Mathematik: Dr.Cauchy und Dr.Sylow bitte zur GruppenOP
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Mathematik

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Dr. Cauchy und Dr. Sylow bitte zur Gruppen-OP

Hallo, Algebra-Freunde! In diesem Kapitel möchte ich ein sehr wichtiges Konzept der Gruppentheorie vorstellen: Es soll um die sogenannten Gruppenoperationen gehen. Damit werden wir einige bekannte Sätze beweisen. Nämlich zum einen den Satz, dass jede p-Gruppe ein nichttriviales Zentrum hat, und zum anderen die berühmt-berüchtigten Sätze von Sylow.


 
Einführung

Gruppenoperationen sind ein sehr spezielles Hilfsmittel. Sie verallgemeinern viel bereits Bekanntes aus der Gruppentheorie und anderen Bereichen der Mathematik. Man sollte sich also auf jeden Fall einmal anschauen. Nun... wir tun genau das: Wir schauen sie uns an. makro(up,array(\void^array(%1)\.array(%2))) \big\ Definitionen__: Sei G eine Gruppe und \Omega eine beliebige Menge. Eine Abbildung G\times\Omega\to\Omega, geschrieben (g,\omega)\mapsto up(g,\omega), wird \darkblue\ array(\(Links\-\)Gruppenoperation von G auf \Omega)__\black genannt, wenn gilt: \ll(1) \forall\omega\el\Omega: up(1,\omega)=\omega \ll(2) \forall\ g,h\el G: up(g,((up(h,\omega))))=up(gh,\omega) Man spricht hier davon, dass G auf \Omega operiert. Oder als alternative Formulierung, dass \Omega eine G\-Menge ist. Die Menge up(G,\omega):=menge(up(g,\omega) | g\in\ G) wird als Orbit oder auch array(\darkblue\ Bahn von \omega\black)__ bezeichnet, die Mächtigkeit der Bahn als \darkblue\ Bahnlänge__\black . Die Menge G_\omega:=menge(g\in\ G | up(g,\omega)=\omega) wird als array(\darkblue\ Stabilisator von \omega\black)__ bezeichnet. makro(up,array(\void^array(%1)\.array(%2))) Anmerkungen__: Die Bezeichnungen gehen je nach Verwendungszweck der Operationen stark auseinander in der Literatur. In vielen Fällen wird die Abbildung G\times\Omega\to\Omega anders notiert. Zum Beispiel als g\omega, g*\omega oder mit einem anderen Verknüpfungssymbol. Außerdem sind Rechtsoperationen genauso üblich. Entsprechende Schreibweisen wären dann \omega^g, \omega*g etc. Die Notationen \omega^g und g*\omega machen die beiden Forderungen an eine Gruppenoperation besonders intuitiv. "Exponentiation" und "Multiplikation" mit dem neutralen Element sollte nichts ändern und außerdem sollte das natürlich im obigen Sinne assoziativ sein. Die Notation up(g,\omega), wie ich sie verwenden werde, hat hingegen den Vorteil, noch nicht anderweitig belegt zu sein, sodass erstmal keine große Verwechslungsgefahr besteht, solange man sich noch an dieses neue Konzept gewöhnt. Auch werden Bahn und Stabilisator sehr verschieden notiert. So sind für die Bahn eines Elements auch Orb_G(\omega), G*\omega und für Rechtsoperationen entsprechend auch \omega^G und \omega*G geläufig. Der Stabilisator wird oft als Stb_G(\omega), Stab(\omega) o.Ä. notiert. Selbst der Name wird nicht einheitlich gehandhabt. Die Begriffe "Stand\-", "Isotropie\-", "Fixgruppe" und viele weitere sind ebenfalls in Gebrauch. Ich werde im Folgenden weiter up(g,\omega), up(G,\omega) und G_\omega benutzen, sofern nicht eine andere Bezeichnung offensichtlicher ist. Man sollte sich jederzeit bewusst sein, dass es da Unterschiede in den Bezeichnungen gibt. makro(up,array(\void^array(%1)\.array(%2))) \big\ Beispiel 1: Sei H eine Untergruppe von G. Dann operiert H auf G durch Multiplikation: (h,g)\mapsto\ hg Die Bahn wird in diesem Falle als Hg geschrieben und als Rechtsnebenklasse \(oder Linksnebenklasse, da das ganze natürlich auch andersrum geht\) bezeichnet. Das kennen wird also schon. Ebenfalls bekannt ist, dass der Stabilisator H_g in diesem Fall für alle g\in\ G gleich {1} ist. \big\ Beispiel 2: G operiert auf jedem Normalteiler N<|G \(inkl. sich selbst\) durch Konjugation: \forall\ g\in\ G, n\in\ N: up(g,n):=gng^(-1) Die Bahnen werden hier als \darkblue\ Konjugationsklassen__\black bezeichnet. Die Stabilisatoren dieser Operation von G auf sich selbst haben in diesem Spezialfall den Namen \darkblue\ Zentralisator__\black und werden \(oft, aber auch nicht immer\) mit C_G(g) notiert. Andere übliche Bezeichnungen sind Z(g) und C(g). Diese werden wir später noch ausgiebig betrachten, denn diese Operation ist auch die mit am häufigsten gebrauchte \(und eine der nützlichsten\) Gruppenoperation. Es ist wieder Obacht geboten, da eine Bezeichnung wie C(g) auch für viele andere Gruppen stehen kann und keineswegs standardisiert ist. \big\ Beispiel 3: G operiert auf seiner Potenzmenge \calP(G) ebenfalls durch Konjugation. Für eine Teilmenge M\subseteq\ G setzt man also: \forall\ g\in\ G: up(g,M)=gMg^(-1) Auch hier werden \(oft, manchmal, selten... sucht euch was aus\) die Bahnen als \darkblue\ Konjugationsklassen__\black bezeichnet. Die Stabilisatoren haben hier aber den Namen \darkblue\ Normalisatoren__\black und werden mit N_G(M) bezeichnet. Daneben gibt es aber noch andere Bezeichnungen \(na jetzt mal ehrlich: wen hat das noch überrascht?\) wie Nor(M) und N(M). makro(up,array(\void^array(%1)\.array(%2))) Also nochmal zusammenfassend: \ll(*)Eine beliebige Gruppenoperation werde ich als Linksoperation und als (g,\omega)\mapsto\ up(g,\omega) bezeichnen. Konkrete Operationen, für die eine andere Bezeichnung üblich ist, werde ich diese benutzen. \ll(*)Stabilisatoren werde ich als G_\omega schreiben. Zentralisatoren werden trotzdem als C_G(g) und Normalisatoren als N_G(M) geschrieben. \ll(*)Bahnen werde ich als up(G,\omega) schreiben.

