Mathematik: Superellipsen
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Mathematik

\(\begingroup\) Superellipsen Bild Wir leben in einer Welt 2. Typs; das erkennt man an folgendem: 1. Der Satz des Pythagoras gilt 2. Es gibt bewegungsinvariante Flächenmaße 3. Mit jedem Zirkel kann man Kreise zeichnen Doch was wäre, wenn wir etwa in einer Welt 3. Typs leben würden? Wenn der "Satz des Pythagoras" etwa lauten würde: a3 + b3 = c3 für rechtwinklige Dreiecke?

Zur pdf-Version dieses Artikels: hier Statt eines Fußballs würde man mit etwas spielen, das dem Objekt auf dem Bild oben ähnlich sähe, denn nur dieses wäre invariant gegen jede Art von Drehung, sofern sie den Mittelpunkt festläßt. Auch Autos und Fahrräder sähen etwas anders aus als wir es gewöhnt sind. Behandeln wir lieber gleich den allgemeinen Fall und fordern: Für jedes rechtwinklige Dreieck gilt a^p + b^p = c^p, $ $ 0 < p < \inf . Falls nicht p = 2 gilt, hat dies unter anderem die Konsequenz, dass isometrische Bewegungen nicht mehr linear sind. (Dazu eventuell später mehr.) Ich will mich im folgenden mit dem Flächen- und Rauminhalt der Einheitskugeln im n-dimensionalen Raum p. Typs auseinandersetzen. Man nennt sie auch die Einheitskugel bezüglich der p-Norm. Im Fall n = 2 sieht dies so aus: Die p\-Sphäre wird beschrieben durch Polarkoordinaten \menge((r,\phi) \| r=sqrt(abs(cos(\phi))^(4/p)+abs(sin(\phi))^(4/p)), \phi \el [0,2\pi\]), als Parameterkurve \menge((sign(cos(\phi))*abs(cos(\phi))^(2/p);sign(sin(\phi))*abs(sin(\phi))^(2/p)) \| \phi \el [0,2\pi\]) oder durch kartesische Koordinaten \menge((x,y) \| y = +-(1-abs(x)^p)^(1/p), x \el [-1,1]), Bild p = 1 p = 2 p = 3 so dass für den Flächeninhalt der p\-Einheitskreisscheibe gilt: A = 4 * int((1-x^p)^(1/p),x,0,1). Um das Integral auszuwerten, benötigen wir einige Identitäten mit Gamma\- und hypergeometrischen Funktionen. Sei f_\a (x) = (1+x)^\a mit \a \el \IR. Dann entwickelt man f_\a in eine Taylorreihe: f_\a (x) = lim(n->\inf,sum((f_\a^(s) (0))/s!*x^s,s=0,n)) = sum((\a*(\a-1)*...*(\a-s+1))/(\G(s+1))*(1+x)^(\a-s) \|_(x=0) * x^s,s=0,\inf) = sum(\G(\a+1)/(\G(\a-s+1)*\G(s+1))*x^s,s=0,\inf). Jetzt substituiert man x durch -t^a, \a durch b und bildet die Stammfunktion: int((1-t^a)^b,t,0,x) = int(sum(\G(b+1)/(\G(s+1)*\G(b-s+1))*(-t^a)^s,s=0,\inf),t,0,x) = sum(\G(b+1)/(\G(s+1)*\G(b-s+1))*(-1)^s*int(t^(a*s),t,0,x),s=0,\inf) = sum((b*(b-1)*...*(b-s+1)*(-1)^s)/\G(s+1)*x^(a*s+1)/(a*s+1),s=0,\inf) = x*sum((-b*(-b+1)*...*(-b+s-1))/s!*(1/a)/(s+1/a)*x^(a*s),s=0,\inf). Man erweitert geschickt, um den Summanden als Produkt aus aufsteigenden Pochhammersymbolen ((x))_s = x*(x+1)*...*(x+s-1), inverser Fakultät und Potenz schreiben zu können: int((1-t^a)^b,t,0,x) = [...] = x*sum(((1/a)*(1/a+1)*...*(1/a+s-1)*(-b)*(-b+1)*...*(-b+s-1))/((1/a+1)*(1/a+2)*...*(1/a+s))*(x^a)^s/s!,s=0,\inf) = x*sum((((1/a))_s * ((-b))_s)/((1+1/a))_s *(x^a)^s/s!,s=0,\inf). Hier ist sie nun, die Stammfunktion: mit einer lupenreinen hypergeometrischen Funktion als Faktor! int((1-t^a)^b,t,0,x) = x*()_2 F_1 (1/a , -b \; 1+1/a \; x^a) Auswerten an der Stelle 1 liefert den vierten Teil der Fläche der p\-Einheitskreisscheibe: int((1-t^a)^b,t,0,1) = stammf(x*()_2 F_1 (1/a , -b \; 1+1/a \; x^a),0,1) = 1*()_2 F_1 (1/a , -b \; 1+1/a \; 1^a)-0*()_2 F_1 (1/a , -b \; 1+1/a \; 0^a) = ()_2 F_1 (1/a , -b \; 1+1/a \; 1). Der letzte Schritt besteht nun in der Anwendung einer der zahlreichen Gaußschen Identitäten: ()_2 F_1 (a , b \; c \; 1) =(\G(c)*\G(c-a-b))/(\G(c-a)*\G(c-b)) int((1-t^a)^b,t,0,1) = (\G(1+1/a)*\G(1+b))/(\G(1)*\G(1+1/a+b)) und wegen a = p, b = 1/p folgt A = 