Mathematik: Randale: Gruppendemo musste aufgelöst werden
Released by matroid on Sa. 19. Februar 2005 20:52:24 [Statistics]
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Mathematik

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Gruppenzwang VI

Als großes "Überziel" über den meisten Algebra-Vorlesungen an der Uni steht nicht selten die so genannte Galoistheorie, mit deren Hilfe es u.A. möglich ist zu bestimmen, ob eine gegebene Polynomgleichung durch Radikale auflösbar ist oder nicht, d.h. ob sich die Nullstellen des Polynoms mit den vier Grundrechenarten und Wurzelausdrücken darstellen lassen. Genau diese Eigenschaft wollen wir in diesem Teil des Gruppenzwangs unter die Lupe nehmen, auch wenn (und gerade weil) es auf den ersten Blick nichts mit Gruppen zu tun hat.

 
Und was hat das nun mit Gruppen zu tun?

Diese Eigenschaft der Auflösbarkeit von Polynomen ist eng an die so genannten Galoisgruppen geknüpft. Insbesondere ist nämlich ein Polynom genau dann durch Radikale auflösbar, wenn die zugehörige Galoisgruppe "auflösbar" ist. Diese Beziehung zu beweisen, liegt außerhalb der Möglichkeiten dieses Artikels, weil die gruppentheoretischen Grundlagen alleine dafür nicht ausreichen. Man benötigt weiteres, algebraisches Grundwissen, z.B. über Polynomringe und Körpererweiterungen. Wir können und werden uns aber mit der Gruppeneigenschaft der "Auflösbarkeit" beschäftigen. Fangen wir einfach an... was bedeutet Auflösbarkeit eigentlich??

 
(Sub)Normalreihen

Eine endliche Folge von Untergruppen G=N_0>=N_1>=N_2>=...>=N_k=\{1\} heißt \darkblue\ Subnormalreihe__\black||, wenn gilt: \forall 0<=i=, die ein "ist Untergruppe von"-Verhältnis bedeuten\) Wenn sogar immer gilt: \forall 0<=i5\IZ|>15\IZ|>30\IZ|>60\IZ|>{0} Ist eine Subnormalreihe und auch eine Normalreihe, weil \IZ abelsch ist und deshalb alle Untergruppen auch Normalteiler sind. S_5|>A_5|>{1} Ist ebenfalls eine Normalreihe, obwohl S_5 nicht abelsch ist. S_4|>A_4|>V_4|>{1} Ist auch noch eine Normalreihe, während S_4|>A_4|>V_4|>\<(1,2)(3,4)\>|>{1} zwar eine Subnormal- aber keine Normalreihe mehr ist, denn \<(1,2)(3,4)\> ist kein Normalteiler von S_4 mehr.

 
Faktoren von (Sub)Normalreihen und Auflösbarkeit

Die Faktorgruppen N_i\.\/N_(i+1) in einer Subnormalreihe werden auch einfach \darkblue\ array(Faktoren der Reihe)__\black genannt. Hat eine Gruppe eine Subnormalreihe, in der ausschließlich abelsche Faktoren vorkommen, spricht man von einer \darkblue\ array(auflösbaren Gruppe)__\black||. \big\ Beispiele: S_4 ist auflösbar, denn die Subnormalreihe S_4|>A_4|>V_4|>{1} besitzt Faktoren, die alle samt abelsch sind: S_4\.\/A_4~=\IZ\/2\IZ A_4\.\/V_4~=\IZ\/3\IZ V_4\.\/{1}~=V_4~=\IZ\/2\IZ\times\IZ\/2\IZ S_5 dagegen ist nicht mehr auflösbar, denn die beiden einzigen (Sub)Normalreihen von S_5 S_5|>{1} und S_5|>A_5|>{1} besitzen nicht\-abelsche Faktoren, nämlich S_5\.\/{1}~=S_5 sowie A_5\.\/{1}~=A_5. Dass dies die einzigen Subnormalreihen von S_5 sind, folgt u.A. daraus, dass die alternierende Gruppe A_n für n>=5 einfach ist, also überhaupt keine nichttrivialen Normalteiler besitzt, die in einer Subnormalreihe vorkommen könnten. Für n>=4 sind außerdem alle alternierenden Gruppen nichtabelsch, so dass S_n und A_n für n>=5 niemals auflösbar sind. Außerdem ist natürlich jede abelsche Gruppe auflösbar, denn die triviale Normalreihe \IG|>{1} besitzt den abelschen Faktor \IG\/{1}~=\IG. Die Anzahl der Faktoren einer Subnormalreihe wird auch als Länge der Subnormalreihe bezeichnet. Da man immer aus benachbarten Folgengliedern die Faktorgruppe bildet, ist also die Länge einer Subnormalreihe gleich der Anzahl der Folgenglieder in \IG=\IN_0|>\IN_1|>...|>\IN_k={1} minus 1, also mit diesen Bezeichnungen gleich k.

 
Erste Schritte

Für die Untersuchung der Auflösbarkeit sind einige Definitionen sehr wichtig und nützlich:

 
Isomorphie von Subnormalreihen

Dem wollen wir uns zuerst widmen, denn wie bei anderen Objekten in der Mathematik gibt es an Subnormalreihen interessante und weniger interessante Aspekte, von denen der Mathematiker natürlich am liebsten die interessanteren betrachtet. Dies sind natürlich bei Subnormalreihen die Faktoren, denn sie entscheiden über die gesuchte Auflösbarkeit. Wie wir oben gesehen (nagut... definiert) haben, ist die Auflösbarkeit nur von der Struktur dieser Faktoren abhängig, nicht von ihrer Reihenfolge. Was liegt also näher, also Isomorphie für Subnormalreihen zu definieren, wenn sie sich nur in der Reihenfolge der Faktoren unterscheiden: makro(faktor,%1\.\/%2) Gegegeben seien zwei (Sub)Normalreihen der Gruppe G: G=N_0|>N_1|>...|>N_k={1} G=M_0|>M_1|>...|>M_l={1} Diese heißen \darkblue\ isomorph__\black||, wenn \ll(1)k=l ist, sie also die gleiche Länge haben, und \ll(2)eine Permutation \sigma von \{0,1,...,k-1\} existiert mit faktor(N_i,N_(i+1)) ~= faktor(M_\sigma(i),M_(\sigma(i)+1)) für alle i $ N_1=faktor(3\IZ,6\IZ) $ |> $ N_2=6\IZ\/6\IZ=0 und M_0=faktor(\IZ,6\IZ) $ |> $ M_1=faktor(2\IZ,6\IZ) $ |> $ M_2=6\IZ\/6\IZ=0 sind zwei isomorphe Normalreihen, denn beide haben wie in \ref(1) gefordert drei Folgenglieder und \sigma=(0,1) ist die in \ref(2) geforderte Permutation, denn es gilt: faktor(N_0,N_1)~=\IZ\/3\IZ faktor(N_1,N_2)~=\IZ\/2\IZ sowie faktor(M_\sigma(0),M_(\sigma(0)+1))=faktor(M_1,M_2)~=\IZ\/3\IZ faktor(M_\sigma(1),M_(\sigma(1)+1))=faktor(M_0,M_1)~=\IZ\/2\IZ \big\ Ein komplexeres Beispiel: makro(faktor,%1\.\/%2) Sei G die Gruppe A_4\cross (faktor(\IZ,4\IZ)) Dann gibt es (u.A.) diese beiden Normalreihen: N $ := $ A_4\cross(faktor(\IZ,4\IZ))|>A_4\cross(faktor(2\IZ,4\IZ))|>A_4\cross{1}|> V_4\cross\{1}|>1 M $ := $ A_4\cross(faktor(\IZ,4\IZ))|>V_4\cross(faktor(\IZ,4\IZ))|>{1}\cross(faktor(\IZ,4\IZ))|>{1}\cross(faktor(2\IZ,4\IZ))|>1 Hier treten folgende Faktoren auf: faktor(N_0,N_1)~=faktor(M_2,M_3)~=\IZ\/2\IZ faktor(N_1,N_2)~=faktor(M_3,M_4)~=\IZ\/2\IZ faktor(N_2,N_3)~=faktor(M_0,M_1)~=\IZ\/3\IZ faktor(N_3,N_4)~=faktor(M_1,M_2)~=V_4 Das entspricht also der Permutation: \sigma=(02)(13). Insbesondere haben wir damit (fast nebenbei) gezeigt, dass A_4\cross\IZ\/4\IZ auch auflösbar ist, da sowohl \IZ\/2\IZ, \IZ\/3\IZ als auch V_4~=\IZ\/2\IZ\times\IZ\/2\IZ abelsch sind. Wie auch bei anderen Strukturen ist der Isomorphiebegriff eine Äquivalenzrelation, was man leicht nachrechnen kann, wenn man möchte. Ich möchte aber nicht, also machen wir weiter:

 
Verfeinerungen

Wie wir gesehen haben, kann eine Gruppe mehrere Subnormalreihen haben. Einige davon sind isomorph, andere sind wiederum so genannte "Verfeinerungen". Eine Verfeinerung ist im Prinzip nichts anderes, als das Einfügen von zusätzlichen Folgengliedern, sodass die Subnormalreihe verlängert wird. Formal bedeutet das: Eine Subnormalreihe G=M_0|>M_1|>...|>M_m={1} nennt man \darkblue\ Verfeinerung__\black einer Subnormalreihe G=N_0|>N_1|>...|>N_n={1}, wenn eine injektive Abbildung f:{1,2,...,n}\to{1,2,...,m} existiert mit N_i=M_(f(i)). \(Anmerkung: Manchmal werden Unterscheidungen getroffen, ob m=n zugelassen wird oder nicht. In einem solchen Fall ist natürlich jede Subnormalreihe eine Verfeinerung ihrer selbst. Falls nun tatsächlich m>n gilt, spricht man auch von einer "echten" Verfeinerung, analog zu Begriffen wie der echten Teilmenge.\) Gilt in einer Subnormalreihe an irgendeiner Stelle N_i=N_(i+1), so spricht man auch von einer Subnormalreihe mit Wiederholungen. Indem man Wiederholungen einfügt, kann man eine Subnormalreihe natürlich beliebig oft verfeinern. Aber das macht ja keinen Spaß \;\-\) Eine Subnormalreihe, die man nicht mehr verfeinern kann, ohne Wiederholungen einzufügen, nennt man auch \darkblue\ Kompositionsreihe__\black||. \big\ Beispiel: Zu S_4 gibt es \(wie zu jeder anderen Gruppe auch\) die triviale Normalreihe S_4|>{1}. Diese können wir schrittweise immer mehr verfeinern: S_4|>V_4|>{1} S_4|>A_4|>V_4|>{1} S_4|>A_4|>V_4|><\(1,2)(3,4)\>|>{1} Nach dem zweiten Isomorphiesatz entsprechen die Normalteiler in einer Faktorgruppe U\/V genau den Normalteilern in U, die den "herausfaktorisierten" Normalteiler V enthalten. Da die Faktoren der letzten Subnormalreihe isomorph zu \IZ\/3\IZ bzw. \IZ\/2\IZ sind \(siehe oben\), welche beide einfach sind und keine nichttrivialen Normalteiler enthalten, können wir also schlussfolgern, dass die letzte Reihe sich nicht weiterverfeinern lässt, ohne zu wiederholen. Es handelt sich also um eine Kompositionsreihe. Die Subnormalreihe \IZ|>n_1\.\IZ|>n_2\.\IZ|>...|>n_i\.\IZ|>{0} kann man immer verfeinern zu \IZ|>n_1\.\IZ|>n_2\.\IZ|>...|>n_i\.\IZ|>2n_i\.\IZ|>{0}. Da 2n_i\.\IZ eine echte Untergruppe von n_i\.\IZ ist, können wir schlussfolgern, dass man eine Subnormalreihe von \IZ immer__ verfeinern kann, ohne dass Wiederholungen auftreten, sodass \IZ also keine Kompositionsreihe besitzen kann. In einer endlichen Gruppe kann man natürlich immer eine Kompositionsreihe finden, da man die triviale Subnormalreihe G |> 1 nur endlich oft echt verfeinern kann aufgrund der Endlichkeit von G. Es stellt sich heraus, dass bei endlichen, auflösbaren Gruppen eine Kompositionsreihe stets zyklische Faktoren hat. In der Galoistheorie entsprechen diesen zyklischen Faktoren \(im Wesentlichen\) die Körpererweiterungen der Form K(wurzel(k,a)). Die Kompositionsreihe auf Seiten der Galoisgruppe entspricht so einem Turm von Radikalerweiterungen auf der Körperseite. Auf diese Weise wird der eingangs erwähnte Zusammenhang von auflösbaren \(Galois\)gruppen und auflösbaren Polynomen hergestellt.

 
Die Sätze von Schreier und Jordan-Hölder

Mit dem Wissen über Isomorphien und Verfeinerungen können wir nun zwei wichtige Sätze über Subnormalreihen formulieren und beweisen: \darkred\ll(Satz von Schreier)Je zwei Subnormalreihen besitzen isomorphe Verfeinerungen. Sind also G=N_0|>N_1|>...|>N_n={1} und G=M_0|>M_1|>...|>M_m={1} zwei Subnormalreihen einer Gruppe G, dann gibt es jeweils eine Verfeinerung, sodass beide Verfeinerungen zueinander isomorph sind. \blue\ Beweis: Wir verfeinern zunächst unsere beiden Subnormalreihen etwas: Aus der Folge N_0|>N_1|>...|>N_n konstruieren wir N_i,j:=N_i(N_(i-1)\cut\ M_j) für 0...|>N_1,m = N_2,0|>...|>N_2,m = N_3,0|>...|>N_n\-1,m = N_n,0|>...|>N_n,m=\{1\} Diese Folge ist aufgrund N_i,j|>N_i,j\+1 eine Subnormalreihe und wegen N_i,0=N_i\-1 eine Verfeinerung unserer ersten Reihe. Die Eigenschaft N_i,j|>N_i,j\+1 folgt aus dem dritten Isomorphiesatz, welcher in Gruppenzwang IV bewiesen wurde \(insbesondere ist das Satz \ref(Iso 3.1), wenn man mit den dortigen Bezeichnungen U=N_(i-1), U_0=N_i, V=M_j und V_0=M_(j+1) setzt\). Ganz analog können wir die zweite Subnormalreihe verfeinern, indem wir die Gruppen M_i,j:=M_j(M_(j-1)\cut\ N_i) definieren für 0<=i<=n und 0M_i\+1,j Somit haben wir auch hier ein Subnormalreihe als Verfeinerung: G=M_0,1|>...|>M_n,1 = M_0,2|>...|>M_n,2 = M_0,3|>...|>M_n,m\-1 = M_0,m|>...|>M_n,m=\{1\} makro(faktor,%1\.\/%2) Der nächste Schritt besteht nun in der Isomorphie dieser beiden Verfeinerungen. Zunächst erkennen wir, dass beide Verfeinerungen die Länge n*m haben, denn die Indizes i und j laufen in der ersten Konstruktion von 1 bis n bzw. 0 bis m und im zweiten Fall von 0 bis n bzw. von 1 bis m. In der Subnormalreihe stehen aber mehrere Indizes für diesselbe Gruppe, d.h. wir müssen n bzw. m wieder abziehen, um die korrekte Anzahl zu erhalten. Somit haben wir n(m+1)-n=nm bzw. (n+1)m-m=nm Gruppen in beiden Ketten. Die erste Bedingung für Isomorphie ist also erfüllt. Wenn man jetzt den dritten Isomorphiesatz noch einmal anwendet \(speziell \ref(Iso 3.4)\) erhält man außerdem, dass N_i,j\-1 \/ N_i,j ~= M_i\-1,j \/ M_i,j für alle 0