 
Drei grundlegende Sätze

Jetzt wollen wir nach all den Verwirrungen zu den ersten Sätzen kommen, die wir beweisen wollen. Als da wären: makro(up,array(\void^array(%1)\.array(%2))) \darkred\ array(Lemma)__ Die Gruppe G operiere auf der Menge \Omega. Dann gilt: \ll(1.)Jeder Stabilisator ist eine Untergruppe. \ll(2.)Bahnlänge eines Elements = Index des Stabilisators oder in Formeln: \ll(1.)\forall\omega\in\Omega: G_\omega <= G \ll(2.)\forall\omega\in\Omega: abs(up(G,\omega))=abs(G:G_\omega) makro(up,array(\void^array(%1)\.array(%2))) \blue\ Beweis von 1.: Sei \omega ein fixes Element von \Omega. Für alle g,h\in\ G_\omega gilt dann: up(g,\omega)=\omega=up(h,\omega) => up(g^(-1),((up(g,\omega))))=up(g^(-1),((up(h,\omega)))) => up(g^(-1)\.h,\omega)=up(g^(-1)\.g,\omega) | | =up(1,\omega) | | =\omega => g^(-1)\.h \in\ G_\omega. Außerdem ist nach Definition 1\in\ G_\omega. Nach dem Untergruppenkriterium ist also G_\omega eine Untergruppe von G. \blue\ q.e.d. makro(up,array(\void^array(%1)\.array(%2))) \blue\ Beweis von 2.: Sei wieder \omega\in\Omega beliebig, aber fest. Um zu zeigen, dass up(G,\omega) und die Menge der Nebenklassen von G_\omega gleichmächtig sind, definieren wir eine Bijektion zwischen den beiden Mengen durch: f(gG_\omega):=up(g,\omega) Natürlich müssen wir überprüfen, dass das wohldefiniert, injektiv und surjektiv ist. Es gilt: \align gG_\omega=hG_\omega ><<=> h^(-1)\.g\in\ G_\omega ><<=> up(h^(-1)\.g,\omega) = \omega ><<=> up(g,\omega) = up(h,\omega) \stopalign\breakalign Die Richtung => dieser Äquivalenz zeigt uns die Wohldefiniertheit, <== die Injektivität der Abbildung. Dass f surjektiv ist, ist klar, denn die Bahn von \omega ist ja gerade als die Menge aller up(g,\omega) definiert. \blue\ q.e.d. Der ein oder andere mag bemerkt haben, dass da in der Überschrift von drei Sätzen gesprochen wird... nunja ihr wisst ja: "Es gibt drei Arten von Mathematikern: Die einen können bis Drei zählen, die anderen nicht." Nein, mal im Ernst: Der nächste Satz kommt sofort. Es handelt sich hierbei um die sogenannte Bahnenformel (oder Bahnengleichung oder Klassengleichung oder oder oder...): makro(up,array(\void^array(%1)\.array(%2))) \darkred\ array(Satz: Bahnenformel)__ Sei \Omega eine nichtleere Menge, auf der die Gruppe G operiert. Dann gilt: abs(\Omega)=sum(abs(up(G,\omega)),\omega\in\calR)=sum(abs(G:G_\omega),\omega\in\calR) wobei \calR ein beliebiges Repräsentantensystem der Bahnen ist, d.h. aus jeder Bahn der Operation ist exakt ein Element auch in \calR enthalten. makro(up,array(\void^array(%1)\.array(%2))) \blue\ Beweis: Eine auch sonst ziemlich wichtige Beobachtung ist, dass für eine Gruppenoperation von G auf \Omega durch \omega~\omega||' $:<=>$ \exists\ g\in\ G: up(g,\omega)=\omega||' eine Äquivalenzrelation auf \Omega definiert wird, wie man sich schnell überlegt: Die Wahl g=1 und das erste unserer Axiome zeigen, dass die Relation reflexiv ist. Wegen des zweiten Axioms ist die Relation transitiv und wegen up(g,\omega)=\omega||' => \omega=up(1,\omega)=up(g^(-1)\.g,\omega)=up(g^(-1),\omega||') symmetrisch. Offenbar sind die Äquivalenzklassen dieser Relation von der Form [\omega]=menge(\omega\' | \exists\ g\in\ G: up(g,\omega)=\omega\')=menge(up(g,\omega) | g\in\ G)=up(G,\omega). d.h. die Bahnen von \omega ist exakt dasselbe wie die Äquivalenzklasse von \omega. Da die Äquivalenzklassen einer Äquivalenzrelation die zugrundeliegende Menge stets disjunkt zerlegen, trifft dies also auch auf die Bahnen zu. Insbesondere folgt daraus aber das erste behauptete Gleichheitszeichen, da rechts die Anzahl aller Elemente von \Omega gezählt wird und rechts die die Anzahl aller Elemente in allen Bahnen. Das zweite Gleichheitszeichen haben wir uns oben bereits überlegt. \blue\ q.e.d. \big\ Anmerkung: Die verwendete Zerlegung heißt auch \darkblue\ array(Bahnenzerlegung von \Omega)__\black||. Man nennt dies auch die allgemeine Bahnenformel. Es gibt noch eine "spezielle", auf die ich gleich zu sprechen werden komme. Wenn man von "der" Bahnenformel spricht, ist aber in fast allen Fällen diese hier gemeint.

