Viele von euch kennen die Hamiltonschen Quaternionen. Wie die komplexen Zahlen spielen sie eine wichtige Rolle in der Geometrie und in der Physik, jedoch wahrscheinlich den meisten eher unbekannte. Im Gegensatz zu den komplexen Zahlen, die man sich schön auf der komplexen Zahlenebene als Drehstreckungen vorstellen kann, erlauben die Quaternionen wegen Dimensionsgründen keine direkte geometrische Anschauung. In diesem Artikel werde Ich zumindest eine Anschauung für die Einheitsquaternionen (die vom euklidischen Betrag 1) erarbeiten. Mit Hilfe der stereographischen Projektion identifiziere Ich die Einheitsquaternionen mit dem IR3 vereinigt einem Punkt (Ein-Punkt-Kompaktifizierung). Ich übertrage dann die multiplikative Gruppenstruktur der Quaternionen mit Hilfe dieser Bijektion zu einer Verknüpfung auf IR3 und untersuche schließlich diese Verknüpfung. Das ganze war als eine Spielerei gedacht, denn praktisches Nutzen bringt das ganze eher nicht. Um so erstaunter war ich, dass sich wirklich schöne Formeln für diese Gruppenverknüpfung ergeben.
Zunächst eine kurze Erinnerung an\/Einführung in die stereographische Projektion. Wir verwenden die folgenden Standardnotationen
S^n := { x\in \IR^(n+1): norm(x)_2 =1}
e_j=(0,..,0,1,0,..,0) \in \IR^(n+1) mit der 1 an der j-ten Stelle.
Es gilt e_j \in S^n für alle j\in{1,..,n+1}.
Wir setzen zudem N:=e_(n+1)\in \IR^(n+1) (N="Nordpol").
Die array(stereographische Projektion)__ ist eine Abbildung
S^n-{N} -> \IR^n \cross {0} \subset \IR^(n+1)
die einem x\in S^n-{N} den Schnittpunkt der Gerade durch N und x mit
\IR^n\cross {0} zuordnet. Um eine explizite Zuordnungsvorschrift zu
haben, berechnen wir diesen Schnittpunkt:
Die Gerade durch N und x ist parametrisiert durch
N+t(x-N), t\in \IR.
Um den Schnittpunkt zu bekommen, müssen wir die letzte Komponente dieser Parametrisierung mit 0 gleichsetzen. Das heißt
1+t(x_(n+1)-1)=0.
Dies ist äquivalent zu t=1/(1-x_(n+1)). Man beachte hier, dass x_(n+1)!=1 gilt, da x_(n+1)=1 äquivalent zu x=e_(n+1)=N ist. Wir sehen also, dass die stereographische Projektion durch
(x_1, ..., x_(n+1)) \mapsto 1/(1-x_(n+1)) (x_1 , ... , x_n)
gegeben ist.
Die stereographische Projektion ist sogar eine Bijektion. Um die
Umkehrabbildung zu finden, muss man zu einem gegebenen y\in \IR^n\cross {0}
den Schnittpunkt der Gerade durch N und y mit der Sphäre S^n bestimmen.
Die Gerade ist parametrisiert durch
N+t(y-N), t\in \IR.
Um den Schnittpunkt mit der Sphäre zu bestimmen, muss die Gleichung
\ll(1) norm(N+t(y-N))^2 =1
gelöst werden. Es gilt N+t(y-N)= (t*y_1 , t*y_2, ..., t*y_n , 1-t). Daher ist die Gleichung \ref(1) äquivalent zu
t^2*(y_1^2 + ... + y_n^2) + (1-t)^2 =1
Und dies ist äquivalent zu
t^2 norm(y)^2 -2t+t^2 =0 <=> t^2*(norm(y)^2+1)=2t.
Es sind t=0 und t=2/(norm(y)^2+1) die beiden Lösungen. Die Lösung t=0 liefert den Schnittpunkt N. Die andere Lösung liefert aber den gesuchten Punkt
(2y_1/(norm(y)^2+1) , ... , 2y_n/(norm(y)^2+1), (norm(y)^2-1)/(norm(y)^2+1)) \in S^n.
