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Rechenverfahren und Beweistricks für Analysis I und Lineare Algebra I [von continuous] | | Sammlung von ausgewählten, nützlichen Rechen-und Beweistricks-empfehlenswert-, Integrale mit trigonometrischen Funktionen, Partialbruchzerlegung, Substitution rükwärts,Lineare Unabhängigkeit, Basisergänzung,Euklidischer Algorithmus und Isomorphie unendlicher Gruppen | |
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| "Mathematik: Rechenverfahren und Beweistricks" | 17 Comments | | The authors of the comments are responsible for the content. |
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\(\begingroup\)Hallo, Christian!
Mir gefällt dein Artikel. Das mit der PBZ ist nett. Und schon ist der erste Thread Rechentrick bei der PBZ im Forum. Vielleicht könnten wir das mit deinem Artikel verlinken.\(\endgroup\)
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\(\begingroup\)Hi Christian,
da hast du ja richtig tief in die Trickkiste gegriffen :)
Mich interessiert 2.3 besonders:
Wieso sind C* und der Einheitskreis isomorph? Die Abbildung z->z/|z| funktioniert ja nicht, weil der Kern R+, also viel mehr als {1} ist.
Das mit den K-Vektorräumen ist zu allgemeinen. G x G und G sind schon isomorh, wenn G eine freie unendlich-erzeugte abelsche Gruppe ist. Mit Kardinalzahlen hat das nichts zu tun. Und wenn sie dabei vorkommen, ist es überflüssig. Mit dem Auswahlaxiom bekommt die Gleichmächtigkeit von M x {0,1} und M für unendliche M, mehr braucht man nicht. Das gilt schon für abzählbare Mengen ohne Auswahlaxiom.
Gruß
Martin\(\endgroup\)
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\(\begingroup\)Hallo Martin,
wie in der PM gesagt, werde ich den einen Beweis hier noch nachreichen.
Nochwas zu 2.3: Vektorraumstrukturen sind manchmal sehr praktisch. Wie der nachzureichende Beweis das auch zeigt oder zeigen wird.
Das Kardinalzahlen in diesem Zusammenhang überflüssig sind, finde ich nicht so ganz.
Denn mithilfe der Kardinalzahlen, kann ich ALLE Vektorräume klassifizieren.
Gruß Christian\(\endgroup\)
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\(\begingroup\)Hatte zu schnell gepostet. Die Aussage:
"Das Kardinalzahlen überflüssig sind, finde ich falsch. "
habe ich noch abgeändert, aber das muss erst an Matro vorbei 😉\(\endgroup\)
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\(\begingroup\)Hi,
ist B eine K-Basis des K-Vektorraumes V, so gilt
V ~= Abb_fin(B,K)
Das ist es, was eine Basis ausmacht. Das ist es, was man bei deinem Beweis verwendet. So kann man Vektorräume klassifizieren (sofern man das AC hat).
Jetzt könnte man noch die Kardinalzahl k von B betrachten (die ja auch nur mit Hilfe des AC gebildet werden kann). Weil sie zu B gleichmächtig ist, ist dann
Abb_fin(B,K) ~= Abb_fin(k,K)
Wird das mit K^k bezeichnet? Wäre mir neu.
Gruß
Martin\(\endgroup\)
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\(\begingroup\) Hallo Martin,
wahrscheinlich reden wir aneinander vorbei. Ich kenne folgende
Definition einer Basis:
B:=\(v_i|\)_(i\el\I) sei eine Familie von Vektoren im K-VR V.
B ist Basis von V: <=>
(1) B ist linear unabhängig (:<=> jede endliche Teilfamilie ist l.u.)
(2) V wird von B erzeugt
Aus dem Lemma von Zorn folgt, das für jedem Vektorraum solch eine Familie
existiert.
Weiter kann man damit zeigen, das für jeden Vektorraum V eine eindeutig
bestimmte Kardinalzahl \k existiert, so dass V~=K^\k gilt.
Man kann dann \k die Dimension nennen.
Was ich zu 2.3. eigentlich sagen wollte:
Manchmal kann man die Isomorphie von unendlichen Gruppen mithilfe
von \inf-dimensionalen VR gut zeigen. Insbesondere gilt dann auch
VxV~=V.
Natürlich kann man sowas bei Gruppen auch anders machen.
Aber die Philosophie dieses Aritkels ist es Beweismethoden zu liefern.
