Mathematik: Ana[rchie] III: 90-60-90 und andere schöne Kurven
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Analysis

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Ana[rchie] III: 90-60-90 und andere schöne Kurven

Hallo, Analysis-Freunde. Dies soll nun der dritte Teil der Anarchie-Reihe sein, in dem wir - wie angekündigt - eine der beiden Haupt-Anwendungen der Differentialrechnung behandeln werden: Die Kurvendiskussion. Ziel dieser Methode ist es, so viel wie möglich über den Verlauf eines Funktionsgraphen zu ermitteln, wobei das natürlich auf rechnerischem Wege geschehen soll und nicht durch eine Skizze des Funktionsverlaufes, denn gerade der ist ja oftmals unbekannt und muss erst noch gefunden werden. Und eben dabei ist die Kurvendiskussion ein wichtiges Hilfsmittel.

Dieser Artikel enthält folgende Abschnitte: 1. Stetigkeit 2. Symmetrie 3. Monotonie 4. Extrempunkte 5. Krümmung & Wendestellen 6. Definitionslücken, Null- & Polstellen 7. Grenzverhalten & Asymptoten sowie ein abschließendes Beispiel zur Demonstration der Anwendungen dieser Verfahren.
Da wir uns unserem neusten Hilfsmittel, der Differentialrechnung, bedienen wollen, betrachten wir im Folgenden also insbesondere nur differenzierbare Funktionen.

1. Stetigkeit

Zuerst geht es uns um den Zusammenhang zwischen Differenzierbarkeit und Stetigkeit. Dabei gilt der bemerkenswerte Zusammenhang, dass jede__ \(an einer bestimmten Stelle\) differenzierbare Funktion auch \(an dieser Stelle\) stetig ist. \blue\ Beweis: Sei f die betrachtete Funktion, a eine Stelle des Definitionsbereichs von f und f in a differenzierbar. Dann existiert der Grenzwert f\'(a)=lim(h->0,(f(a+h)-f(a))/h). Das nutzen wir aus, um den Ausdruck f(x_n) etwas umzuformulieren: f(x_n)=(f(x_n)-f(a))/(x_n-a)*(x_n-a)+f(a) \(x_n\.\) soll dabei eine frei wählbare Zahlenfolge sein, die gegen a konvergiert, deren Folgenglieder aber ungleich a sind. Wenn wir h=x_n-a setzen, können wir den Grenzwert bilden: lim(n->\inf,f(x_n))=lim(h->0,(f(a+h)-f(a))/h)*lim(h->0,h)+f(a)=f\'(a)*0+f(a)=f(a) Damit ist also jede \(an der Stelle a\) differenzierbare Funktion auch \(an der Stelle a\) stetig, denn es gilt lim(n->\inf,f(x_n))=f(lim(n->\inf,x_n)) für alle konvergenten Folgen \(x_n\.\), deren Folgenglieder im Definitionsbereich liegen. \blue\ q.e.d. Dies ist schon eine wichtige Erkenntnis über die Funktionen, die wir untersuchen wollen. Denn Stetigkeit heißt ja anschaulich, dass der Funktionsgraph sich "in einem Zug" zeichnen lässt, also keine Sprünge etc. aufweist. Differenzierbarkeit ist nun eine Konkretisierung: Eine differenzierbare Funktion lässt sich nicht nur in einem Zug zeichnen (weil sie stetig ist), sondern ist auch eine richtige Kurve, die keine "Ecken" hat.

2. Symmetrie

Der Mathematiker an sich ist ja eher faul veranlagt und will jede sinnvolle Zeitersparnis mitnehmen. Beim Untersuchen von Funktionen ist eine der wichtigsten Eigenschaften, die einem Zeit ersparen, die Symmetrie. Wenn man weiß, dass eine Funktion symmetrisch ist, hat man oft nur die halbe Arbeit. Es gibt zwei wesentliche Fälle von Symmetrie, die für Funktionen interessant sind: Achsen- und Punktsymmetrie. Eine Funktion f(x) heißt dabei \darkblue\ achsensymmetrisch__\black zur Geraden x=a, wenn f(a+x)=f(a-x) für alle x gilt. Achsensymmetrisch sind z.B. quadratische Funktionen wie diese: \geo xy(-2,4) plot(x^2-2*x) print(f(x)=x^2-2x,2,0) print(a=1,2,-0.5) \geooff \geoprint() Meistens wird der Spezialfall a=0 benötigt, also die Achsensymmetrie zur y\-Achse. Dieser tritt immer dann auf, wenn f(x)=f(-x) ist. Eine solche Funktion wird auch array(\darkblue\ gerade Funktion)__\black genannt. Eine Funktion heißt hingegen \darkblue\ punktsymmetrisch__\black zu einem Punkt P(x_P,y_P), wenn f(x_P-x)-y_P=y_P-f(x_P+x) ist. So ist z.B. diese Funktion punktsymmetrisch zu (3,2) \geo x(0,6) y(-1,5) plot(power(x-3,3)+2) print(f(x)=x^3-9x^2+27x-25,3,2) \geooff \geoprint() Wie schon bei der Achsensymmetrie ist auch hier ein Spezialfall von besonderer Bedeutung. In diesem Fall ist es die Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung (0,0), die sich in der vereinfachten Gleichung f(x)=-f(-x) äußert. Eine solche Funktion wird analog zu den geraden Funktionen array(\darkblue\ ungerade Funktion)__\black genannt. Eine Funktion kann durchaus zu mehreren Achsen oder Punkten symmetrisch sein. Es ist ebenfalls möglich, dass Achsen\- und Punktsymmetrie parallel auftreten. Ein extremes Beispiel ist die Funktion f(x)=sin(\pi||x), die zu allen Geraden der Form x=k+1/2 achsen\- und zu allen Punkten der Form (k,0) punktsymmetrisch ist, wobei hier k eine beliebige ganze Zahl sein soll. \geo ebene(400,200) x(-4,4) y(-2,2) plot(sin(pi()*x)) \geooff \geoprint()

