Mathematik: Darstellungstheorie endlicher Gruppen, Teil 1
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Mathematik

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Darstellungstheorie endlicher Gruppen oder:
auf den Charakter kommt es an

Teil 1: Lineare Darstellungen

Diese Artikelserie wird sich mit der Darstellungstheorie endlicher Gruppen beschäftigen. Dies ist der erste von drei Teilen: Teil 1: Lineare Darstellungen Teil 2: Charaktertheorie Teil 3: Untergruppen, Produkte von Gruppen und geliftete Charaktere Zuerst werde ich einige wichtige Begriffe klären bevor wir dann zur Charaktertheorie kommen. Am Ende werden wir wichtige Eigenschaften von Gruppen aus der Charaktertafel ablesen können. Voraussetzung für diese Artikel ist sicherlich Lineare Algebra und ein bisschen Gruppentheorie. Ich empfehle Gockels Gruppenzwang.

Motivation: Warum Darstellungstheorie

In der üblichen Darstellung von Gruppen durch Erzeugende + Relation sind viele Eigenschaften nicht direkt erkennbar. Deshalb macht man sie in einer gewissen Hinsicht "sichtbar" indem man sie auf ein besser verstandenes Objekt abbildet. Hier ist das die lineare Gruppe der Vektorraumautomorphismen GL(V). GL von groupe linéare

GL(V)

Sei V ein endl.dim. Vektorraum über \IC mit Dimension n. GL(V): Gruppe der Vektorraumautomorphismen von V Anschaulich:__ Nach Wahl einer Basis entspricht a \el GL(V) einer Matrix A in GL_n(\IC). Nach Basiswahl kann also GL(V) mit GL_n(\IC) identifiziert werden.

Definition (Darstellung)

G sei endliche Gruppe, V endl. dim. \IC-Vektorraum Eine lineare Darstellung von G in V ist ein Homomorphismus \rho: G -> GL(V) \rho(s*t)=\rho(s)*\rho(t) $|$|$ \forall\ s,t \el G Der Grad der Darstellung = dim V =n Notation:__ \rho(s)=\rho_s (mathematisch überflüssig aber psychologisch wertvoll) Bemerkungen__ 1) \rho(1_G)=1_(GL(V)) 2) \rho(s^(-1))=(\rho(s))^(-1) V ist Darstellungsraum für G. Man sagt auch (achtung verwirrend!) V ist Darstellung von G.

Darstellung in Matrixform

Sei ((e_j )^n)_(j=1) eine Basis von V und \rho: G -> GL(V) eine (lineare) Darstellung. Dann entspricht jedem \rho_s, s\el G, eine Matrix R_s \el GL_n(\IC). Also ist det(R_s)!=0 und R_(st)= R_s*R_t Mittels Matrixeinträgen: R_s= \( r_(ij)(s) \)_(ij)^n $|$|$ \forall\ s \el G r_(ij)(st)=sum(r_(ik)(s)*r_(kj)(t),k=1,n)

Äquivalente Darstellungen

\stress\ Definition__ Seien \rho: G -> GL(V) und \rho ': G -> GL(V') Darstellungen derselben Gruppe G. Dann heißen \rho und \rho ' ähnlich, falls es einen linearen Isomorphismus \tau:V->V' gibt mit \tau \circ \rho_s = \rho '_s \circ \tau $|$|$ \forall\ s \el G In Matrixform ausgedrückt (also \rho_s -> R_s \el GL_n(\IC),\rho '_s -> R'_s \el GL_n(\IC),\tau -> T, n=dim V=dim V') bedeutet dies, daß es eine invertierbare Matrix T gibt mit T*R_s = R'_s*T $|$|$ also $|$|$ T*R_s*T^(-1) = R'_s (Ähnlichkeitsbegriff aus der LA) Ähnlichkeit von Darstellungen ist eine Äquivalenzrelation.

