bijektiv Zunächst müssen wir uns überzeugen, dass die beiden Abbildungen überhaupt wohldefiniert sind. Das ist einfach, denn wir hatten uns schon einmal überlegt, dass Bilder und Urbilder von Untergruppen unter Homomorphismen selbst Untergruppen sind. Außerdem gilt für jede Untergruppe V<=G\/N natürlich 1N\in\ V => N=ker(\pi)=\pi^(-1)(1)\subseteq\pi^(-1)(V), d.h., U\mapsto\pi(U) und V\mapsto\pi^(-1)(V) bilden wirklich die angegebenen Mengen ineinander ab. Jetzt müssen wir noch nachrechnen, dass es sich um inverse Abbildungen handelt. \pi(\pi^(-1)(V))=V gilt, weil \pi eine surjektive Abbildung G\to\ G\/N ist und die entsprechende Gleichung für alle surjektiven Abbildungen richtig ist. Wir müssen uns also nur um die umgekehrte Gleichung kümmern. U\subseteq\pi^(-1)(\pi(U)) ist ebenfalls für alle Abbildungen richtig. Erst wenn wir "\.opimg(\supseteq)" beweisen wollen, müssen wir benutzen, dass U eine Untergruppe mit N<=U<=G ist: Sei nämlich x\in\pi^(-1)(\pi(U)) beliebig. Dann gilt also \pi(x)\in\pi(U) => \exists\ u\in\ U: xN=\pi(x)=\pi(u)=uN => \exists\ u\in\ U: u^(-1) x\in\ N. Nun ist aber N\subseteq\ U, d.h. u^(-1)\.x\in\ U => x=u(u^(-1)\.x)\in\ U. Also gilt auch \pi^(-1)(\pi(U))\subseteq\ U und daher sogar die Gleichheit \pi^(-1)(\pi(U))=U, was die erste unserer Behauptungen beweist. \blue\checked Bisher ist nicht viel gewonnen, denn 1. sagt uns nur, dass die beiden Mengen gleich viele Elemente haben. Punkt 2. sagt uns hingegen, dass auch die Inklusionsbeziehungen erhalten bleiben: \blue\ Beweis: 2. Inklusionen U_1\subseteq\ U_2 => \pi(U_1)\subseteq\pi(U_2) ist für jede Abbildung richtig, genau wie V_1\subseteq\ V_2 => \pi^(-1)(V_1)\subseteq\pi^(-1)(V_2). Wenn man jetzt in die zweite Gleichung V_i:=\pi(U_i) einsetzt, ergibt sich \pi(U_1)\subseteq\pi(U_2) => U_1\subseteq\ U_2, d.h., der erste Teilpunkt gilt. Es gilt nun weiter: xN \in\ schnitt(\pi(U_i),i\in\ I) <=> \forall\ i\in\ I: xN\in\pi(U_i) | | <=> \forall\ i\in\ I \exists\ u_i\in\ U_i: x N=u_i\.N | | <=> \forall\ i\in\ I \exists\ u_i\in\ U_i: u_i^(-1)\.x\in\ N | | <=> \forall\ i\in\ I: x\in\ U_i | | <=> x\in\ schnitt(U_i,i\in\ I) Der vorletzte Schritt funktioniert dabei genauso wie vorher: Wenn u_i^(-1)\.x\in\ N ist, dann ist es auch in U_i, also x\in\ U_i. Ist umgekehrt x\in\ U_i, dann kann man umgekehrt u_i:=x wählen, um u_i^(-1)\.x\in\ N zu erreichen. Die eben bewiesene Äquivalenz sagt uns aber vor allem, dass \pi(schnitt(U_i,i))=schnitt(\pi(U_i),i\in\ I) gilt. Aus dem ersten und dem zweiten folgt auch der dritte Teilpunkt, denn \pi(\) = \pi(schnitt(X,array(X<=G;U_i<=X))) | | = schnitt(\pi(X),array(X<=G;U_i<=X)) | | = schnitt(\pi(X),array(\pi(X)<=\pi(G);\pi(U_i)<=\pi(X))) | | = schnitt(V,array(V<=G\/N;\pi(U_i)<=V)) | | = \<\pi(U_i) \| i\in\ I\>. Der vorletzte Schritt basiert dabei darauf, dass jede Untergruppe von G\/N die Form \pi(X) für ein geeignetes