Wenn wir nun den Unterraum \IR^n\cross{0} von \IR^(n+1) mit \IR^n identifizieren erhalten wir die stereographische Projektion \phi und ihre Umkehrung \psi:
\phi ;S^n-{N} ->\IR^n; (x_1 ,..,x_(n+1))\mapsto 1/(1-x_(n+1))*(x_1 ,..,x_n)
\psi:\IR^n->S^n-{N}; (y_1 ,.., y_n)\mapsto (2/(norm(y)^2+1)*y , (norm(y)^2-1)/(norm(y)^2+1))
Selbstverständlich kann man die stereographische Projektion nicht nur bezüglich der letzten Komponente durchführen. Allgemeiner kann man N=e_j für irgendein j setzen und die Formeln modifizieren sich auf offensichtliche Weise. Darüberhinaus kann man auch stattdessen Projektion bezüglich -e_j durchführen, aber dies wird in diesem Artikel nicht benötigt.
Nun nehmen wir an, dass \inf irgendein Punkt außerhalb von \IR^n ist. Wir setzen \IR^^^n := \IR^n \union \inf und setzen die Abbildungen \phi und \psi zu bijektiven Abbildungen fort:
\phi(N):=\inf
\psi(\inf):=N.
Bemerkung__ Man kann auf \IR^^^n eine Topologie definieren, so dass \phi:S^n -> \IR^^^n und die Umkehrung \psi stetig sind. Damit wären sie beide Homöomorphismen und man hätte eine topologische Äquivalenz S^n~=\IR^^^n. Es ist sogar möglich diese Räume als Mannigfaltigkeiten miteiander zu identifizieren. Die stereographoische Projektion ist darüber hinaus winkelerhaltend. Aber auch diese Tatsachen werden hier nicht unbedingt benötigt. Es ist nur eine Information, die einem mitteilt, dass \phi im Sinne der folgenden
Abschnitte eine sinnvolle__ Identifizierung der Räume ist.
Bevor Ich die Quaternionen angehe, möchte Ich mein Vorgehen an etwas Vertrautem demonstrieren, den komplexen Zahlen. Mit Hilfe der stereo-
graphischen Projektion identifiziere Ich den Einheitskreis S^1\subset \IC mit \IR_\inf und übertrage die Gruppenstruktur von S^1 bezüglich dieser Bijektion auf \IR. Dieses Vorgehen hat zwei Gründe. Einerseits wird das Ergebnis für die geometrische Deutung im quaternionischen Fall behilflich sein, weil uns die komplexen Zahlen so vertraut sind und andereseits gibt es viele Untergruppen von S^3 die isomorph zu S^1 sind. Dabei ist S^3 die
Menge der Einheitsquaternionen und ist bezüglich der quaternionischen
Multiplikation eine Gruppe.
Die stereographische Projektion und ihre Umkehrung im Falle der
komplexen Zahlen \IC sind von der Gestalt
\phi: S^1 -> \IR^^; x+iy \mapsto y/(1-x)
\psi : \IR^^->S^1; a\mapsto (a^2-1)/(a^2+1) +i* 2a/(a^2+1)
Unter diesen Abbildungen werden 1 und \inf aufeinander abgebildet. Man beachte, dass Ich diesmal stereographische Projektion bezüglich der ersten Komponente durchgeführt habe.
Nun definieren wir eine Gruppenstruktur auf \IR^^ durch:
x\odot y := \phi(\psi(x)*\psi(y))
Wir wollen dies nun explizit nachrechnen:
\align\psi(x)*\psi(y)
= ((x^2-1)(y^2-1)-4xy+i*(2x(y^2-1)+2y(x^2-1)))/((x^2+1)(y^2+1))
= 1/\l *( a+i*b)
Daher gilt für x+y!=0:
\breakalign\phi(\psi(x)*\psi(y))= b/\l/(1-a/\l)=b/(\l-a)
=( 2x(y^2-1)+2y(x^2-1))/( (x^2+1)(y^2+1)-(x^2-1)(y^2-1) + 4xy)
=( 2x(y^2-1)+2y(x^2-1))/(2(x+y)^2)
und für x+y=0 ergibt sich
\psi(x)*\psi(y)= ((x^2-1)^2+4x^2 +i*(2x(x^2-1)-2x(x^2-1)))/(x^2+1)=1.
