Mathematik: Allgemeine Darstellung rekursiv gegebener Zahlenfolgen
Released by matroid on Mi. 09. Februar 2005 20:00:11 [Statistics]
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Analysis

\(\begingroup\)\(\usepackage{setspace}\) Immer wieder mal kann man von bestimmten gegebenen Zahlenfolgen eine Rekursionsgleichung erstellen und sucht dann eine Darstellung des allgemeinen Gliedes. Für die Fibonacci-Folge: c_(n+1) = c_n + c_(n-1) und c_0 = c_1 = 1 ergibt sich z.B.: c_n=sqrt(5)/(5*2^(n+1))\.((1+sqrt(5))^(n+1)-(1-sqrt(5))^(n+1)) Doch wie kommt man auf sowas?

Angeben kann ich hier nur die Lösung für eine sehr eingeschränkte Klasse von rekursiv gegebenen Zahlenfolgen, wer Lösungen auch für andere Klassen kennt, fühle sich frei, diesen Artikel um den entsprechenden Beitrag zu bereichern. Gegeben sei die folgende Zahlenfolge: c_(n+1)= p*c_n + q*c_(n-1) mit c_0 = a und c_1 = b und a, b, p, q sowie c_n \el\ \IK, wobei \IK ein beliebiger Körper mit char(\IK)!=2 ist. Als Lösungsansatz nehmen wir c_n = C^(n+1), das führt auf die folgende quadratische Gleichung: C^2=pC+q mit den Lösungen C_1,2 = p/2 +- sqrt(p^2/4 + q) Um jetzt weiter zu kommen, betrachten wir nun allerdings den Ausdruck \alpha = sqrt(p^2/4 + q), der ja nicht notwendig Element von \IK ist, als das zu adjungierende Element eines einfachen Erweiterungskörpers \IK(\alpha), dessen Elemente x+y\alpha mit x,y \el\ \IK sind. Die Lösungen der obigen quadratischen Gleichung seien damit s=p/2 + \alpha t=p/2 - \alpha Der weitere Lösungsansatz für c_n lautet nun: c_n=As^(n+1)+Bt^(n+1) mit A,B \el\ \IK(\alpha) ! D.h. A = A_1 + A_2 \alpha B = B_1 + B_2 \alpha Die Konstanten A_1 , A_2 , B_1 , B_2 \el\ \IK werden aus dem folgenden Gleichungssystem bestimmt: c_0 = As + Bt = a c_1 = As^2 + Bt^2 = b bzw. (A_1 +A_2 \alpha)(p/2 + \alpha)+(B_1 +B_2 \alpha)(p/2 - \alpha)=a (A_1 +A_2 \alpha)(p/2 + \alpha)^2+(B_1 +B_2 \alpha)(p/2 - \alpha)^2=b und das führt für p^2/4 +q!=0 über einen Koeffizientenvergleich zu B_1 = A_1 B_2 = -A_2 pA_1+2\alpha^2\.A_2 =a 2(p^2/4 + \alpha^2)\.A_1+2p\alpha^2\.A_2=b bzw. (p,2\alpha^2;2(p^2/4 + \alpha^2),2p\alpha^2)\.(A_1 ;A_2 )=(a;b) mit der Lösung für A_1 , A_2 - unter der Ausnutzung von \alpha^2=p^2/4 + q (A_1 ;A_2)=-1/(2q\alpha^2)\.(p\alpha^2,-\alpha^2;-(p^2/4 + \alpha^2),p/2)\.(a;b) also A_1 = (b-ap)/(2q) A_2 = (a-pA_1 )/(2\alpha^2) Wir haben also als allgemeine Darstellung für c_n : c_n = (A_1 +(a-pA_1 )/2\alpha)(p/2 +\alpha)^(n+1) + (A_1 -(a-pA_1 )/2\alpha)(p/2 -\alpha)^(n+1) mit \alpha = sqrt(p^2/4 +q) A_1 = (b-ap)/(2q) Sollte \IK=\IR sein, so ist dies für p^2/4 +q >0 schon das Ergebnis. Für den Fall, dass p^2/4 +q < 0 ist, erhalten wir daraus über x+iy=\rho\.e^i\phi und \alpha '=sqrt(abs(q)-p^2/4): c_n =abs(q)^((n+1)/2)\.(2A_1 cos(n+1)\phi + (a-pA_1 )/(\alpha ')\.sin(n+1)\phi) mit \phi = arctan((2\alpha ')/p) A_1 = (b-ap)/(2q) Für den Fall p^2/4 +q=0 erhält man zuguterletzt c_n = (p/2)^(n-1)\.(nb-(n-1)/2\.ap) Im übrigen gilt für A_1=0 bzw. b=ap, sowie p^2/4 +q!=0 für c_n die besonders einfache Darstellung: c_n = a*(s^(n+1)-t^(n+1))/(s-t) viel Freude Jens Koch (trunx)
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: Analysis :: Differenzengleichung :: Rekursion :: Fibonacci-Zahlen :
Allgemeine Darstellung rekursiv gegebener Zahlenfolgen [von trunx]  
Immer wieder mal kann man von bestimmten gegebenen Zahlenfolgen eine Rekursionsgleichung erstellen und sucht dann eine Darstellung des allgemeinen Gliedes. Für die Fibonacci-Folge: c_(n+1) = c_n + c_(n-1) und c_0 = c_1 = 1 ergibt sich z.B.: c_n=sqrt(5)/(5*2^(n+1)).((1+sqrt(5))^(n
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"Mathematik: Allgemeine Darstellung rekursiv gegebener Zahlenfolgen" | 6 Comments
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Re: allgemeine Darstellung rekursiv gegebener Zahlenfolgen
von: galexy am: Mi. 09. Februar 2005 22:42:54
\(\begingroup\)Hi trunx, Als ergänzung zu deinem Artikel habe ich noch folgendes pdf 😄 www.wias-berlin.de/~stephan/folgen.pdf Dort wird dein Verfahren noch weiter erläutert und auf weitere Rekursionsfolgen verallgemeinert. Alex\(\endgroup\)
 