 
Kommutatoren

Wie so oft führen viele Wege zum Ziel. Einer der wichtigsten Wege zur Untersuchung von Auflösbaren Gruppen sind die Kommutatoren. Schauen wir uns doch gleich mal an, was das ist und was das bringt: makro(komm,gauss(%1\,%2)) makro(erz,\<\.%{*}\.\>) Wir definieren den \darkblue\ Kommutator__\black [a,b] zweier Gruppenelemente a und b wie folgt: komm(a,b):=aba^(-1)\.b^(-1) \(Wie so oft, wenn man zwei gleichberechtigte Varianten hat, so ist auch hier die andere Definition als a^(-1)\.b^(-1)\.ab im Umlauf. Alle Sätze und Beweise gelten sinngemäß auch für diese Definition.\) Was zuerst einmal nicht so ganz naheliegend erscheint, ist in der Tat aber dicht mit unserm Thema verbunden, wenn man die folgende Definition für Teilmengen einer Gruppe U und V kennt: komm(U,V):=erz(komm(u,v) \| u\in\ U, v\in\ V) Nicht überzeugt? Na gut: Dann wird dieser Satz bestimmt helfen: \darkred\forall A,B\subseteq\ G: komm(A,B)={1} $ <=> $ \forall a\in\ A, b\in\ B: ab=ba Er besagt also, dass zwei Teilmengen genau dann elementweise kommutieren, wenn ihr Kommutator gleich 1 ist. Schreiten wir zum makro(komm,gauss(%1\,%2)) makro(erz,\<\.%{*}\.\>) \blue\ Beweis des Satzes: \blue\ => Sei komm(A,B)={1}, dann gilt insbesondere für alle a\in\ A,b\in\ B: aba^(-1)\.b^(-1)=komm(a,b)=1, denn sonst gäbe es noch ein weiteres Element im Erzeugnis aller Kommutatoren. Daraus folgt vor allem: aba^(-1)\.b^(-1)=1 <=> ab=ba \blue\ <== Wenn wiederrum alle Kommutatoren komm(a,b)=1 sind, dann kann das Erzeugnis aller dieser Kommutatoren auch nur {1} sein. \blue\ q.e.d. Immer noch nicht ganz überzeugt? makro(faktor,%1\.\/%2) makro(komm,gauss(%1\,%2)) makro(erz,\<\.%{*}\.\>) Nun denn... Betrachten wir eine Gruppe G und die Kommutatorgruppe G':=komm(G,G). Wenn f:G\to\ H nun ein Gruppenhomomorphismus ist, so gilt ja offensichtlich f(aba^(-1)\.b^(-1))=f(a)f(b)f(a)^(-1)\.f(b)^(-1) und daher f(komm(G,G))=f(erz(komm(g,h) \| g,h\in\ G)) =erz(f(komm(g,h)) \| g,h\in\ G) =erz(komm(f(g),f(h)) \| g,h\in\ G) =komm(f(G),f(G)) Insbesondere ist f([G,G])=[f(G),f(G)]\subseteq [G,G] für einen Endomorphismus f:G\to G. Das heißt also, dass G' eine voll charakteristische Untergruppe von G und damit insbesondere ein Normalteiler von G ist. Was liegt bei Normalteilern näher als ihre Faktorgruppe zu betrachten? Schauen wir uns also faktor(G,G') an. Da in einer solchen Gruppe für alle g,h\in\ G gilt: ghg^(-1)\.h^(-1)\.G'=G' ist vor allem ghG'=hgG', womit faktor(G,G') insbesondere abelsch wird. Man kann es sogar noch weiterfassen, denn eine Faktorgruppe faktor(G,N) ist genau dann abelsch, wenn komm(G,G)\subseteq\ N ist, wegen der Beziehung komm(g,h)N=ghg^(-1)\.h^(-1)\.N=N, die in diesen Gruppen ja gelten muss. Wir halten fest: \darkred\ Sei N<|G. Dann ist G\/N abelsch <=> [G,G]\subseteq\ N.

 
Die Kommutator-Reihe

makro(faktor,%1\.\/%2) makro(komm,gauss(%1\,%2)) makro(erz,\<\.%{*}\.\>) "Moment!" wird der ein oder andere jetzt denken, "abelsche Faktorgruppen? Da war doch etwas..." Ja, ganz richtig gedacht: Abelsche Faktorgruppen in einer Subnormalreihe sind essentiell dafür, dass eine Gruppe auflösbar ist. Wir können mit der Kommutatorgruppe immer eine ablesche Faktorgruppe erreichen. Was liegt also näher, als unsere eben gewonnenen Erkenntnisse anzuwenden und eine Kette von Kommutatorgruppen zu definieren: Die so genannten \darkblue\ array(höheren Kommutatorgruppen)__\black einer Gruppe G sind rekursiv definiert durch: G^(0):= G G^((n+1)):= (G^(n))' Jetzt ist die Folge G=G^(0)|>G^(1)|>G^(2)|>... Eine Folge von Subnormalteilern \(in der Tat eine Folge von Normalteilern, da alle G^(i) charakteristisch in G sind\). Sie ist genau dann eine Subnormalreihe nach unserer obigen Definition, wenn die Folge bei 1 stationär wird, d.h. wenn es ein k\in\IN gibt mit 1=G^(k)=G^((k+1))=... Insbesondere sind in einem solchen Falle also alle Faktoren abelsch, wie wir gesehen haben, so dass G in diesem Falle also auflösbar wäre. Man kann sogar noch einen Schritt weitergehen und sagen: \darkred\ Eine Gruppe G ist auflösbar <=> \exists k\in\IN: G^(k)={1} In der Tat wird nicht selten Auflösbarkeit über diese Kommutatorreihe definiert. Das kleinste k, für das G^(k)={1} gilt, wird auch Auflösbarkeitsstufe von \IG genannt. Offensichtlich haben abelsche Gruppen die Auflösbarkeitsstufe 1 oder 0 (wobei 0 genau für die triviale Gruppe eintritt). Gruppen der Auflösbarkeitsstufe 2 (z.B. S_3) werden auch metabelsch genannt. makro(faktor,%1\.\/%2) makro(komm,gauss(%1\,%2)) makro(erz,\<\.%{*}\.\>) \blue\ Beweis: \blue\ => Da G auflösbar ist, existiert eine Subnormalreihe G=N_0|>N_1|>...|>N_n={1} mit abelschen Faktoren. Es reicht zu zeigen, dass in einem solchen Fall G^(i)\subseteq\ N_i ist, denn dann wäre G^(n)={1}. Wir machen das am besten induktiv. Ein Induktionsanfang drängt sich mit \IG^(0)=\IG=\IN_0 praktisch auf. Der Induktionsschritt ist auch nicht so schwer, denn nach Induktionsvorraussetzung ist G^(i)\subseteq\ N_i, so dass auch G^((i+1))=komm(G^(i),G^(i))\subseteq\ komm(N_i,N_i) ist. Da vor allem die Faktorgruppe faktor(N_i,N_(i+1)) abelsch ist \(das ist ja unsere Voraussetzung an die Subnormalreihe\), ist komm(N_i,N_i) in N_(i+1) enthalten, wie wir oben festgestellt haben. So gilt also G^((i+1))\subseteq komm(N_i,N_i)\subseteq\ N_(i+1), womit wir insgesamt \forall\ i\in\IN: G^(i)\subseteq\ N_i bewiesen haben. \blue\ <== Die Rückrichtung gestaltet sich viel einfacher, denn wir wissen ja bereits, dass die Faktorgruppen faktor(G^(i),G^((i+1))) immer abelsch sind und G deshalb auflösbar ist, da die Kommutatorreihe bei {1} endet. \blue\ q.e.d. \big\ Ein Beispiel: Betrachten wir wieder unsere liebgewonnene Gruppe S_4. Dort ist die Kommutatorreihe folgende: S_4=S_4^(0) $ |> $ A_4=S_4^(1) $ |> $ V_4=S_4^(2) $ |> $ {1}=S_4^(3)