Wir erhalten also insgesamt für alle x,y \in \IR:
\frame x\odot y = fdef((x(y^2-1)+y(x^2-1))/(x+y)^2,x+y!=0;\inf,x+y=0)
\frameoff
Hier sind zwei Bilder des Plots der Funktion (x,y)\mapsto x\odot y abgebildet.
Elementare Eigenschaften
In diesem Abschnitt untersuchen wir elementare Eigenschaften von (\IR^^ , \odot), d.h algebraische wie Inversenbildung und geometrische wie Drehung und Antipodal-Abbildung.
Wegen \phi(1)=\inf ist \inf das Neutralelement dieser Gruppe, d.h es gilt \inf \odot x=x für alle x\in\IR^^. Darüberhinaus gilt x\odot y= \inf für x+y=0. Somit ist das Inverse von x\in\IR bezüglich der Verknüpfung \odot das Element -x\in\IR. Anders ausgedrückt, ist
x\mapsto -x
die Inversenabbildung von (\IR^^ , \odot). Dies entspricht der Tatsache, dass die Inversenbildung auf S^1 die komplexe Konjugation ist. Man kann das auch direkt nachrechnen. Dann korrespondiert die komplexe Konjugation (unter der Identifizierung durch \die Stereographische Projektion \phi) mit der Abbildung x\mapsto -x.
Nun kommen wir zu den geometrischen Eigenschaften der Gruppe S^1. Die Drehung in S^1 um einen Winkel \t\in \IR ist die Multiplikation mit exp(i\t), das heißt, es ist die Abbildung z\mapsto exp(i\t)*z. Diese korrespondiert \(auch unter der stereographischen Projektion\) mit der Abbildung
x\mapsto \phi(exp(i\t))\odot x.
Wir betrachten jetzt den Spezialfall \t=\pi/2, das heißt wir untersuchen die Drehung um 90° genauer. Dann ist \phi(exp(i\t))=\phi(i)=1 und die Drehung um 90° wird beschrieben durch
x\mapsto 1\odot x = (x^2-1)/(x+1)^2= (x-1)/(x+1)
Jetzt widmen wir uns, wie angekündigt den Einheitsquaternionen S^3\subset\IR^4~=\IH zu. Dabei sei an die Multiplikation in \IH erinnert:
\ll(3)(x;y;z;w)*(a;b;c;d)=(xa-yb-zc-wd;xb+ya+zd-wc;xc-yd+za+wb;xd+yc-zb+wa).
Die stereographische Projektion und ihre Umkehrung im \IR^4 sind die Abbildungen
\phi: (x,y,z,w)\mapsto 1/(1-x)(y,z,w)
\psi: v=(a,b,c)\mapsto 1/(v^2+1)(v^2-1,2a,2b,2c)
hier wird die Konvention benutzt, dass v^2:=< v, v> =norm(v)^2 das Skalarprodukt ist, um die Formeln übersichtlicher zu halten. Darüberhinaus werden die Elemente (1,0,0,0) und \inf aufeinander abgebildet, wie im Abschnitt
"Stereographische Projektion" beschrieben wurde.
Wie im komplexen Fall, definieren wir eine Verknüpfung auf V:=\IR^3\union{\inf}:
V\times V -> V; (v,w)\mapsto v\odot w := \phi(\psi(v)*\psi(w)),
wobei \psi(v)*\psi(w) die quaternionische Multiplikation ist. Dies ist wieder automatisch eine Gruppenverknüpfung auf V, da die Multiplikation auf S^3 eine Gruppenverknüpfung ist. Unser Ziel ist wieder, eine explizite Formel für v\odot w herzuleiten. Zunächst gilt es \psi(v)*\psi(w) auszurechnen. Für v=(a,b,c) und w=(x,y,z) gilt:
\align\psi(v)*\psi(w)=1/(v^2+1)(v^2-1;2a;2b;2c)*1/(w^2+1)(w^2-1;2x;2y;2z)
=1/((v^2+1)(w^2+1))( (v^2-1)(w^2-1)-4ax-4by-4bc;2x(v^2-1)+2a(w^2-1)+4bz-4cy;2y(v^2-1)-4az+2b(w^2-1)+4cx;2z(v^2-1)+4ay-4bx+2c(w^2-1)
\lr(4)=1/\l (\a;\b;\g;\d)
wobei die Zahlen \l, \a,\b,\g und \d auf offensichtliche Weise definiert seien, um Schreibarbeit zu sparen und Übersichtlichkeit zu bewahren.
