Mathematik: Pythagoras^n
Released by matroid on Fr. 13. Mai 2005 23:25:49 [Statistics]
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Mathematik

\(\begingroup\) Der Satz des Pythagoras wird schon in der Schule vermittelt und es gibt fast niemanden der ihn nicht kennt. Vielleicht hat man sich auch schon gefragt, ob es nicht vielleicht ein Analogon im Dreidimensionalen gibt. Dieser kleine Artikel soll diese Frage beantworten und das ganze ins n-dimensionale fortsetzen.

Um die n-dimensionale Fortsetzung zu beweisen, legen wir folgendes fest: Seien a_0=(0,0,0,...,0), a_1=(0,\lambda_1\.,0,...,0) a_2=(0,0,\lambda_2\.,...,0) ... a_n=(0,0,0,...,\lambda_n) mit \lambda_i >0, i=1,2,...,n die Ecken des n-dimensionalen Simplexs. Weiterhin bezeichne S_(n-1)^i den (n-1)-dimensionalen Simplex mit den Ecken a_0\.,a_1\.,...,a_(i-1)\.,a_(i+1)\.,...,a_n\. Dann gilt: Vol_(n-1)(S_(n-1)^0 )^2=sum(Vol_(n-1)(S_(n-1)^i )^2,i=1,n) Man kann das (n-1)-dimensionale Volumen eines Simplex berechnen durch: Vol_(n-1)(S_(n-1)^i)=1/(n-1)!*abs(\det(a_1-a_0\.,...,a_n-a_0\. ) =1/(n-1)!*abs(\det(a_1 , ... , a_n ) =1/(n-1)!*prod(\lambda_j,(j=1,j!=i),n) Weiter kann man das (n-1)-dimensionale Volumen des noch fehlenden Simplex S_(n-1)^0 berechnen mittels: Vol(S_(n-1)^0)=1/(n-1)!*abs(\det(x_1\.,x_2\.,...,x_n\.;-\lambda_1\.,\lambda_2\.,...,0;...,...,...,...;-\lambda_1\.,0,...,\lambda_n)) Entwicklung nach der ersten Zeile mittels Laplace und anschliessender Anwendung des euklidischen Betrags ergibt: =1/(n-1)!*abs(x_1*det(\lambda_2\.,...,0;...,...,...;0,...,\lambda_n)-x_2*det(-\lambda_1\.,0,...,0;-\lambda_1\.,\lambda_3\.,...,0;...,...,...,...;-\lambda_1\.,0,...,\lambda_n)+...+(-1)^n*x_n*det(-\lambda_1\.,\lambda_2\.,...,0;-\lambda_1\.,0,...,0;...,...,...,...;-\lambda_1\.,0,...,0)) =sqrt(Vol(S_(n-1)^1 )^2 +Vol(S_(n-1)^2 )^2 +...+Vol(S_(n-1)^n )^2 ) =sqrt(sum(Vol_(n-1)(S_(n-1)^i )^2,i=1,n)) Durch Quadrieren der Gleichung erhaelt man dann die Behauptung.
Das war auch schon der ganze Beweis, klar ist uebrigens, dass das ganze nur fuer n>1 funktioniert und man mit n=2 den gewoehnlichen Satz von Pythagoras wiedererhaelt. Gruss, Syn
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Pythagoras^n [von syngola]  
Der Satz des Pythagoras wird schon in der Schule vermittelt und es gibt fast niemanden der ihn nicht kennt. Vielleicht hat man sich auch schon gefragt, ob es nicht vielleicht ein Analogon im Dreidimensionalen gibt. Dieser kleine Artikel soll diese Frage beantworten
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"Mathematik: Pythagoras^n" | 6 Comments
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Re: Pythagoras^n
von: Martin_Infinite am: Mo. 16. Mai 2005 15:36:16
\(\begingroup\)Hi, es geht auch etwas abstrakter 😉 Sind x,y orthogonale Vektoren eines Prähilbertraumes, so gilt norm(x+y)^2=norm(x)^2+norm(y)^2 Beweis: makro(sk,span(%1\,%2) norm(x+y)^2=sk(x+y,x+y) =sk(x,x+y)+sk(y,x+y) =sk(x,x)+sk(x,y)+sk(y,x)+sk(y,y)=norm(x)^2+norm(y)^2 \bigbox Induktiv folgt dann auch norm(sum(x_i,i=1,n))^2=sum(norm(x_i)^2,i=1,n) Gruß Martin \(\endgroup\)
 