 
Das erste Teilziel

Wie eingangs versprochen, wollen wir nun den Satz beweisen, dass jede nichttriviale p-Gruppe ein nichttriviales Zentrum hat. Zunächst klären wir, was darunter zu verstehen ist: \darkred\ array(Definition: p\-Gruppen)__ Sei p eine Primzahl. Eine endliche Gruppe G heißt \darkblue\ array(p\-Gruppe)__\black||, falls abs(G)=p^k für ein k\in\IN gilt. Nun erinnern wir uns zunächst, dass das Zentrum als Z(G):=menge(x\in\ G | \forall\ g\in\ G: gxg^(-1)=x) definiert war, und beweisen dann: \darkred\ array(Satz)__ Sei G eine Gruppe mit abs(G)=p^k für p\in\IP, k\in\IN und N<|G ein Normalteiler ungleich menge(1). Dann gilt: Z(G)\cut\ N!=menge(1) Insbesondere ist Z(G)!=menge(1). Dieser Satz ist insofern interessant, als dass er \(als erster in einer langen Reihe von Sätzen\) allein aus der Ordnung einer endlichen Gruppe schon ziemlich weitreichende Strukturaussagen über die Gruppe folgert. makro(up,array(\void^array(%1)\.array(%2))) \blue\ Beweis: Dazu betrachten wir eine ganz spezielle Operation, nämlich die von G auf N durch Konjugation. Ich hatte ja bereits angesprochen, dass wir sie noch brauchen werden. Es ist also: up(g,x):=gxg^(-1) Wir stellen zuerst fest, dass für ein Element x\in\ N gilt: x\in\ Z(G) <=>\forall\ g\in\ G: gxg^(-1)=x <=> up(G,x)=menge(x) Das erste ist hier natürlich per Definition des Zentrums so festgelegt. Wichtig ist aber die Äquivalenz dieser Definition zur Tatsache, dass die Bahn up(G,x) nur ein Element hat. Nachdem wir das wissen, betrachten wir die Bahnengleichung, die angewandt auf unsere Operation dies hier sagt: p^m:=abs(N)=sum(abs(up(G,x)),x\in\calR) Wobei auch hier wieder \calR ein Repräsentantensystem aller Bahnen der Operation sei. Jetzt ist aber, wie wir festgestellt haben, für alle x\in\ Z(G)\cut\ N stets abs(up(G,x))=1. Wenn also der Durchschnitt trivial wäre \(also 1 das einzige Element wäre\), so wäre die Summe Folgende: p^m=1+sum(abs(up(G,x)),abs(up(G,x))>1) Jetzt tut sich folgendes Problem auf: Da abs(up(G,x))=abs(G:G_x) gilt, müssen alle abs(up(G,x)) die Gruppenordnung p^k teilen. Das heißt insbesondere, dass sie echte Potenzen von p sein müssen, wenn sie nicht gleich 1 sind. Nun lässt sich aber p^m-1 für kein m>0 als Summe von echten Potenzen von p darstellen. Daraus können wir schlussfolgern, dass es noch mindestens ein weiteres x geben muss, dessen Bahnlänge gleich 1 ist. Dieses x ist dann aber ein Element von Z(G). Demzufolge haben wir das Ziel erreicht. \blue\ q.e.d. \big\ Anmerkungen: Wir haben hier die eben schon erwähnte spezielle Bahnenformel bzw. Klassengleichung verwendet, die sich auf genau unsere Gruppenoperation bezieht. Sie ist nur eine Folgerung der Äquivalenzenkette, die ich am Anfang des obigen Beweises notiert hatte: abs(G)=abs(Z(G))+sum(abs(G:C_G(x)),x\in\calR \\ Z(G)) wobei \calR wieder ein vollständiges Repräsentantensystem der Konjugationsklassen sei.

