Mathematik: Der Satz von Burnside
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Mathematik

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Der Satz von Burnside

Wenn man zum ersten Mal vom Satz von Burnside hört, ist in aller Regel dieser Satz gemeint: Ist G eine endliche Gruppe mit |G|=pa·qb für zwei Primzahlen p und q, so ist G auflösbar. Später erfuhr ich dann aber, dass es noch einen weiteren Satz mit diesem Namen gibt, der mir nicht weniger faszinierend und auf seine Weise auch viel schöner erschien. Als ich diesen Satz dann zum ersten Mal sah, war ich gleich fasziniert, weil er verschiedenartigste Aussagen der Gruppentheorie als äquivalent erklärt. Ich nahm mir praktisch sofort vor, ihn eigenhändig zu beweisen. Und als ich das vor ein paar Tagen nun geschafft hatte, war ich begeisterter von diesem Satz als vorher. Von genau diesem tollen Satz und seinem Beweis handelt dieser Artikel.

Vorbereitendes

Der Satz von Burnside ist sehr speziell und dreht sich um nilpotente Gruppen. Daher ist es sehr wichtig zu wissen, was nilpotente und Sylow-Gruppen sind und wie Kommutatoren funktionieren. Siehe dazu Gruppenzwang VI und Gruppenzwang V. Im Satz selber tauchen die so genannten Zentralreihen auf: makro(faktor,%1\.\/%2) makro(komm,gauss(%1\,%2)) Eine endliche Folge von Untergruppen \IG=\IG_0>=\IG_1>=...>=\IG_n={1} wird \darkblue\ Zentralreihe__\black genannt, wenn sie diese beiden äquivalenten Bedingungen erfüllt. (i\el{1,2,...,n}): \darkred\IG|>\IG_i $\and$ faktor(\IG_(i-1),\IG_i)\subseteq\ Z(faktor(\IG,\IG_i)) $ $ <=> $ $ komm(\IG,\IG_(i-1))\subseteq\IG_i makro(faktor,%1\.\/%2) makro(komm,gauss(%1\,%2)) makro(erz,\<\.%{*}\.\>) \blue\ Beweis der Äquivalenz: faktor(\IG_(i-1),\IG_i)\subseteq\ Z(faktor(\IG,\IG_i) => \forall a\el\IG_(i-1), b\el\IG: a\IG_i*b\IG_i=b\IG_i*a\IG_i => \forall a\el\IG_(i-1), b\el\IG: komm(a,b)\IG_i=\IG_i => komm(\IG,\IG_(i-1))\subseteq\IG_i Aus komm(\IG,\IG_(i-1))<=\IG_i<=\IG_(i-1) folgt \IG|>\IG_i für alle i, denn es gilt für zwei Untergruppen A und B: komm(A,B)<=A <=> $ erz(komm(a,b) \| a\el\ A, b\el\ B)\subseteq\ A <=> $ \forall a\el\ A, b\el\ B: komm(a,b)=aba^(-1)\.b^(-1)\el\ A <=> $ \forall a\el\ A, b\el\ B: bab^(-1) \el\ A <=> $ \forall b\el\ B: b\el\calN(A) <=> $ B<=\calN(A) Deshalb sind alle obigen Implikationspfeile auch umkehrbar, da hierdurch faktor(\IG,\IG_i) ja als Gruppe erst wohldefiniert wird. \blue\ q.e.d. \small\ Anmerkung: Die Äquivalenz komm(A,B)<=A <=> B<=\calN(A) steckt in einigen der folgenden Überlegungen implizit mit drin und ist auch sonst ganz nützlich, wenn man sie kennt. makro(faktor,%1\.\/%2) makro(komm,gauss(%1\,%2)) In Gruppenzwang VI wurde bereits die array(\darkblue\ aufsteigende Zentralreihe)__ \black\ durch Z_0={1} und faktor(Z_(n+1),Z_n)=Z(faktor(\IG,Z_n)) definiert. Ebenfalls wichtig ist die durch K_0=\IG und K_(n+1)=komm(\IG,K_n) definierte array(\darkblue\ absteigende Zentralreihe)__ \black\ .