Somit gilt
\breakalign\ll(5)\phi(\psi(v)*\psi(w))=1/(1-\a/\l)(\b/\l;\g/\l;\d/\l)=\l/(1-\a/\l)(\b;\g;\d)=1/(\l-\a)(\b;\g;\d)
Es gilt
\breakalign\l-\a= (v^2+1)(w^2+1)-(v^2-1)(w^2-1)+4ax+4by+4cz
=v^2w^2+v^2+w^2+1-v^2w^2+v^2+w^2-1 + 4(ax+by+cz)
= 2(v^2 +w^2+ 2)
=2(v+w)^2
Wir setzen zunächst voraus, dass v+w!=0 gilt. Mit \ref(5) ergibt sich daher
\breakalign\phi(\psi(v)*\psi(w)) = 1/(v+w)^2 (x(v^2-1)+a(w^2-1)+2bz-2cz;y(v^2-1)-2az+b(w^2-1)+2cx; z(w^2-1)+2ay-2bx+c(w^2-1))
=1/(v+w)^2((2bz-2cy;-2az+2cx;2ay-2bx)+(x(v^2-1)+a(w^2-1);y(v^2-1)+b(w^2-1);z(v^2-1)+c(w^2-1)))
=1/(v+w)^2( 2* v\cross w + (w^2-1)v +(v^2-1)w)
Mit Ausnahme des Summanden mit dem Kreuzprodukt v\cross w ist es die selbe Formel wie im Falle der komplexen Zahlen. Dass bei den Quaternionen noch das Kreuzprodukt als Summand auftaucht ist höchst erstaunlich und verdeutlicht den geometrischen Aspekt der Quaternionen.
Es wird noch bemerkt, dass der Fall v+w=0 zur Folge hat, dass bei \ref(4) gilt: \a=\l und 0=\b=\g=\d. Die Rechnung dazu ist leicht, geht sogar analog zum komplexen Fall. Wir haben also insgesamt
\frameon v\odot w =\fdef(1/(v+w)^2( 2* v\cross w + (w^2-1)v +(v^2-1)w),v+w!=0; \inf,v+w=0)
\frameoff
Analog zum Vorgehen bei den komplexen Zahlen stelle Ich hier die die Formeln für elementare Operationen auf.
Die Inversenbildung ist wieder gegeben durch
v \mapsto -v.
Jetzt möchte ich die Antipodal-Abbildung S^3-> S^3 : x\mapsto-x in der Gruppe (V, \odot) beschreiben. Dies entspricht der Multiplikation mit -1= (-1,0,0,0) in der S^3. Unter der stereographischen Projektion wird -1 abgebildet auf 0. Somit können wir die Antipodenabbildung identifzieren mit
v\mapsto v \odot 0.
Es gilt v\odot 0 = 1/(v)^2( 2* v\cross 0 + -v +(v^2-1)*0) = - v/v^2
Die Spiegelung der Inversion im \IR^3 beschreibt also die Antipodenabbildung von S^3. Wenn man sich die stereographische Projektion genauer anschaut ist das nicht überraschend: Die obere "Hemisphäre" von S^3 wird in die Einheitskugel und die untere außerhalb abgebildet. Der Wechsel von der oberen zur unteren Hemisphäre entspricht der Inversion.
Wurzelziehen
Wir beschäftigen uns mit der Frage, wie wir die Lösung von z^2=y für Quaternionen explizit in Formeln (in y) angeben können. Die Existenz der Lösungen ist durch theoretische Überlegungen, auf die ich hier nicht eingehe, gesichert. Wir beschränken uns auf die Einheitsquaternionen, und Fragen uns wie wir in S^3 für gegebenes y die Gleichung z^2 =y lösen können. Wir übersetzen das Problem nach (V, \odot) und suchen Lösungen von
v\odot v = w
falls w \el \IR^3 gegeben ist.
