\(\begingroup\)Diesen Artikel „Die Beweisverfahren“ möchte ich nutzen, um euch vier verschiedene Beweise vorzustellen, die ein Schüler zu Beginn der Oberstufe eines Gymnasiums beherrschen sollte.
Zuerst wird immer das Beweisverfahren an Beispielen erläutert, als nächstes folgt der allgemeine Beweis bzw. eine Zusammenfassung zu dem entsprechenden Beweis, danach weitere Aufgaben zum Lösen und als letztes eine allgemeine Zusammenfassung und Einschätzung zu dem Thema „Beweisverfahren“.
Inhalt1 Der direkte Beweis
1.1 Überblick: Der direkte Beweis
1.2 Weitere Aufgaben
2 Der indirekte Beweis
2.1 Analyse und Zusammenfassung des indirekten Beweises
2.2 Weitere Aufgaben
3 Der Gegenbeweis
3.1 Überblick: Der Gegenbeweis
3.2 Weitere Aufgaben
4 Die vollständige Induktion
4.1 Allgemeine Beschreibung des Verfahrens
4.2 Das Beweisverfahren der vollständigen Induktion
4.3 Weitere Aufgaben
5 Wann welches Beweisverfahren?6 Beweise in der Mathematik7 Lösungen der Aufgaben
7.1 Lösungen zum Abschnitt 1.2
7.2 Lösungen zum Abschnitt 2.2
7.3 Lösungen zum Abschnitt 4.3
8 Abschlussbemerkung9 Literatur
Beispiel 1:
Behauptung: Das Quadrat jeder geraden natürlichen Zahl n ist gerade.
n sei eine gerade natürliche Zahl. Somit lässt sich n eindeutig als n=2k darstellen (k ist eine natürliche Zahl). Darauf folgert man:
n^2=(2k)^2=4k^2=2*2k^2
Mit k ist auch 2k^2 eine natürliche Zahl. n^2 ist daher das Doppelte einer natürlichen Zahl und damit gerade.
Beispiel 2:
Behauptung: Das Quadrat einer ungeraden natürlichen Zahl n ist ungerade.
n sei eine ungerade Zahl. Somit lässt sich n eindeutig als n=2k+1 darstellen (k ist eine natürliche Zahl oder 0). Daraus folgert man:
n^2=(2k+1)^2=4k^2+4k+1=2*(2k^2+2k)+1
Mit k ist auch 2k^2+2k eine natürliche Zahl oder 0 => n^2 ist ungerade.
1.1 Überblick: Der direkte Beweis
\black\frame\black\big\ Beim direkten Beweis beweist man die Behauptung durch Anwenden von bewiesenen Aussagen, Definitionen und durch logische Folgerungen.
1.2 Weitere Aufgaben
Beweise folgende Behauptung mit dem direkten Beweis:
S(n)=1+2+3+...+n=n(n+1)/2
Lösungen folgen weiter unten.
Beispiel 1: Man beweise den Satz: Es gibt keine rationale Zahl z, für die z2=2 gilt.
Wenn der Satz nicht gilt, muss es eine rationale Zahl z mit z^2=2 geben.
(Man kann z sogar als positiv ansehen.)
Jede positive rationale Zahl lässt sich durch einen vollständig gekürzten Bruch darstellen: z=p/q mit zwei positiven ganzen Zahlen p und q.
Weil sich der Bruch nicht mehr kürzen lässt, haben p und q keinen echten gemeinsamen Teiler.
Aus z^2=2 folgt weiter p^2/q^2=2 und somit nach Umformung p^2=2*q^2 .
Nun überlegt man sich, wie oft der Primfaktor 2 in die Zahl p^2 passt und wie oft er in 2q^2 auftreten kann.
In p kann der Faktor 2 keinmal oder einmal oder zweimal oder dreimal ... vorkommen.
In p^2 muss er dann doppelt so oft wie in p auftreten (also keinmal oder zweimal oder viermal oder sechsmal usw.).
In q^2 kann entsprechend der Primfaktor 2 keinmal oder 2mal oder 4mal oder 6mal usw. auftreten, in 2*q^2 also einmal oder dreimal oder 5mal oder 7mal usw.
In p^2 tritt der Primfaktor 2 also in anderer Anzahl auf als in 2*q^2, obgleich p^2=2*q^2 und beide Zahlen links und rechts vom Gleichheitszeichen gleich sind.