X hat, d.h., wir schneiden wirklich über dieselben Mengen in der zweiten und dritten Zeile von unten. \blue\checked \blue\ Beweis:3. Indizes werden erhalten Seien also U,V Untergruppen von G mit N<=U<=V<=G. Wähle nun aus jeder Linksnebenklasse von U in V genau ein Element. V ist also die disjunkte Vereinigung V=union(v_i\.U,i\in\ I,opimg(*)). Dann gilt natürlich auch \pi(V)=union(\pi(v_i\.U),i\in\ I)=union(\pi(v_i)\pi(U),i\in\ I). Die Behauptung ist nun, dass dies wieder eine disjunkte Vereinigung ist. Ist nämlich \pi(v_i)\pi(U) = \pi(v_j)\pi(U), so folgt \pi(v_j)^(-1)\.\pi(v_i)\in\pi(U) => \pi(v_j^(-1)\.v_i)\in\pi(U) => v_j^(-1)\.v_i\in\pi^(-1)(\pi(U))=U => v_i\.U = v_j\.U => v_i=v_j, da die ursprüngliche Nebenklassenzerlegung disjunkt gewählt worden war. Also ist sowohl abs(V:U) als auch abs(\pi(V):\pi(U)) gleich abs(I). \blue\checked Bisher wurde immer nur über Untergruppen geredet, jetzt kümmern wir uns auch einmal um Normalteiler. \blue\ Beweis: 4. U<|V <=> \pi(U)<|\pi(V) Dieser Beweis schreibt sich eigentlich von selbst: Seien also U,V wieder zwei Untergruppen mit N<=U<=V<=G. Für alle g\in\ G gilt wegen der Bijektivität \pi(gUg^(-1))=\pi(U) <=> gUg^(-1)=U und daher gilt U<|V <=> \forall\ v\in\ V: vUv^(-1)=U | | <=> \forall\ v\in\ V: \pi(vUv^(-1))=\pi(U) | | <=> \forall\ v\in\ V: \pi(v)\pi(U)\pi(v)^(-1)=\pi(U) | | <=> \pi(U) <|\pi(V) wie behauptet. \blue\checked \blue\ Beweis: 5. Der zweite Isomorphiesatz Sei nun M ein Normalteiler von G mit N<=M<=G. Dann beweisen wir (G\/N)\/(M\/N) ~= G\/M wieder einmal mit dem Homomorphiesatz. Die kanonischen Homomorphismen \pi: G\to\ G\/N und \phi: G\/N \to\ (G\/N)\/(M\/N) kann man natürlich verknüpfen, und weil beide surjektiv sind, erhält man so einen surjektiven Homomorphismus \psi: G\to\ (G\/N)\/(M\/N). Um unsere Isomorphie zu zeigen, bleibt noch zu zeigen, dass ker(\psi)=M ist. Es gilt g\in\ ker(\psi) <=> 1=\psi(g)=\phi(\pi(g)) <=> \pi(g)\in\ ker(\phi)=M\/N, d.h., ker(\psi) ist das Urbild \pi^(-1)(M\/N)=\pi^(-1)(\pi(M))=M. \blue\ q.e.d. \darkred\ Beispiel__ Man denke sich eine Gruppe, deren Untergruppen wie in obiger Abbildung \(linke Seite\) angeordnet sind. In diesem sogenannten \darkblue\ array(Hasse\-Diagramm)__\black sind Untergruppen, die sich weiter unten befinden, kleiner als die, die weiter oben stehen. Eine Linie zwischen zwei Untergruppen bedeutet, dass die kleinere in der größeren enthalten ist. Inklusionen, die sich automatisch ergeben \(weil z.B. menge(1)\subseteq\ F \subseteq\ E ist, ist natürlich auch menge(1)\subseteq\ E\), wurden der Übersichtlichkeit halber weggelassen. Die Zahlen auf den Linien geben den Index zwischen den jeweiligen Untergruppen an. \(Solch eine Gruppe, wie sie hier dargestellt ist, existiert wirklich. Q_8\times\IZ\/3\IZ ist ein Beispiel. Wir haben nicht besprochen, was Q_8 ist, die genaue Konstruktion solch einer Gruppe ist jedoch sowieso unwichtig im Moment.