3. Monotonie

Besonders zum Zeichnen von Funktionen ist es wichtig zu wissen, wo die Funktion ansteigt und/oder abfällt. Ansteigen und Abfallen meint dabei die Änderung des Funktionswertes, wenn man dem Graph von links nach rechts folgt, also die x-Werte größer werden lässt. Fachbegrifflich heißt das, dass man die Monotonie der Funktion untersucht. Es stellt sich also die Frage, wo die Funktion monoton steigend, wo monoton fallend ist. Auch dazu können wir die Differentialrechnung bemühen, denn ist eine Funktion f(x) in einem Intervall monoton steigend, so ist für jedes x dieses Intervalls f(x+h)>f(x), falls h>0 und genügend klein ist, sowie f(x+h)0,(f(x+h)-f(x))/h) größergleich 0 ist. Umgekehrt ist in einem Intervall, wo f(x) monoton fallend ist, f\'(x)<=0. \blue\frame \darkred\ Eine Funktion f(x) ist im Intervall I genau dann monoton steigend, wenn für alle x aus I gilt f\'(x)>=0. \darkred\ Eine Funktion f(x) ist im Intervall I genau dann monoton fallend, wenn für alle x aus I gilt f\'(x)<=0. \frameoff \small\ Anmerkung: Wir können natürlich wieder zwischen monoton steigend\/fallend und streng monoton steigend\/fallend unterscheiden. "Einfache" Monotonie würde den Fall f||'(x)=0 mit einschließen. Für strenge Monotonie müsste er ausgeschlossen werden. Anschaulich ist das natürlich klar: Hat die Tangente an die Funktion einen positiven Anstieg, so muss die Funktion im Berührungspunkt der Tangente auch ansteigend sein. Ist umgekehrt der Anstieg der Tangente negativ, so muss die Funktion im Berührungspunkt fallend sein: \geo xy(-4,4) plot(x^3/3-x) color(880000) plot(-x) color(008800) plot(2*x-sqrt(12)) color(000088) plot(2*x+sqrt(12)) \geooff \geoprint() Hier sieht man schön, dass die Funktion im Intervall \(-\inf,-1] monoton steigend ist und die gedachten Tangenten alle einen Anstieg größergleich Null haben. Ebenso sieht man, dass die Tangenten im Intervall [-1,+1] einen Anstieg kleinergleich Null haben und die Funktion monoton fallend ist. Analog folgt das Intervall [+1,+\inf\), in dem Funktion und Tangenten monoton steigend sind. Sehr interessant sind natürlich auch die Stellen, an denen sich das Monotonieverhalten einer Funktion umkehrt, die so genannten...