Das ist ein Widerspruch.
Es gibt aber nur zwei Möglichkeiten: Entweder der Satz gilt oder er gilt nicht.
Die zweite Möglichkeit führt zu einem Widerspruch. Es bleibt nur die erste bestehen.
Der Satz ist bewiesen.
Beispiel 2: Man beweise: Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Wenn der Satz nicht gilt, dann gibt es nur endlich viele Primzahlen:
p_1=2; p_2=3; p_3=5; p_4=7; p_5=11; ...; p_n, wobei p_n die größte Primzahl sei.
Man bildet das Produkt aller Primzahlen und addiert 1:
b=p_1*p_2*p_3*p_4*p_5*...*p_n+1
Die entstehende Zahl b ist keine Primzahl, weil sie größer ist als die größte Primzahl p_n.
Sie muss sich daher aus den Primzahlen p_1, p_2,..., p_n multiplikativ zusammensetzen.
b muss daher durch mindestens eine der Primzahlen p_1, p_2,..., p_n teilbar sein.
Anderseits erkennt man bei Division von b durch eine Primzahl, dass b wegen der Addition von 1 durch keine Primzahl teilbar ist.
Das ist ein Widerspruch.
Da es aber hier auch wieder nur zwei Möglichkeiten gibt (Der Satz ist richtig oder falsch), ist der Satz richtig, da die Annahme zu einem Widerspruch führt.
Der Satz ist bewiesen.
2.1 Analyse und Zusammenfassung des indirekten Beweises
Den zu beweisenden Satz bezeichnet man beispielsweise mit A. A lautet in
\- Beispiel 1: Es gibt keine rationale Zahl z mit z^2=2
\- Beispiel 2: Es gibt unendlich viele Primzahlen.
In beiden Beispielen wird von der Negation \not\ A ausgegangen. \not\ A lautet in
\- Beispiel 1: Es gibt eine rationale Zahl z mit z^2
\- Beispiel 2: Es gibt nur endlich viele Primzahlen.
Dann zieht man in beiden Beweisen aus \not\ A Folgerungen, die zu einem Widerspruch führen.
Es werden nämlich eine Aussage C und die Negation \not\ C gefolgert.
C lautet in
\- Beispiel 1: In p^2 kann der Primfaktor 2 keinmal oder zweimal oder viermal oder sechsmal usw. auftreten.
\- Beispiel 2: b ist durch mindestens eine Primzahl teilbar.
Die ebenfalls gefolgerte Negation \not\ C lautet in
\- Beispiel 1: In p^2(=2q^2) kann der Primfaktor 2 nicht keinmal oder zweimal oder viermal oder sechsmal usw. auftreten.
\- Beispiel 2: b ist durch keine Primzahl teilbar.
In beiden Fällen erhält man:
\not\ A ->C und \not\ A -> \not\ C
Daraus folgt A, denn nur eine der beiden Möglichkeiten A bzw. \not\ A kann gelten. \not\ A führt zu dem Widerspruch C und \not\ C.
Man kann den letzten Schluss auch durch die folgende Schlussregel beschreiben:
\not\ A ->C
\not\ A ->\not\ C
------
A
Der Strich wird als "also" gelesen.
In der Schule würde man nun die Schüler einen Merkkasten aufstellen lassen. Wollen wir dieses hier auch mal tun:
\black\frame\black\big\ In einem indirekten Beweis geht man von der Negation \not\ A des zu beweisenden Satzes A aus und folgert daraus einen Widerspruch C und \not\ C. Daraus kann man auf A schließen. Die folgende Schlussregel wird dabei angewendet:
\not\ A ->C
\not\ A ->\not\ C
------
A
Beim indirekten Beweis nimmt man also an, dass das Gegenteil der Behauptung wahr ist. Danach führt man diese Annahme mit den gleichen Folgerungen und Methoden wie beim direkten Beweis zu einem Widerspruch und damit ist die Behauptung bewiesen.
2.2 Weitere Aufgaben
Beweise folgende Behauptungen mit dem indirekten Beweis.
a) Die Wurzel aus einer geraden natürlichen Quadratzahl n ist gerade.
b) Die Wurzel aus einer ungeraden natürlichen Quadratzahl n ist ungerade.
c) Die Zahl sqrt(2) ist irrational.