 
Nützliches für Gruppentherapeuten

Zum Schluss wollen wir noch schnell ein paar Sätze beweisen, die man für das Arbeiten mit auflösbaren Gruppen immer wieder brauchen wird. makro(faktor,%1\.\/%2) makro(komm,gauss(%1\,%2)) makro(erz,\<\.%{*}\.\>) \darkred\ll(1)Ist U<=G, so ist U^(i)<=G^(i). \blue\ Beweis: Das ist wirklich trivial (und wir haben es auch oben schon benutzt): Da U\subseteq\ G ist menge(komm(u_1,u_2) | u_1, u_2\in\ U)\subseteq menge(komm(g_1,g_2) | g_1, g_2\in\ G), weshalb komm(U,U)=erz(komm(u_1,u_2) \| u_1, u_2\in\ U)<=erz(komm(g_1,g_2) \| g_1, g_2\in\ G)=komm(G,G) ist. Induktiv folgt die allgemeine Aussage. \darkred\ll(2)\forall\ i,j\in\IN: (G^(i))^(j)=G^((i+j)) An diesen\blue Beweis\black kommt man auch recht einfach dran: Für j=0 ist das klar, denn wir hatten den Kommutator 0-ter Stufe als mit der Gruppe identisch definiert, also haben wir den Induktionsanfang (G^(i))^(0)=G^((i+0)). Der Induktionsschritt ist einfach: (G^(i))^((j+1))=komm((G^(i))^(j),(G^(i))^(j))=komm(G^((i+j)),G^((i+j)))=G^((i+j+1)) makro(faktor,%1\.\/%2) makro(komm,gauss(%1\,%2)) makro(erz,\<\.%{*}\.\>) \darkred\ll(3)Sei N<|G. Dann gilt: \darkred\ll()\forall\ i\in\IN: faktor(G,N)^(i)=faktor(G^(i)\.N,N) Der\blue Beweis\black ist hier eine schnell gemachte Umformung: Mit faktor(G,N)^(0)=faktor(G,N)=faktor(GN,N)=faktor(G^(0)\.N,N) haben wir einen Induktionsanfang gefunden. Außerdem können wir feststellen, dass gilt: faktor(G,N)^((i+1))=komm(faktor(G,N)^(i),faktor(G,N)^(i)) =komm(faktor(G^(i)\.N,N),faktor(G^(i)\.N,N)) =erz(komm(gN,hN) \| g,h\in\ G^(i)\.N) =erz(komm(gN,hN) \| g,h\in\ G^(i)) =erz(komm(g,h)N \| g,h\in\ G^(i)) =faktor(\IG^((i+1))\.N,N) makro(faktor,%1\.\/%2) makro(komm,gauss(%1\,%2)) makro(erz,\<\.%{*}\.\>) \darkred\ll(4) Ist N<|G, so ist G auslösbar <=> faktor(G,N) und N sind auflösbar. Hier kann man mit dem\blue Beweis\black auf \ref(3) aufbauen: \blue\ => Das ist trivial, denn für G^(i)={1} gilt natürlich auch N^(i)=1 und faktor(G,N)^(i)=faktor(G^(i)N,N)=faktor(1N,N)~={1} \blue\ <== Die andere Richtung ist auch machbar, denn wenn faktor(\IG,\IN) und \IN auflösbar sein sollen, gibt es ein i und ein j mit faktor(G,N)^(i)=faktor(N,N) und N^(j)={1}. Wegen ersterem gilt insbesondere faktor(G,N)^(i)=faktor(G^(i)\.N,N)=faktor(N,N), also insbesondere G^(i)\.N\subseteq\ N => G^(i)\subseteq\ N. Zusammen mit N^(j)=1 können wir sagen, dass G^((i+j))=(G^(i))^(j)\subseteq\ N^(j)={1} ist, \IG also auflösbar höchstens mit der Auflösbarkeitsstufe i+j. Wir können also sagen \blue\ Viermal q.e.d. Gerade letzteres wird oft für Beweise verwendet, das es sich damit geradezu aufdrängt, eine Induktion über die Ordnung durchzuführen. Wenn man zeigen möchte, dass ein bestimmter Typ von Gruppen auflösbar ist (üblich sind z.B. die Vorgabe bestimmter Arten von Primfaktorzerlegungen der Gruppenordnung), dann kann man das dadurch tun, dass man annimmt, alle Gruppen dieses Typs mit einer Ordnung