\) In jeder solchen Gruppe ist E <|G, da G nur eine einzige Untergruppe der Ordnung 6 hat, nämlich E. Da gEg^(-1) aber auch Ordnung 6 hat, muss somit gEg^(-1)=E für alle g\in\ G gelten, d.h. E ist ein Normalteiler, wie behauptet. Wichtig ist nun, wie sich die Faktorgruppe G\/E verhält. Der Korrespondenzsatz sagt uns nämlich, dass wir das analoge Diagramm für G\/E direkt aus dem Diagramm für G ablesen können: Es ist einfach der Anteil, der oberhalb von E liegt. Dabei werden alle Informationen, die in obigem Diagramm verzeichnet sind \(und sogar einige mehr, wie bemerkt wurde\), auf die Faktorgruppe übertragen, d.h., das Hasse-Diagramm von G\/E sieht aus wie in der Abbildung rechts dargestellt.

 
Der dritte Isomorphiesatz

Das folgende Lemma werden wir für diverse Umformungen brauchen: \darkred\ array(Lemma: Dedekind-Identität)__ Sei G eine Gruppe und U,V,W<=G Untergruppen von G. Dann gilt: U<=W => U(V\cut\ W)=UV\cut\ W \blue\ Beweis: \blue\ opimg(\subseteq): Seien also u\in\ U, x\in\ V\cut\ W beliebig. Dann ist x\in\ V => ux\in\ UV. Wegen U\subseteq\ W und x\in\ W gilt außerdem ux\in\ W, also ux\in\ UV\cut\ W. Weil u und x beliebig waren, sind also alle Elemente von U(V\cut\ W) auch in UV\cut\ W enthalten. \blue\ opimg(\supseteq): Sei umgekehrt x\in\ UV\cut\ W. Weil x\in\ UV ist, gibt es u\in\ U, v\in\ V mit x=uv => v=u^(-1)\.x. Nun sind u\in\ U\subseteq\ W und x\in\ W, d.h. u^(-1)\.x\in\ W => v\in\ V\cut\ W. Also ist x=uv\in\ U(V\cut\ W). Da x beliebig war, folgt die zweite Inklusion. \blue\ q.e.d. Die Dedekind-Identität werden wir jetzt anwenden beim Beweis des dritten Isomorphiesatzes, welcher auch Schmetterlingslemma oder Zassenhaus-Lemma genannt wird: \darkred\ array(Satz: Dritter Isomorphiesatz)__ Sei G eine Gruppe, U,V<=G Untergruppen und U_0<|U, V_0<|V Normalteiler dieser Untergruppen. Dann gilt: \ll(1.)U\cut\ V_0 und U_0\cut\ V sind Normalteiler von U\cut\ V. \ll(2.)U_0 (U\cut\ V_0) <|U_0(U\cut\ V) und V_0 (V\cut\ U_0) <| V_0(V\cut\ U). \ll(3.)(U\cut\ V_0)(U_0\cut\ V) <| U\cut\ V, und für die Quotienten gelten die folgenden Isomorphien: \ll()(U\cut\ V) \/ (U\cut\ V_0)(U_0\cut\ V) ~= U_0(U\cut\ V) \/ U_0(U\cut\ V_0) \ll()~= V_0(V\cut\ U) \/ V_0(V\cut\ U_0) Es hilft, sich die Untergruppen - es sind ja doch ein paar mehr - in einem Hasse-Diagramm (siehe Abbildung) zu veranschaulichen, um zu erkennen, was in welcher anderen Gruppe enthalten ist. Die Anordnung der Untergruppen hat dem Satz den Namen Schmetterlingslemma gegeben. Man möge verzeihen, dass dieses Mal entgegen der Konvention die größeren Gruppen weiter unten stehen als die kleineren, aber so kommt der Schmetterling einfach besser zur Geltung. \blue\ Beweis: Der erste Isomorphiesatz angewandt auf \(mit den dortigen Bezeichnungen\) G=V, H=U\cut\ V, N=V_0 sagt uns, dass U\cut\ V_0=(U\cut\ V)\cut\ V_0 ein Normalteiler