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Zaubertrick mit Modulo [von kostja] | | Neulich war ich beim Kaffeetrinken gesessen, als ein Bekannter ein nettes kleines Zahlenspiel vorgeführt hat. Ich möchte es mit Euch spielen und natürlich will ich den Beweis, dass und wie es funktioniert, nicht schuldig bleiben. | |
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| "Mathematik: Zaubertrick mit Modulo" | 7 Comments | | The authors of the comments are responsible for the content. |
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\(\begingroup\)Hi.
Es funktioniert aber nicht, wenn man auf die Ziffern die identische Permutation anwendet bzw. eine Palindromzahl hat oder irgendwie anders zur Differenz 0 kommt.
Dann gibt die Formel 9-0%9=9 aus, obwohl in der Differenz nunmal keine 9 vorkommt.
mfg Gockel.\(\endgroup\)
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\(\begingroup\)Hallo Konstantin,
denselben Effekt habe ich auch beobachtet.
Ansonsten ein nettes Spielchen.
Viele Grüsse
Murmelbärchen\(\endgroup\)
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\(\begingroup\)Bleibt noch zu zeigen, dass mit einer durch 9 teilbare Zahl, etwa z mit
\lr(1) 9\|z=sum(n_i*10^i,i=0,n)\el\IN mit n,a_i \el \IN \forall\ i\el {0,...,n}
fuer alle natürlichen k aus {0,...,n} gilt:
\lr(2) sum(n_i*10^\p(i),i=0,k-1)+sum(n_j*10^\p(j),j=k+1,n)==9-n_k mit \p bel. Permutation von {0,...,k-1,k+1,...,n}.
Dafür brauchen wir zunächst, dass
\lr(3) N*10^E==N mod 9 \forall N,E\el\IN.
Das stimmt für E=0 und wegen
10==1 mod 9
gilt für alle nat. E:
N*10^E==N => 10*(N*10^E)=N*10^(E+1)==N=(N)*1,
=>Beh.
Mit (3) können wir nun auch sagen
\ref(1) <=> sum(n_i,0,n)==0 mod 9
(Teilbarkeitsregel für Neun.)
<=> sum(n_i,i=0,k-1)+sum(n_i,j=k+1,n)==-n_k mod 9
<=> sum(n_i,i=0,k-1)+sum(n_j,j=k+1,n)==9-n_k mod 9
<=> sum(n_i*10^\p(i),i=0,k-1)+sum(n_j*10^\p(j),j=k+1,n)==9-n_k mod 9
<=> \ref(2) \bigbox
Also auch: Wir nehmen eine nat. Zahl, permutieren gemeinsam ihre und die Ziffer, die die Differenz von Neun und dem Neunerrest der Zahl ist, und wissen, dass Neun die Zahl, die durch Hintereinanderschreiben der perm. Ziffern entsteht, teilt.
Es liegt also daran, dass Neun grade um Eins kleiner als die Basis des Zehnersystems ist. Man schreibe also bspw. oktal, und hat einen Test auf Teilbarkeit durch 7.\(\endgroup\)
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\(\begingroup\)16 -> 61
dif: 45
gemerkte zahle 5
eingabe: 16614
ausgabe: 9 --> ueberrascht? JA!
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\(\begingroup\)Hi, Anonymous!
Die Eingabe soll nur die restlichen Ziffern
des Betrages der Differenz enthalten,
in Deinem Beispiel sollte die Eingabe also "4" sein.
Dann wird (hoffentlich ?!) auch "5" ausgegeben werden.
Liebe Grüße, Franz
\(\endgroup\)
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\(\begingroup\)Den "Fehler" mit der 0 und der 9 kann man dadurch "beheben", dass man das Streichen einer 0 verbietet - wenn man dann zur Differenz 0 kommt, kann man eben nicht weiterspielen. Alternativ kann man das Streichen einer 9 verbieten, aber bei 32-23=9 steht man dann vor demselben Problem.
Also: Entweder man schränkt die Menge der auswählbaren Zahlen und streichbaren Ziffern so ein, dass dieses Problem nicht mehr auftritt, oder man gibt zu, dass man in einem Fall nur zu dem Ergebnis kommt: "Du hast eine 0 oder eine 9 gestrichen, mehr weiß ich leider nicht."
Gruss,
SirJective\(\endgroup\)
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\(\begingroup\)Fauler Zauber! 😮
Ich wähle eine Zahl mit genau drei, also insbesondere mehr als zwei, Ziffern: die 417,
dann permutiere ich die Ziffern: 741; das ist eine echte Vertauschung; und weder die 417 noch die 741 sind Palindrome,
der Betrag der Differenz ist 324,
ich gebe die Zwei als zu erratende Ziffer vor,
gebe "34" in das Textfeld ein, klicke auf "Rate!"
und erhalte: "34 ist kein gültiger Eintrag!".
Dasselbe mit der Eingabe "43".
mfg
thureduehrsen\(\endgroup\)
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2023-03-27 00:20 U <
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