Mathematik: DIE VERLORENE FORMEL
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Mathematik

\(\begingroup\) DIE VERLORENE FORMEL Einst vor langer Zeit lebte und herrschte ein tyrannischer König namens Mumidios in einem Reich namens Mumidien. Er war der 10-te Nachfolger des grossen Mumios, dem Gründer der glorreichen Mumios-Dynastie, und regierte das Land mit eiserner Hand äusserst erfolgreich. Doch nobody is perfect, so haftete auch an König Mumidios ein Makel; nämlich sein schier unglaublicher Ehrgeiz in Sachen Bauwerke. So liess er überall riesige Paläste und Tempel errichten; entwarf sie teilweise sogar selbst, obwohl er weiss Gott kein begnadeter Architekt war. Eines Nachts träumte er von einer Eidechse, die eine riesige Säule hochkletterte. Am nächsten Morgen kamen die Traumdeuter herbeibefohlen und deuteten seinen Traum auf schmeichelhafte Weise:

"O grosser König; die Götter wünschen, dass Du eine Säule errichtest, die Deiner und Deiner Vorfahren würdig ist. Eine Säule als Spiegelbild des Reiches; ein unerschütterliches Werk für alle Zeit so wie das Reich selbst." Daraufhin beschloss der König eine Säule zu entwerfen und machte sich die ersten Gedanken darüber. "Ich bin der 11-te König der Mumios-Dynastie. Die Säule soll aus 11 Steinblöcken bestehen, ein jeder verziert mit dem Namen eines Königs aus der Dynastie. Da die Säule das Reich darstellen soll und das Reich mit jedem Nachfolger grösser geworden ist, soll ein jeder Steinblock um eine Einheit grösser sein als der nächst kleinere." "Der erste Steinblock wäre also 1 m gross, der zweite 2 m gross, der dritte 3 m gross usw. So wie das Reich von König zu König gewachsen ist, so soll die Säule gen Himmel wachsen mit immer grösser werdenden Steinblöcken." "Doch wie hoch wäre die Säule nach dem 11-ten Steinblock??" "Wenn alle nachfolgenden Könige eine Säule nach dem gleichen Prinzip errichten würden, wie hoch wäre die Säule des 55-ten Königs?" Der König war kein Freund von Zahlen, ausser wenn es um Geld ging. So liess er nach dem Abendessen seine beiden Hofmathematiker zu sich rufen. Diese waren 2 Brüder und hiessen Mathema und Aticos. Der König schaute die Beiden streng an und sprach : "Ihr seid meine Hofmathematiker und sollt eine Aufgabe für mich lösen. Gelingt dies vor Sonnenaufgang, so überschütte ich euch mit Gold; doch solltet ihr scheitern, so ist euer Leben verwirkt." "Ich will eine königliche Säule errichten lassen, deren Steinblöcke derart beschaffen sind, dass jeder Steinblock um 1 m grösser ist als der nächst kleinere." "Ihr sollt mir eine Formel liefern, mit der ich folgende Fragen beantworten kann." "Wie hoch wäre eine solche Säule nach dem 11-ten Steinblock, wenn der erste Steinblock 1 m gross ist?" "Wenn alle nachfolgenden Könige eine Säule nach dem gleichen Prinzip errichten würden, wie hoch wäre die Säule des 55-ten Königs?" "Wie hoch wäre die königliche Säule eines x-beliebigen Königs in ferner Zukunft??" "Dies sind meine Fragen; geht hin und findet eine Formel, mit der sich diese beantworten lassen. Ruhm und Gold oder Schande und Tod... Ihr habt Zeit bis Sonnenaufgang." Danach zog sich der König in sein Schlafgemach zurück, während sich die beiden Mathematiker voller Todesangst ans Werk machten...