Beispiele

\stress(a) array(Darstellungen vom Grad 1)__ \rho : G -> GL(V)~=GL_1(\IC)=\IC^x=\IC\\ menge(0) Da \rho ein Homomorphismus ist gilt \rho(1)=\rho(1^2)=\rho(1)^2 wobei 1 das Neutralelement von G ist. Also ist \rho(1)=1. Da G endlich ist gibt es ein n so, daß s^n=1. Also 1=\rho(1)=\rho(s^n)=\rho(s)^n. Also ist \rho(s) eine n-te Einheitswurzel $|$|$ \forall\ s \el G \stress(b) array(Die triviale Darstellung)__ Jedes \rho(s) tut nichts, also \rho(s)=1_(GL(V))$|$|$ \forall\ s \el G \stress(c) array(Die reguläre Darstellung)__ Sei abs(G) die Ordnung von G, V ein Vektorraum mit dim(V)=abs(G) mit Basis \(e_t \)_(t \el G) Definiere \rho_s als die lin. Abbildung V -> V, die e_t auf e_(st) abbildet, für alle s \el G. \stress(d) array(Die Permutationsdarstellung)__ G operiere auf einer endlichen Menge X. d.h. jedes s\el G permutiert die Elemente von X wobei 1_G die triviale Permutation ist und (st)x=s(tx) \forall\ s,t \el G und \forall\ x \el X Sei nun V der abs(X)-dim VR mit Basis \( e_x \)_(x\el X). Dann kann jedem s \el G diejenige lin. Abbildung \rho_s \el GL(V) ~= GL_(abs(X))(\IC) zugeordnet werden, die e_x |->e_(sx) abbildet für alle x \el X.

Unterdarstellungen

Sei \rho:G->GL(V) eine Darstellung und W\subset\ V ein Unterraum. Sei W invariant (oder stabil) unter G d.h. \forall\ x \el W , \forall\ s \el G: \rho_s(x) \el W Dann ist für jedes Element s \el G die Einschränkung \rho_s \|_W ein Automorphismus von W und daher ist \rho_s \|_W eine Darstellung von G in W. Diese heißt Unterdarstellung von V.

Komplementäre Darstellungen und direkte Summen

\stress\ Erinneung (LA): Sei V ein Vektorraum und W, W' seien Unterräume von V. V heißt direkte Summe von W und W', wenn sich jedes x \el V eindeutig darstellen läßt als x=w+w' mit w \el W und w' \el W'. gleichbedeutend: W \cut\ W' = 0 und dim V= dim W + dim W' Man schreibt V= W \oplus\ W' W' heißt Komplement von W in V. Die Abbildung p:V->W, die jedem x \el V seine Komponente w \el W zuordnet heißt Projektor von V auf W. Das Bild von p ist W und für x \el W gilt p(x)=x. \stress \big \array(SATZ 1)__ Sei \rho:G->GL(V) eine lin. Darstellung von G und sei W ein Unterraum von V, der G-invariant ist. Dann gibt es ein G-invariantes Komplement W^0 von W in V. \stress\Beweis:__ Sei W' irgendein Komplement von W in V und p der entsprechende Projektor von V auf W. Wichtiger Trick: Mittelbildung über die Konjugierten von p p^0=1/(abs(G)) sum(\rho_t * p * \rho_t^(-1),t \el G,) Da V durch p in W abgebildet wird und \rho_t W invariant läßt, sieht man, daß V durch p^0 in W abgebildet wird. Für x \el W gilt \rho_t^(-1) (x) \el W => p\rho_t^(-1) (x)=\rho_t^(-1) (x), $|$ \rho_t p\rho_t^(-1) (x)=x p^0 ist somit ein Projektor von V auf W und hat ein Komplement W^0 von W in V, d.h. p^0 \|_(W^0) =0. Ferner gilt \rho_s p^0 = p^0 \rho_s $|$|$ \forall\ s \el G: \align \rho_s*p^0*\rho_s^(-1) = 1/(abs(G)) sum(\rho_s \rho_t * p * \rho_t^(-1) \rho_s^(-1),t \el G,) = 1/(abs(G)) sum(\rho_(st) * p * \rho_(st)^(-1),t \el G,) =p^0 \stopalign Weil nun p^0 y=0 für y \el W^0, gilt für s \el G und y \el W^0 p^0 \rho_s(y)=\rho_s p^0 (y)=0 also \rho_s(y) \el W^0. W^0 ist also G-invariant. array( )q.e.d. \stress\ Anmerkung__ Durch den Trick der Mittelbildung konstruieren wir aus einer bel. Projektion eine mit allen \r_g , g \el G vertauschbare Projektion, deren Kern G-invariant ist. Der SATZ oben heißt auch manchmal SATZ von Maschke. \stress\ Definition__ Die Darstellung V von G ist eine direkte Summe von Darstellungen W und W^0, falls V=W\oplus W^0 als VR und falls auch W und W^0 G-invariant sind. Wenn die Darstellungen W bzw. W^0 durch die Matrizen R_s bzw. R_s^0 , s \el G gegeben ist, dann ist die Darstellung W\oplus W^0 gegeben durch die folgende Matrix: (R_s,0;0,R_s^0) Analog definiert man die direkte Summe endl. vieler Darstellungen.

