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Mathematik: Pythagoras^n Released by matroid on Fr. 13. Mai 2005 23:25:49 [Statistics] [Comments] Written by syngola - 3536 x read [Outline] Printer-friendly version -  Choose languageDE EN   \(\begingroup\) Der Satz des Pythagoras wird schon in der Schule vermittelt und es gibt fast niemanden der ihn nicht kennt. Vielleicht hat man sich auch schon gefragt, ob es nicht vielleicht ein Analogon im Dreidimensionalen gibt. Dieser kleine Artikel soll diese Frage beantworten und das ganze ins n-dimensionale fortsetzen. [Edit] [To the bottom] Um die n-dimensionale Fortsetzung zu beweisen, legen wir folgendes fest: Seien a_0=(0,0,0,...,0), a_1=(0,\lambda_1\.,0,...,0) a_2=(0,0,\lambda_2\.,...,0) ... a_n=(0,0,0,...,\lambda_n) mit \lambda_i >0, i=1,2,...,n die Ecken des n-dimensionalen Simplexs. Weiterhin bezeichne S_(n-1)^i den (n-1)-dimensionalen Simplex mit den Ecken a_0\.,a_1\.,...,a_(i-1)\.,a_(i+1)\.,...,a_n\. Dann gilt: Vol_(n-1)(S_(n-1)^0 )^2=sum(Vol_(n-1)(S_(n-1)^i )^2,i=1,n) Man kann das (n-1)-dimensionale Volumen eines Simplex berechnen durch: Vol_(n-1)(S_(n-1)^i)=1/(n-1)!*abs(\det(a_1-a_0\.,...,a_n-a_0\. ) =1/(n-1)!*abs(\det(a_1 , ... , a_n ) =1/(n-1)!*prod(\lambda_j,(j=1,j!=i),n) Weiter kann man das (n-1)-dimensionale Volumen des noch fehlenden Simplex S_(n-1)^0 berechnen mittels: Vol(S_(n-1)^0)=1/(n-1)!*abs(\det(x_1\.,x_2\.,...,x_n\.;-\lambda_1\.,\lambda_2\.,...,0;...,...,...,...;-\lambda_1\.,0,...,\lambda_n)) Entwicklung nach der ersten Zeile mittels Laplace und anschliessender Anwendung des euklidischen Betrags ergibt: =1/(n-1)!*abs(x_1*det(\lambda_2\.,...,0;...,...,...;0,...,\lambda_n)-x_2*det(-\lambda_1\.,0,...,0;-\lambda_1\.,\lambda_3\.,...,0;...,...,...,...;-\lambda_1\.,0,...,\lambda_n)+...+(-1)^n*x_n*det(-\lambda_1\.,\lambda_2\.,...,0;-\lambda_1\.,0,...,0;...,...,...,...;-\lambda_1\.,0,...,0)) =sqrt(Vol(S_(n-1)^1 )^2 +Vol(S_(n-1)^2 )^2 +...+Vol(S_(n-1)^n )^2 ) =sqrt(sum(Vol_(n-1)(S_(n-1)^i )^2,i=1,n)) Durch Quadrieren der Gleichung erhaelt man dann die Behauptung. [Edit] Das war auch schon der ganze Beweis, klar ist uebrigens, dass das ganze nur fuer n>1 funktioniert und man mit n=2 den gewoehnlichen Satz von Pythagoras wiedererhaelt. Gruss, Syn [Edit] \(\endgroup\) [Show outline only] Get link to this article   Printer-friendly version -  Choose languageDE EN     Comments   Für diesen Artikel gibt es keine pdf-Datei Write a comment Dieser Artikel ist im Verzeichnis der Arbeitsgruppe Alexandria eingetragen: : Mathematik :: Geometrie :: Lineare Algebra :: Volumen :: Determinanten : Pythagoras^n [von syngola]   Der Satz des Pythagoras wird schon in der Schule vermittelt und es gibt fast niemanden der ihn nicht kennt. Vielleicht hat man sich auch schon gefragt, ob es nicht vielleicht ein Analogon im Dreidimensionalen gibt. Dieser kleine Artikel soll diese Frage beantworten [Edit] [Die Arbeitsgruppe Alexandria katalogisiert die Artikel auf dem Matheplaneten]