4*(\G(1+1/p)*\G(1+1/p))/(\G(1)*\G(1+1/p+1/p)) = 4*\G(1+1/p)^2/\G(1+2/p). Induktiv (im doppelten Sinn) kann man nun auch den Fall höherer Dimensionen erledigen, indem man vermutet: V_n = 2^n * \G(1+1/p)^n/\G(1+n/p). vec(Beweis:) Induktionsanfang: ok für n=1, n=2. Induktionsbehauptung: V_n = 2^n * \G(1+1/p)^n/\G(1+n/p) Induktionsschritt: V_(n+1) = 2*int(V_n*((1-x^p)^(1/p))^n,x,0,1) = $ 2^(n+1)*\G(1+1/p)^n/\G(1+n/p)*int((1-x^p)^(n/p),x,0,1) = $ 2^(n+1)*\G(1+1/p)^n/\G(1+n/p)*()_2 F_1 (1/p , -n/p \; 1+1/p \; 1) = $ 2^(n+1)*\G(1+1/p)^n/\G(1+n/p)*(\G(1+1/p)*\G(1+n/p))/(\G(1)*\G(1+1/p+n/p)) = $ 2^(n+1)*\G(1+1/p)^(n+1)/\G(1+(n+1)/p). $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ \bigbox Eine interessante Tatsache ergibt sich, wenn man den Parameter p fixiert und die Kugelvolumina in verschiedenen Dimensionen vergleicht. So ist die Maßzahl für das Volumen der gewöhnlichen Einheitskugel mit 4/3 \pi größer als das des Kreises mit \pi, in den Dimensionen 4 und 5 folgen mit \pi^2/2 und 8/15 \pi^2 nochmals leichte Zuwächse, doch dann geht es stetig bergab, in höheren Dimensionen tendiert das Volumen der Einheitskugel sogar gegen Null. Die oben hergeleitete Formel garantiert dieses auch für alle anderen Parameter p < \inf: der Zähler verhält sich mit wachsendem n wie eine Exponentialfunktion, doch die Gammafunktion des Nenners zwingt diese langfristig in die Knie. Daraus folgt, dass es für jedes p < \inf eine Dimension n gibt, für die das Volumen der Einheitskugel maximal wird und ab der es dann streng monoton bis auf Null abnimmt. Für p=2 liegt dieses Maximum bei n=5, bei p=3 bereits bei n=16 und bei p=4 gar bei n=41. Einen eleganten Weg, die Oberfläche der p\-Einheitskugel zu berechnen, habe ich bisher nicht gefunden. Ich kenne nur die Ergebnisse für die Spezialfälle p=1 \(aus 2^n Simplices zusammengesetzter Hyper\-Oktaeder\): O_n = (sqrt(n)*2^n)/(n-1)! p=2 \(Hyperkugel\): O_n = n*sqrt(\pi)^n/\G(1+n/2)=\fdef((n*\pi^(n/2))/(n/2)!,n gerade;(2^n*\pi^((n-1)/2)*((n-1)/2)!)/(n-1)!,n ungerade) und p=\inf \(Hyperkubus\): O_n = n*2^n. Historische Anmerkungen: Mit diesen Einheitssphären bezüglich der p-Norm beschäftigte sich zuerst der französische Mathematiker Gabriel Lamé. Ein gewisser Andrew Wiles aus England bewies, dass im speziellen Fall p ganzzahlig, p > 2 und n = 2 die Punkte (1,0), (0,1), (-1,0), (0,-1) die einzigen Punkte auf der Sphäre mit rationalen Koordinaten sind. ;-) Sie inspirierten den dänischen Künstler und Mathematiker Piet Hein zu seinem erfolgreichsten Werk, der SUPERELLIPSETM, bei der p = 2,5 und das Halbachsenverhältnis 4:3 ist, und mit der als Tisch, Butterdose und (als Super-Ei mit kreisförmigem Querschnitt) Blumenvase man einstmals seine Wohnstube verschönern konnte (siehe http://www.moebelgalleriet.no/spisebord/FH-bord-superellipse.html); die entsprechenden Produkte sind heute etwas aus der Mode gekommen und daher nur noch selten im Handel zu erstehen. Bild Die Superellipse bzw. das dreidimensionale Analogon, das Superellipsoid, sind seit den 60er Jahren in Skandinavien recht bekannte Gegenstände. Auch Verkehrskreisel und Fußballstadien wurden dort und anderswo in dieser Form gebaut, und der einzige gute Internet-Link zu dem Thema ist auf Dänisch, mit etwas gutem Willen aber auch dem deutschen Leser verständlich. http://www.matematiksider.dk/piethein.html
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: Mathematik :: Analytische Geometrie :: Einheitssphäre :: p-Norm :: Hyperkugel :: Interessierte Studenten :: Sonstige Mathematik :
Superellipsen [von shadowking]  
Wir leben in einer Welt 2. Typs; das erkennt man an folgendem:

1. Der Satz des Pythagoras gilt
2. Es gibt bewegungsinvariante Flächenmaße
3. Mit jedem Zirkel kann man Kreise zeichnen

Doch was wäre, wenn wir etwa in einer Welt 3. Typs leben würden?

Wenn der "Satz des Pythagoras" etwa lauten würde:
a3 + b3 = c3 für rechtwinklige Dreiecke?
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"Mathematik: Superellipsen" | 8 Comments
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Re: Superellipsen
von: FlorianM am: Do. 30. Juni 2005 12:46:17
\(\begingroup\)Schöner Artikel. :) gefällt mir sehr...\(\endgroup\)
 

Re: Superellipsen
von: Hans-im-Pech am: Do. 30. Juni 2005 13:01:32
\(\begingroup\)Mir auch! Und solange die Teile, mit denen wir Fußball spielen, nicht viereckig werden, ist auch alles in Ordnung. 😉 Gruß, HiP\(\endgroup\)
 

Re: Superellipsen
von: syngola am: Do. 30. Juni 2005 19:41:20
\(\begingroup\)Hallo ShadowKing, das ist ein sehr schoener Artikel geworden! Vor allem da ich mich auch grade mit den Supersellipsoiden herumschlage (einen Superellipsoiden zu texturieren ist gar nicht so einfach ;) ). Eine Wahnsinnsintegration uebrigens, sehr huebsch. wie kommt man auf sowas? Gruss, Peter\(\endgroup\)
 

Re: Superellipsen
von: shadowking am: Fr. 01. Juli 2005 14:09:47
\(\begingroup\)Hi Peter, auf der dänischen Seite ist ein Link zu einer weiteren Seite, auf der diese Stammfunktion hergeleitet wird. Die entscheidenden Schritte fehlen aber; sie wurden dem Leser als Übungsaufgabe überlassen. Gruß Norbert\(\endgroup\)
 

Re: Superellipsen
von: matroid am: Fr. 01. Juli 2005 23:15:20
\(\begingroup\)Hallo shadowking, die Einleitung finde ich genial: Wir leben in einer Welt 2. Typs; das erkennt man an folgendem: 1. Der Satz des Pythagoras gilt 2. Es gibt bewegungsinvariante Flächenmaße 3. Mit jedem Zirkel kann man Kreise zeichnen Doch was wäre, wenn wir etwa in einer Welt 3. Typs leben würden? Auch das ausgesuchte Bild am Anfang macht gleich Leselust. Und was danach kommt ist ein Kleinod. Wie alle Deine Artikel ist auch dieser ganz hervorragend. Danke. Gruß Matroid\(\endgroup\)
 

Re: Superellipsen
von: shadowking am: Mi. 20. Juli 2005 15:34:42
\(\begingroup\)Danke für das viele Lob. Gruß Norbert\(\endgroup\)
 

Re: Superellipsen
von: Ex_Mitglied_40174 am: Do. 17. Mai 2007 17:13:12
\(\begingroup\)Bin Axel Hein, Piet war mein Grossvater.- Wollte einfach euch begruessen, es ist interessat zu sehen dass er auch in Deutschland bekannt ist. Heutzutage kann mann mehrere designs von Piet online bestellen. z.b. www.piethein.com ---Es ist nicht mein Geschaeft! Will einfach euch informieren.- gruesse Axel Hein\(\endgroup\)
 