Der Satz selber

\big\ Satz von Burnside: Ist \IG eine endliche Gruppe, so sind äquivalent: \ll(a) Für jedes homomorphe Bild f(\IG)!={1} gilt: Z(f(\IG))!={1} \ll(b) \exists c\el\IN: Z_c=\IG (\IG ist nilpotent) \ll(c) K_c={1} \ll(d) Es existiert eine Zentralreihe von \IG. \ll(e) \IU<\IG => \calN(\IU)>\IU \ll(f) \IU maximale UG von \IG => \IU<|\IG \ll(g) \forall p\el\IP: abs(Syl_p)=1 \ll(h) \IG~=bigop(\big\cross\normal,\IS_p,p\el\IP) \ll(i) \forall g,h\el\IG, ggT(ord(g),ord(h))=1 => gh=hg Dabei ist mit \IS_p eine p-Sylowgruppe von \IG gemeint.

Der Beweis

Um den Satz von Burnside zu beweisen, werden wir in folgenden Beweisschritte vorgehen: (a) => (b) => (c) => (d) => (e) => (f) => (g) => (h) => (a) (g) => (h) => (i) => (g)
\ref(a) => \ref(b) Betrachte die kanonischen Homomorphismen f_n: \IG->\IG\/Z_n Nach Vorraussetzung ist Z(\IG\/\Z_n) ungleich {1} und damit ist jeweils Z_(n+1) > Z_n. Da die aufsteigende Zentralreihe \(aufgrund der Endlichkeit von \IG\) somit bei \IG endet, ist \IG nilpotent. \blue\ q.e.d.
\ref(b) => \ref(c) makro(faktor,%1\.\/%2) makro(komm,gauss(%1\,%2)) makro(erz,\<\.%{*}\.\>) Dazu zeigen wir induktiv, dass gilt: \forall i\el\IN_<=c|: Z_(c-i)>=K_i Der Induktionsanfang ist mit K_0=Z_c=\IG gegeben. Für den Induktionsschritt setzen wir der Kürze halber Z_(c-(i+1))=A und betrachten wir die Faktorgruppe faktor(K_(i+1)\.A,A)={xA \| x\el\ K_(i+1)} =erz(komm(k,g)A \| k\el\ K_i, g\el\IG) =erz(komm(kA,gA) \| k\el\ K_i, g\el\IG) Da aber nach Induktionsvorraussetzung K_i<=Z_(c-i) ist, ist auch menge(kA | k\el\ K_i)=faktor(K_i\.A,A) $$ <= $$ faktor(Z_(c-i),A)=Z(faktor(\IG,A)) Insbesondere gilt deshalb \forall k\el\ K_i, g\el\IG: gA*kA=kA*gA <=> gA*kA*gA^(-1)*kA^(-1)=komm(gA,kA)=1A Insbesondere ist dadurch die obige Faktorgruppe faktor(K_(i+1)\.A,A)=A, woraus sich K_(i+1)<=A ergibt. Damit haben wir allgemein K_i<=Z_(c-i) gezeigt. Da Z_0={1}, ist auch K_c={1}. \blue\ q.e.d.
\ref(c) => \ref(d) Wenn K_c={1} ist, ist die absteigende Zentralreihe trivialerweise ein Beispiel für eine Zentralreihe von \IG. \blue\ q.e.d.
\ref(d) => \ref(e) makro(komm,gauss(%1\,%2)) Sei \IU<=\IG und \IG=\IG_0|>\IG_1|>...|>\IG_k={1} eine Zentralreihe von \IG. Sei weiterhin m\el\IN die kleinste Zahl mit \IG_m<=\IU. Dann ist insbesondere \IG_(m-1)!=\IU. Da die Zentralreihe bei \IG_k={1}<=\IU terminiert, gibt es es solches m. Jetzt gilt komm(\IG_(m-1),\IU)<=komm(\IG_(m-1),\IG)<=\IG_m<=\IU. Deshalb deshalb \IG_(m-1)<=\calN(\IU). Da \IG_(m-1) ungleich \IU ist, ist \calN(\IU) also echt größer als \IU. \blue\ q.e.d.
\ref(e) => \ref(f) Ist \IU maximal und \calN(\IU) echt größer, so kann \calN(\IU) nur ganz \IG sein, \IU ist also normal. \blue\ q.e.d.
\ref(f) => \ref(g) Sei \IP eine (o.B.d.A. nichtnormale) p-Sylowgruppe und \IU eine maximale Untergruppe, die \calN(\IP) enthält, sprich: \IP<=\calN(\IP)<=\IU<\IG Da \IU ein Normalteiler ist nach Vorraussetzung, enthält \IU auch alle Konjugierten von \IP. \IP ist logischerweise auch p-Sylowgruppe von \IU. Demnach ist jede p-Sylowgruppe von der Form u\IP\.u^(-1). Da \IU!=\IG => \exists g\el\IG\\ \IU, u\el\IU: g\IP\.g^(-1)=u\IP\.u^(-1) =>\IP=g^(-1)\.u\IP\.u^(-1)\.g => g^(-1)\.u\el\calN(\IP) aber g^(-1)\.u\notel\IU => \calN(\IP)>\IU Widerspruch => \calN(\IP)=\IG => \IP<|\IG \blue\ q.e.d.