 
Nilpotente und p-Gruppen

makro(faktor,%1\.\/%2) Wir wissen aus vorgehenden Teilen des Gruppenzwangs bereits, dass durch Z(G):=menge(g\in\ G | \forall\ h\in\ G: gh=hg) ein Normalteiler von G definiert wird, der "Zentrum von G" genannt wird. Eine besonderes interessante Sicht darauf hat man, wenn man die Faktorgruppe faktor(G,Z(G)) betrachtet. Denn diese hat auch wieder ein Zentrum. Aufgrund des zweiten Isomorphiesatzes können wir vor allem dann schlussfolgern, dass Z(faktor(G,Z(G))) zu einer Untergruppe U \(genauer gesagt einem Normalteiler\) von G gehört, die Z(G) enthält und faktor(U,Z(G))=Z(faktor(G,Z(G))) erfüllt. Und weil U wieder ein Normalteiler ist kann man das Spiel natürlich fortsetzen und auch hier wieder den Normalteiler suchen, der die Entsprechung zu Z(faktor(G,U)) ist. Das ganze führt uns schließlich und endlich zu folgender Rekursiven Definition: Die \darkblue\ array(aufsteigende Zentralreihe)__\black der Gruppe G ist definiert durch: Z_0:={1} faktor(Z_(n+1),Z_n)=Z(faktor(G,Z_n)) Oft wird auch die Gruppe dazugeschrieben, auf die man sich bezieht. Man schreibt also Z_n(G), wenn man das auf die Gruppe G bezieht. Wir sehen natürlich, dass dann Z_1(G) das Zentrum der Gruppe ist und Z_2(G) unserer Gruppe U von oben entspricht. Da das insbesondere Normalteiler sind, drängt es sich natürlich geradezu auf, daraus eine Normalreihe zu bilden: G|>....|>Z_k|>Z_(k-1)|>...|>Z_1|>Z_0={1} Besonders interessant sind für uns diejenigen Gruppen, bei denen für ein k\in\IN der Fall G=Z_k(G) eintritt. Solche Gruppen werden auch \darkblue\ nilpotent__\black genannt. Die kleinste natürliche Zahl k mit Z_k(G)=G wird auch \darkblue\ array(Nilpotenz\-Klasse von G)__\black genannt. Und wie bereits oben gesagt, sind nilpotente Gruppen ein Spezialfall von auflösbaren Gruppen. Jede nilpotente Gruppe ist insbesondere auch auflösbar. Das sieht man sehr einfach, wenn man sich klarmacht, dass in der Reihe G=Z_k|>Z_(k-1)|>...|>Z_1|>{1} Die Faktoren immer per definitionem das Zentrum einer Gruppe sind und daher garantiert auch immer abelsch. Alleine mit diesem Wissen können wir wunderbar einen sehr wichtigen Satz beweisen: makro(faktor,%1\.\/%2) \darkred\ Endliche p-Gruppen sind nilpotent. \blue\ Beweis: Es ist also abs(G)=p^k für ein p\el\IP und ein k\el\IN. Aus dem letzten Teil des Gruppenzwangs kennen wir bereits den Satz, dass jede p-Gruppe ein nichttriviales Zentrum hat.M ehr brauchen wir nicht, denn angenommen n\in\I$ wäre ein Index, für den Z_n=Z_(n+1)=...!=G gilt. Dann Ist G\/Z_n eine nichttriviale, endliche p\-Gruppe, d.h. sie hat ein nichttriviales Zentrum. Andererseits ist Z(G\/Z_n)=Z_(n+1)\/Z_n=1 nach Annahme. Das ist ein Widerspruch, also kann sich die Zentralreihe nicht unterhalb von G stabilisieren. Sie muss sich aber stabilisieren, weil G ja endlich ist. Also muss das Ende der Fahnenstange bei G selbst liegen. \blue\ q.e.d. Das heißt vor allem natürlich, dass Gruppen mit der Kardinalität pk auch auflösbar sind. Mit etwas mehr Aufwand kann man auch beweisen, dass Gruppen mit der Kardinalität pkq für zwei Primzahlen p und q auflösbar sind (was schon mal Hier im Forum ausführlich bewiesen wurde). Mit Hilfe der so genannten Darstellungstheorie kann man dann auch noch den Satz von Burnside beweisen, der besagt, dass sogar jede Gruppe der Kardinalität paqb auflösbar ist. (Es gibt auch einen anderen Satz der "Satz von Burnside" genannt wird. Dieser behandelt verschiedene Äquivalenzen für nilpotente Gruppen, siehe dazu Hier im Forum oder in diesem Artikel) Darstellungstheorie wird auch im (sehr schweren) Satz verwendet, dass sogar jede Gruppe ungerader Ordnung auflösbar ist. Dieser Satz wurde 1963 von J.Thompson und W.Feit auf 254 Seiten bewiesen. Während der paqb-Satz von Burnside auch einen (etwas umständlichen) gruppentheoretischen Beweis hat, ist für den Satz von Feit-Thompson bisher nur der darstellungstheoretische Beweis bekannt.

 
Abschluss

So, ich hoffe ich habe euch einen kurzen Einstieg in die Theorie der Subnormal-, Normal- und Zentralreihen gegeben Wie gesagt, spielt die Auflösbarkeit und die Nilpotenz von Gruppen in der Algebra eine sehr wichtige Rolle. Mit den hier (hoffentlich) erworbenen Wissen hat man aber einen Einstieg in die Vielzahl der Theoreme, die sich da vor einem auftun. Wer Spaß an Algebra hat, dem sei dieses Gebiet auf jeden Fall empfohlen, es bietet sehr viel Interessantes So das war's erstmal von mir. Bis zum nächsten Teil des Gruppenzwangs. mfg=\IG|>\IO|>\IC|>\IK|>\IE|>\IL={1}

 
Die Gruppenzwang-Reihe

Teil 1: Wir rechnen mit allem Teil 2: Anonyme Mathematiker bieten Gruppentherapie an Teil 3: Sensation: Homo Morphismus ist ein Gruppentier Teil 4: Gruppencamper brauchen Iso(morphie)matten Teil 5: Dr.Cauchy und Dr.Sylow bitte zur GruppenOP Teil 6: Randale: Gruppendemo musste aufgelöst werden Teil 7: Gruppen sind immer noch top! Teil 8: Konvois auf der A20: Autos nur noch in Gruppen unterwegs Teil 9: Unfall im Genlabor: (Per)mutationen in der Bevölkerung Teil 10: Jäger der verlorenen Gruppe - Special Xtended Version Teil 11: Der Gruppentheorie-Adventskranz Teil 12: Wegen guter Führung entlassen: Gruppen sind frei Teil 13: Amnestie: Auch Untergruppen frei

 
Dieser Artikel ist enthalten in unserem Buch
Mathematisch für fortgeschrittene Anfänger
Mathematisch für fortgeschrittene Anfänger