Es gilt zunächst
\ll(6) v\odot v = 1/(v+v)^2( 2* v\cross v + (v^2-1)v +(v^2-1)v)= 2(v^2-1)/(2v)^2 *v
Nehmen wir also an. dass v\odot v= w gilt, so sind v und w wegen \ref(6)linear abhängig zueinander, also existiert ein t\in \IR mit v=tw. Die Lösungen von v\odot v=0 entsprechen in der S^3 den Lösungen von z^2 =-1 und das sind zum Beispiel i,j,k,-i,-j und -k. Im folgenden nehmen wir w!=0 an.
Es gilt
\align w= v\odot v= tw \odot tw
= 2((tw)^2-1)/(2(tw))^2 *(tw)
=(t^2 w^2-1)/(2t w^2) *w
Wir erhalten somit die Gleichung:
\breakalign t^2 w^2 -1 =2tw^2
Lösungen hiervon sind 1+sqrt(1+1/w^2) und 1-sqrt(1+1/w^2). Das sind zwar nicht alle, aber somit haben wir zumindest zwei Lösungen von v\odot v=w gefunden.
Um dieses Ergebnis auf S^3 zu übertragen, wähle man ein y auf S^3, y!=1,-1. Dann ist z.B.
z= \psi ( (1+ sqrt(1+1/norm(\phi(y))^2))*w)
eine Lösung von z^2=y. (Vorausgesetzt, ich hab mich bei der Herleitung nicht verrechnet)
Ich hätte gerne auch z explizit bestimmt, aber leider muss ich das aus Zeitgründen auf einen späteren Zeitpunkt verschieben. Es darf sich natürlich jeder selbst daran versuchen.
Zum Schluß möchte Ich noch zwei Bilder zeigen (Erklärung unten):
Zur Erklärung der Bilder: Die Geraden
X:={(t,0,0) ; t\in \IR}\union {\inf} und Y:={(0,t,0) ; t\in \IR}\union {\inf}
entsprechen den Kreisen in S^3, die -1,1, i bzw -1,1,j enthalten. Genauer gesagt, \psi(X) und \psi(Y) sind Kreise in S^3. Beide sind Untergruppen von S^3 , denn die Geraden X und Y sind jeweils Untergruppen von (V,\odot). Sie sind sogar isomorph zu S^1. (Alle Geraden in V sind isomorph zu S^1). Die Bilder zeigen einen Plot, der eine Teilmenge des Komplexprodukts \phi(A)*\phi(B)=X\odot Y beschreibt.
Ich schließe hiermit den Artikel ab. Ich wollte ursprünglich viel intensiver die Geometrie der Quaternionen mit Hilfe der stereographischen Projektion und dieser Verknüpfung auf IR^3 untersuchen, aber ich muss es aus Zeitgründen abbrechen. Vielleicht verschiebe ich das auf später.
Darüber hinaus gibt es einen Zusammenhang zwischen den Quaternionen und dem Kreuzprodukt, den ich noch nicht erwähnt habe: IR^3 mit dem Kreuzprodukt ist die Liealgebra der Liegruppe S^3 (Danke Buri für die Bestätigung). Als nächstes hatte ich vor, herauszufinden, wie sich die beiden Zusammenhänge zum Kreuzprodukt zueinander verhalten. Eins ist klar: Beides, Lie-Algebra wie stereographsiche Projektion sind Linearisierungen; hier steckt der Zusammenhang - diesen gilt es aber im Detail zu ergründen.
Schließlich möchte Ich Maddin
für die Hilfe bei der Formatierung mit fed und Bastl u.a. für die Realisierung der beiden letzten Plots mit Maple bedanken.
\(\begingroup\)Hi Zaos,
wieder mal ein sehr interessanter Artikel! :-)) Freue mich schon auf die eventuelle Fortsetzung!
Mir war die stereographische Projektion nur für n = 2 bekannt, und auch nicht unter diesem Namen. Martin hatte nämlich hier etwas dazu geschrieben, und es mir auf dem 2. MPCT richtig 'lebendig' erklären können 😄
Ich habe mal ein Bild für n = 2 gemacht:
Ich denke, damit werden deine algebraischen Schritte anschaulicher, und man sieht, warum der Nordpol auf oo abgebildet werden soll: Die Gerade durch den Nordpol und diesen selbst kann man sich wohl nur als Grenzlage einer Geraden durch den Nordpol und eines Punkts denken, der gegen den Nordpol strebt. Dann wird der Schnittpunkt der Geraden mit dem kleineren Raum beliebig groß.