Da sagte Mathema zu Aticos : "Lass uns erst alleine versuchen, eine Formel zu finden; gelingt dies nicht, bevor die erste Kerze erlischt, so wollen wir es dann gemeinsam versuchen." Aticos war einverstanden und sie gingen an die Arbeit. Mathema betete zu den Göttern für eine Eingebung, während Aticos schon die ersten Zeichnungen machte. Kaum war das Gebet beendet, da hörte er die Rufe eines Schwanenpaars, das zu einem nahgelegenen Teich flog, um dort die Nacht zu verbringen. Wie versteinert blieb er stehen und dachte, dass dies eine Antwort der Götter auf sein Gebet sein mochte. Die Götter antworteten mit einem Schwanenpaar, ihre Antwort hatte vermutlich was mit der Zahl 2 zu tun. Mathema fühlte sich plötzlich wie benommen. Er spürte, dass dies der richtige Weg war, um die Antwort der Götter zu deuten. Er dachte sich folgendes: Das Paar... Die 2... Die 2 kommt in der Natur immer wieder vor; so haben Vögel wie Menschen 2 Augen, 2 Ohren, 2 Beine... Die gesuchte Formel muss irgendwie auch was mit 2 zu tun haben... 0+1 = 1 ... 1 m hohe Säule nach dem ersten Steinblock 1+2 = 3 ... 3 m hohe Säule nach dem zweiten Steinblock 1+2+3 = 6 ... 6 m hohe Säule nach dem dritten Steinblock Die königliche Säule wäre 6 m hoch nach dem dritten Steinblock. Doch wie hoch wäre sie, wenn die Steinblöcke doppelt so gross wären als vorgesehen? Multipliziert man eine Einheit mit 2, so wird sie doppelt so gross... 2*(0+1) = 2 ... 2 m hoch nach dem ersten Steinblock 2*(1+2)= 6 ... 6 m hoch nach dem zweiten Steinblock 2*(1+2+3) = 12 ... 12 m hoch nach dem dritten Steinblock Die Länge der königlichen Säule wäre also doppelt so gross, wenn die Steinblöcke doppelt so gross wären als vorgesehen... 2, 6, 12... Welche Gemeinsamkeit verbindet die Zahlen in dieser Reihe? Jede Zahl grösser als 0 lässt sich als das Produkt einer Multiplikation oder Addition von 2 Zahlen darstellen... z.B = 2 ... 2 ist eine Primzahl, 2 = 2*1 4 ist keine Primzahl, 4 = 2*2. Alle Zahlen lassen sich auch als das Produkt einer Addition von 2 Zahlen darstellen... 2 = 1+1 4 = 1+3, 2+2 ... Mathema beschloss erst die multiplikative Darstellung der obigen 3 Zahlen (2, 6, 12) zu untersuchen. Auf welche Weise würden sich diese Zahlen als das Produkt einer Multiplikation von 2 Zahlen darstellen lassen? 2 = 1*2 6 = 1*6, 2*3 12 = 1*12, 2*6, 3*4
Mathema stockte der Atem, denn die obige Darstellung wies eine Gleichmässigkeit auf: 2 = (1*2) 6 = 1*6, (2*3) 12 = 1*12, 2*6, (3*4) Konnte es sein, dass es auf diese Weise weitergeht? Mathema probierte es nun mit allen Zahlen von 1 bis 6. 2*(0+1) = 2 ... 2 m hoch nach dem ersten Steinblock 2*(1+2)= 6 ... 6 m hoch nach dem zweiten Steinblock 2*(1+2+3) = 12 ... 12 m hoch nach dem dritten Steinblock 2*(1+2+3+4) = 20 ... 20 m hoch nach dem vierten Steinblock 2*(1+2+3+4+5) = 30 ... 30 m hoch nach dem fünften Steinblock 2*(1+2+3+4+5+6) = 42 ... 42 m hoch nach dem sechsten Steinblock 2, 6, 12, 20, 30, 42 Auf welche Weise würden sich nun diese sechs Zahlen als das Produkt einer Multiplikation von 2 Zahlen darstellen lassen? 2 = (1*2) 6 = 1*6, (2*3) 12 = 1*12, 2*6,(3*4) 20 = 1*20, 2*10, (4*5) 30 = 1*30, 2*15, 3*10,(5*6) 42 = 1*42, 2*21, 3*14, (6*7) Nun zeigte sich, dass die entdeckte Regelmässigkeit sich in der Tat fortsetzte... 1*2, 2*3, 3*4, 4*5, 5*6, 6*7