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: Algebra :: Gruppentheorie :: Reine Mathematik :: Mathematik :
Gruppenzwang VI: Gruppendemo musste aufgelöst werden [von Gockel]  
Subnormalreihen und Ausflösbarkeit werden hier besprochen
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"Mathematik: Randale: Gruppendemo musste aufgelöst werden" | 13 Comments
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Re: Randale: Gruppendemo musste aufgelöst werden
von: Martin_Infinite am: Sa. 19. Februar 2005 22:29:33
\(\begingroup\)Hi Gockel, (schon wieder) ein sehr interessanter und schön geschriebener Artikel! Und der Titel zeugt auch wieder von ultra-lustig-kreativem :) Ich möchte noch inhaltlich ein wenig zum Thema beitragen :D ------------------------------------------------------------- Eine beliebte Übungsaufgabe ist, dass alle Gruppen der Ordnung < 60 auflösbar sind. Der Beweis findet sich hier. Eine nicht-auflösbare Gruppe der Ordnung 60 ist zB A5. Dieser Thread war damals der Höhepunkt meiner Beschäftigung mit auflösbaren Gruppen, und zugleich der mathematische Höhepunkt überhaupt, weil am nächsten Tag wieder die Schule losging :( Gockel, das war so ein Mega-Chat an dem Tag! Gruppen-OP mit Dr. Sylow, Dr.Ad.Ven, Irrlicht und einem Azubi :D In dem Link werden drei Gruppen-Therapien vorgestellt: 1. Dr. Sylow rufen. 2. Elemente der Sylowgruppen abzählen, um evtl. Widerspruch zu erhalten 3. G/N und N auflösbar -> G auflösbar (das hast du oben ja bewiesen) Du hast mir ja noch eine 4. erzählt: 4. Wenn es genau n p-Sylowgruppen gibt und G einfach ist, so ist |G| ein Teiler von n!. Dafür betrachte lasse man G auf den p-Sylowgruppen durch Konjugation operieren und betrachte den entstehenden Homomorphismus G -> Sn. Wie sieht wohl sein Kern aus? Bei der Auflösbarkeit von Sn hat man ja gesehen, dass die Einfachheit für die Auflösbarkeit interessant sein kann. ------------------------------------------------------------- Du hast geschrieben, dass (S4)'=A4 ist. Das gilt auch allgemein: Für \p,\s \in S_n ist sgn(\p \s \p^(-1) \s^(-1)) = sgn(\p) sgn(\s) sgn(\p)^(-1) sgn(\s)^(-1) = 1. Daher ist (S_n)' \subseteq A_n. Für (S_n)'=menge(1) wäre S_n abelsch, also n<=2. Dafür ist A_n=menge(1) aber klar. Ansonsten ist (S_n)' ein nichttrivialer Normalteiler von S_n. Aus der Theorie der transitiven und primitiven Gruppenwirkungen folgt der Satz, dass für n != 4 A_n in jedem nichttrivialen Normalteiler von S_n liegt. Für n != 4 sind wir also fertig. Für n = 4 hat S_4 die nichttrivialen Normalteiler A_4 und V_4. Wegen (2 3 4)(1 2)(2 3 4)^(-1) (1 2)^(-1)= (1 2 4) kommt aber V_4 nicht als Kommutatorgruppe in Frage, es muss also A_4 sein. array( ) \big\darkgreen(S_n)' = A_n ------------------------------------------------------------- \stress\1.\normal Es gilt (G \cross H)^(i) = G^(i) \cross H^(i). Daher ist G \cross H auflösbar, wenn G und H auflösbar sind. \stress\2.\normal Sind M,N normal in Gruppe G und sind G\/M, G\/N auflösbar\/nilpotent, so ist G\/(M \cut N) auflösbar\/nilpotent. Denn man kann G\/(M \cut N) in G\/M \cross G\/N nach dem Homomorphiesatz mit G -> G\/M \cross G\/N , g -> (gM,gN) einbetten. \stress\3.\normal Eine endliche Gruppe ist genau dann auflösbar, wenn jedes von {1} verschiedene epimorphe Bild davon einen von {1} verschiedenen abelschen Normalteiler hat. Daraus ergibt sich ja, dass A_n und damit S_n für n>=5 nicht auflösbar sind. \stress\4.\normal Sind M, N Normalteiler einer Gruppe G und M, N auflösbar, so ist MN auflösbarer Normalteiler von G. Wegen (MN)\/N ~= M\/(M \cut N) ist nämlich (MN)\/N auflösbar, mit N also auch MN. \stress\5.\normal Beispiele für auflösbare, jedoch nicht nilpotente Gruppen, sind S_3 , A_4 und S_4. Die Kommutatorreihen lauten nämlich S_3 , A_3 , menge(1) S_4 , A_4 , V_4 , menge(1) sodass die drei Gruppen auflösbar sind. Nun ist eine Gruppe genau dann nilpotent, wenn Elemente mit teilerfremnden Ordnungen kommutieren. Es gilt aber (1 3)(1 2 3)=(2 3) != (1 2)=(1 2 3)(1 3) obwohl o(1 3)=2 und o(1 2 3)=3 teilerfremd sind, sodass S_3 nicht nilpotent ist. A_4 ist es auch nicht, denn o((1 2)(3 4))=2 und o(1 2 3)=3 sind teilerfremd, obwohl (1 2)(3 4) (1 2 3) = (1 3 4) != (2 4 3) = (1 2 3) (1 2)(3 4) gilt. Mit A_4 ist dann S_4 auch nicht nilpotent. \stress\6.\normal Meine Lieblings-Übungsaufgabe zum Thema: Sei K ein Körper und G die Gruppe der Abbildungen x->ax+b mit a,b \in K und a!=0. Schon in der Schule löst man lineare Gleichungen auf. Jetzt löse G auf!#:D (Tipp: Kommutatorreihe ermitteln) ------------------------------------------------------------- Noch etwas zu den Reihen. Hier geht es um die absteigende Zentralreihe der Diedergruppe. Hier ging es um den Zusammenhang zwischen der ab- un der aufsteigenden Zentralreihe. Die Definitionen finden sich auch da. So Gockel, ich glaube, jetzt haben wir hier das ganze MP-Wissen zum Thema zusammengefasst 😉 Ungeklärte Fragen zum Thema finden sich hier, Gruß Martin\(\endgroup\)
 

Re: Randale: Gruppendemo musste aufgelöst werden
von: Gockel am: So. 20. Februar 2005 00:27:13
\(\begingroup\)Hi Maddin. Danke für das Lob und die umfangreiche Datensammlung. Da kann ich seit eben auch ein bissel was zu steuern, da ich nun einen Beweis dafür habe, dass Gruppen der Ordnung pqr (mit p,q,r prim) auflösbar sind: Vorrausetzung dafür sind die Sätze, dass p-Gruppen und Gruppen der Kardinalität pnq auflösbar sind, sowie der Satz, dass eine Gruppe genau dann auflösbar ist, wenn eine Faktorgruppe auflösbar ist. \darkred\ Ist abs(\IG)=pqr mit p,q,r\el\IP, dann ist \IG auflösbar. \blue\ Beweis: Dazu müssen wir nur zeigen, dass diese Gruppen einen nicht-trivialen Normalteiler besitzen, denn da dieser die Kardinalität p,q,r,pq,qr oder pr besitzen würde, wären sowohl er als auch seine Faktorgruppe auflösbar, womit auch \IG auflösbar ist (siehe oben). Wir können o.B.d.A sagen, dass p= (p-1)r+(q-1)r+(r-1)pq+1 > (p-1)q+(q-1)r+(r-1)pq+1 > -q+(q-1)r+pqr => pqr>-q+(q-1)r+pqr => 0>-q+(q-1)r => q>(q-1)r was aber unmöglich ist, da wir q\(\endgroup\)
 

Re: Randale: Gruppendemo musste aufgelöst werden
von: Martin_Infinite am: So. 20. Februar 2005 01:24:43
\(\begingroup\)Hi Gockel, schöner Beweis! Da kommen alle Wege zusammen :) Dass für z(p) nicht q in Frage kommt, gilt doch auch allgemeiner, und zwar dass z gar keine primen Werte haben kann. Dann ist z(p)=qr, z(q)=pr, z(r)=pq und damit pqr = abs(G) = (p-1)qr + (q-1)pr + (r-1)pq + 1 = 3pqr - pr - pq - qr + 1 > 3pqr - qr - rq - qr = 3pqr - 3qr => p > 3p-3 => 3/2 > p \big\red\blitz Gruß Martin\(\endgroup\)
 

Re: Randale: Gruppendemo musste aufgelöst werden
von: Martin_Infinite am: So. 20. Februar 2005 04:20:31
\(\begingroup\)Ich habe mir mal die Gruppenordnungen <= 150 vorgenommen. Fast alle sind auflösbar. Für 60 kommt A5 als nicht-auflösbare Gruppe in Frage. Ansonsten sind mit den Sätzen, dass Gruppen der Ordnung pkq und pqr mit Primzahlen p,q,r auflösbar sind, nur noch die folgenden Ordnungen kritisch: 72 = 2·2·2·3·3 84 = 2·2·3·7 90 = 2·3·3·5 100 = 2·2·5·5 108 = 2·2·3·3·3 120 = 2·2·2·3·5 126 = 2·3·3·7 132 = 2·2·3·11 140 = 2·2·5·7 144 = 2·2·2·2·3·3 150 = 2·3·5·5 Welche sind auflösbar, welche nicht? [ohne Verwendung des Satzes von Burnside]\(\endgroup\)
 