Den Gegenbeweis möchte ich euch mit einer ganz simplen Rechnung nahe bringen, damit ihr das Prinzip versteht, was man unter einem Gegenbeweis versteht.
Beispiel 1:
Behauptung: Alle Zahlen von 1-10 sind Teiler von 60.
Da könntet ihr sofort den Gegenbeweis führen: Nämlich, dass 7 kein Teiler von 60 ist, und schon ist die Behauptung widerlegt, und zwar mit einem Gegenbeispiel. Dies ist ein ganz simples 1. Beispiel. Auf weiter Beispiele möchte ich hier aber verzichten, da es ein sehr einfaches Beweisverfahren ist.
3.1 Überblick: Der Gegenbeweis
Vereinfacht ausgedrückt sucht man bei einem Gegenbeweis ein Gegenbeispiel wie in Beispiel 1.
Natürlich ist dieses ein sehr einfaches Beispiel und eine sehr einfache Verallgemeinerung. Dieses reicht aber für das Wissen bis zur Oberstufe aus.
3.2 Weitere Aufgaben
Auf weitere Aufgaben verzichte ich hier, da es nicht der üblichste Beweis in der Mathematik ist.
Beispiel 1: Addiert man die ungeraden Zahlen von 1 angefangen bis zu einer bestimmten ungeraden Zahl, z.B. bis zu 7 oder bis zu 11, so erhält man eine Quadratzahl:
\
\align\1=1><=1^2
1+3=4><=2^2
1+3+5=9><=3^2
1+3+5+7=16><=4^2
1+3+5+7+9=25><=5^2
1+3+5+7+9+11=36><=6^2
\
Man versucht durch systematisches, schrittweises Vorgehen herauszufinden, ob das nur zufällig oder immer so ist:
1. Schritt: Im einfachsten Fall besteht die Summe der ungeraden Zahlen nur aus der Zahl 1.
1 ist aber Quadratzahl 1=1^2.
2. Schritt: Wir addieren auf beiden Seiten die nächste ungerade Zahl 3.
Aus 1=1^2 folgt dann nacheinander:
\
\align\1+3=1^2+3
=1^2+2*1+1
=(1+1)^2
=2^2
\
3. Schritt: Wir addieren auf beiden Seiten die nächste ungerade Zahl.
Aus 1+3=2^2 folgen die Gleichungen:
\
\align\1+3+5=2^2+5
=2^2+2*2+1
=(2+1)^2
=3^2
\
usw.
So könnte man immer nach demselben Schema fortfahren. Nun versucht man, dieses Schema allgemein zu beschreiben.
Man beachte: Die k\-te gerade Zahl ist 2*k, die k\-te ungerade Zahl 2*k-1.
4.1 Allgemeine Beschreibung des Verfahrens:
Wenn für die Summe der k ersten ungeraden Zahlen 1+3+5+...+(2k-1)=k^2 gilt, dann erhält man die Summe der (k+1) ersten ungeraden Zahlen durch Addition der nächsten ungeraden Zahl (2k-1)+2, also von 2k+1:
1+3+5+...+(2k-1)+(2k+1)=k^2+(2k+1)=(k+1)^2
Fast alle Einzelschritte hätte man sich sparen können, wenn man nur diese letzte Überlegung und Rechnung durchgeführt hätte, da sie die Einzelberechnungen als Spezialfall enthalten.
Zu beweisen ist also die Gleichung 1+3+5+...+(2n-1)=n^2.
D.h. zu beweisen ist die Behauptung:
Die Summe der n ersten ungeraden Zahlen ist eine Quadratzahl, nämlich n^2.
1.Teil: Anfang der Überlegungen
Die Gleichung gilt für n=1, denn links vom Gleichheitszeichen steht nur die Zahl 1 und rechts 1^2.
2.Teil.Schluss von k auf k+1
Zu beweisen ist: Wenn die Gleichung für n=k gilt, dann auch für n=k+1.
Für n=k lautet die Gleichung:
1+3+5+...+(2k-1)=k^2
Man addiert auf beiden Seiten die (k+1)\-te ungerade Zahl 2(k+1)-1.
\
\align\1+3+5+...+(2k-1)+[2(k+1)-1]=k^2+[2(k+1)-1]
=k^2+2k+2-1
=k^2+2k+1
=(k+1)^2
4.2 Das Beweisverfahren der vollständigen Induktion:
\black\frame\black\big\ Um die Gültigkeit der Gleichung g(n) für alle natürlichen Zahlen n zu beweisen, genügt der Beweis folgender Teile:
1. Teil: Induktionsanfang
Nachweis der Gültigkeit der Gleichung g(n) für n=1.