 
Das Große Ziel: Die Sylow-Sätze

Im Gegensatz zum nun folgenden Satz haben wir bisher kleine Brötchen gebacken. Ich will wirklich vorwarnen, dass der nun folgende Beweis nicht ohne ist. Es soll uns nämlich um die Sätze von Sylow gehen, die Peter Ludwig Mejdell Sylow 1872 zum ersten Mal bewies und benutzte. Konkret sind das drei Sätze, die in verschiedensten Varianten auftauchen und verwendet werden. Ich möchte hier die allgemeinste mir bekannte Fassung dieser drei Sätze beweisen: \darkred\ array(Sätze von Sylow)__ Sei im gesamten Folgenden G eine Gruppe mit abs(G)=mp^k=:n, wobei m,k\in\IN_>=1, p\in\mathbb(P) und p\teiltnicht\ m sei. Sei weiter a eine natürliche Zahl mit 0<=a<=k sowie z_a die Anzahl der Untergruppen von G mit Kardinalität p^a, also z_a:=abs(menge(U<=G | abs(U)=p^a)). Es gilt mit diesen Bezeichnungen: \ll(Sylow 1)z_a == 1 (mod p). \ll(Sylow 2)Alle Untergruppen der Ordnung p^a sind in einer Untergruppe der Kardinalität p^k enthalten. \ll(Sylow 3)Alle Untergruppen der Ordnung p^k sind zueinander konjugiert, d.h. sind U_1 und U_2 zwei dieser Untergruppen, so gibt es ein g\in\ G mit gU_1 g^(-1)=U_2. Außerdem ist z_k ein Teiler von m. Die Untergruppen der Ordnung p^k werden auch \darkblue\ array(p\-Sylowuntergruppen von G)__\black oder kurz einfach \darkblue\ array(p\-Sylowgruppen)__\black genannt, falls G klar ist. Die Sylow-Sätze stellen mit der Existenzaussage von Untergruppen in gewisser Weise eine Umkehrung zum Satz von Lagrange dar: Während dieser besagt, dass die Ordnung einer Untergruppe die Gruppenordnung teilen muss, sagen die Sätze von Sylow u.a. aus, dass es zu den Primzahlpotenzen, die die Gruppenordnung teilen, auch Untergruppen mit dieser Ordnung gibt. Diese Sätze von Sylow dienen also zum Finden und Charakterisieren von Untergruppen in gegebenen Gruppen. Diese Sätze sind, wie gesagt, in den verschiedensten Abwandlungen in Verwendung. So wird oftmals beim ersten Satz nur bewiesen, dass es mindestens eine Untergruppe der Ordnung p^k gibt. Die Kongruenz selbst wird dabei selten erwähnt, weil meistens nur das spezielle Resultat gebraucht wird, dass es mindestens eine dieser Untergruppen gibt. Oder aber die Kongruenz wird nur für die Sylowgruppen bewiesen, d.h. für den Spezialfall a=k. Ebenso wird manchmal der zweite Teil weggelassen, weil er nicht so oft Anwendung findet. Ich habe mich entschieden, die allgemeinste, mir bekannte Version der Sylow-Sätze hier zu beweisen, auch wenn die anderen Versionen vielleicht einfacher zu beweisen sind.