4. Extrempunkte

Eine der wichtigsten Eigenschaften von Funktionen ist die genaue Lage der Punkte, an denen sie ihren größten bzw. kleinsten Funktionswert haben, die so genannten Extrempunkte. Wenn wir uns einmal eine Funktion wie diese anschauen: \geo xy(-3,3) plot(3*(0.2*x^5+0.5*x^4-0.3333333333333*x^3-x^2)) print(f(x)=3/5*x^5+3/2*x^4-x^3+3x^2,-0.7,-2) \geooff \geoprint() Offensichtlich gibt es keinen größten oder kleinsten Funktionswert, weil die Funktion für größer werdendes x gegen +\inf und für kleiner werdendes x gegen -\inf strebt. Trotzdem gibt es an den Stellen -2, -1, 0, und 1 Punkte, die in ihrer Umgebung den größten oder kleinsten Funktionswert haben. Solche Punkte heißen array(\darkblue\ lokale Extrema)__\black||. Im Gegensatz dazu gibt es auch array(\darkblue\ globale Extrema)__\black||, die also wirklich den größten bzw. kleinsten Funktionswert im gesamten Defintionsbereich darstellen. Einfachstes Beispiel sind quadratische Funktionen wie diese: \geo x(-2,2) y(0,4) plot(x^2) \geooff \geoprint() Diese Funktion besitzt an der Stelle 0 ein globales Minimum, da alle andern Funktionswerte größer als der Funktionswert an dieser Stelle sind. Die genaue Lage solcher Extrempunkte (sowohl lokal als auch global) ist dabei von besonderem Interesse. Fragt sich nur, wie man da heran kommt. Dazu können wir die Differentialrechnung bemühen, denn wenn wir uns vor Augen führen, dass uns die erste Ableitungsfunktion den Anstieg einer Funktion angibt, erkennen wir, dass an einem lokalen Maximumspunkt z.B. zuerst ein positiver Anstieg vorliegt, der dann in einen negativen wechselt. Denn genau das ist es ja, was ein lokales Maximum ausmacht: Zuerst steigt die Funktion an, dann fällt sie wieder ab. Analog findet bei lokalen Minimumspunkten ein Wechsel von negativem zu positivem Anstieg statt. Das führt uns direkt zum ersten Kriterium für lokale Extrema, denn zwischen positiven und negativen Werten liegt bei stetigen Funktionen eine Nullstelle. Das heißt: Dort, wo das lokale Extremum der Funktion liegt (wo also der Anstieg sein Vorzeichen umkehrt), ist die erste Ableitung der Funktion null. \blue\frame \darkred\ Ist x_E eine lokale Extremstelle von f(x), so ist f\'(x_E)=0. \frameoff Falls die Ableitung stetig ist, ist diese Tatsache anschaulich klar. Ist sie nicht stetig, gilt dieser Satz aber trotzdem. \blue\ Beweis: Wir hatten uns ja festgelegt, dass f eine differenzierbare Funktion sein soll, das heißt insbesondere, dass f\'(x_E)=lim(h->0,(f(x_E+h)-f(x_E))/h) existiert. Ist (x_E, f(x_E)) nun ein Maximumspunkt, so ist f(x_E+h)-f(x_E) stets kleinergleich 0, da f(x_E) ja den größten Funktionswert der Umgebung darstellt. Nun können wir uns aber von rechts, d.h. mit h>0, und von links, d.h. h<0, an diese Stelle annähern. Dabei gilt dann aber $ $ lim(h->0; h>0,(f(x_E+h)-f(x_E))/h)<=0 und lim(h->0; h<0,(f(x_E+h)-f(x_E))/h)>=0, so dass sich insgesamt $ $ lim(h->0,(f(x_E+h)-f(x_E))/h)=0 ergibt, da sich rechtsseitiger und linksseitiger Grenzwert nicht unterscheiden dürfen, wenn der Gesamtgrenzwert nach Voraussetzung existiert. Analoge Überlegungen kann man für Minima durchführen. Einziger Unterschied ist, dass sich die Vorzeichen jeweils umkehren. \blue\ q.e.d. Doch dieses Kriterium ist nur notwendig, es ist nicht hinreichend. Das heißt also: Bei jeder Extremstelle x_E ist f\'(x_E)=0, aber nicht überall, wo f\'(x_E)=0 ist, ist x_E auch eine Extremstelle, wie dieses Gegenbeispiel zeigt: \geo xy(-3,3) plot(x^3) print(f(x)=x^3,0,0) \geooff \geoprint() Die erste Ableitung dieser Funktion ist nach der Potenzregel f\'(x)=3x^2. Insbesondere hat sie bei x=0 eine Nullstelle. Trotzdem ist f(0) kein maximaler oder minimaler Funktionswert. Wir brauchen also noch ein Kriterium. Dafür bietet sich ja geradezu die Überlegung an, dass sich bei einem Extrempunkt das Vorzeichen der ersten Ableitung umkehrt. Wie man sich leicht klarmacht, ist das nun ein hinreichendes Kriterium, denn wenn bei ihr ein Wechsel von plus zu minus stattfindet, heißt das, dass die Funktion zuerst ansteigt und dann wieder abfällt, also genau das tut, was wir von einem lokalen Maximumspunkt erwartet. Umgekehrt entspricht ein Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung von minus zu plus einem Minimumspunkt, da die Funktion erst abfällt und anschließend wieder steigt. Das ist also unser hinreichendes (und auch notwendiges) Kriterium: \blue\frame \darkred\ Ist x_E eine Stelle des Definitionsbereichs von f, an der f\'(x_E) einen Vorzeichenwechsel von plus zu minus (bzw. minus zu plus) vollzieht, so ist (x_E, f(x_E)) ein Maximums(Minimums)punkt der Funktion f. \frameoff Nehmen wir an, wir haben die Ableitungsfunktion f\'(x)=5x^4-5x^2 ermittelt: \geo xy(-2,2) plot(5*(x^4-x^2)) \geooff \geoprint() Hier sind -1,0 und 1 offensichtlich Nullstellen. Haben wir eine Zeichnung wie diese vor uns, ist der Vorzeichenwechsel bei -1 und +1 klar erkennbar. Da die Funktionen i.A. aber komplizierter sind, so dass man sie nicht mal eben so zeichnen kann, müssen wir durch Ausrechnen von Funktionswerten feststellen, ob und welcher Vorzeichenwechsel vorliegt. Betrachten wir z.B. die Stelle x_E=-1 genauer, so müssen wir eine Teststelle rechts und eine links von -1 wählen und den Funktionswert von f\'(x) berechnen. Hier würden sich z.B. die x-Werte -2 und -0.5 anbieten. Eingesetzt ergibt sich f\'(-2)=60 und f\'(-0.5)=-15/16. Es findet also ein Vorzeichenwechsel von plus zu minus statt => bei x_E hat die zugehörige Funktion f(x) ein Maximum. Analog würden wir finden, dass bei x=0 kein Extremum vorliegt, während bei x=+1 ein Minimum existiert. \red\ Bei diesem Verfahren ist allerdings Vorsicht geboten!\black Die Teststellen dürfen nicht wahllos ausgesucht werden. Man muss darauf achten, dass zwischen der betrachteten Nullstelle und der ausgewählten Teststelle nicht zufällig noch ein Vorzeichenwechsel stattfindet, da dies das Ergebnis vollkommen verfälschen würde. Die ausgesuchte Teststelle muss also zwischen__ der betrachteten Nullstelle x_E und der nächsten Nullstelle rechts bzw. links von x_E liegen. Handelt es sich bei der untersuchten Funktion f(x) sogar um eine zweimal differenzierbare Funktion (existiert also f\''(x)), kann man manchmal um das Suchen geeigneter Teststellen herumkommen, denn wenn wir nochmal den Plot von f\'(x)=5x^4-5x^2 ansehen, stellen wir fest, dass bei x=-1 und x=+1 der Anstieg der Funktion von Null verschieden ist. Wenn wir uns überlegen, was das geometrisch bedeutet, so kommen wir zu der Erkenntnis, dass ein positiver Anstieg der Ableitungsfunktion gleichbedeutend ist mit einem Vorzeichenwechsel von minus zu plus, also einem Minimum. Analog ist ein negativer Anstieg mit einem Vorzeichenwechsel von plus zu minus, also einem Maximum, äquivalent. Wenn wir jetzt beachten, dass der Anstieg der Ableitungsfunktion mit der Ableitung der Ableitung, also f\''(x) berechnet werden kann, bekommen wir ein weiteres hinreichendes Kriterium: \blue\frame \darkred\ Ist bei einer zweimal differenzierbaren Funktion f(x) \darkred\ f\'(x_E)=0 und f\''(x_E)>0, so ist (x_E, f(x_E)) ein Minimumspunkt \darkred\ f\'(x_E)=0 und f\''(x_E)<0, so ist (x_E, f(x_E)) ein Maximumspunkt. \frameoff Hier sollte man darauf achten, dass dies \(im Gegensatz zum Vorzeichenwechsel\-Kriterium\) nur ein hinreichendes, aber kein notwendiges Kriterium ist. Das heißt: Es gibt auch Extrema, bei denen f\''(x_E)=0 ist, wo wir dieses Kriterium also nicht anwenden können und das Vorzeichenwechsel\-Kriterium benutzen müssen. Ein Beispiel dafür wäre f(x)=x^4, das ein Minimum bei x_E=0 hat, wo aber f\''(x)=12x^2 ist, so dass f\''(x_E)=0 ist.