Re: Randale: Gruppendemo musste aufgelöst werden
von: Gockel am: So. 20. Februar 2005 15:03:49
\(\begingroup\)Hi Maddin. Wie kommst du drauf, dass die Primzahlfälle auch ausgeschlossen werden können? 72 besitzt wegen dem Trick mit der OP auf den 3-Sylowgruppen schonmal einen Normalteiler mit mindestens 3 Elementen. Einziger noch nicht durch pnq und pqr abgedeckter Fall wäre |N|=2232=36. Man kann aber durch Abzählen der Elemente zeigen, dass auch dieser auflösbar ist. Also ist N auflösbar G/N auch => G auflösbar. 84 ist auflösbar, weil die 7-Sylowgruppe normal ist. 90 ist noch kritisch, weil ich z(3)=10 und z(5)=6 nicht ausschließen kann. 100 ist auflösbar, weil die 5-Sylowgruppe normal ist. 108 hat wegen der OP auf den 3-Sylowgruppen einen Normalteiler mit |N|>=3. Der einzige Fall ist hier wie oben wieder 2232. Alle andern fallen unter pqr oder pnq. Damit werden N und G/N auflösbar. 120 ist wegen S5 nicht allgemein auflösbar. 126 ist auflösbar, weil die 7-Sylowgruppe normal ist. 132 hat ebenfalls wegen der OP auf den 3-Sylowgruppen einen Normalteiler mit |N|>=11. Hier gibt es keine kritischen Fälle. Alles pq oder pqr. 140 ist auflösbar, weil die 7-Sylowgruppe normal ist. 144 ist noch kritisch, weil z(3)=16 und z(2)=9 irgendwie nicht so richtig ausgeschlossen werden kann. 150 hat wegen der OP auf den 5-Sylowgruppen einen Homomorphismus nach S6. Der entsprechende Kern muss |N|>=5 erfüllen. Alle Fälle sind pq oder pqr. Also ist 150 auch auflösbar. Okay, bleiben noch zwei kritische... mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

Re: Randale: Gruppendemo musste aufgelöst werden
von: Martin_Infinite am: So. 20. Februar 2005 15:17:06
\(\begingroup\)Hi Gockel, ich wollte eben auch anfangen, einen solchen Kommentar zu schreiben :D Was mir nicht so klar ist: 132. Wenn wir Triviales ausschließen, gibt es 12 11-Sylowgruppen. Jetzt bringt aber die OP nix, weil 12! von 132 geteilt wird. Gruß Martin\(\endgroup\)
 

Re: Randale: Gruppendemo musste aufgelöst werden
von: Gockel am: So. 20. Februar 2005 15:20:14
\(\begingroup\)Hi Maddin. Ich sagte, dass wir auf den 3-Sylowgruppen operieren und davon (vom Trivialfall abgesehen) 4 Stück. Jetzt haben wir einen Homomorphismus nach S4 und 4! wird ganz eindeutig nicht von 132 geteilt. mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

Re: Randale: Gruppendemo musste aufgelöst werden
von: Martin_Infinite am: So. 20. Februar 2005 15:23:09
\(\begingroup\)Hi Gockel, okay, wer lesen kann, ist klar im Vorteil :( Aber warum sollte es nicht 22 3-Sylows geben? GAP gibt dir da auch Recht: gap> SmallGroupsInformation(132); There are 10 groups of order 132. They are sorted by their Frattini factors. 1 has Frattini factor [ 66, 1 ]. 2 has Frattini factor [ 66, 2 ]. 3 has Frattini factor [ 66, 3 ]. 4 has Frattini factor [ 66, 4 ]. 5 - 10 have trivial Frattini subgroup. For the selection functions the values of the following attributes are precomputed and stored: IsAbelian, IsNilpotentGroup, IsSupersolvableGroup, IsSolvableGroup, LGLength, FrattinifactorSize and FrattinifactorId. This size belongs to layer 2 of the SmallGroups library. IdSmallGroup is available for this size. gap> S:=i->IsSolvable(SmallGroup(132,i)); function( i ) ... end gap> S(1); true gap> S(2); true gap> S(3); true gap> S(4); true gap> S(5); true gap> S(6); true gap> S(7); true gap> S(8); true gap> S(9); true gap> S(10); true gap> Noch zu deinem pqr-Beweis: pqr teilt weder p!, noch q!, noch r!. Gruß Martin\(\endgroup\)
 

Re: Randale: Gruppendemo musste aufgelöst werden
von: Gockel am: So. 20. Februar 2005 15:29:10
\(\begingroup\)Hi Maddin. pqr teilt sehr wohl r!, denn aufgrund p<q<r stecken p und q als Faktoren in r! mit drin. Du hast aber recht, dass es weder p! noch q! teilt. mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

Re: Randale: Gruppendemo musste aufgelöst werden
von: Martin_Infinite am: So. 20. Februar 2005 15:47:33
\(\begingroup\)Okay, ich gebe mich geschlagen *g* Gruppen der Ordnung 90 oder 144 sind wohl auflösbar: \sourceon gap> SmallGroupsInformation(90); There are 10 groups of order 90. They are sorted by their Frattini factors. 1 has Frattini factor [ 30, 1 ]. 2 has Frattini factor [ 30, 2 ]. 3 has Frattini factor [ 30, 3 ]. 4 has Frattini factor [ 30, 4 ]. 5 - 10 have trivial Frattini subgroup. For the selection functions the values of the following attributes are precomputed and stored: IsAbelian, IsNilpotentGroup, IsSupersolvableGroup, IsSolvableGroup, LGLength, FrattinifactorSize and FrattinifactorId. This size belongs to layer 2 of the SmallGroups library. IdSmallGroup is available for this size. gap> i:=1; 1 gap> while i<10 and IsSolvable(SmallGroup(90,i)) do > i:=i+1; > od; gap> i; 10 gap> SmallGroupsInformation(144); There are 197 groups of order 144. They are sorted by their Frattini factors. 1 has Frattini factor [ 6, 1 ]. 2 has Frattini factor [ 6, 2 ]. 3 has Frattini factor [ 12, 3 ]. 4 - 19 have Frattini factor [ 12, 4 ]. 20 - 27 have Frattini factor [ 12, 5 ]. 28 has Frattini factor [ 18, 3 ]. 29 has Frattini factor [ 18, 4 ]. 30 has Frattini factor [ 18, 5 ]. 31 - 33 have Frattini factor [ 24, 12 ]. 34 - 36 have Frattini factor [ 24, 13 ]. 37 - 46 have Frattini factor [ 24, 14 ]. 47 - 50 have Frattini factor [ 24, 15 ]. 51 has Frattini factor [ 36, 9 ]. 52 - 67 have Frattini factor [ 36, 10 ]. 68 has Frattini factor [ 36, 11 ]. 69 - 84 have Frattini factor [ 36, 12 ]. 85 - 100 have Frattini factor [ 36, 13 ]. 101 - 108 have Frattini factor [ 36, 14 ]. 109 has Frattini factor [ 48, 48 ]. 110 has Frattini factor [ 48, 49 ]. 111 has Frattini factor [ 48, 50 ]. 112 has Frattini factor [ 48, 51 ]. 113 has Frattini factor [ 48, 52 ]. 114 has Frattini factor [ 72, 39 ]. 115 - 119 have Frattini factor [ 72, 40 ]. 120 has Frattini factor [ 72, 41 ]. 121 - 123 have Frattini factor [ 72, 42 ]. 124 - 126 have Frattini factor [ 72, 43 ]. 127 - 129 have Frattini factor [ 72, 44 ]. 130 - 136 have Frattini factor [ 72, 45 ]. 137 - 154 have Frattini factor [ 72, 46 ]. 155 - 157 have Frattini factor [ 72, 47 ]. 158 - 167 have Frattini factor [ 72, 48 ]. 168 - 177 have Frattini factor [ 72, 49 ]. 178 - 181 have Frattini factor [ 72, 50 ]. 182 - 197 have trivial Frattini subgroup. For the selection functions the values of the following attributes are precomputed and stored: IsAbelian, IsNilpotentGroup, IsSupersolvableGroup, IsSolvableGroup, LGLength, FrattinifactorSize and FrattinifactorId. This size belongs to layer 2 of the SmallGroups library. IdSmallGroup is available for this size. gap> i:=1; 1 gap> while i<144 and IsSolvable(SmallGroup(144,i)) do > i:=i+1; > od; gap> i; 144 gap> \sourceoff\(\endgroup\)
 