 
Der erste Satz von Sylow

Zum Beweis des ersten Satzes von Sylow brauchen wir vier Hilfsaussagen: makro(up,array(\void^array(%1)\.array(%2))) \darkred\ array(Lemma)__ Sei \Omega_1:=menge(M\subseteq\ G | abs(M)=p^a). Dann operiert G auf \Omega_1 durch up(g,M):=gM. \ll(1.)Bzgl. der obigen Operation ist abs(G_M)\|p^a. \ll(2.)Die Bahn von M enthält genau dann eine Untergruppe, wenn abs(G_M)=p^a. \ll(3.)Ist U<=G in der Bahn von M enthalten, so ist diese Bahn genau die Menge der Linksnebenklassen von U. U ist eindeutig bestimmt und abs(G:G_M)=abs(G:U)=mp^(k-a). \ll(4.)(n;p^a) == z_a *mp^(k-a) (mod mp^(k-a+1)). \blue\ Beweis: abs(G_M) \| p^a Es gilt für den Stabilisator H:=G_M bzgl. dieser Operation H*M=union(hM,h\in\ H)=union(M,h\in\ H)=M. Also operiert H auf \Omega_2:=M durch (h,m)\mapsto\ hm. Das heißt, dass Hm die Bahn von m\in\ M bezüglich dieser Operation ist. Dies wiederum heißt, dass alle Bahnen dieselbe Länge, nämlich abs(Hm)=abs(H), haben. Da wir die Bahnengleichung kennen, gilt p^a = abs(M) = sum(abs(Hm),m\in\calR) = sum(abs(H),m\in\calR) = abs(\calR)*abs(H) \(für ein Repräsentantensystem \calR unter der obigen Operation von H auf M\). Das wiederum bedeutet abs(G_M)=abs(H) \| p^a. \blue\checked makro(up,array(\void^array(%1)\.array(%2))) \blue\ Beweis: Die Bahn von (M) enthält UG <=>abs(G_M)=p^a Wenn mit obigen Bezeichnungen abs(H)=p^a=abs(M) ist, dann gilt für jedes m\in\ M: Hm=M, denn Hm ist die Bahn von m \(unter der eben beschriebenen Operation von H auf M\) und muss deshalb vollständig in M liegen. Da H bereits eine Untergruppe von G ist \(denn es ist ja die Stabilisator\-Untergruppe von M unter der ersten Operation\), ist m^(-1)\.M=m^(-1)\.Hm ebenfalls eine Untergruppe von G. Nun ist aber m^(-1)\.M=up(m^(-1),M) ein Element der Bahn von M unter der Operation von G auf \Omega_1. Ist umgekehrt die Untergruppe U=up(g,M)=gM ein Element in der Bahn von M, so ist offenbar abs(U)=p^a, da gM zu M gleichmächtig ist. Wegen g^(-1)\.U=M ist aber auch g^(-1)\.Ug\subseteq\ G_M. Aufgrund von 1. muss dann also abs(G_M)=p^a sein. \blue\checked makro(up,array(\void^array(%1)\.array(%2))) \blue\ Beweis: U\in\ up(G,M) => up(G,M)=menge(gU | g\in\ G) Sei nun also U eine Untergruppe in der Bahn von M, d.h. U=up(h,M)=hM für ein geeignetes h\in\ G. Dann gilt für die Linksnebenklassen von U: menge(gU | g\in\ G) = menge(ghM | g\in\ G) = menge(gM | g\in\ G) = menge(up(g,M) | g\in\ G) = up(G,M) Aus dieser Identität folgt natürlich, dass auch die Kardinalitäten gleich sind: abs(G:G_M)=abs(up(G,M))=abs(G:U)=mp^(k-a) Dass U die einzige Untergruppe in der Bahn up(G,M) ist, folgt ganz einfach daraus, dass die Bahn nun aus den Nebenklassen von U besteht. Da diese alle disjunkt sind \(siehe Beweis zum Satz von Lagrange\), kann in keinem anderen Element der Bahn die 1 enthalten sein, also kann es auch nur eine Untergruppe geben. \blue\checked makro(up,array(\void^array(%1)\.array(%2))) \blue\ Beweis: (n;p^a) == z_a*mp^(k-a) (mod mp^(k-a+1)) Wir halten zuerst fest, dass (n;p^a)=abs(\Omega_1)=sum(abs(up(G,M)),M\in\calR) ist. Wir unterscheiden nun zwei Fälle: Die Bahn von M enthält keine Untergruppe bzw. die Bahn enthält eine. Im ersten Falle gilt abs(G_M) \| p^(a-1), da diese Ordnung nach 1. ein Teiler von p^a sein muss, aber wegen 2. nicht gleich p^a sein kann. In diesem Falle ist abs(G:G_M) also ein Vielfaches von mp^k/p^(a-1)=mp^(k-a+1) und daraus folgt abs(up(G,M))=abs(G:G_M) == 0 (mod mp^(k-a+1)). Im zweiten Fall ist abs(up(G,M))=abs(G:G_M) nach 2. genau gleich mp^(k-a), und dieser Fall tritt für genau z_a Bahnen ein, weil es nach Definition z_a Untergruppen der Ordnung p^a gibt und die nach 3. in je einer Bahn enthalten sind. Wir betrachten nun also (n;p^a)=abs(\Omega_1) modulo mp^(k-a+1): (n;p^a) = sum(abs(up(G,M)),M\in\calR) == z_a*mp^(k-a) (mod mp^(k-a+1)) \blue\ q.e.d. \blue\ Beweis: 1. Satz von Sylow: z_a == 1 (mod p) Es gilt nun also für alle__ Gruppen der Ordnung n=mp^k die folgende Gleichung: (n;p^a) == z_a*mp^(k-a) (mod mp^(k-a+1)) Betrachten wir nun zwei dieser Gruppen, nämlich \IZ\/n\IZ und eine beliebige andere, dann gilt: z||array(\small\IZ\/n\IZ;a\normal)*mp^(k-a) == (n;p^a) == z_a*mp^(k-a) (mod mp^(k-a+1)) Für \IZ\/n\IZ gibt es genau eine einzige Untergruppe für jeden Teiler der Ordnung, weshalb auf der linken Seite das z||array(\small\IZ\/n\IZ;a\normal) gleich 1 ist. Aus dieser Gleichung folgt für alle Gruppen der Ordnung n: mp^(k-a) == z_a*mp^(k-a) (mod mp^(k-a+1)) <=>mp^(k-a+1) \|z_a*mp^(k-a)-mp^(k-a) Wenn wir auf beiden Seiten mp^(k-a) kürzen, steht nur noch Folgendes da: p^1 \| z_a-1 => z_a == 1 (mod p) \blue\ q.e.d.