5. Krümmung & Wendestellen

Ein weiterer Aspekt, der für das Aussehen eines Funktionsgraphen wichtig ist, ist die Frage, wie stark und in welche Richtung ein Graph gekrümmt ist. Die Krümmung wird natürlich vom Anstieg der Funktion beeinflusst. Ist der Anstieg konstant, gilt also f\'(x)=a, so ist f(x) eine Gerade, denn nur bei einer Geraden ist überall im Definitionsbereich der Ansteig gleich. Verändert sich f\'(x), so ist es einleuchtend, dass bei wachsenden Werten von f\'(x) der Verlauf von f(x) linksgekrümmt ist. Analog bedeuten fallende Werte von f\'(x), dass f(x) rechtsgekrümmt ist. Daraus ziehen wir den Schluss, dass die Änderungsrate des Anstiegs \- also die 2.Ableitung von f(x) \- ein Maß für die Krümmung des Graphen ist. Dabei unterscheidet man zwei Fälle: Der Graph der Funktion f(x) ist im betrachteten Intervall \darkblue\ konkav__\black oder \darkblue\ konvex__\black gekrümmt, was man sich als Rechts- bzw. Linkskkurve merken kann. Hier ist die Funktion f(x)=x^3-x dargestellt, die im Intervall (-\inf,0) \darkgreen\ konkav\black||, im Intervall (0,\inf) dagegen \darkred\ konvex\black gekrümmt ist. \geo xy(-3,3) param(xx,-4,0,0.01) param(yy,0, 4,0.01) color(008800) kurve(xx,xx^3-xx) color(880000) kurve(yy,yy^3-yy) \geooff \geoprint() Insbesondere gilt: ist f\''(x)>0, so wächst der Anstieg der Funktion, also ist die Funktion konvex. Ist anders herum f\''(x)<0, so reduziert sich der Anstieg, die Funktion ist konkav. Dazu muss natürlich f\''(x) existieren. Wenn f nicht zweimal differenzierbar ist, können wir mit den Mitteln der Differentialrechnung nichts über die Krümmung aussagen, sondern müssen andere Verfahren zu Rate ziehen, um die es uns hier aber nicht gehen soll. Zusammenfassend gilt also: \blue\frame \darkred\ Ist f(x) eine zweimal differenzierbare Funktion, dann gilt: \darkred\ Ist f\''(x)<0 so ist f(x) im Punkt (x,f(x)) konkav gekrümmt. \darkred\ Ist f\''(x)>0 so ist f(x) im Punkt (x,f(x)) konvex gekrümmt. \frameoff Ähnlich wie man die Punkte, an denen die Monotonie einer Funktion wechselt, mit Extrempunkt bezeichnet, gibt es für die Punkte, an denen die Krümmung wechselt, einen besonderen Namen: Das sind die sogenannten \darkblue\ Wendepunkte__\black||. Da die Krümmung im Prinzip den Anstieg der Anstiegsfunktion darstellt, sind Wendepunkte nichts anderes als die Extrempunkte der 1.Ableitung. Darum übertragen sich die Kriterien für Extrempunkte fast komplett auf Wendepunkte, nur dass man hier nicht zwischen Minima und Maxima unterscheidet: \blue\frame \darkred\ Ist f(x) eine zweimal differenzierbare Funktion mit dem Wendepunkt (x_W, f(x_W)), so ist f\''(x_W)=0. \darkred(x_W, f(x_W)) ist genau dann ein Wendepunkt, wenn f\''(x) bei x_W einen Vorzeichenwechsel durchführt. \darkred\ Ist f(x) sogar dreimal differenzierbar und gilt für ein x_W f\''(x_W)=0 und f\'''(x_W)!=0, so ist (x_W, f(x_W)) ein Wendepunkt von f(x). \frameoff Im Zusammenhang mit der Krümmung steht auch die Untersuchung von Krümmungskreisen. Dazu hat pendragon302 schon einmal einen Artikel verfasst.

