Mathematik: Der Satz von Burnside
Released by matroid on Di. 22. März 2005 19:57:01 [Statistics]
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Mathematik

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Der Satz von Burnside



Wenn man zum ersten Mal vom Satz von Burnside hört, ist in aller Regel dieser Satz gemeint:

Ist G eine endliche Gruppe mit |G|=pa·qb für zwei Primzahlen p und q, so ist G auflösbar.

Später erfuhr ich dann aber, dass es noch einen weiteren Satz mit diesem Namen gibt, der mir nicht weniger faszinierend und auf seine Weise auch viel schöner erschien. Als ich diesen Satz dann zum ersten Mal sah, war ich gleich fasziniert, weil er verschiedenartigste Aussagen der Gruppentheorie als äquivalent erklärt.
Ich nahm mir praktisch sofort vor, ihn eigenhändig zu beweisen. Und als ich das vor ein paar Tagen nun geschafft hatte, war ich begeisterter von diesem Satz als vorher.

Von genau diesem tollen Satz und seinem Beweis handelt dieser Artikel.


Vorbereitendes



Der Satz von Burnside ist sehr speziell und dreht sich um nilpotente Gruppen. Daher ist es sehr wichtig zu wissen, was nilpotente und Sylow-Gruppen sind und wie Kommutatoren funktionieren. Siehe dazu Gruppenzwang VI und Gruppenzwang V.

Im Satz selber tauchen die so genannten Zentralreihen auf:
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Der Satz selber



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Der Beweis



Um den Satz von Burnside zu beweisen, werden wir in folgenden Beweisschritte vorgehen:
(a) => (b) => (c) => (d) => (e) => (f) => (g) => (h) => (a)

(g) => (h) => (i) => (g)


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Anmerkungen



Zu einigen Aussagen sind vielleicht ein paar Anmerkungen angebracht. Die Aussage (b) zum Beispiel ist oftmals die Definition der Nilpotenz von Gruppen. (c) wird aber ebenfalls sehr oft gewählt.
Aus dieser Fassung des Satzes von Burnside folgt, dass entweder beide Reihen oder keine von beiden existiert. Um die Definitionen vollständig miteinander verträglich zu machen, müssten wir nur noch zeigen, dass beide Normalreihen dieselbe Länge haben, da der wichtige Begriff der Nilpotenzklasse (die Länge der jeweiligen Reihe) natürlich auch übereinstimmen muss.

Wir wollen zeigen, dass für ein natürliches n
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ist. Die Rückrichtung folgt bereits aus dem Beweis von (b)=>(c). Bleibt noch die umgekehrte Richtung zu zeigen.

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Gültigkeit für unendliche Gruppen



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Abschluss

(by AimpliesB)

Zitat aus "Just for fun- The Story of an Accidential Revolutionary" von Linus Torvalds:
"Normalerweise bittet man jemanden, der beruehmter ist, als der Autor, das Vorwort [...] zu schreiben, gemaess der Theorie, dass damit die Bedeutung des Autors betont wird." Zitatende.
Tja, hier hat Goggel wohl voll und ganz versagt. Erstens bin ich nicht beruehmter und zweitens ist das kein Vorwort. Aber ich werd mich trotzdem bemuehen, die Bedeutung des Autors zu betonen.
Und auf der Artikelschreibebene hat er nicht versagt. Nicht umsonst hat er fuer diese den Matheplanetaward gewonnen. Deshalb darf ich nun freudestrahlend und voll Stolz den Artikel "Der Satz von Burnside" abschliessen- ein schoener Beweis gepaart mit rhetorischen Glanzleistungen. Ein phantastischer Artikel ganz auf dem Niveau, das wir schon von der Goggel'schen Gruppenzwangserie gewohnt sind!
Applaus fuer den bedeutenden Autor.
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Der Satz von Burnside [von Gockel]  
Der Satz von Burnside charakterisiert nilpotente Gruppen mit einer Vielzahl von zueinander äquivalenten Strukturaussagen.
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"Mathematik: Der Satz von Burnside" | 2 Comments
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Re: Der Satz von Burnside
von: jannna am: Mi. 17. August 2005 14:38:46
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Hallo Gockel

Son schöner Artikel und keine Kommentare?
Tolle Arbeit. ...quatsch... was hier stand, aber trotzdem toller artikel
Grüße
jana\(\endgroup\)
 

Re: Der Satz von Burnside
von: Gockel am: Sa. 15. Oktober 2005 18:28:15
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Hi.

Durch diesen Thread bin ich auf eine weitere äquivalente Formulierung gestoßen:

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mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

 
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