\ref(g) => \ref(h) Betrachte \phi: \bigop(\big\cross\normal,\IS_p,p\el\IP)->\IG mit \phi(s_2, s_3, s_5, ...)=produkt(s_p,p\el\IP) Da die Sylowgruppen paarweise teilerfremde Kardinalitäten haben und Normalteiler sind, kommutieren ihre Elemente untereinander. Dadurch wird \phi zum Homomorphismus. \phi ist deshalb außerdem injektiv, da die Produktdarstellung eindeutig ist. Es gilt ebenfalls: abs(\bigop(\big\cross\normal,\IS_p,p\el\IP))=produkt(abs(\IS_p),p\el\IP)=abs(\IG), womit \phi auch surjektiv wird. \phi ist also bijektiv. \blue\ q.e.d.
\ref(h) => \ref(a) Da \IG nach Vorraussetzung zum direkten Produkt seiner Sylowgruppen isomorph ist, ist dies auch jedes Bild(f) für einen Homomorphismus f. Das gilt deshalb, weil f immer die p-Sylowgruppen von \IG auf die von Bild(f) abbildet. Da dann insbesondere f(\bigop(\big\cross\normal,\IS_p,p\el\IP))~=\bigop(\big\cross\normal,f(\IS_p),p\el\IP) ist, ist auch Bild(f) zum direkten Produkt seiner Sylowgruppen isomorph. Da außerdem Z(\IG\cross\IH)=Z(\IG)\cross\ Z(\IH) ist und das Zentrum von nichttrivialen p-Gruppen nichttrivial ist, gilt \ref(a). \blue\ q.e.d.
\ref(h) => \ref(i) Seien g und h\el\IG. Es gilt \ = \ mit \nue_i =ord(g)/p_i^k wobei p_i eine Primzahl, die ord(g) teilt, und p_i^k die höchste Primzahlpotenz von p_i, die ord(g) teilt, sein sollen. Es ist offensichtlich (g^\nue_i)^(p_i^k) =g^ord||\(g\)=1, die Ordnung von g^\nue_i also p_i^k. Somit sind die g^\nue_i Elemente von \IS_p_i. \(Da die Faktoren eine direkten Produkts normal sind, gibt es nur jeweils eine p_i-Sylowgruppe\) Eine Analoge Zerlegung kann man für h vornehmen. Wichtig ist, dass ord(g) und ord(h) teilerfremd sind, so dass niemals eine Potenz von g und eine von h in derselben Sylowgruppe liegen. Da die Sylowgruppen nach Voraussetzung 1\-disjunkte Normalteiler sind, kommutieren die Potenzen von g und h miteinander. \(Untereinander sowieso, da sie dann Potenzen zur selben Basis sind\) Da sich sowohl g als auch h als Produkt dieser Potenzen darstellen lassen, kann man nun faktorweise vertauschen und erhält: gh=hg \blue\ q.e.d.
\ref(i) => \ref(g) makro(komm,gauss(%1\,%2)) Sei \IS_p eine feste p-Sylowgruppe und q eine beliebige von p verschiedene Primzahl. Dann kommutieren alle Elemente von \IS_q\el\ Syl_q und \IS_p miteinander. Insbesondere ist komm(\IS_p,\IS_q)={1}<=\IS_p => \IS_q<=\calN(\IS_p). Daher sind alle q-Sylowgruppen in \calN(\IS_p) enthalten. Da außerdem \IS_p<=\calN(\IS_p) immer gilt, ist auch mind. eine p-Sylowgruppe in \calN(\IS_p) enthalten. Insbesondere ist auch das Produkt dieser Untergruppen - also ganz \IG - in \calN(\IS_p) enthalten. Es ist also \calN(\IS_p)=\IG und damit \IS_p<|\IG. \blue\ q.e.d.