6. Definitionslücken, Null- & Polstellen

Durch Extrempunkte, Monotonie- und Krümmungsverhalten lassen sich schon viele Aussagen über das Aussehen eines Funktionsgraphen treffen. Bei komplizierteren Funktionen gibt es aber noch andere interessante Aspekte. Dazu gehören zum einen die Nullstellen, die nicht erst beim Thema Analysis intensiv gesucht werden wollen. (Empfohlen sei an dieser Stelle der Artikel Die Standard-Lösungsverfahren für Polynome) Neben diesen sind vor allem die sogenannten Polstellen von Interesse. Diese treten häufig bei den Funktionen auf, deren Definitionsbereich nicht die kompletten reellen Zahlen umfasst, sondern bestimmte Stellen ausschließt. Ein Beispiel sind die so genannten gebrochenrationalen Funktionen, die die Form p(x)/q(x) haben, wobei p(x) und q(x) Polynome sein sollen, d.h. Funktionen der Form p(x)=a_n*x^n+a_(n-1)*x^(n-1)+...+a_1*x+a_0. Solche Funktionen können oftmals nicht alle reellen Zahlen als Definitionsbereich haben, weil das Nennerpolynom q(x) ja Nullstellen haben kann, wodurch eine undefinierte Division durch 0 auftreten würde. Es gibt nun zwei Möglichkeiten, wie sich so eine isolierte Lücke im Definitionsbereich einer Funktion äußern kann: Sei f(x) eine Funktion, deren Definitionsbereich die reellen Zahlen außer x_0 sind. Man nennt x_0 eine array(\darkblue\ (hebbare) Definitionslücke)__\black||, wenn lim(x->x_0,f(x)) existiert. \(Manchmal werden "Definitionslücke" und "hebbare Definitionslücke" synonym verwendet, manchmal nicht. Wird eine Unterscheidung gemacht, so sind alle isolierten Ausnahmestellen eines Definitionsbereichs mit "Definitionslücke" gemeint.\) So hat z.B. die Funktion f(x)=sin(x)/x so eine hebbare Defintionslücke bei x_0=0 \geo ebene(400,200) x(-4,4) y(-2,2) plot(sin(x)/x) nolabel() color(ffffff) punktform(of) punkt(0,1) color(000000) punktform(o) punkt(0,1) \geooff \geoprint() Da lim(x->x_0,f(x)) für eine hebbare Definitionslücke existiert, kann man zur Funktion f eine "Erweiterte" Funktion f^\* bilden, die im Definitionsbereich von f mit f übereinstimmt und bei x_0 den Grenzwert lim(x->x_0,f(x)) als Wert hat. Es wäre dann also f^\*(x)=fdef(f(x),x!=x_0;lim(x->x_0,f(x)),x=x_0) Deshalb werden diese Lücken auch hebbare__ Definitionslücke genannt, da man die Undefiniertheit "aufheben", also beseitigen kann. So könnte man die obige Funktion f(x)=sin(x)/x wie folgt "erweitern": f^\*(x)=fdef(sin(x)/x,x!=0;1,x=0). Dann wäre f^\*(x) in 0 sogar differenzierbar. Das lässt sich aber nicht immer gewährleisten, wenn man Definitionslücken "behebt", wie dieses Beispiel zeigt: \geo ebene(450,300) x(-3,3) y(-2,2) plot(x/sqrt(abs(x)) print(f(x)=x/sqrt(abs(x))=fdef(sqrt(x),x>0;-sqrt(-x),x<0),0,0) nolabel() color(ffffff) punktform(of) punkt(0,0) color(000000) punktform(o) punkt(0,0) \geooff \geoprint() Hier ist die Definitionslücke bei x_0=0 und es gilt lim(x->0,f(x))=0, wodurch es sich um eine hebbare Lücke handelt. Die Funktion verliert jedoch ihre Differenzierbarkeit, wenn wir diese Lücke "aufheben" wollen, da der $ Differentialquotient an der Stelle 0 nicht existiert, denn schon für den rechtsseitigen Grenzwert gilt: lim(h->0;h>0,(sqrt(0+h)-sqrt(0))/h)=lim(h->0;h>0,1/sqrt(h))=+\inf Existiert der Grenzwert lim(x->x_0,f(x)) für eine isolierte Ausnahme im Definitionsbereich nicht und gilt sogar lim(x->x_0,f(x))=+-\inf, so sagt man, x_0 sei eine \darkblue\ Polstelle__\black von f(x). \(Hierbei müssen rechts\- und linksseitiger Grenzwert nicht übereinstimmen. Es kann auch einer +\inf und der andere -\inf sein. Sind sie verschieden, spricht man ebenso von Polstellen.\) Hierfür wäre z.B. die Funktion f(x)=(x^2-1)/(x^4-4*x^2+4) ein Beispiel, die bei x_0=+-sqrt(2) Polstellen hat: \geo x(-3,3) y(-2,4) plot((x^2-1)/(x^4-4*x^2+4)) \geooff \geoprint() Die Bezeichnung Definitionslücke wird sehr oft auch im weiteren Sinne für jede Art von aus dem Definitionsbereich herausgenommene Stelle verwendet. In diesem Sinne gehören Polstellen auch zu den Definitionslücken einer Funktion. Hat man eine gebrochenrationale Funktion f(x)=p(x)/q(x) vorliegen, ist die Untersuchung auf Polstellen und Definitionslücken sehr einfach. Dazu bestimmt man einfach die Nullstellen von p(x) und q(x). Dann unterscheidet man für jede dieser Stellen 3 Fälle: \blue\frame \darkred\ Sei f(x)=p(x)/q(x) eine gebrochenrationale Funktion. \darkred\ Ist p(x)=0 und q(x)!=0, dann ist x schlicht eine Nullstelle, \darkred\ ist p(x)=0 und q(x)=0, handelt es sich um eine hebbare Definitionslücke oder eine Polstelle, \darkred\ ist p(x)!=0 und q(x)=0, so ist x eine Polstelle von f(x). \frameoff Ist f(x) keine gebrochenrationale Funktion, so ist eine allgemeine Aussage nur schwer zu treffen. Man muss fast immer den jeweils vorliegenden Fall im Speziellen untersuchen. Besonders bei Polstellen ist es wichtig zu wissen, an welcher Seite der Polstelle die Funktion wohin strebt, um sich ein Bild davon zu machen, wie der Graph der Funktion verläuft. Wenn wir schon wissen, dass es sich um eine Polstelle handelt, stellt sich für uns nur noch die Frage, ob die Funktion an dieser Polstelle gegen plus oder minus unendlich geht. Dabei müssen wir wie gesagt die Annäherung von rechts und von links unterscheiden, da bei Polstellen beide Seiten nicht übereinstimmen müssen, wie oben erwähnt wurde. Wichtig ist, dass wir nur wissen müssen, welches Vorzeichen die Funktionswerte "direkt neben" der Polstelle haben, um zu entscheiden, ob eine Annäherung an plus oder minus unendlich vorliegt. Dazu gibt es wieder mehrere Möglichkeiten. Die erste wäre ähnlich zur Bestimmung von Extrema, indem man sich geeignete Teststellen rechts und links der zu untersuchenden Polstelle sucht und diese in die Ausgangsfunktion einsetzt. \red\ Auch hier ist Vorsicht geboten!\black Die Teststellen dürfen wieder nicht wahllos gewählt werden. Wir wollen ja herausfinden, ob sich bei einer Polstelle eine Annäherung an +\inf oder -\inf vorliegt. Dazu dürfen wir also nur Teststellen wählen, die zwischen__ Polstelle und der nächsten Nullstelle rechts bzw. links der Polstelle liegen, denn hinter einer solchen Nullstelle würde sich das Vorzeichen des Funktionswertes umkehren, was wiederum hieße, dass wir mit einer solchen Teststelle auch die Richtung der Polstelle umkehren würden. Bei gebrochenrationalen Funktionen stellt das aber kein Problem dar, da man ja i.d.R. sowieso alle Nullstellen der Zähler\- und Nennerfunktion bestimmt und so einfach die richtigen Teststellen auswählen kann. Eine zweite Möglichkeit ist die schlichte Grenzwertbestimmung. Dazu bestimmt man einfach für die Polstelle x_0 die Grenzwerte lim(x->x_0; x>x_0,f(x)) und lim(x->x_0; xx_0; x>x_0,1/q(x)) bzw. p(x_0)||lim(x->x_0; x