von U\cut\ V ist. U\cut\ V und U\cut\ V_0 sind Untergruppen und U_0 ist ein Normalteiler von U. Im ersten Isomorphiesatz haben wir uns ebenfalls überlegt, dass damit U_0(U\cut\ V_0) und U_0(U\cut\ V) Untergruppen von U sind. Natürlich ist U\cut\ V_0\subseteq\ U\cut\ V => U_0(U\cut\ V_0)\subseteq\ U_0(U\cut\ V), d.h., wir haben schon mal die Untergruppeneigenschaft. Das werden wir jetzt beides benutzen, um zu zeigen, dass U_0(U\cut\ V_0) auch ein Normalteiler von U_0(U\cut\ V) ist. Wir nehmen uns also beliebige x\in\ U_0, y\in\ U\cut\ V und rechnen: (xy)U_0(U\cut\ V_0)(xy)^(-1) = xyU_0\.y^(-1)\.y(U\cut\ V_0)y^(-1)\.x^(-1) $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ = xU_0\.y(U\cut\ V_0)y^(-1)\.x^(-1) $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ da y\in\ U und U_0<|U und deshalb yU_0\.y^(-1)=U_0 ist. $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ = xU_0(U\cut\ V_0)x^(-1) $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ da y\in\ U\cut\ V und U\cut\ V_0<|U\cut\ V ist. $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ = U_0(U\cut\ V_0)x^(-1) $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ da x\in\ U_0 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ = (U\cut\ V_0)U_0\.x^(-1) $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ aufgrund des Tauschlemmas, da U_0<|U $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ = (U\cut\ V_0)U_0 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ da x\in\ U_0 $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ = U_0(U\cut\ V_0) $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ wieder aufgrund des Tauschlemmas Völlig analog funktioniert natürlich der Nachweis, dass V\cut\ U_0<|U\cut\ V und V_0(V\cut\ U_0)<|V_0(V\cut\ U) ist, denn das ist ja dieselbe Situation, nur mit vertauschten Bezeichnungen. Nun haben wir die zwei Normalteiler N:=U\cut\ V_0 und M:=U_0\cut\ V von U\cut\ V. Das Komplexprodukt NM=(U\cut\ V_0)(U_0\cut\ V) ist dann auch ein Normalteiler von U\cut\ V, denn es gilt natürlich: \forall\ x\in\ U\cut\ V: xNMx^(-1) = (xNx^(-1))(xMx^(-1))=NM Um jetzt letztendlich die Isomorphie der Quotienten zu zeigen, benutzen wir \(Na ratet mal! Wer kommt drauf? Genau!\) den Homomorphiesatz. Dafür betrachten wir den Homomorphismus: \phi:=cases(U\cut\ V \to\ U_0(U\cut\ V) \/ U_0(U\cut\ V_0);x\mapsto\ xU_0(U\cut\ V_0) ) Das ist ein Homomorphismus, weil es die Einschränkung des kanonischen Homomorphismus U_0(U\cut\ V)\to\ U_0(U\cut\ V)\/U_0(U\cut\ V_0) auf die Untergruppe U\cut\ V<=U_0(U\cut\ V) ist. Bestimmen wir zuerst den Kern: Für alle x\in\ U\cut\ V ist \phi(x) genau dann das neutrale Element 1U_0(U\cut\ V_0), wenn x\in\ U_0(U\cut\ V) ist, d.h., wenn x\in\ U_0(U\cut\ V) \cut\ (U\cut\ V) ist. Es gilt nun: U_0(U\cut\ V_0) \cut\ (U\cut\ V) = (U_0\cut\ (U\cut\ V))(U\cut\ V_0) = (U_0\cut\ V)(U\cut\ V_0) Beim ersten