2. Teil: Induktionsschluss von k auf k+1
Nachweis von:
Wenn g(k), dann g(k+1) für alle k.
Diejenigen, die Interesse an Herkunft und weiteren Beispielen zur vollständigen Induktion haben, verweise ich auf [4].
4.3 Weitere Aufgaben
Beweise folgende Behauptungen A(n):
a) 1+3+...+(2n+1)=(n+1)^2
b) 1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
c) 1^3+2^3+3^3+...+n^3=(n(n+1)/2)^2
In diesem Abschnitt will ich eine Behauptung mit zwei verschiedenen Beweistechniken (direkter Beweis, indirekter Beweis) beweisen und ihr werdet sehen, dass einige Beweise umständlicher sind als andere Beweistechniken. Entscheidet selbst, welches Beweisverfahren ihr für geeigneter haltet.
Nehmen wir das 2. Beispiel aus dem Abschnitt „2. Der indirekte Beweis“.
Behauptung: Es gibt unendlich viele Primzahlen.
1. Beweis mit dem direkten Beweis
Es seien die ersten n Primzahlen bekannt. q sei p_1 *p_2 *...*p_n +1
Nun weiß man aber nicht, ob q eine Primzahl ist, darum betrachtet man jetzt beide Möglichkeiten.
1. Fall: q ist eine Primzahl. ->Somit hätte man eine weitere Primzahl gefunden.
2. Fall: q ist keine Primzahl. ->Somit gäbe es einen Primteiler von q, der größer als p_n ist.
2. Beweis mit dem indirekten Beweis
Wenn der Satz nicht gilt, dann gibt es nur endlich viele Primzahlen:
p_1=2, p_2=3, p_3=5, p_4=7, p_5=11, ..., p_n, wobei p_n die größte Primzahl sei.
man bildet das Produkt aller Primzahlen und addiert 1:
b=p_1*p_2*p_3*p_4*p_5*...*p_n+1
Die entstehende Zahl b ist keine Primzahl, weil sie größer ist als die größte Primzahl p_n.
Sie muss sich daher aus den Primzahlen p_1, p_2, ...,p_n multiplikativ zusammensetzen.
b muss daher durch mindestens eine der Primzahlen p_1, p_2, ...,p_n teilbar sein.
Anderseits erkennt man bei Division von b durch eine Primzahl, dass b wegen der Addition von 1 durch keine Primzahl teilbar ist.
Das ist ein Widerspruch
Da es aber hier auch nur zwei Möglichkeiten gibt (Der Satz gilt oder er gilt nicht), ist der Satz richtig, da die Annahme zu einem Widerspruch führt.
Die Behauptung ist bewiesen
6 Beweise in der Mathematik
Beweise sind in der Mathematik unumgänglich. Ein Mathematiker, der die Beweise nicht beherrscht, ist kein Mathematiker. Eine Behauptung wird von Mathematikern nur geglaubt bzw. angenommen, wenn sie durch einen Beweis bewiesen wird. Andernfalls bleibt sie eine Behauptung. Deshalb ist es so wichtig, diese vier Beweisverfahren zu beherrschen. Es bedarf einiger Übungen, damit man „perfekt“ im Beweisen wird.
Denn Reden lernt man durch Reden und Beweisen durch Beweisen.
Zum Schluss noch eine allgemeingültige Definition über den Beweis:
„Ein Beweis ist in der Mathematik der formal korrekte Nachweis, dass aus einem Satz von Aussagen eine weitere Aussage folgt.“
„Ein Beweis ist eine vollständige und folgerichtige Argumentation über die Korrektheit einer Aussage.“
„Der Beweis ist ein Götze, vor dem sich der Mathematiker foltert.“
Sir Arthur Eddington
7.1 Lösungen zum Abschnitt 1.2
a) S(n)=1+2+3+...+n=n(n+1)/2
Wir schreiben die Summe zwei Mal untereinander und addieren spaltenweise
\
\align\ S(n)= $ $ $ 1 $ $ $+ $ $ $ 2 $ $ $ + ... +(n-1)+ $ $ $ n
S(n)= $ $ $ n $ $ $+ (n-1) + ... + $ $ $ 2 $ $ $+ $ $ $ 1
----------------------------------
S(n)+S(n)=(n+1)+(n+1)+...+(n+1)+(n+1)
\
Daraus kann man folgern:
2*S(n)=n(n+1)
Dividiert man beide Seiten durch 2, erhält man die Behauptung:
2*S(n)=n(n+1)
S(n)=n(n+1)/2
q.e.d
7.2 Lösungen zum Abschnitt 2.2
a) Die Wurzel aus einer geraden natürlichen Quadratzahl n ist gerade.