Irreduzible Darstellungen

Eine Darstellung V heißt irreduzibel wenn sie != 0 ist und keine echte Unterdarstellung hat. (0 und V sind keine echten Unterdarstellungen). Dies ist gleichbedeutend damit, daß V nicht in die direkte Summe von echten Unterdarstellungen zerlegt werden kann. \stress\ Folgerung: \normal Alle 1-dim. Darstellungen sind irreduzibel. Als kleiner Appetithappen eine Vorschau: Genau die Abelschen Gruppen haben nur 1-dim. irreduzible Darstellungen. \stress \big \array(SATZ 2)__ Jede Darstellung ist eine direkte Summe von irreduziblen Darstellungen \stress\ \array(Bemerkung)__ V=W_1 \oplus W_2 \oplus ... \oplus W_k Eine solche Zerlegung in irreduzible ist im Allgemeinen nicht eindeutig. \(alle \rho_s=1: Die W_i sind Geraden und man kann einen VR auf viele Weisen in eine direkte Summe von Geraden zerlegen) Die Anzahl der W_i, die zu einer gegebenen irreduziblen Darstellung äquivalent sind hängt jedoch nicht von der Zerlegung ab.

Tensorprodukte von Darstellungen

\ Die direkte Summe ist ja eine Art Addition. Nun wollen wir mit dem Tensorprodukt auch eine Art Multiplikation einführen. \stress\ Anschaulich: \normal A, B Matrizen, A \el M_(2x1)(\IC), B \el M_(3x4)(\IC) A=(a_(11);a_(21)), array( )B=(b_(11),...,b_(14);b_(21),...,b_(24);b_(31),...,b_(34)) A \otimes B = (a_(11)*(b_(11),...,b_(14);b_(21),...,b_(24);b_(31),...,b_(34));a_(21)*(b_(11),...,b_(14);b_(21),...,b_(24);b_(31),...,b_(34)))=(a_(11)*B;a_(21)*B) \el M_(6x4)(\IC) \stress\ Erinnerung (Tensorprodukt): Seien V_1 und V_2 Vektorräume mit Basen \(e_i^1 \)_(i=1)^n und \(e_j^2 \)_(j=1)^m. Ein VR W mit einer bilinearen Abbildung \beta: V_1 x V_2 -> W heißt Tensorprodukt von V_1 und V_2 (V_1\otimes V_2 ), falls die \(e_i^1 \otimes e_j^2 \)_(i,j) eine Basis von W bilden. Die Dimension von V_1 \otimes V_2 ist durch dim V_1 * dim V_2 gegeben. \stress\ Definition__ Das Tensorprodukt zweier Darstellungen \rho^1 :G->GL(V_1) und \rho^2 :G->GL(V_2) derselben Gruppe G ist definiert als die Darstellung, für die \rho_s \el GL(V_1 \otimes V_2)gegeben ist durch \rho_s (v_1\otimes v_2)=\rho_s^1(v_1)\otimes \rho_s^2(v_2) $|$|$ \forall\ v_1 \el V_1, v_2 \el V_2, s \el G array(Notation:)__ \rho_s = \rho_s^1 \otimes \rho_s^2 array(In Matrixform)__ \(e_(i_1)^1 \)_(i_1) sei Basis von V_1, \(r_(i_1 ,j_1)(s) \) die Matrix von \rho_s^1 bzgl. dieser Basis und \(e_(i_2)^2 \)_(i_2) sei Basis von V_2, \(r_(i_2 ,j_2)(s) \) die Matrix von \rho_s^2 bzgl. dieser Basis. \rho_s^1(e_j_1)= sum(r_(i_1 ,j_1)(s)*e_(i_1),i_1,), array( ) \rho_s^2(e_j_2)= sum(r_(i_2 ,j_2)(s)*e_(i_2),i_2,) => \rho_s(e_(j_1)^1 \otimes e_(j_2)^2)=sum(r_(i_1 ,j_1)(s)*r_(i_2 ,j_2)(s)*(e_(j_1)^1 \otimes e_(j_2)^2),(i_1 , i_2),) Die Matrix zu \rho_s ist also (r_(i_1 ,j_1)(s)*r_(i_2 ,j_2)(s)), das Matrixtensorprodukt der Matrizen zu \rho_s^1 und \rho_s^2. Das Tensorprodukt von zwei irreduziblen Darstellungen muß nicht irreduzibel sein. Aber es zerlegt sich natürlich in solche.
Zur Fortsetzung
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Darstellungstheorie endlicher Gruppen, Teil 1 [von jannna]  
Darstellungstheorie endlicher Gruppen oder: auf den Charakter kommt es an Teil 1: Lineare Darstellungen Diese Artikelserie wird sich mit der Darstellungstheorie endlicher Gruppen beschäftigen. Dies ist der erste von drei Teilen: Teil 1: Lineare Darstellungen Teil 2: Charaktertheorie Teil 3
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"Mathematik: Darstellungstheorie endlicher Gruppen, Teil 1" | 8 Comments
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Re: Darstellungstheorie endlicher Gruppen, Teil 1
von: Rebecca am: Fr. 03. Juni 2005 17:55:06
\(\begingroup\)Hi Jannna, von Linearer Algebra verstehe ich zu wenig, um deinen Artikel zu würdigen. Aber gelernt habe ich trotzdem was: Bisher hätte ich bei "gelifteten Charakteren" eher an ältere Schauspielerinnen gedacht, jetzt weiß ich, dass das ein mathematischer Begriff ist. Gruß Rebecca\(\endgroup\)
 