Gleichheitszeichen haben wir dabei die Dedekind-Identität benutzt. Sie ist hier anwendbar, weil natürlich U\cut\ V_0 \subseteq\ U\cut\ V ist. Nun müssen wir nachweisen, dass \phi surjektiv ist. Jedes Element von U_0(U\cut\ V)\/U_0(U\cut\ V_0) hat die Gestalt xyU_0(U\cut\ V_0) mit einem x\in\ U_0 und y\in\ U\cut\ V. Es gilt nun: xyU_0(U\cut\ V_0) = xU_0\.y(U\cut\ V_0) $ da y\in\ U und U_0 <|U ist. $ $ $ $ $ $ $ = U_0\. y(U\cut\ V) $ $ da x\in\ U_0. $ $ $ $ $ $ $ = yU_0(U\cut\ V) $ $ da y\in\ U $ $ $ $ $ $ $ = \phi(y) Also ist \phi tatsächlich surjektiv und liefert uns damit via Homomorphiesatz einen Isomorphismus (U\cut\ V)\/(U_0\cut\ V)(U\cut\ V_0) ~= U_0(U\cut\ V)\/U_0(U\cut\ V_0) Die letzte Isomorphie (U\cut\ V)\/(U_0\cut\ V)(U\cut\ V_0) ~= V_0(V\cut\ U)\/V_0(V\cut\ U_0) folgt nun wieder aus der Symmetrie der Situation, da sich alles nur durch die vertauschten Bezeichnungen vom schon Bewiesenen unterscheidet. \blue\ q.e.d.

 
Eine Anwendung der Isomorphiesätze

Wir wollen nun eine der unzähligen Anwendungen dieser Isomorphiesätze vorstellen. Es soll uns um folgenden Satz gehen: \darkred\ array(Satz)__ Sei G eine zyklische Gruppe der Ordnung n\in\IN, etwa G=\. G besitzt für jeden Teiler d\|n exakt eine Untergruppe U_d der Ordnung d. Diese ist ebenfalls zyklisch, und es gilt: U_d=\. Nach dem Satz von Lagrange muss die Ordnung jeder Untergruppe von G ein Teiler von n sein. Wir beweisen jetzt also, dass für zyklische Gruppen auch eine Umkehrung gilt. \blue\ Beweis: Wir wissen bereits, dass jede zyklische Gruppe der Ordnung n zu \IZ\/n\IZ isomorph ist \(und der Isomorphismus von \IZ\to\ G, k\mapsto g^k induziert ist\). Wir können und werden die Aussage also nur für \IZ\/n\IZ beweisen. Der Korrespondenzsatz sagt uns, dass die Untergruppen von \IZ\/n\IZ alle von der Form U\/n\IZ sind, wobei U<=\IZ eine Untergruppe von \IZ ist, die oberhalb von n\IZ liegt. Wir wissen außerdem, dass alle Untergruppen von \IZ von der Form m\IZ für ein passendes m\in\IN sind. Jetzt stellt sich also die Frage, für welche m dies eine Obergruppe von n\IZ ist. Natürlich muss n\in\ n\IZ\subseteq\ m\IZ sein, d.h. n=mk für ein geeignetes k\in\IZ. Es muss also m\|n sein. Umgekehrt folgt aus n\in\ m\IZ auch n\IZ\subseteq\ m\IZ, weil n\IZ ja die von n erzeugte Untergruppe ist, d.h. die kleinste Untergruppe, die n enthält. m\IZ ist selbst eine Untergruppe und wenn sie n enthält, muss sie also auch ganz n\IZ enthalten nach dieser Charakterisierung. Wie sieht es nun mit der Ordnung von m\IZ\/n\IZ aus? Wir wissen ja, dass für Indizes von Untergruppen A<=B<=C gilt: abs(C:A) = abs(C:B)*abs(B:A) Wenden wir das auf C=\IZ, B=m\IZ, C=n\IZ an, so ergibt sich: n=abs(\IZ:n\IZ)=abs(\IZ:m\IZ)*abs(m\IZ:n\IZ)=m*abs(m\IZ\/n\IZ) => abs(m\IZ\/n\IZ) = n/m Da nun jeder__ Teiler d von n die Gestalt n/m für ein eindeutig bestimmtes m hat \(nämlich m=n/d\.