Die stereographische Projektion hat Anwendungen in der Kartographie: Hier sieht man auf dem ersten Bild deine stereographische Projektion für n = 2 bezüglich des Südpols. Einige deiner Bemerkungen findet man da wieder :>
Zur expliziten Berechnung deines y am Ende der Betrachtungen zum Wurzelziehen kann ich nichts sagen, weil ich nicht weiß, wie man reelle Zahlen in Psi einsetzen soll.
Gruß
Martin\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo Zaos,
Das ist ein sehr schoener Artikel. Ich hatte allerdings noch keine Zeit mich damit intensiver zu beschaeftigen, aber es ist ja gleich Wochenende ;)
Ich wollte noch sagen, dass man die Einheitsquaternionen in der Computergrafik verwenden kann um Drehungen von 3-dimensionalen Objekten um eine beliebige Achse zu realisieren. Das kann man auch relativ einfach implementieren. So hat dieser schoene Zahl(schief)koerper auch eine praktische Anwendung.
Liebe Gruesse, syn\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hi ihr beiden,
es freut mich, dass euch mein Artikel gefallen hat.
@syngola
danke für die Zusatzinformation. Ich habe die Sache mit der Computergrafik auch irgendwo mal gelesen, aber ich verstehe nicht viel davon.
@maddin
zu deiner Bemerkung: "Zur expliziten Berechnung deines y am Ende der Betrachtungen zum Wurzelziehen kann ich nichts sagen, weil ich nicht weiß, wie man reelle Zahlen in Psi einsetzen soll."
Kein Wunder. Es fehlte ein "w" in der Formel. Die Anfrage zur Berichtigung ist geschickt.
Vielen dank übrigens für das schöne Bild der stereographischen Projektion.
Gruß
Zaos\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo Zaos,
ich bin neu hier.
Mir liegt an einer Diskussion meiner sechs Artikel, die als pdf-Dateien meiner Website www.Natural-Geometry.de anhängen.
Wie kann ich auf Matheplanet eine solche Diskussion in Gang setzen?
Danke
Klaus Th.Ruthenberg
klaus-ruthenberg@web.de\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo Klaus.
Willkommen auf dem MP.
Du bist schon angemeldet bei uns, das ist die einzige Vorausetzung!
Der geeignete Ort für so eine Diskussion ist aber das Forum. Dort kannst du einen neuen Thread (etwa im Geometrie-Forum) eröffnen und deine Ansichten darlegen.
mfg Gockel.\(\endgroup\)
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2023-03-26 20:19 U <
Wie unterstütze ich den Matheplaneten mit Geld?
Mathematik: Quaternionen
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Zur Erklärung der Bilder: Die Geraden
X:={(t,0,0) ; t\in \IR}\union {\inf} und Y:={(0,t,0) ; t\in \IR}\union {\inf}
entsprechen den Kreisen in S^3, die -1,1, i bzw -1,1,j enthalten. Genauer gesagt, \psi(X) und \psi(Y) sind Kreise in S^3. Beide sind Untergruppen von S^3 , denn die Geraden X und Y sind jeweils Untergruppen von (V,\odot). Sie sind sogar isomorph zu S^1. (Alle Geraden in V sind isomorph zu S^1). Die Bilder zeigen einen Plot, der eine Teilmenge des Komplexprodukts \phi(A)*\phi(B)=X\odot Y beschreibt.
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Ich denke, damit werden deine algebraischen Schritte anschaulicher, und man sieht, warum der Nordpol auf oo abgebildet werden soll: Die Gerade durch den Nordpol und diesen selbst kann man sich wohl nur als Grenzlage einer Geraden durch den Nordpol und eines Punkts denken, der gegen den Nordpol strebt. Dann wird der Schnittpunkt der Geraden mit dem kleineren Raum beliebig groß.
Die stereographische Projektion hat Anwendungen in der Kartographie: 
Der geeignete Ort für so eine Diskussion ist aber das Forum. Dort kannst du einen neuen Thread (etwa im Geometrie-Forum) eröffnen und deine Ansichten darlegen.
mfg Gockel.