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Re: Pythagoras^n von: Martin_Infinite am: Mo. 16. Mai 2005 15:36:16

\(\begingroup\)Hi, es geht auch etwas abstrakter 😉 Sind x,y orthogonale Vektoren eines Prähilbertraumes, so gilt norm(x+y)^2=norm(x)^2+norm(y)^2 Beweis: makro(sk,span(%1\,%2) norm(x+y)^2=sk(x+y,x+y) =sk(x,x+y)+sk(y,x+y) =sk(x,x)+sk(x,y)+sk(y,x)+sk(y,y)=norm(x)^2+norm(y)^2 \bigbox Induktiv folgt dann auch norm(sum(x_i,i=1,n))^2=sum(norm(x_i)^2,i=1,n) Gruß Martin \(\endgroup\)

Re: Pythagoras^n von: syngola am: Mi. 18. Mai 2005 14:26:17

\(\begingroup\)Hallo Friedrich, der n-dimensionale Simplex ist bei mir durch n+1 Ecken aufgespannt, also jeweils ein Eckpunkt auf den n Achsen und einer genau in 0. Dann entstehen die anderen Simplice durch Weglassen der i-ten Ecke (also n-Ecken). Deine Interpretation ist also richtig. Fuer das Beispiel im R3 betrachte folgendes: legt man dieses Gebilde mit der Spitze so in den Koordinatenursprung, dass die Ecke mit dem Wuerfel drin (D) in 0 zu liegen kommt und die anderen Ecken A,B und C auf den 3 Achsen liegen. Dann kann man den Simplex (hier eine Pyramide mit 3-seitiger Basis) beschreiben durch die Ecken a_0=(0,0,0) a_1=(\lambda_1\.,0,0) a_2=(0,\lambda_2\.,0) a_3=(0,0,\lambda_3) Die Flaechen der Dreiecke (a_0\.,a_i\.,a_j) i,j\in{1,2,3},i!=j kann man berechnen mittels: 1/2*\abs(\det(x,y,z;0,\lambda_i\.,0;0,0,\lambda_j))=1/2*\lambda_i\.\lambda_j Das fehlende Dreieck \D ABC (oben in der Zeichnung die Standflaeche) kann man berechnen mittels: 1/2*\abs(\det(x,y,z;-\lambda_1\.,\lambda_2\.,0;-\lambda_1\.,0,\lambda_3\.)) =1/2*\abs(x*det(\lambda_2\.,0;0,\lambda_3)-y*det(\lambda_1\.,0;-\lambda_1\.,\lambda_3\.)+z*det(\lambda_1\.,\lambda_2\.;-\lambda_1\.,0)) =1/2*\abs(x*\lambda_2\.\lambda_3\.-y*\lambda_1\.\lambda_3+z*\lambda_1\.\lambda_2\.) =1/2*sqrt((\lambda_2\.\lambda_3\.)^2+(\lambda_1\.\lambda_3\.)^2+(\lambda_1\.\lambda_2\.)^2) =sqrt(1/4*(\lambda_2\.\lambda_3\.)^2+1/4*(\lambda_1\.\lambda_3\.)^2+1/4*(\lambda_1\.\lambda_2\.)^2) was genau die Behauptung war. Das heisst also, dass die Summe der Flaechenquadrate der Dreiecke mit rechtem Winkel hier gleich dem Quadrat der Flaeche der Basis ist. (in der Zeichnung hiesse das: A(\D ABC)^2=A(\D ABD)^2+A(\D BCD)^2+A(\D ACD)^2 Gruss, syn \(\endgroup\)