7. Grenzverhalten & Asymptoten

Wie erwähnt unterscheidet man zwischen lokalen und globalen Extremstellen. Um heraus zu bekommen, ob die mit Hilfe der Nullstellen der 1.Ableitung gefundenen lokalen Extremstellen auch globale Extremstellen sind, muss man zunächst ihre Funktionswerte auflisten und den größten bzw. kleinsten herausfinden. Dann muss noch untersucht werden, ob die Funktion an den Grenzen ihres Definitionsbereichs eventuell noch größere oder noch kleinere Werte animmt, die aber kein lokales Extremum sind. So einen Fall hatten wir bei dieser Funktion: \geo xy(-3,3) plot(0.6*x^5+1.5*x^4-x^3-3*x^2)) print(f(x)=3/5*x^5+3/2*x^4-x^3+3x^2,-0.7,-2) \geooff \geoprint() Diese hat 4 lokale Extremstellen, jedoch keine absoluten Extremstellen. Um dieses zu untersuchen, betrachtet man die Grenzwerte der Funktion an den Grenzen ihres Definitionsbereichs. Im Falle der meisten Funktionen heißt das: man führt eine Grenzwertbetrachtung für x->+-\inf durch. Ist der Grenzwert größer als das größte lokale Maximum oder strebt gegen +\inf, so gibt es kein einzelnes globales Maximum. Ist der Grenzwert kleiner als das größte lokale Maximum oder -\inf, so ist dieses zugleich auch das globale. Analog ist ein lokales Minimum auch ein globales, wenn die Grenzwerte an den Rändern des Definitionsbereichs größer als das lokale Minimum oder +\inf sind. Dazu wieder ein paar Beispiele: \geo ebene(400,200) y(-2,2) x(-4,4) plot((2*x^2-1)/(x^4+1)) print(f(x)=(2*x^2-1)/(x^4+1),1,2) \geooff \geoprint() Hier sind die Grenzwerte lim(x->+-\inf,f(x))=0 und damit größer als -1, sodass das lokale Minimum (0,-1) auch ein globales ist. Ebenso ist 0<2/(1+sqrt(5)), sodass die beiden lokalen Maxima (+-sqrt((1+sqrt(5))/2), 2/(1+sqrt(5))) auch globale sind. \geo ebene(400,200) x(-8,2) y(-2,3) plot(exp(x)*(x^2-x)) print(f(x)=exp(x)*(x^2-x),-3,2) \geooff \geoprint() hier gilt lim(x->-\inf,f(x))=0 und lim(x->+\inf,f(x))=+\inf, so dass diese Funktion bei (-1+sqrt(5))/2 ein Minimum hat, das lokal und global ist, während das Maximum bei (-1-sqrt(5))/2 nur ein lokales, aber kein globales ist. Eine besondere Art des Funktionsverlaufs am Rand des Definitionsbereichs zeigt sich in der Existenz der sogenannten \darkblue\ Asymptoten__\black||. Das sind Geraden, an die sich der Graph annähert. Die Funktionen f(x)=(2*x^2-1)/(x^4+1) und f(x)=exp(x)*(x^2-x), deren Verlauf oben dargestellt ist, haben z.B. eine Asymptote mit der Gleichung y=0, da der Grenzwert lim(x->-\inf,f(x))=0 und im Falle der ersten Funktion auch lim(x->+\inf,f(x))=0 ist. Man unterscheidet zwischen senkrechten Asymptoten, die genau bei den Polstellen auftreten, schrägen Asymptoten und waagerechten Asymptoten, die immer dann auftreten, wenn wie hier der Grenzwert für x gegen +\inf oder -\inf existiert. Schräge Asymptoten treten bei Funktionen auf, die die Form f(x)=mx+n+R(x) haben, wobei R(x) eine Funktion sein muss, die lim(x->+\inf,R(x))=0 oder lim(X->-\inf,R(x))=0 erfüllt. R(x) ist dann genau der Abstand von f(x) zur Geraden y=mx+n. Da dieser mit wachsendem x gegen 0 geht, nähert sich f(x) also dieser Geraden an. Ein Beispiel sind gebrochenrationale Funktion p(x)/q(x), wenn der Grad von p(x) genau um eins höher ist als der Grad von q(x), wie es z.B. bei f(x)=(2x^3+x^2-4x+1)/(x^2+x+1)=2x-1-5x/(x^2+x+1) der Fall ist. Es kann von jeder Asymptoten\-Art mehrere in einer Funktion geben, z.B. hat die Funktion f(x)=2/\pi*arctan(3x) zwei waagerechte Asymptoten: \geo ebene(400,200) x(-4,4) y(-2,2) plot(2*atan(3*x)/pi()) color(880000) plot(1) plot(-1) \geooff \geoprint() Es können ebenso mehrere Arten von Asymptoten gleichzeitig vorkommen. Hier einmal ein extremes Beispiel, in dem alle 3 Arten versammelt sind: \geo ebene(500,400) x(-6,4) y(-3,5) param(xx,-6,1,0.01) param(yy,1,6,0.01) kurve(xx,1/power(xx-1,2)-2) kurve(yy,2*yy-4+1/(yy-1)) nolabel() color(880000) punkt(1,-2,p1,hide) punkt(1,-1,p2,hide) punkt(2,-2,p3,hide) punkt(2,0,p4,hide) gerade(p1,p2) gerade(p1,p3) gerade(p1,p4) print(f(x)=fdef(1/(x-1)^2-2,x<1;(2x^2-6x+5)/(x-1),x>1),-5,5) \geooff \geoprint() Wir fassen zusammen: \blue\frame \darkred\ Eine Gerade Ax+By=C heißt genau dann waagerechte Asymptote der Funktion f(x), wenn lim(x->+\inf,f(x))=C/B oder lim(x->-\inf,f(x))=C/B gilt. Dann gilt A=0. \darkred\ Sie heißt genau dann senkrechte Asymptote, wenn f(x) eine Polstelle an der Stelle C/A besitzt. Es gilt dann B=0. \darkred\ Sie heißt genau dann schräge Asymptote, wenn f(x) die Form f(x)=A/B\.x+C/B+R(x) hat mit lim(x->+\inf,R(x))=0 und\/oder lim(x->-\inf,R(x))=0 und wenn A!=0 ist. \darkred\(A=0 würde ja auf eine waagerechte Asymptote führen\) \frameoff