\), können wir also zu jedem d genau eine Untergruppe von \IZ\/n\IZ dieser Ordnung finden, nämlich n/d\.\IZ\/n\IZ, und sie wird von der Restklasse von n/d erzeugt. \blue\ q.e.d. Anschaulich wird das natürlich am besten, wenn man sich das geometrisch darstellt. Wir betrachten dazu ein regelmäßiges n\-Eck, das eine zyklische Gruppe der Kardinalität n repräsentiert. Jede Ecke bekommt eine Nummer von 0 bis n-1. Die Addition erfolgt durch Addition der Winkel, die die beiden Summanden-Ecken mit der 0-ten Ecke einschließen: \geo ebene(240,240) xy(-1.2,1.2) noaxis() nolabel() punktform(of) # p(0,0,M,hide) kreis(M,1,K,hide) p(K,000,P0) p(K,030,P1) p(K,060,P2) p(K,090,P3) p(K,120,P4) p(K,150,P5) p(K,180,P6) p(K,210,P7) p(K,240,P8) p(K,270,P9) p(K,300,P10) p(K,330,P11) # s(P0,P1) s(P1,P2) s(P2,P3) s(P3,P4) s(P4,P5) s(P5,P6) s(P6,P7) s(P7,P8) s(P8,P9) s(P9,P10) s(P10,P11) s(P11,P0) # for(k,0,11,1,\ konst(xx,1.15*cos(Pi()/6*k)-0.05) \ konst(yy,1.15*sin(Pi()/6*k)+0.05) \ print(\big\ k,xx,yy) \ ) # pen(2) punktform(.) color(00ff00) k(M,0.4,K4,hide) p(K4,0,S0) p(K4,210,S7) bogen(M,S0,S7) s(M,P7) # color(0000ff) k(M,0.3,K3,hide) p(K3,0,R0) p(K3,150,R5) bogen(M,R0,R5) s(M,P5) # color(ff0000) k(M,0.2,K2,hide) p(K2,0,Q0) p(K2,60,Q2) bogen(M,Q0,Q2) s(M,P0) s(M,P2) \geooff Anschaulich wird das natürlich am besten klar, wenn man das geometrisch darstellt. Wir betrachten dazu ein regelmäßiges n-Eck, dessen Ecken eine zyklische Gruppe der Ordnung n repräsentieren. Jede Ecke bekommt eine Nummer von 0 bis n-1. Die Addition erfolgt durch Addition der Winkel, die die beiden Summanden-Ecken mit der 0-ten Ecke einschließen. Hier sei das alles einmal an einem 12-Eck vorgeführt, das in dieser Betrachtungsweise die zyklische Gruppe \IZ\/12\IZ repräsentiert. \geoprint() Eine geometrische Interpretation der zyklischen Gruppe \IZ\/12\IZ Der gestrichelte Winkel stellt 2+12\IZ dar, der dünn gezeichnet 5+12\IZ und der dick gezeichnet das Ergebnis ihrer Addition, nämlich 7+12\IZ. Jetzt wird auch die Analogie mit den Winkeln klar: Wir bezeichnen die Ecken einmal mit den kleinsten natürlichen Repräsentanten der Nebenklassen, sprich mit den Zahlen 0 bis 11. Der Winkel zwischen "0" und "1" beträgt genau 2\pi/12=\pi/6, da es sich um ein regelmäßiges 12\-Eck handelt. Der Winkel, der von der "0" zur "2" führt beträgt \pi/3, der von "0" zu "5" beträgt 5\pi/6. So ist der Winkel ihrer Summe also die Summe der Winkel, sprich 7\pi/6, was genau dem Winkel der "7" entspricht. Diese geometrische Deutung ist also gerechtfertigt. Analog kann man es für alle endlichen zyklischen Gruppen der Ordnung n machen, indem man ein n\-Eck betrachtet. Diese Veranschaulichung wird manchmal auch als "\(ebene\) Drehgruppe" bezeichnet. define(Z12,\IZ\/12\IZ) define(Z6,\blue\IZ\/6\IZ~=2\IZ\/\12\IZ) define(Z4,\red\IZ\/4\IZ~=3\IZ\/12\IZ) \geo