 
Der zweite Satz von Sylow

makro(up,array(\void^array(%1)\.array(%2))) \blue\ Beweis: 2. Satz von Sylow: Alle Untergruppen der Ordnung p^a sind in einer p\-Sylowgruppe enthalten Seien U und P Untergruppen von G mit abs(U)=p^a und abs(P)=p^k. P ist also eine p\-Sylowgruppe von G. \(Wegen des 1. Satzes von Sylow gibt es sowohl U als auch P.\) Sei weiter \Omega_3:=menge(gPg^(-1) | g\in\ G). Auf dieser Menge operiert G durch Konjugation, also up(x,Q)=xQx^(-1). Man erkennt leicht, dass nach Definition \Omega_3=up(G,P) ist, also auch abs(\Omega_3)=abs(up(G,P))=abs(G:N_G(P)) gilt, da es hier nur eine Bahn gibt. Wenn nun X eine Untergruppe von G ist, ist - wie man leicht einsieht - X ein Normalteiler seines Normalisators N_G(X): Dazu muss man sich nur die Definition N_G(X):=menge(g\in\ G | gXg^(-1)=X) ansehen. In der Tat ist N_G(X) die größte Untergruppe von G, in der X ein Normalteiler ist, daher auch der Name "Normalisator". Weil P eine Untergruppe von N_G(P) ist, gilt also abs(P) \| abs(N_G(P)) =>p \teiltnicht abs(G:N_G(P)), da abs(G)/p^k=m nicht von p geteilt wird nach unserer Definition ganz am Anfang. Als Zweites halten wir fest, dass auch U auf \Omega_3 durch Konjugation operiert. Wir schränken also die Operation G auf U ein. Woraus sich nach der Bahnengleichung abs(\Omega_3)=sum(abs(up(U,Q)),Q\in\calR) ergibt, wobei \calR ein Repräsentantensystem der Bahnen unter der Operation von U ist. Da wir die Operation von G auf U eingeschränkt haben, müssen wir, um den Stabilisator eines Q\in\Omega_3 zu erhalten, auch den Normalisator einschränken auf U\cut\ N_G(Q). Nach dem Satz von Lagrange ist abs(up(U,Q))=abs(U:(U\cut\ N_G(U))) ein Teiler von abs(U). abs(U) ist aber p^a. Wir hatten jedoch festgestellt, dass p\teiltnicht\ abs(\Omega_3) ist. Daraus schlussfolgern wir, dass für mindestens ein Q\in\calR dieser Index abs(U:(U\cut\ N_G(U)))=1 sein muss. Das wiederum heißt, dass für dieses Q auch U\cut\ N_G(U)=U=>U\subseteq\ N_G(Q) gilt. Somit ist => \forall\ u\in\ U: uQu^(-1)=Q. Wir wissen aber ebenfalls, dass Q ein Normalteiler von N_G(Q) ist. Wenden wir also den ersten Isomorphiesatz an \(siehe Gruppenzwang Kapitel IV\): Dieser besagt zum einen, dass UQ eine Untergruppe von N_G(Q), und zum anderen, dass UQ\/Q ~= U\/(U\cut\ Q) ist. Daraus wiederum folgt: abs(UQ)=abs(UQ:Q)*abs(Q)=abs(U:(U\cut\ Q))*abs(Q) Das heißt vor allem, da abs(U)=p^a und abs(Q)=p^k ist, dass abs(UQ) ebenfalls eine Potenz von p ist. Da Q eine Untergruppe von UQ ist und abs(Q) die höchstmögliche__ Potenz von p nämlich p^k ist, muss abs(UQ)=p^k sein. Es ist also vor allem UQ=Q. U muss daher eine Untergruppe von Q sein. Da Q\in\Omega_3 und deshalb eine p\-Sylowgruppe ist, haben wir den zweiten Satz von Sylow also bewiesen. \blue\ q.e.d.

 
Der dritte Satz von Sylow

Nachdem uns die ersten beiden Sätze viel Anstrengung und einiges Kopfzerbrechen gekostet haben, bekommen wir den dritten Satz von Sylow praktisch geschenkt: \blue\ Beweis: 3. Satz von Sylow: Alle p\-Sylowgruppen von G sind zueinander konjugiert. Außerdem ist z_k \| m. Wir setzen im vorherigen Beweis einfach abs(U)=p^k und erhalten, dass U gleich einer Untergruppe Q ist, welche wiederum in \Omega_3=menge(gPg^(-1) | g\in\ G) enthalten ist. Da alle Elemente von \Omega_3 zueinander konjugiert sind, sind also alle p\-Sylowgruppen zueinander konjugiert und es gilt z_k=abs(G:N_G(P)). Wegen P<=N_G(P)<=G ist abs(G:N_G(P)) ein Teiler von abs(G:P)=abs(G)/p^k=m. \blue\ q.e.d.