Endlich ein Beispiel

Jetzt wollen wir unser gesammeltes Wissen einmal anwenden und eine vollständige Kurvendiskussion der Funktion f(x)=(x^2-4)/(2-2*x^2) durchführen. \big\ Zum Anfang: Ableitungen Zuerst sollte man sich immer die Funktion und ihre Ableitungen aufschreiben, damit man sie übersichtlich an einem Platz hat: f(x)=1/2*(x^2-4)/(1-x^2) \align\ f'(x)><=1/2*(2x(1-x^2)-(x^2-4)(-2x))/((1-x^2)^2) ><=1/2*(-6x)/((1-x^2)^2) ><=-3x/((1-x^2)^2) \breakalign f''(x)><=-3*((1-x^2)^2-x(1-x^2)(-2x)2)/((1-x^2)^4) ><=-3*(1-x^2+4x^2)/((1-x^2)^3) ><=-3*(3x^2+1)/((1-x^2)^3) \breakalign f'''(x)><=-3*(6x(1-x^2)^3-(3x^2+1)(1-x^2)^2(-2x)3)/((1-x^2)^6) ><=-3*(6x(1-x^2)+6x(3x^2+1))/((1-x^2)^4) ><=-36*x(x^2+1)/((1-x^2)^4) \stopalign \big\ 1.Schritt: Symmetrie Es gilt für unsere Funktion f(-x)=1/2*((-x)^2-4)/(1-(-x)^2)=1/2*(x^2-4)/(1-x^2)=f(x), es handelt sich also um eine gerade Funktion, die insbesondere achsensymmetrisch zur y\-Achse ist. Mit Kenntnis dieses Fakts können wir einige Sachen aus Symmetriegründen auf die Hälfte der Rechnerei reduzieren. \big\ 2.Schritt: Nullstellen Um die Nullstellen der Funktion zu bestimmen, benutzen wir die Regel, dass ein Quotient genau dann Null ist, wenn der Zähler Null, der Nenner aber ungleich 0 ist. Das führt uns nämlich auf die Gleichung: 0=x^2-4 => x_1\/2=+-2 Diese beiden Lösungen setzen wir in den Nenner ein, um zu bestimmen, ob der Nenner ungleich Null ist: 2*(1-(+-2)^2)=-6!=0 Die Nullstellen von f(x) liegen also bei array(x_1\/2=+-2)____ \big\ 3.Schritt: Lokale Extrema Um die lokalen Extrema zu bestimmen, benutzen wir die Erkenntnis, dass bei lokalen Extremstellen die erste Ableitung gleich 0 ist. Wir erhalten also die Gleichung: 0=-3x/((1-x^2)^2) => -3x=0 und (1-x^2)^2!=0 Die erste Gleichung führt uns auf die Lösung x_E=0, was in die zweite eingesetzt (1-0)^2=1!=0 ergibt. Setzen wir x_E in die zweite Ableitung ein, erhalten wir f''(x_E)=-3<0. Deshalb liegt bei x_E ein lokales Maximum vor. Um den Maximumspunkt zu bekommen, setzen wir in die Ausgangsfunktion ein: f(x_E)=1/2*((0-4)/(1-0))=-2 Der Maximumspunkt ist also array(P_Max\.(0,-2))____. \big\ Schritt 4: Wendepunkte Analog zu den Extrempunkten verfahren wir mit den Wendepunkten. Wir nutzen aus, dass bei jedem Wendepunkt die 2.Ableitung 0 wird und ermitteln so mögliche Kandidaten, die wir dann durch die weiteren Kriterien entsprechen überprüfen. Wir setzen also die 2.Ableitung Null: 0=-3*(3x^2+1)/((1-x^2)^3) => 0=3x^2+1 und (1-x^2)^3!=0 Da schon die erste Gleichung in den reellen Zahlen nicht lösbar ist, können wir mit der Erkenntnis, dass f(x) keine__ Wendepunkte besitzt, hier schon abbrechen. \big\ Schritt: 5.Polstellen Dazu erinnern wir uns, wann bei gebrochenrationalen Funktionen Polstellen auftreten: Wenn das Zählerpolynom ungleich 0 und das Nennerpolynom gleich 0 ist. Das führt uns auf die Gleichungen: 1-x^2=0 und x^2-4!=0 Die Lösungen der ersten Gleichung sind offensichtlich x_P1\/P2=+-1, was in die zweite eingesetzt die wahre Aussage (+-1)^2-4=-3!=0 ergibt. Wir haben also zwei Polstellen bei array(x_P1\/P2=+-1)____ gefunden. Jetzt müssen wir untersuchen, wie sich die Funktion an diesen Polstellen verhält. Dabei können wir uns aus Symmetriegründen auf den Bereich x>=0 beschränken. Wir wählen also zur Untersuchung der Polstelle bei x_P1=1 die beiden Teststellen x_1=1/2 und x_2=3/2. Dabei sei nochmal dran erinnert, dass diese Teststellen sich zwischen__ Polstelle und der nächstgelegenen Nullstelle befinden müssen. Da die Nullstellen -2 und +2 sind, ist dies hier der Fall. Setzen wir diese Teststellen also ein: f(x_1)=-5/2 <0 f(x_2)=7/10 >0 Daraus können wir schlussfolgern, dass die Funktion bei Annäherung von rechts an x_P1=1 gegen +\inf, bei Annäherung von links an x_P1=1 gegen -\inf strebt. Es gilt also lim(x->x_P1; x>x_P1,f(x))=+\inf und lim(x->x_P1; xx_P2; xx_P2; x>x_P2,f(x))=-\inf \big\ 6.Schritt: Verhalten im Unendlichen und Asymptoten Dazu untersuchen wir wie oben beschrieben die Limiten lim(x->+-\inf,f(x)). Wegen der Achsensymmetrie müssen diese beiden natürlich übereinstimmen und wir können sie gemeinsam berechnen: lim(x->+-\inf,1/2*(x^2-4)/(1-x^2))=1/2*lim(x->+-\inf,(1-4/x^2)/(1/x^2-1)) =1/2*(1-lim(x->+-\inf,4/x^2))/(lim(x->+-\inf,1/x^2)-1) =1/2*(1-0)/(0-1) =-1/2 Daraus folgt, dass f(x) die waagerechte Asymptote y=-1/2 besitzt. Eine schräge Asymptote kann es nicht geben, da dann mindestens einer der Limiten lim(x->+-\inf,f(x)) gegen +\inf oder -\inf streben müsste, was hier ja nicht der Fall ist. Senkrechte Asymptoten gibt es aber sehr wohl. Diese haben wir mit Untersuchung der Polstellen bereits gefunden. Ihre Geradengleichungen lauten x=-1 und x=+1. \big\ Letzter Schritt: Zeichnung anfertigen Nachdem wir nun so viel über diese Funktion wissen, können wir sie endlich auch zeichnen: \(Punkte, die wir uns im Laufe der Kurvendiskussion ausgerechnet haben, sind mit einem Kreuz markiert. Die Asymptoten sind als graue Linien dargestellt.\) \geo ebene(500,500) xy(-5,5) plot(0.5*(x^2-4)/(1-x^2),f) nolabel() punkt(f,-2.0) punkt(f,-1.5) punkt(f,-0.5) punkt(f,0) punkt(f, 0.5) punkt(f, 1.5) punkt(f, 2.0) color(dddddd) punkt(-1,-0.5,p1,hide) punkt(-1,0,p2,hide) punkt( 1,-0.5,p3,hide) punkt( 1,0,p4,hide) gerade(p1,p2) gerade(p3,p4) gerade(p1,p3) \geooff \geoprint()
Ich hoffe, ich konnte euch einen gut verständlichen Überblick über die Aspekte der Kurvendiskussionen geben, auch wenn er zugegebenermaßen sehr lang geworden ist. Aber ihr habt ja selbst gemerkt, dass es sich hier um ein sehr komplexes Thema handelt. Wenn ihr mögt, dann lesen wir uns in Teil IV wieder, der die zweite Hauptanwendung der Differentialrechnung - die Extremwertaufgaben - behandeln wird, die auf der Kurvendiskussion aufbauen. m*f'(g$Gockel)