ebene(380,240) x(-1.2,2.6) y(-1.2,1.2) noaxis() nolabel() punktform(of) p(0,0,M,hide) kreis(M,1,K,hide) p(K,000,P0) p(K,030,P1) p(K,060,P2) p(K,090,P3) p(K,120,P4) p(K,150,P5) p(K,180,P6) p(K,210,P7) p(K,240,P8) p(K,270,P9) p(K,300,P10) p(K,330,P11) s(P0,P1) s(P1,P2) s(P2,P3) s(P3,P4) s(P4,P5) s(P5,P6) s(P6,P7) s(P7,P8) s(P8,P9) s(P9,P10) s(P10,P11) s(P11,P0) for(k,0,11,1,\ konst(xx,1.15*cos(Pi()/6*k)-0.05) \ konst(yy,1.15*sin(Pi()/6*k)+0.05) \ print(\big\ k,xx,yy) \ ) print(\Z12,1.2,1.0) color(0000ff) s(P0,P2) s(P2,P4) s(P4,P6) s(P6,P8) s(P8,P10) s(P10,P0) print(\Z6,1.2,0.7) color(ff0000) s(P0,P3) s(P3,P6) s(P6,P9) s(P9,P0) print(\Z4,1.2,0.4) \geooff Und wenn der eine oder andere bei obiger Darstellung nicht an n\-Ecke, sondern an komplexe Zahlen denkt, so hat auch dieser Jemand recht, denn die zyklische Gruppe der Ordnung n ist zur Gruppe der n\-ten Einheitswurzeln isomorph, deren Gruppenverknüpfung durch die komplexe Multiplikation gegeben ist. Und diese reduziert sich ja bei Einheitswurzeln genau auf die Addition der Winkel, wie wir sie eben verwendet haben. \geoprint() 2\IZ\/12\IZ ~= \IZ\/6\IZ und 3\IZ\/12\IZ ~= \IZ\/4\IZ als Untergruppen von \IZ\/12\IZ Den entscheidenden Teil kann man sich aber dadurch besser vor Augen führen: Um nämlich eine Untergruppe in einem solchen n-Eck zu bekommen, braucht man wieder ein anderes \(regelmäßiges\) m\-Eck, dessen Ecken mit einigen Ecken des n-Ecks übereinstimmen. Dies ist anhand von obiger Abbildung dargestellt.

 
Abschluss

Isomorphiesätze sind eine sehr nützliche Angelegenheit, wenn man Isomorphien von Gruppen nachweisen will. Da sich die Gruppentheorie u.a. auch lange Zeit damit beschäftigt hat, alle endlichen einfachen Gruppen zu klassifizieren, waren Isomorphieuntersuchungen natürlich unverzichtbar. Da sind die Isomorphiesätze und insbesondere der Homomorphiesatz ein sehr wichtiges Werkzeug. Ich hoffe, ich konnte euch ein wenig für dieses Werkzeug begeistern. mfg~=Gockel

 
Die Gruppenzwang-Reihe

Teil 1: Wir rechnen mit allem Teil 2: Anonyme Mathematiker bieten Gruppentherapie an Teil 3: Sensation: Homo Morphismus ist ein Gruppentier Teil 4: Gruppencamper brauchen Iso(morphie)matten Teil 5: Dr.Cauchy und Dr.Sylow bitte zur GruppenOP Teil 6: Randale: Gruppendemo musste aufgelöst werden Teil 7: Gruppen sind immer noch top! Teil 8: Konvois auf der A20: Autos nur noch in Gruppen unterwegs Teil 9: Unfall im Genlabor: (Per)mutationen in der Bevölkerung Teil 10: Jäger der verlorenen Gruppe - Special Xtended Version Teil 11: Der Gruppentheorie-Adventskranz Teil 12: Wegen guter Führung entlassen: Gruppen sind frei Teil 13: Amnestie: Auch Untergruppen frei

 
Dieser Artikel ist enthalten in unserem Buch
Mathematisch für fortgeschrittene Anfänger
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: Gruppentheorie :: Algebra :: Reine Mathematik :: Mathematik :
Gruppenzwang IV: Gruppencamper brauchen Iso(morphie)matten [von Gockel]  