Anmerkungen

Zu einigen Aussagen sind vielleicht ein paar Anmerkungen angebracht. Die Aussage (b) zum Beispiel ist oftmals die Definition der Nilpotenz von Gruppen. (c) wird aber ebenfalls sehr oft gewählt. Aus dieser Fassung des Satzes von Burnside folgt, dass entweder beide Reihen oder keine von beiden existiert. Um die Definitionen vollständig miteinander verträglich zu machen, müssten wir nur noch zeigen, dass beide Normalreihen dieselbe Länge haben, da der wichtige Begriff der Nilpotenzklasse (die Länge der jeweiligen Reihe) natürlich auch übereinstimmen muss. Wir wollen zeigen, dass für ein natürliches n \darkred\ K_n={1} <=> Z_n=\IG ist. Die Rückrichtung folgt bereits aus dem Beweis von (b)=>(c). Bleibt noch die umgekehrte Richtung zu zeigen. \blue\ Beweis: makro(faktor,%1\.\/%2) makro(komm,gauss(%1\,%2)) Dazu gehen wir ähnlich vor wie beim Beweis von \ref(b)=>\ref(c). Allerdings werden wir allgemeiner zeigen, dass für jede Zentralreihe \(wir bezeichnen sie wie oben mit \IG=\IG_0|>\IG_1|>...|>\IG_c={1}\) auch Z_i>=\IG_(c-i) ist. Hier haben wir einen Induktionsanfang mit Z_0=\IG_c. Für den Induktionsschritt betrachten wir die Faktorgruppe faktor(\IG,Z_i) sowie die Untergruppe faktor(\IG_(c-i-1)\.Z_i,Z_i)=menge(kZ_i | k\el\IG_(c-i-1)). Weil komm(\IG_(c-i-1),\IG)<=\IG_(c-i) und nach Induktionsvorrausetzung \IG_(c-i)<=Z_i ist, gilt: kZ_i*gZ_i*k^(-1)\.Z_i*g^(-1)\.Z_i=komm(k,g)Z_i=Z_i für alle k\el\IG_(c-i-1) und g\el\IG. Das heißt also kgZ_i=gkZ_i. => \forall k\el\IG_(c-i-1): kZ_i\el\ Z(faktor(\IG,Z_i)) => faktor(\IG_(c-i-1)\.Z_i,Z_i)<=Z(faktor(\IG,Z_i))=faktor(Z_(i+1),Z_i) Also ist insbesondere \IG_(c-i-1)<=\IG_(c-i-1)\.Z_i<=Z_(i+1). Damit ist Z_i>=\IG_(c-i) bewiesen. Insbesondere folgt daraus Z_c=\IG_0=\IG, sprich der \(etwas abgewandelte\) Beweis von \ref(d)=>\ref(b). Wenn wir als spezielle Zentralreihe die absteigende wählen haben wir damit auch gleich bewiesen, dass auf- und absteigende Zentralreihe die gleiche Länge haben.