Die Ana[rchie]-Reihe

Teil I: Folgen Sie mir! Teil II: Der Blitzableiter Teil III: 90-60-90 und andere schöne Kurven Teil IV: Extremsport Teil V: Neues vom Integrationsbeauftragten Teil VI: Ich hab den Bogen raus!
\(\endgroup\)
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: Analysis :: Leicht verständlich :: Schüler aufwärts :: Kurvendiskussion :
Ana[rchie] III: 90-60-90 und andere schöne Kurven [von Gockel]  
Teil III beschäftigt sich mit dem ersten großen Anwendungsgebiet der Differentialrechnung, die Kurvendiskussion. Dabei werden die wesentlichsten Punkte angesprochen, die in einer Kurvendiskussion vorkommen können:
1. Stetigkeit
2. Symmetrie
3. Monotonie
4. Extrempunkte
5. Krümmung & Wendestellen
6. Definitionslücken, Null- & Polstellen
7. Grenzverhalten & Asymptoten
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"Mathematik: Ana[rchie] III: 90-60-90 und andere schöne Kurven" | 11 Comments
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Re: Ana[rchie] III: 90-60-90 und andere schöne Kurven
von: Hardy am: So. 29. Mai 2005 21:50:25
\(\begingroup\)Einen schönen Artikel hast du da geschrieben. Gruß, Hardy\(\endgroup\)
 

Re: Ana[rchie] III: 90-60-90 und andere schöne Kurven
von: InWi-UniKA am: So. 29. Mai 2005 21:58:28
\(\begingroup\)Und einen schönen Titel gewählt :)\(\endgroup\)
 

Re: Ana[rchie] III: 90-60-90 und andere schöne Kurven
von: Holibert am: Mo. 30. Mai 2005 12:24:33
\(\begingroup\)Nein der Titel passt perfekt :) und im Notfall ist er auch hebbar ;) *hehe* ;) Gruss\(\endgroup\)
 

Re: Ana[rchie] III: 90-60-90 und andere schöne Kurven
von: Hans-im-Pech am: Mo. 30. Mai 2005 12:44:18
\(\begingroup\)Viel Arbeit hast Du Dir gemacht und der Artikel ist auch sehr gut geworden (der Titel übrigens auch *gg*). Gruß, HiP\(\endgroup\)
 

Re: Ana[rchie] III: 90-60-90 und andere schöne Kurven
von: riemann05 am: Mo. 30. Mai 2005 18:19:45
\(\begingroup\)wirklich gelungene artikelserie. Weiter so Gockel!!!\(\endgroup\)
 

Re: Ana[rchie] III: 90-60-90 und andere schöne Kurven
von: FlorianM am: Fr. 03. Juni 2005 17:40:39
\(\begingroup\)Ich kenne auch deine anderen Artikel aus dieser Serie und bin von allen begeistert! Weiter so. :)\(\endgroup\)
 

Re: Ana[rchie] III: 90-60-90 und andere schöne Kurven
von: FlorianM am: So. 18. September 2005 18:36:22
\(\begingroup\)Wann erscheint denn der 4. Teil? :)\(\endgroup\)
 

Re: Ana[rchie] III: 90-60-90 und andere schöne Kurven
von: Gockel am: Mo. 19. September 2005 16:39:48
\(\begingroup\)Wann wirst du endlich aufhören, zu fragen? Ich sagte es dir schon etliche Male: Dann, wenn er fertig ist und keinen Moment früher! mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

Re: Ana[rchie] III: 90-60-90 und andere schöne Kurven
von: cow_gone_mad am: Mo. 19. September 2005 22:38:59
\(\begingroup\)Hallo ihr, ich muss doch noch mal aufschreiben, was mich bei diesem Artikel extrem wundert. Gockel schreibt: Dies soll nun der dritte Teil der Anarchie-Reihe sein, in dem wir - wie angekündigt - eine der beiden Haupt-Anwendungen der Differentialrechnung behandeln werden: Die Kurvendiskussion. Was ist die andere? Und: Wo spielen Kurvendiskussionen eine Rolle? Liebe Grüsse, cow_\(\endgroup\)
 

Re: Ana[rchie] III: 90-60-90 und andere schöne Kurven
von: mathedoofi am: Mo. 20. Oktober 2008 17:32:16
\(\begingroup\)Halli Hallo ich habe da mal ne Frage.. ich such schon die ganze zeit eine überschrift dafür.. wo ich jemanden fragen kann , ob er/sie mir die aufgabe lösen kann ... ich habe ne hausaufgabe auzfbekommen die ich leider nicht kann.. und ich komme nicht mehr klar... :( und zwar geht es um KURVENDISKUSSION ;( Diskutieren Sie folgenden Funktionen .* * Es sollen die Wertetabellen den Bereich zwischen -5 und 5 abdecken. Die Schrittweite x:=0.5 Der Maßstab der Skizzen ist so zu wählen, dass eine DIN A4 Seite entweder im Querformat oder im Hochformat optimal ausgenutzt wird. a) f (x)=x³+x²-x-1 b) g (x)=x[1+x(1+x)] c) h (x)=-xhoch 4 +3x² d) k (x)=(-0.1000)(x+3)(x+1)(x-2)(x-4) relative Tiefstelle =0.5 e) l (x)=0.1250(x-4)³ Wer kann mir helfen?? Kann die person es mir per e mail schicken ?? wäre echt nett.. e-mail adresse: babyyy01@hotmail.de mfg\(\endgroup\)
 

Re: Ana[rchie] III: 90-60-90 und andere schöne Kurven
von: Diophant am: Mo. 20. Oktober 2008 22:37:05
\(\begingroup\)@mathedoofi Bitte stelle solche Fragen im Forum. Die Kommentare unter Artikeln sollten sich nur auf den Artikel selbst beziehen. Vielen Dank! Gruß, Diophant \(\endgroup\)
 

 
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