Re: allgemeine Darstellung rekursiv gegebener Zahlenfolgen
von: trunx am: Do. 10. Februar 2005 09:43:03
\(\begingroup\)Hi Alex, vielen Dank für deinen Link. Wichtig war mir in meinem Artikel der Weg über die Körpererweiterung, weil man so auch allgemeiner die Fälle erreicht, in denen keine reelen Nullstellen existieren (sprich, in denen a nicht in IK ist), das wird in dem von dir angegebenen Artikel nicht so gemacht, dennoch auch ein sehr schöner Artikel. 😄 bye trunx\(\endgroup\)
 

Re: Allgemeine Darstellung rekursiv gegebener Zahlenfolgen
von: Quant am: Fr. 17. November 2006 21:02:43
\(\begingroup\)Hi, vielen dank für diesen artikel!Er war mir für das Finden einer expliziten Folge sehr hilfreich. MfG\(\endgroup\)
 

Re: Allgemeine Darstellung rekursiv gegebener Zahlenfolgen
von: trunx am: Fr. 27. April 2007 17:51:31
\(\begingroup\)Hallo an alle, da es nach dem Fundamentalsatz der Algebra zu jedem Polynom k-ten Grades insgesamt genau k (i.a. komplexe, mehrfache) Nullstellen ζi gibt, ist der obige Ansatz zur expliziten Darstellung rekursiv gegebener Zahlenfolgen auf folgende Klasse von rekursiven Zahlenfolgen cn+k = akcn+k-1 + ak-1cn+k-2 + ... + a2cn+1 + a1cn mit gegebenen cj, j=0,...,k-1 und k>2 erweiterbar (der Fall k=2 ist oben beschrieben). Die allg. Lösung lautet dafür: c_n = sum(\zeta_i ^n\.sum(A_ij\.\alpha^j,j=0,g-1),i=1,k) wobei g der Körpergrad von K(α), dem Zerfällungskörper des zugeh. Polynoms ist. Da dieser dabei im allgemeinen ≥ k ist, wird natürlich das Gleichungssystem für die Aij entsprechend größer. bye trunx EDIT: das ist leider so nicht korrekt, siehe besser hier.\(\endgroup\)
 

Re: Allgemeine Darstellung rekursiv gegebener Zahlenfolgen
von: trunx am: Di. 13. August 2013 15:41:23
\(\begingroup\) für den Fall: c_(n+1)=p*c_n+q*c_(n-1)+k hilft die Substitution d_n=c_n+k/(p+q-1) weiter, vorausgesetzt, dass p+q-1!=0 ist. für p+q=1, setze man in c_(n+1) - c_n =-q(c_n -c_(n-1) )+k d_n = c_(n+1) -c_n und berechnet d_n = -qd_(n-1) +k zu d_n = (-q)^n *d_o +k*(1-(-q)^n)/(1+q) was zurücktransformiert wiederum c_n = c_o +(1-(-q)^n)/(1+q)*(c_1 -c_o) +k/(1+q)*(n- (1-(-q)^n)/(1+q)) ergibt, hierbei sollte natürlich q!=-1 sein. für diesen Fall \(also q=-1 und p=2\) wiederum ist d_n = d_o +n*k, was zurücktransformiert c_n = c_o +n*(c_1 -c_o) +k*n/2 *(n-1) ergibt bye trunx \(\endgroup\)
 

Re: Allgemeine Darstellung rekursiv gegebener Zahlenfolgen
von: trunx am: Mo. 19. Mai 2014 22:34:16
\(\begingroup\) die Erzeugende f(z)=sum(c_n *z^n,n=0,\inf) zur oben angegebenen allgemeinen Lösung lautet: f(z)=(a+z(b-ap))/(1-zp-z^2 q) \(\endgroup\)
 

 
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