Die 3 Isomorphiesätze werden hier bewiesen
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"Mathematik: Gruppencamper brauchen Iso(morphie)matten" | 5 Comments
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Re: Gruppencamper brauchen Iso(morphie)matten
von: Martin_Infinite am: Fr. 10. September 2004 14:58:19
\(\begingroup\)Hi Gockel, weil ja sonst keiner seinen Senf dazugeben will 😉 will ich das hier mal tun. Ich hatte ja schon beim Probelesen bemerkt, wie klasse ich diesen Artikel finde 😄 und der Titel erst! :D Er strahlt vor Übersichtlichkeit, durch Layout, Farben und Schrifttyp. Aber das Highlight ist (mE) dein Beweis zum 3. Isomorphiesatz. Wer von uns hätte gedacht, dass sich der Beweis schließlich doch auf nur 2 Browser-Seiten fassen lässt, und dann auch noch mit solch genialen Beweisgedanken. Deine Anwendung ist nicht nur ein Zusammenspiel der Isomorphiesätze und des Homomorphiesatzes, sondern auch eine Demonstration davon, dass die Gruppentheorie nicht in ihren Formeln stecken bleiben muss, sondern auch in die Geometrie übergehen kann und dort einen Teil ihrer Bedeutung findet. Gruß Martin PS: Ist der Isomorphismus von Gockel auf Johannes kanonisch? 😉\(\endgroup\)
 

Re: Gruppencamper brauchen Iso(morphie)matten
von: Ex_Mitglied_4018 am: Di. 28. September 2004 10:01:24
\(\begingroup\)Hi Gockel, sehr saubere und klare Darstellung. Da kann sich ein ungeübter ein Beispiel nehmen, wie man den Homomorphiesatz anwendet. Ich stimme Martin zu, vor allem seine Aussage über den Zusammenhang zwischen Geometrie und Gruppentheorie, den Du in deinen Artikeln angdeutet hast. Gruß Zaos\(\endgroup\)
 

Re: Gruppencamper brauchen Iso(morphie)matten
von: Martin_Infinite am: Fr. 02. September 2005 19:36:27
\(\begingroup\)Hi, vielleicht noch eine Anmerkung zum 3. Isomorphiesatz: Üblichere Namen sind Schmetterlingslemma 😄 (engl. butterfly lemma) und Zassenhaus Lemma. Siehe auch bei Mathworld und bei Wikipedia. Man hat dann das folgende kommutative Diagramm: Bild Gruß Martin \(\endgroup\)
 

Re: Gruppencamper brauchen Iso(morphie)matten
von: Gockel am: Do. 16. Dezember 2010 20:15:26
\(\begingroup\)Bemerkung: Dieser Artikel ist Mitte Dezember 2010 durch überarbeitete und erweiterte Version ersetzt worden (nämlich die Version, die sich jetzt auch im neuen MP-Buch findet). Neu ist unter anderem der viel allgemeinere Zugang zum zweiten Isomorphiesatz. Alle Kommentare vor diesem Datum beziehen sich auf die sechs Jahre ältere Version des Artikels. mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

Re: Gruppencamper brauchen Iso(morphie)matten
von: Martin_Infinite am: So. 16. Dezember 2012 10:33:35
\(\begingroup\)Eine schöne Verallgemeinerung von dem, was hier der erste Isomorphiesatz genannt wurde, ist der Diamant-Isomorphiesatz für modulare Gitter.\(\endgroup\)
 

 
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