Und man kann nun mittels \inf-dimensionaler VR die Isomorphie
zwischen C^\* und S^1 ziemlich schön zeigen.
Der Beweis den ich auf Papier ausgearbeitet habe ist allerdings schon
ca. 5 Seiten lang. Ich werde daher einen neuen Artikel dazu (vielleich
nächste oder übernächste Woche) verfassen.
Du kannst dann gerne versuchen die Aussage ohne die Hilfe der Strukturen
von Vektorräumen zu beweisen. Ich jedenfalls habe es nicht geschafft.
Gruß Christian
\(\endgroup\)
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\(\begingroup\)Hi,
es geht mir doch gar nicht darum, das ohne Vektorräume zu zeigen. Mir ist klar, was eine Basis ist, was du zeigen willst, etc.
Bloß du bist jetzt nicht darauf eingegangen, was
K^\k
deiner Meinung nach ist.
Gruß
Martin\(\endgroup\)
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\(\begingroup\) \k ist eine Kardinalzahl, also eine spezielle Menge.
Wir fassen \k daher als Indexmenge auf.
Damit bezeichnet K^\k den Raum Abb(\k,K).
Gruß Christian\(\endgroup\)
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\(\begingroup\)Hi Christian,
hm, das dachte ich mir schon. Kurz gesagt hast du konsequent mit
BA = Abb(A,B)
gearbeitet.
Mir ist klar, dass es zu jedem K-Vektorraum V eine eindeutig bestimmte Kardinalzahl k mit
V ~= Abb_fin(k,K)
gibt, aber hier kann ich das fin im Index (das bedeutet, man betrachtet nur Abbildungen mit endlichem Träger) doch nicht weglassen, weil Linearkombinationen eben nur endliche Summen sein dürfen.
Würde mich interessieren, wie du auf deine Klassifikation kommst.
Gruß
Martin\(\endgroup\)
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\(\begingroup\)Ja genau, endlicher Träger muss gegeben sein. Ich wusste nicht das man dafür noch extra _fin schreibt. Aber es ist wohl besser damit keine Verwechslungen auftreten. Obwohl aus dem Kontext klar ist was gemeint ist, wie du schon gesagtest mit den endlichen Summen...
Gruß Christian\(\endgroup\)
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\(\begingroup\)Hi Christian,
oh, das ist aber ganz wichtig, das mit fin oder sonstigem zu kenntzeichnen! Aber super, jetzt ist es ja geklärt 😄
Ich habe inzwischen deinen Beweis geTeXt. Ich werde ihn dann posten, wenn du mir es erlaubst 😉
Gruß
Martin
\(\endgroup\)
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\(\begingroup\)So, ich denke mal, die Frist ist abgelaufen ;)
Ich hoffe, es haben sich keine Fehler bei meiner Modifizierung deiner Beweisidee eingeschlichen.
\(\endgroup\)
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\(\begingroup\)Hi Martin,
ich wollte dir nämlich gerade eine PM schicken, dass du jetzt darfst 😉
Also danke nochmal.
Gruß Christian\(\endgroup\)
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\(\begingroup\)Telepatie bin ich vom MP gewohnt ...\(\endgroup\)
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\(\begingroup\)Hallo Christian,
ein schöner Artikel, nett, um immer mal wieder einige Tricks nachschlagen zu können!
Grüße,
HiP\(\endgroup\)
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\(\begingroup\)Hmm hallo zusammen.
Vertue ich mich, oder hat sich bei 1.1 ein Fehler eingeschlichen?
Wenn wirklich die Definition von tan'(x) so stimmt, dann passt der Rest nicht mehr. Nachher wird nämlich mit tan'(x/2) erweitert. Deswegen müsste doch auch die Definition von tan'(x/2) gemeint sein, oder?
Carsten\(\endgroup\)
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Hallo, Carsten!
Du hast Recht, da ist Christian offenbar ein Tippfehler unterlaufen.
Gemeint ist natürlich
(tan|x/2)'=1/2*(1+tan^2|x/2)
Auch die Schreibweise tan'(x/2) wäre nicht in Ordnung,
das wäre nämlich die Ableitung der Tangensfunktion
an der Stelle x/2, also gleich 1+tan^2|x/2=2*(tan|x/2)'.
Danke für Deine Aufmerksamkeit,
wir werden das gleich ausbessern.
Liebe Grüße, Franz
\(\endgroup\)
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