Mathema sank auf die Knie und dankte den Göttern für die erwiesene Gnade; denn nun war er sich seiner Sache sicher: "Wären die Steinblöcke doppelt so gross als vorgesehen, so entspräche die Länge der königlichen Säule bis zur oberen Kante des obersten (n-ten) Steinblocks n*n+1." Um die Länge der ursprünglich vorgesehenen Säule zu ermitteln, muss man also n*n+1 durch 2 dividieren, weil die Steinblöcke der doppelt so langen Säule doppelt so gross sind als vorgesehen. Die Länge der königlichen Säule entspräche also: (n*(n+1)) / 2 Überglücklich und aufgeregt teilte Mathema seine Erkenntnis Aticos mit. Dieser überprüfte die Formel gleich mit 55, immerhin war das eine der königlichen Fragen gewesen: "Wenn alle nachfolgenden Könige eine Säule nach dem gleichen Prinzip errichten würden, wie hoch wäre die Säule des 55-ten Königs?" (55*56) / 2 = 1540 m hoch 1+2+3+4......+54+55 = 1540 Nun demonstrierte Mathema seine Vorgehensweise mit der Zahl 11, um die zweite königliche Frage zu beantworten: "Wie hoch wäre eine solche Säule nach dem 11-ten Steinblock, wenn der erste Steinblock 1 m gross ist?" 11, König Mumidios ist der 11-te König der Dynastie, seine Säule wäre 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11 = 66 m hoch. Wären die Steinblöcke doppelt so gross, dann wäre die Säule 66*2 = 132 m hoch. 2*(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11) = 132 132 = 1*132, 2*66, 3*44, 4*33, 6*22, 11*12 Um die ursprüngliche Länge der Säule zu ermitteln, muss 11*12 durch 2 dividiert werden: (11*12) / 2 = 66 Nach einigen Dutzend Ueberprüfungen kam auch Aticos zum Schluss, dass die Formel von Mathema richtig war. Sie waren sich darüber einig, dass die Mathematik auf unveränderlichen Gesetzmässigkeiten beruhte und dass die stets korrekte Ermittlung der richtigen Ergebnisse kein Zufall sein konnte. Abgesehen davon hatten selbst die Götter ihre Finger im Spiel gehabt; hatten sie doch Mathemas Gebet erhört und eine Botschaft geschickt, die die Zahl 2 enthielt. Nun waren die beiden Brüder in der Lage, auch die schwierigste der 3 königlichen Fragen zu beantworten:
"Wie hoch wäre die Säule eines x-beliebigen Königs in ferner Zukunft??" 1 = der erste König, 1 m grosser Steinblock 2 = der zweite König, 2 m grosser Steinblock bis zu x, x = der x-te König, x m grosser Steinblock 1+2+3+4+......x = (x*(x+1)) / 2 Kurz nach Sonnenaufgang wurden sie zum König zitiert, der vorsorglich sowohl den Henker als auch den Schatzmeister herbeibefohlen hatte. Die beiden Brüder behielten nicht nur den Kopf auf den Schultern; sie wurden wie angekündigt mit Gold überschüttet und verliessen den König als reiche Männer. Was die königliche Säule betrifft; die wurde nie errichtet, weil der König kurz nach der Entdeckung der Formel starb. Das Reich selbst wurde 10 Jahre nach seinem Tod geplündert und zerstört durch König Barbaros und dessen Verbündeten Vandales. Vom Verbleib von Mathema und Aticos ist nichts bekannt, ihre Formel jedoch ging während der Plünderungen verloren und wurde erst im 19-ten Jahrhundert durch Carl Friedrich Gauss wiederentdeckt bzw. ersonnen. Und die Moral der Geschichte? Nichts ist unmöglich, wenn man den Segen der Götter hat und die Probleme auf die richtige Weise angeht :) In diesem Sinne viel Glück, Zudumm
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Einst vor langer Zeit lebte und herrschte ein tyrannischer König namens Mumidios in einem Reich namens Mumidien. Er war der 10-te Nachfolger des grossen Mumios, dem Gründer der glorreichen Mumios-Dynastie, und regierte das Land mit eiserner Hand äusserst erfolgreich. D
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"Mathematik: DIE VERLORENE FORMEL" | 1 Comment
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Re: DIE VERLORENE FORMEL
von: FlorianM am: Sa. 23. Juli 2005 18:02:21
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