Gültigkeit für unendliche Gruppen

Ist \IG unendlich, so sind nicht mehr alle Aussagen des Satzes von Burnside äquivalent. Die Folgerungen \ref(b)=>\ref(c)=>\ref(d)=>\ref(b) bleibt allerdings erhalten, wie man sich leicht überzeugen kann. Die Aussagen über die Zentralreihen behalten also auch im Unendlichen Gültigkeit. Die Sylowgruppen sind allerdings im unendlichen Falle nicht sinnvoll, so dass die Aussagen \ref(g) und \ref(h) für unendliche Gruppen außen vor gelassen werden müssen. Die Schlussfolgerungen \ref(d)=>\ref(e)=>\ref(f) bleiben allerdings erhalten, auch wenn sie im unendlichen Fall nicht umkehrbar sind, so dass \ref(e) und \ref(f) für alle nilpotenten Gruppen gelten.

Abschluss

(by AimpliesB) Zitat aus "Just for fun- The Story of an Accidential Revolutionary" von Linus Torvalds: "Normalerweise bittet man jemanden, der beruehmter ist, als der Autor, das Vorwort [...] zu schreiben, gemaess der Theorie, dass damit die Bedeutung des Autors betont wird." Zitatende. Tja, hier hat Goggel wohl voll und ganz versagt. Erstens bin ich nicht beruehmter und zweitens ist das kein Vorwort. Aber ich werd mich trotzdem bemuehen, die Bedeutung des Autors zu betonen. Und auf der Artikelschreibebene hat er nicht versagt. Nicht umsonst hat er fuer diese den Matheplanetaward gewonnen. Deshalb darf ich nun freudestrahlend und voll Stolz den Artikel "Der Satz von Burnside" abschliessen- ein schoener Beweis gepaart mit rhetorischen Glanzleistungen. Ein phantastischer Artikel ganz auf dem Niveau, das wir schon von der Goggel'schen Gruppenzwangserie gewohnt sind! Applaus fuer den bedeutenden Autor.
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Der Satz von Burnside [von Gockel]  
Der Satz von Burnside charakterisiert nilpotente Gruppen mit einer Vielzahl von zueinander äquivalenten Strukturaussagen.
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"Mathematik: Der Satz von Burnside" | 2 Comments
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Re: Der Satz von Burnside
von: jannna am: Mi. 17. August 2005 14:38:46
\(\begingroup\)Hallo Gockel Son schöner Artikel und keine Kommentare? Tolle Arbeit. ...quatsch... was hier stand, aber trotzdem toller artikel Grüße jana\(\endgroup\)
 

Re: Der Satz von Burnside
von: Gockel am: Sa. 15. Oktober 2005 18:28:15
\(\begingroup\)Hi. Durch diesen Thread bin ich auf eine weitere äquivalente Formulierung gestoßen: \ll(j) Es existiert für jedes n\el\IN mit n \| abs(\IG) ein Normalteiler \IM<|\IG mit abs(\IM)=n. \blue\ Beweis: \blue\ \ref(h)=>\ref(j) Sei n=produkt(p_i^e_i,i\el\IN) die Primfaktorzerlegung von n. Es gibt in \IS_p_i nach dem obigen Thread einen Normalteiler \IM_i der Ordnung p_i^e_i\.. bigop(\big\cross\normal,\IM_i,i\el\IN) ist dann ein Normalteiler von \IG mit Ordnung n. \blue\ \ref(j)=>\ref(g) Wenn es zu jedem Teiler einen Normalteiler gibt, so gibt es auch zu jeder Primpotenz einen Normalteiler. Da alle p-Sylowgruppen zueinander konjugiert sind, folgt daraus, dass es jeweils nur eine p-Sylowgruppe gibt. \blue\ q.e.d. mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

 
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