 
Anwendungen der Sätze von Sylow

Wir wollen uns jetzt einmal mit einigen typischen Anwendungen der Sätze von Sylow beschäftigen ... Die einfachste Anwendung ist der sogenannte Satz von Cauchy: \darkred\ array(Satz von Cauchy)__ Es gibt in einer Gruppe G für jeden Primteiler p von abs(G) mindestens ein Element der Ordnung p. \blue\ Beweis: Der ist mit Kenntnis des ersten Satzes von Sylow denkbar einfach: Es gibt nämlich für jeden Primteiler p \| abs(G) nach diesem Satz auch mindestens eine Untergruppe U<=G mit der Ordnung p. Und da jede Gruppe mit primer Ordnung zyklisch ist, muss es einen Erzeuger dieser Untergruppe geben. Und dieser hat wiederum die Ordnung abs(U)=p. \blue\ q.e.d. Eine weitere oft benötigte Anwendung ist die Bestimmung der Gruppenstruktur mit Hilfe von Sylow. So gibt es z.B. \(bis auf Isomorphie\) nur eine einzige Gruppe der Ordnung 1729 = 7*13*19. \blue\ Beweis: Aus den Sylowsätzen können wir schlussfolgern, dass es genau eine 7\-Sylowgruppe N_7, genau eine 13\-Sylowgruppe N_13 und genau eine 19\-Sylowgruppe N_19 in solchen Gruppen G gibt. Das folgt aus dem dritten und dem ersten Satz von Sylow, denn die Anzahl der 7\-Sylowgruppen zum Beispiel muss sowohl ein Teiler von 13*19 sein als auch kongruent 1 mod 7. Dafür kommt nur 1 in Frage, da 13 == 6 !== 1 (mod 7), 19 == 5 !== 1 (mod 7) und 13*19 == 2 !== 1 (mod 7) ist. Analog kann man sich auch davon überzeugen, dass dies für 13 und 19 zutrifft. Diese Sylowgruppen sind insbesondere Normalteiler, denn gN_p\.g^(-1) ist ja ebenfalls eine Untergruppe der Ordnung p, also eine p\-Sylowuntergruppe, also gleich N_p. Ebenfalls sind sie \(bis auf das neutrale Element\) paarweise disjunkt, da die Ordnung eines gemeinsamen Elements jeweils 7 und 19, 7 und 13 bzw. 13 und 19 teilen müsste. Die einzige Zahl, die das tut, ist der triviale Teiler 1 und das einzige Element der Ordnung 1 ist das neutrale. Es gilt nun für solche Gruppen: G ~= N_7 \times N_(13) \times N_(19) ~= \IZ\/1729\IZ Da je zwei der Sylowgruppen N_7, N_13 und N_19 Normalteiler von G und bis auf 1 disjunkt sind, kommutieren ihre Elemente, denn es gilt beispielsweise für alle x\in\ N_7 und alle y\in\ N_13: xyx^(-1)\.y^(-1)=(xyx^(-1))y^(-1)=x(yx^(-1)\.y^(-1)) Da für alle Normalteiler gilt, dass sie unter der Konjugation abgeschlossen sind, ist dieser Ausdruck eine Element von N_7\cut\ N_13 also gleich 1. Daraus wiederum folgt: xyx^(-1)\.y^(-1)=1 => xy=yx Analog kann man das für die anderen beiden Kombinationen beweisen oder induktiv für eine beliebige \(endliche\) Anzahl von Normalteilern, die paarweise trivialen Durchschnitt haben. Mit diesem Wissen können wir einen Homomorphismus konstruieren, nämlich: \phi:=cases(N_7\times\ N_13\times\ N_19 \to G;(x,y,z)\mapsto\ xyz) Dass es ein Homomorphismus ist, folgt direkt aus der Vertauschbarkeit von x,y,z: \align\phi(x,y,z)\phi(x',y',z')><=xyzx'y'z' ><=xyx'zy'z' ><=(xx')yzy'z' ><=(xx')(yy')(zz') ><=\phi(xx',yy',zz') ><=\phi((x,y,z)(x',y',z')) \stopalign Außerdem ist \phi injektiv. Dazu zeigen wir, dass der Kern trivial ist. Sei nämlich 1=\phi(x,y,z)=xyz. Dann gilt xy=z^(-1). Nun ist z\in\ N_19 und xy\in\ N_7*N_13 und, weil beides gleich ist, muss daher beides in N_19\cut\ N_7*N_13 sein. Im Zusammenhang mit dem ersten Isomorphiesatz haben wir gezeigt, dass N_7*N_13 eine Untergruppe der Ordnung (abs(N_7)*abs(N_13))/abs(N_7\cut\ N_13)=(7*13)/1 ist. Der Schnitt von N_19 mit dieser Untergruppe muss wieder trivial sein, weil die Ordnungen teilerfremd sind. Das hatten wir uns ja eben bereits überlegt. Also muss z=1 sein =>xy=1 =>x=y^(-1) \in\ N_7\cut\ N_13=1 =>x=y=1. Damit haben wir x=y=z=1 gezeigt und \phi ist injektiv. Da die Ordnungen von N_7\times\ N_13\times\ N_19 und G übereinstimmen und beide endlich sind, ist \phi nicht nur injektiv, sondern auch surjektiv und damit ein Isomorphismus. G ist also tatsächlich isomorph zum direkten Produkt seiner Sylowgruppen. Da diese wiederum von Primzahlordnung sind, sind sie isomorph zu \IZ\/7\IZ, \IZ\/13\IZ bzw. \IZ\/19\IZ. Und das direkte Produkt aus ihnen ist wiederum isomorph zu \IZ\/(7*13*19)\IZ=\IZ\/1729\IZ. \blue\ q.e.d. Das konnte man bereits in Kapitel II und III nachlesen. Im zweiten Teil des Gruppenzwangs wurde bewiesen, dass Gruppen von Primzahlordnung zyklisch sind, was wir hier ja mehrmals verwendet haben. Außerdem wurde in Kapitel III bewiesen, dass das direkte Produkt zyklischer Gruppen genau dann zyklisch ist, wenn die Ordnungen teilerfremd sind (was 7, 13 und 19 ja offensichtlich sind).

 
Abschluss

Mit den Sätzen von Sylow hat man ein mächtiges Mittel zur Untersuchung von Gruppen gefunden. Mit ihrer Hilfe sind vielseitige Untersuchungen von Gruppen möglich. Die Bestimmung der möglichen Isomorphietypen, wie wir sie durchgeführt haben, wäre ohne Sylow praktisch nicht möglich. Und nach den vielen, vielen, vielen Namensverwirrungen möchte ich nur noch sagen: makro(up,array(\void^array(%1)\.array(%2))) mfg=G_ockel z_mfg == Gockel mod p abs(mfg)=sum(abs(up(G,ockel)),x\in\calR) mfg ~= N_G\times\ N_o\times\ N_c\times\ N_k\times\ N_e\times\ N_l