Re: Pythagoras^n
von: FriedrichLaher am: Mi. 18. Mai 2005 11:44:38
\(\begingroup\)Hallo syngola leider habe ich schon bei den ersten Zeilen Problem: ich sehe keinen Unterschied zwischen dem n- und dem (n-1)dimensionalem Simplex ( bei beiden sehe ich n+1 Ecken ) Und das Konkrete Beispiel für n=3 zu sehen wäre auch schön: Sind das nun die 3 rechtwinkeligen und das eine nicht rechtwinkelige 3eck (das dann der Hypothenuse im Fall n=2 entspräche ) eines Tetraeder, der durch eine Ebene die alle 3 Koordinatenachsen schneidet, entsteht? Gruß F.\(\endgroup\)
 

Re: Pythagoras^n
von: syngola am: Mi. 18. Mai 2005 14:26:17
\(\begingroup\)Hallo Friedrich, der n-dimensionale Simplex ist bei mir durch n+1 Ecken aufgespannt, also jeweils ein Eckpunkt auf den n Achsen und einer genau in 0. Dann entstehen die anderen Simplice durch Weglassen der i-ten Ecke (also n-Ecken). Deine Interpretation ist also richtig. Fuer das Beispiel im R3 betrachte folgendes: legt man dieses Gebilde mit der Spitze so in den Koordinatenursprung, dass die Ecke mit dem Wuerfel drin (D) in 0 zu liegen kommt und die anderen Ecken A,B und C auf den 3 Achsen liegen. Dann kann man den Simplex (hier eine Pyramide mit 3-seitiger Basis) beschreiben durch die Ecken a_0=(0,0,0) a_1=(\lambda_1\.,0,0) a_2=(0,\lambda_2\.,0) a_3=(0,0,\lambda_3) Die Flaechen der Dreiecke (a_0\.,a_i\.,a_j) i,j\in{1,2,3},i!=j kann man berechnen mittels: 1/2*\abs(\det(x,y,z;0,\lambda_i\.,0;0,0,\lambda_j))=1/2*\lambda_i\.\lambda_j Das fehlende Dreieck \D ABC (oben in der Zeichnung die Standflaeche) kann man berechnen mittels: 1/2*\abs(\det(x,y,z;-\lambda_1\.,\lambda_2\.,0;-\lambda_1\.,0,\lambda_3\.)) =1/2*\abs(x*det(\lambda_2\.,0;0,\lambda_3)-y*det(\lambda_1\.,0;-\lambda_1\.,\lambda_3\.)+z*det(\lambda_1\.,\lambda_2\.;-\lambda_1\.,0)) =1/2*\abs(x*\lambda_2\.\lambda_3\.-y*\lambda_1\.\lambda_3+z*\lambda_1\.\lambda_2\.) =1/2*sqrt((\lambda_2\.\lambda_3\.)^2+(\lambda_1\.\lambda_3\.)^2+(\lambda_1\.\lambda_2\.)^2) =sqrt(1/4*(\lambda_2\.\lambda_3\.)^2+1/4*(\lambda_1\.\lambda_3\.)^2+1/4*(\lambda_1\.\lambda_2\.)^2) was genau die Behauptung war. Das heisst also, dass die Summe der Flaechenquadrate der Dreiecke mit rechtem Winkel hier gleich dem Quadrat der Flaeche der Basis ist. (in der Zeichnung hiesse das: A(\D ABC)^2=A(\D ABD)^2+A(\D BCD)^2+A(\D ACD)^2 Gruss, syn \(\endgroup\)
 

Re: Pythagoras^n
von: FriedrichLaher am: Do. 19. Mai 2005 15:29:48
\(\begingroup\)Danke syn, ich hatte bei der Zeile Ecken a_0 ,a_1 ,..., a_(i-1) , a_(i-1) , ..., a_n ein Brett vor dem Kopf und meinte, auch das seien n, statt n-1, Ecken . Allerdings hatte ich jetzt beim Schreiben mit dem fed zu "kämpfen" und Du scheinbar auch - oder sollten die Lambdas wirklich mehrfache Indizes haben? :) ( die mangels Zwischenraum vor den Kommas entstanden ) Gruß F.\(\endgroup\)
 

Re: Pythagoras^n
von: ZetaX am: Fr. 20. Mai 2005 01:23:46
\(\begingroup\)Hallo syngola, gehe ich richtig in der Annahme, dass dich das auf die Idee hierzu gebracht hat¿\(\endgroup\)
 

Re: Pythagoras^n
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mo. 26. März 2007 17:44:45
\(\begingroup\)der Fall n=3 ist in der Literatur uebrigens auch als Satz von de Gua bekannt. \(\endgroup\)
 

 
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