Neulich war ich beim Kaffeetrinken gesessen, als ein Bekannter ein nettes kleines Zahlenspiel vorgeführt hat. Ich möchte es mit Euch spielen und natürlich will ich den Beweis, dass und wie es funktioniert, nicht schuldig bleiben.
Ihr habt Euch also entschlossen mitzuspielen. Okay. Fangen wir an!
Denkt Euch eine natürliche Zahl aus und schreibt sie auf. Die Zahl muss mehr als zwei Dezimalstellen haben. Wieviele Stellen sie hat, bleibt Euch überlassen. Aber bedenkt, Ihr müsst noch was damit rechnen.
Nun bildet Ihr eine neue Zahl, in dem Ihr die Ziffern der ersten Zahl beliebig vertauscht (es muss eine echte Vertauschung sein, also z.B. keine Palindromzahlen)
und berechnet den Betrag der Differenz beider Zahlen.
Jetzt sucht Euch eine Ziffer aus dem Betrag aus, die ich - hier der Computer an meiner Stelle - erraten soll
und gebt die übrigen Ziffern in beliebiger Reihenfolge unten in das Textfeld ein und klickt auf "Rate!".
Erstaunt? Nun keine Sorge, ich werde Euch nicht im Dunkeln stehen lassen. Zuerst erzähl ich Euch mal, was das Programm überhaupt macht.
Hier ist der zugehörige Quellcode:
01 <script type="text/javascript"> 02 function rate() { 03 ziffern = document.getElementById("ziffern"); 04 zahl = ziffern.value; 05 if (isNaN(zahl) || zahl == "") { 06 alert(zahl + " ist kein gültiger Eintrag."); 07 return false; 08 } 09 alert("Die zu erratende Ziffer ist " 10 + (9-zahl%9) + ".\n\nÜberrascht?"); 11 return true; 12 } 13 </script>
Es ist ganz simpel. In der ersten und 13. Zeile stehen die HTML Tags, die einen Script-Bereich einleiten. Diese haben mit dem eigentlichen Programm nichts zu tun. In Zeile 2 beginnt die Funktion "rate", die immer dann ausgeführt wird, wenn Ihr im Spiel auf den Knopf "Rate!" drückt. Zeile drei und vier erfasst die Zahl, die Ihr in das obige Feld eingetippt habt. Die Zeilen fünf bis acht sind dafür verantwortlich, dass das Programm meckert, wenn nichts oder was falsches eingegeben worden ist. Das Wesentliche verbirgt sich hinter den Zeilen neun und zehn. (Das ist wie in der Raumfahrt oder? Soviel drumherum für das bisschen Nutzen. ;) ) In diesen Zeilen sorgt das Programm dafür, dass in einem Fenster neben dem Text "Die zu erratende Ziffer ist " und "Überrascht?" die Differenz aus 9 und der Modulodivision der eingegebenen Zahl ausgegeben wird. Ui! War das jetzt auch klar? Ich denke,mit Mathematik geht das um etliches einfacher:
n = eingebene Zahl % = Modulooperator Ausgabe = 9 - (n%9)
So, jetzt wisst Ihr wie das Programm funktioniert, aber einige wissen vlt. noch nicht, warum es funktioniert ;). Wie der Titel dieses Artikels schon andeutet, hat es etwas mit der Modulodivision zu tun. Und aus dem Programmquelltext wisst Ihr auch, dass es die Modulodivision durch 9 ist. Aber warum funktioniert das? Es ist ganz einfach:
Die Differenz aus zwei Zahlen, die aus exakt den gleichen Ziffern bestehen, ist immer durch 9 teilbar.
\
Eine beliebige natürliche Zahl n, aus den Ziffern a, b, c bestehend, lässt sich auch schreiben als
\ll(1) n = 100*a + 10*b + 1*c
Wenn man von dieser Zahl eine Zahl k abzieht, die aus den gleichen Ziffern zusammengesetzt ist, deren Reihenfolge aber beliebig vertauscht ist, kann man die neue Zahl als
\ll(2) k = 100*b+10*a+1*c
schreiben.
Zieht man nun k von n ab, so folgt aus \ref(1) und \ref(2)
n - k = (100*a + 10*b + 1*c) - (100*b+10*a+1*c)
\ll(3) n - k = (100-10)*a + (10-100)*b + (1-1)*c
In \ref(3) sind aber die Klammern stets durch 9 teilbar, egal wie man die Zusammensetzung der Zahl k aus den Ziffern a, b, c wählt.
Dass dieses Prinzip nicht nur auf dreistellige Zahlen beschränkt ist, ist leicht einzusehen.