 
Die Gruppenzwang-Reihe

Teil 1: Wir rechnen mit allem Teil 2: Anonyme Mathematiker bieten Gruppentherapie an Teil 3: Sensation: Homo Morphismus ist ein Gruppentier Teil 4: Gruppencamper brauchen Iso(morphie)matten Teil 5: Dr.Cauchy und Dr.Sylow bitte zur GruppenOP Teil 6: Randale: Gruppendemo musste aufgelöst werden Teil 7: Gruppen sind immer noch top! Teil 8: Konvois auf der A20: Autos nur noch in Gruppen unterwegs Teil 9: Unfall im Genlabor: (Per)mutationen in der Bevölkerung Teil 10: Jäger der verlorenen Gruppe - Special Xtended Version Teil 11: Der Gruppentheorie-Adventskranz Teil 12: Wegen guter Führung entlassen: Gruppen sind frei Teil 13: Amnestie: Auch Untergruppen frei

 
Dieser Artikel ist enthalten in unserem Buch
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: Gruppentheorie :: Algebra :: Reine Mathematik :: Mathematik :
Gruppenzwang V: Dr.Cauchy und Dr.Sylow bitte zur GruppenOP [von Gockel]  
Einführung in das Konzept der Gruppenoperation mit Beweis der Bahnformel, das Zentrum von p-Gruppen ist nichttrivial, Beweis der Sylow-Sätze
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"Mathematik: Dr.Cauchy und Dr.Sylow bitte zur GruppenOP" | 6 Comments
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Re: Dr.Cauchy und Dr.Sylow bitte zur GruppenOP
von: Martin_Infinite am: Mi. 15. Dezember 2004 23:00:32
\(\begingroup\)Hi Gockel, du hast es auf den Punkt gebracht: Die Sätze von Sylow sind ein mächtiges Mittel zur Untersuchung von Gruppen. Dafür muss man aber - das hat man ja gesehen 😉 - ebenso mächtige Beweise auf sich nehmen. Gerade zu köstlich ist dann Nachdem uns die ersten beiden Sätze viel Anstrengung und einiges Kopfzerbrechen gekostet haben, ... Aber es lohnt sich, in jedem Falle! Vielen Dank für diesen Artikel! Gruß Martin\(\endgroup\)
 

Re: Dr.Cauchy und Dr.Sylow bitte zur GruppenOP
von: felixdamrau am: Di. 11. Januar 2005 16:32:50
\(\begingroup\)Dein Artikel ist echt prima! Ich habe bisher zwar nur Nummer 5 gelesen, aber der ist prima. Ich höre gerade etwas Mathe an der Uni und da ist dein Artikel eine tolle Hilfe! Danke! Ich freu mich schon auf einen Artikel über Frobenius? oder war es Shcwarz? Verbesserung der Sylow-Sätze, wenn darüber ein Artikel kommt. Würde mich freuen! Felix\(\endgroup\)
 

Re: Dr.Cauchy und Dr.Sylow bitte zur GruppenOP
von: Gockel am: Di. 11. Januar 2005 18:03:03
\(\begingroup\)Hi. Von Frobenius und Schwarz habe ich schonmal gehört, aber inwiefern haben sie die Sylowsätze "verbessert"? Die einzige Verallgemeinerung, die mir bekannt ist, sind die Sätze von Hall, die von einer Primzahl p auf eine Menge von Primzahlen verallgemeinern... mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

Re: Dr.Cauchy und Dr.Sylow bitte zur GruppenOP
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mo. 05. Dezember 2011 18:48:23
\(\begingroup\)Hab deinen Artikel gerade durchgearbeitet, weil er um einiges klarer formuliert ist als das Skript unseres Profs. Allerdings bin ich im 1. Sylow über eine Inklusion gestolpert, die ich auch nach langem Nachdenken nicht einsehen konnte. Warum gilt g^(-1)\.Ug\subseteq\ G_M im 2. Lemma. Für Antworten wär ich sehr dankbar. mfg \(\endgroup\)
 

Re: Dr.Cauchy und Dr.Sylow bitte zur GruppenOP
von: Gockel am: Mo. 05. Dezember 2011 19:29:54
\(\begingroup\)Hi Anonymous. Das folgt aus dem, was davor steht. Es ist g^(-1)*U=M. Wenn jetzt also m\in\ M und u\in\ U beliebig sind, dann ist m=g^(-1)*v für ein v\in\ U und daher: (g^(-1)\.ug)*m = (g^(-1)\.ug)*(g^(-1)\.v) = g^(-1)*(uv) Weil U eine Untergruppe ist, ist uv wieder in U, also g^(-1)\.uv in g^(-1)\.U=M. Damit ist g^(-1)\.ug*M\subseteq\ M gezeigt. Aus Ordnungsgründen gilt Gleichheit. Weil u beliebig war, muss also g^(-1)\.Ug im Stabilisator von M liegen. Kurzschreibweise: g^(-1)\.Ug*M = g^(-1)\.Ug*g^(-1)\.U = g^(-1)*U*U=g^(-1)\.U=M mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

Re: Dr.Cauchy und Dr.Sylow bitte zur GruppenOP
von: Xaving am: Mi. 01. Februar 2017 13:59:42
\(\begingroup\)Danke für diese Artikel. In der zweite Satzt von Sylow, ist es nicht \ abs(up(U,Q))=abs(U:(U\cut\ N_G(Q))) statt \ abs(up(U,Q))=abs(U:(U\cut\ N_G(U))) ? \(\endgroup\)
 

 
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