Re: Randale: Gruppendemo musste aufgelöst werden
von: Gockel am: So. 20. Februar 2005 19:51:21
\(\begingroup\)Hi Gruppen-Freaks! Einen hab ich noch. Ist abs(\IG)=90=2*3^2*5, so ist (wenn man triviale Fälle ausschließt) z(2)\el{3,9,15,45} z(3)=10 z(5)=6 Den Fall z(2)=3 können wir wieder streichen, da wir durch OP auf den 2-Sylowgruppen einen Normalteiler konstruieren könnten. Widmen wir uns den 3-Sylowgruppen. Nach \ref(Sylow 3) gilt für jede dieser Gruppen abs(\IG : \calN(\IP))=10, also \calN(\IP)=abs(\IG)/10=9. Also ist insbesondere \calN(\IP)=\IP für jede 3-Sylowgruppe \IP. Jetzt können 2 Fälle denkbar sein: Alle 3-Sylowgruppen haben trivialen Schnitt oder mindestens zwei haben nicht-trivialen Schnitt. 1.Fall: Hier können wir uns durch Abzählen der Elemente einen Widerspruch erzeugen, denn es gäbe dann mindestens 10*(3^2-1)+6*(5-1)+9*(2-1)+1 = 114 > 90 Elemente. 2.Fall: Es gibt also \IA,\IB\el Syl_3 mit \IA!=\IB und \IA\cut\IB=\ID!={1}. Es ist dann abs(\ID)=3. Da sowohl \IA als auch \IB abelsch sind, liegen beide Gruppen im Normalisator von \ID. Damit hat dieser wiederum mindestens abs(\IA\union\IB)=9+9-3 Elemente. Anhand des Satzes von Lagrange kommen also für abs(\calN(\ID)) nur 18,45 und 90 in Frage. 90 hieße, dass \ID bereits der gesuchte Normalteiler wäre. 45 hieße, dass \IG|>\calN(\ID)|>\ID|>={1} eine Subnormalreihe mit abelschen Faktoren ist und \IG auflösbar ist. 18 ist unmöglich, da hier \IA und \IB den Index zwei hätten und deshalb normal in \calN(\ID) wären. Wir hatten aber bereits festgestellt, dass \calN(\IA)=\IA und \calN(\IB)=\IB ist. Somit sind Gruppen der Kardinalität 90 immer auflösbar. mfg Gockel. P.S.: Der Fall abs(\calN(\ID))=45 ist übrigens auch unmöglich, da \IA und \IB ja in \calN(\ID) enthalten sein sollen. Nach Sylow hat eine Gruppe mit 45 Elementen aber nur eine einzige 3-Sylowgruppe, also wären \IA und \IB gleich, was ein Widerspruch zur Vorraussetzung ist. \(\endgroup\)
 

Re: Randale: Gruppendemo musste aufgelöst werden
von: Martin_Infinite am: Mo. 21. Februar 2005 01:00:58
\(\begingroup\) Hi Gockel, zu diesem Beweis muss ich ja nach dem Chat nix mehr sagen#O.o Ich bin mal die nächsten 50 Ordnungen durchgegangen. Genau die folgenden sind nicht von der Form p^n q oder pqr mit Primzahlen p,q,r: \sky\156 = 2*2*3*13. Es gibt genau eine 13-Sylowgruppe. Sie ist also normal, mit der Ordnung 13 auflösbar, ebenso ihre Faktorgruppe mit der Ordnung 2*2*3. Also ist 156 auflösbar. \light\168 = 2*2*2*3*7. PSL(2,7) ist eine nicht-auflösbare Gruppe dieser Ordnung. \light\180 = 2*2*3*3*5 \IZ_3 \cross A_5 ist eine nicht-auflösbare Gruppe dieser Ordnung, denn sie besitzt zu A_5 isomorphe und damit nicht-auflösbare Untergruppe menge(0) \cross A_5 So, jetzt werde ich mich kürzer fassen#*g* \sky\196 = 2*2*7*7 Es gibt genau eine 7-Sylowgruppe => auflösbar \sky\198 = 2*3*3*11 Es gibt genau eine 11-Sylowgruppe => auflösbar \sky\200 = 2*2*2*5*5 Es gibt genau eine 5-Sylowgruppe => auflösbar Man muss immer schauen, dass weder Normalteiler noch Faktorgruppe die nicht-auflösbareen Ordnungen 60,120,180 haben; ansonsten geht es ja so kurz. Nachdem nun 60,120,180 nicht auflösbar sind, was für eine Vermutung bekommen wir da wohl? Gruß Martin PS: Die 144 haste ja auch bald geschafft :)\(\endgroup\)
 

Re: Randale: Gruppendemo musste aufgelöst werden
von: Martin_Infinite am: Mo. 21. Februar 2005 11:27:54
\(\begingroup\)Hi, Eigentlich führen wir gerade ständig Beweise dafür, dass die Gruppen kompliziert, äähm nicht einfach \;) sind. Dass sie dann auflösbar sind, folgt daraus, dass die nichttrivialen Teiler auflösbar sind. Also zeigen wir, dass Gruppen der Ordnung 144 stets einen nichttrivialen echten Normalteiler haben: 144=2^4 3^2 => abs(Syl_3) \in menge(1,4,16). Für abs(Syl_3)=1 können wir die damit einzige 3-Sylowgruppe nehmen. Der Fall abs(Syl_3)=4 ist wegen 144 \teiltnicht 4! erledigt. Sei nun also abs(Syl_3)=16. Angenommen die 3-Sylowgruppen schneiden sich trivial. Dann bilden sie ohne die 1 zusammen 16*(3^2-1)=128 Elemente. Die restlichen 16 bieten nur Platz für eine 2-Sylowgruppe, fertig. Ansonsten haben zwei 3-Sylowgruppen A,B einen nichttrivialen Schnitt. Er ist eine nichttriviale echte Untergruppe von A, hat also 3 Elemente. Betrachten wir seinen Normalisator N=N_G(A \cut B). Weil A,B mit der Ordnung 3^2 abelsch sind, sind sie Untergruppen von N. Also ist abs(N) durch 9 teilbar, ferner gilt abs(N)>=abs(A \union B)=abs(A)+abs(B)-abs(A \cut B)=9+9-3=15 Betrachten wir die dafür in Frage kommenden Ordnungen: abs(N)=18: In N hätten A und B den Index 2, wären also normal in N. Weil A,B aber 3-Sylowgruppen von N sind, folgte der Widerspruch A=B. abs(N)=36: Der Index von N in G wäre 4. Lasse G auf den Linksnebenklassen von N durch Linksmultiplikation operieren. Wegen 144 \teiltnicht 4! ist der zugehörige Homomorphismus G -> S_4 nicht injektiv. Seinen Kern können wir also für den gesuchten Normalteiler nehmen. abs(N)=72: Diegleiche Argumentation mit 144 \teiltnicht 2!. abs(N)=144: Dann ist N=G, also A \cut B!=menge(1) normal in G, fertig. Gruß Martin\(\endgroup\)
 

 
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