Re: Superellipsen
von: shadowking am: Fr. 05. September 2014 18:49:35
\(\begingroup\)Es bleibt noch das Ergebnis von Gauß nachzurechnen, das ich hier verwendet habe, demnach $_2F_1(\frac{1}{a},-b,1+\frac{1}{a},1)\,=\,\frac{\Gamma(1+\frac{1}{a})\cdot\Gamma(1+b)}{\Gamma(1+\frac{1}{a}+b)}$ ist. Dies kann gezeigt werden durch die Auswertung eines Doppelintegrals auf 2 Arten. Seien zunächst $a, b \in \mathbb{R}^{+}, a, b \neq 0.$ $\int_0^{\infty}\int_0^{\infty}\exp(-x^a-y^{\frac{1}{b}})\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y$ läßt sich separieren zu $\int_0^{\infty}\exp(-x^a)\,\mathrm{d}x \cdot \int_0^{\infty}\exp(-y^{\frac{1}{b}})\,\mathrm{d}y \\ &= \frac{1}{a}\int_0^{\infty}\exp(-u)\cdot u^{\frac{1}{a}-1}\,\mathrm{d}u \cdot b \cdot \int_0^{\infty}\exp(-v)\cdot v^{b-1}\,\mathrm{d}v \\ &= \frac{1}{a}\cdot\Gamma(\frac{1}{a}) \cdot b \cdot\Gamma(b) \\ &= \Gamma(1+\frac{1}{a}) \cdot \Gamma(1+b).$ Andererseits, und dieser Ansatz verdeutlicht gut die Herangehensweise des Lebesgueschen Integrals, wertet sich das Doppelintegral aus zu $\int_0^{\infty}\int_0^{\infty}\exp(-x^a-y^{\frac{1}{b}})\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = \int_0^{\infty}\exp(-r)\cdot \mathrm{d}\mu(\{(x,y)\in\mathbb{R}_{\geq 0}^2: x^a+y^{\frac{1}{b}}\leq r\}).$ Die Teilmenge des $\mathbb{R}_{\geq 0}^2$, deren Maß hier erscheint, ist der vierte Teil einer Superellipse mit den Indizes $a$ und $b$, denn $y$ liegt für gegebenes $x$ zwischen $0$ und $(r-x^a)^b$. Man berechnet für dieses Maß also $\mu(\{(x,y)\in\mathbb{R}_{\geq 0}^2: x^a+y^{\frac{1}{b}}\leq r\}) \\ &= \int_0^{r^{\frac{1}{a}}}(r-x^a)^b\,\mathrm{d}x \\ &= r^b \cdot \int_0^{r^{\frac{1}{a}}}\left(1-\left(\frac{x}{r^{\frac{1}{a}}}\right)^a\right)^b\,\mathrm{d}x \\ &= r^b \cdot r^{\frac{1}{a}} \cdot \int_0^1 (1-z^a)^b\,\mathrm{d}z.$ Das Integral, das nach dem Herausziehen von $r$ stehen bleibt, ist das, welches mittels der hypergeometrischen Funktion zu $_2F_1(\frac{1}{a},-b,1+\frac{1}{a},1)$ ausgewertet wurde. Das Lebesgue-Integral wird ausgeführt: $\int_0^{\infty}\exp(-r)\cdot \mathrm{d}\mu(\{(x,y)\in\mathbb{R}_{\geq 0}^2: x^a+y^{\frac{1}{b}}\leq r\}) \\ &= \int_0^{\infty} \exp(-r) \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}\left(r^b \cdot r^{\frac{1}{a}} \cdot \int_0^1 (1-z^a)^b\,\mathrm{d}z\right)\,\mathrm{d}r \\ &= \int_0^{\infty} \exp(-r) \cdot (\frac{1}{a}+b) \cdot r^{\frac{1}{a}+b-1}\,\mathrm{d}r \cdot \int_0^1 (1-z^a)^b\,\mathrm{d}z \\ &= (\frac{1}{a}+b)\cdot \Gamma(\frac{1}{a}+b) \cdot {}_2F_1(\frac{1}{a},-b,1+\frac{1}{a},1) \\ &= \Gamma(1+\frac{1}{a}+b) \, \cdot \, {}_2F_1(\frac{1}{a},-b,1+\frac{1}{a},1),$ so daß man als Ergebnis erhält: $\displaystyle_ 2F_1\left(\frac{1}{a},-b,1+\frac{1}{a},1\right)\,=\,\frac{\Gamma(1+\frac{1}{a})\cdot\Gamma(1+b)}{\Gamma(1+\frac{1}{a}+b)}$\(\endgroup\)
 

 
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