Re: Darstellungstheorie endlicher Gruppen, Teil 1
von: Martin_Infinite am: Fr. 03. Juni 2005 17:57:44
\(\begingroup\)@Rebecca: Bei deinem nächsten Spaziergang durch den Wald kannst du ja an das hier denken 😉\(\endgroup\)
 

Re: Darstellungstheorie endlicher Gruppen, Teil 1
von: daspan am: Fr. 03. Juni 2005 18:14:52
\(\begingroup\)Hehe, und ich dachte immer viele "Bäume" (sprich: Wald) existieren vor allem im RAM meines PC :)\(\endgroup\)
 

Re: Darstellungstheorie endlicher Gruppen, Teil 1
von: Greyfox am: So. 05. Juni 2005 22:49:06
\(\begingroup\)Na da hat jemand wohl auch den Serre gelesen. 😄 Ich hab vor einem Monat nen Vortrag über das Thema halten müssen und war als junger Zweitsemestler ganz schön am Schwitzen. Da hätte ich gern diesen Artikel schon gehabt, denn der ein oder andere Absatz erscheint mir hier doch etwas verständlicher, als in meiner englischen Kopie vom Serre. Das Skript von meinem Prof dazu war auch die Hölle. Da stand z.B. beim Beispiel der Permutationsdarstellung nur "G operiert auf X." Den Rest durfte man selbst erraten. Jedenfalls danke für den Artikel und wenn Du das nächste mal nützliche Sachen ins Netz stellst, dann bitte rechtzeitig. 😉 Grüße, Greyfox \(\endgroup\)
 

Re: Darstellungstheorie endlicher Gruppen, Teil 1
von: jannna am: Di. 07. Juni 2005 13:05:14
\(\begingroup\)Hi Ja, der Serre ist glaub ich ein Standardwerk oder so. Den gibts übrigens auch auf Deutsch ;-). In der Vorlesung, die ich dazu gehört habe haben wir uns auch an den Serre gehalten. Der Teil hier ist aber im Prinzip "nur" Vorgeplänkel. Richtig interessant wirds ja erst noch 😉 Grüße Jana\(\endgroup\)
 

Re: Darstellungstheorie endlicher Gruppen, Teil 1
von: Hans-im-Pech am: Di. 07. Juni 2005 14:45:14
\(\begingroup\)Hi, Dann freu ich mich schon auf die Fortsetzung, denn das hier fand ich schon sehr interessant. Viele Grüße, HiP\(\endgroup\)
 

Re: Darstellungstheorie endlicher Gruppen, Teil 1
von: Ex_Mitglied_40174 am: Di. 17. April 2012 06:25:36
\(\begingroup\)Bitte in "Tensorprodukte von Darstellungen" in "Anschaulich", bei einheitlicher Notation bleiben. Das Tensorprodukt müsste nach vorheriger Notation eigentlich ein Element aus M_(6x4) und nicht M_(4x6) sein, also 6 und 4 getauscht ;) ''\(\endgroup\)
 

Re: Darstellungstheorie endlicher Gruppen, Teil 1
von: fru am: Di. 17. April 2012 11:11:31
\(\begingroup\)Hi, danke für den Hinweis! Die Änderung ist schon beantragt durchgeführt. Liebe Grüße, Franz \(\endgroup\)
 

 
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