Wenn nun aus dieser Differenz eine Ziffer entfernt wird, wird die dadurch erhaltene Zahl nicht mehr durch 9 teilbar sein. Die Zahl, die von der Modulodivision auf die 9 fehlt, ist die entfernte Zahl.
Neulich war ich beim Kaffeetrinken gesessen, als ein Bekannter ein nettes kleines Zahlenspiel vorgeführt hat. Ich möchte es mit Euch spielen und natürlich will ich den Beweis, dass und wie es funktioniert, nicht schuldig bleiben.
\(\begingroup\)Hi.
Es funktioniert aber nicht, wenn man auf die Ziffern die identische Permutation anwendet bzw. eine Palindromzahl hat oder irgendwie anders zur Differenz 0 kommt.
Dann gibt die Formel 9-0%9=9 aus, obwohl in der Differenz nunmal keine 9 vorkommt.
mfg Gockel.\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Bleibt noch zu zeigen, dass mit einer durch 9 teilbare Zahl, etwa z mit
\lr(1) 9\|z=sum(n_i*10^i,i=0,n)\el\IN mit n,a_i \el \IN \forall\ i\el {0,...,n}
fuer alle natürlichen k aus {0,...,n} gilt:
\lr(2) sum(n_i*10^\p(i),i=0,k-1)+sum(n_j*10^\p(j),j=k+1,n)==9-n_k mit \p bel. Permutation von {0,...,k-1,k+1,...,n}.
Dafür brauchen wir zunächst, dass
\lr(3) N*10^E==N mod 9 \forall N,E\el\IN.
Das stimmt für E=0 und wegen
10==1 mod 9
gilt für alle nat. E:
N*10^E==N => 10*(N*10^E)=N*10^(E+1)==N=(N)*1,
=>Beh.
Mit (3) können wir nun auch sagen
\ref(1) <=> sum(n_i,0,n)==0 mod 9
(Teilbarkeitsregel für Neun.)
<=> sum(n_i,i=0,k-1)+sum(n_i,j=k+1,n)==-n_k mod 9
<=> sum(n_i,i=0,k-1)+sum(n_j,j=k+1,n)==9-n_k mod 9
<=> sum(n_i*10^\p(i),i=0,k-1)+sum(n_j*10^\p(j),j=k+1,n)==9-n_k mod 9
<=> \ref(2) \bigbox
Also auch: Wir nehmen eine nat. Zahl, permutieren gemeinsam ihre und die Ziffer, die die Differenz von Neun und dem Neunerrest der Zahl ist, und wissen, dass Neun die Zahl, die durch Hintereinanderschreiben der perm. Ziffern entsteht, teilt.
Es liegt also daran, dass Neun grade um Eins kleiner als die Basis des Zehnersystems ist. Man schreibe also bspw. oktal, und hat einen Test auf Teilbarkeit durch 7.\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hi, Anonymous!
Die Eingabe soll nur die restlichen Ziffern
des Betrages der Differenz enthalten,
in Deinem Beispiel sollte die Eingabe also "4" sein.
Dann wird (hoffentlich ?!) auch "5" ausgegeben werden.
Liebe Grüße, Franz
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Den "Fehler" mit der 0 und der 9 kann man dadurch "beheben", dass man das Streichen einer 0 verbietet - wenn man dann zur Differenz 0 kommt, kann man eben nicht weiterspielen. Alternativ kann man das Streichen einer 9 verbieten, aber bei 32-23=9 steht man dann vor demselben Problem.
Also: Entweder man schränkt die Menge der auswählbaren Zahlen und streichbaren Ziffern so ein, dass dieses Problem nicht mehr auftritt, oder man gibt zu, dass man in einem Fall nur zu dem Ergebnis kommt: "Du hast eine 0 oder eine 9 gestrichen, mehr weiß ich leider nicht."
Gruss,
SirJective\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Fauler Zauber! 😮
Ich wähle eine Zahl mit genau drei, also insbesondere mehr als zwei, Ziffern: die 417,
dann permutiere ich die Ziffern: 741; das ist eine echte Vertauschung; und weder die 417 noch die 741 sind Palindrome,
der Betrag der Differenz ist 324,
ich gebe die Zwei als zu erratende Ziffer vor,
gebe "34" in das Textfeld ein, klicke auf "Rate!"
und erhalte: "34 ist kein gültiger Eintrag!".
Dasselbe mit der Eingabe "43".
mfg
thureduehrsen\(\endgroup\)
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2023-03-27 00:20 U <
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