Annahme: sqrt(n)=k ist ungerade.
Aufgrund von Beispiel 2 im Abschnitt "1 Der direkte Beweis" folgt, dass n=k^2 auch ungerade ist.
Somit liegt ein Widerspruch vor. Die Annahme ist falsch, die Behauptung ist richtig.
b) Die Wurzel aus einer ungeraden natürlichen Quadratzahl n ist ungerade.
Annahme: sqrt(n)=k ist gerade.
Aufgrund von Beispiel 1 im Abschnitt "1 Der direkte Beweis" folgt, dass n=k^2 auch gerade ist.
Somit liegt ein Widerspruch vor. Die Annahme ist falsch, die Behauptung ist richtig.
c) Die Zahl sqrt(2) ist rational.
Annahme: sqrt(2) ist rational.
Somit kann man sqrt(2) als Bruch darstellen: sqrt(2)=n/k ,wobei n und k natürliche Zahlen und teilerfremd sind.
Nach Quadrieren folgt:
2=n^2/k^2 <=>n^2=2k^2
Daraus kann man wiederum folgern, dass n^2 eine gerade Zahl ist. Da die Wurzel aus einer geraden Quadratzahl auch gerade ist, ist n selbst gerade (Dies folgt aus der Lösung "7.2 Lösungen zum Abschnitt 2.2 a)")
Damit muss n/2 eine natürliche Zahl sein.
k^2=n^2/2 =2*(n/2)^2
Dieses zeigt, dass k^2 und somit k gerade natürliche Zahlen sind. n und k sind somit gerade und haben beide den Teiler 2. Damit sind n und k NICHT teilerfremd.
->Widerspruch. Die Annahme ist falsch, die Behauptung ist richtig.
Ich hoffe, ich konnte euch einen verständlichen, kurzen Überblick über die vier Beweisverfahren geben, die man zu Beginn der Oberstufe beherrschen sollte, und die man natürlich immer wieder, auch in der Oberstufe, benötigt.
Ich hoffe auch, dass ich schon fortgeschrittenere Studenten oder Mathematiker nicht zu sehr gelangweilt habe.
Diesen Artikel „Die Beweisverfahren“ möchte ich nutzen, um euch vier verschiedene Beweise vorzustellen, die ein Schüler zu Beginn der Oberstufe eines Gymnasiums beherrschen sollte.
Zuerst wird immer das Beweisverfahren an Beispielen erläutert, als nächstes folgt der allgemeine Beweis bzw. eine Zusammenfassung zu dem entsprechenden Beweis, danach weitere Aufgaben zum Lösen und als letztes eine allgemeine Zusammenfassung und Einschätzung zu dem Thema „Beweisverfahren“.
\(\begingroup\)Joah, ganz nett geschrieben. Aber ein paar Tippfehler. Bei Primzahlen indirekter Beweis steht: "Wenn der Satz GILT, gibt es endlich viele Primzahlen" was meines Wissens nicht stimmt\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo Florian,
Du schreibst im Überblick zum "Direkten Beweis":
"Beim direkten Beweis beweist man die Behauptung durch Anwenden von bewiesenen Aussagen, Definitionen und durch logische Folgerungen."
Hierzu würde ich sagen: "Wie sollte es anders sein?", nur ist mir nicht klar, inwieweit hierdurch eine besondere Beweisart namens "Direkter Beweis" charakterisiert sein soll. Denn in JEDEM Beweis verwendet man
- Aussagen, die man bereits hat (ausgehend von was sollte man denn sonst den Beweis führen??)
- die Definitionen der Begriffe (Eine Definition ist auch nur eine "Aussage, die man schon hat") und
- logische Folgerungen (ohne logische Folgerungen kann man einen Beweis gar nicht herstellen).
Ciao
Nelson
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)@Supertramp
Danke, du hast natürlich Recht. :) Ist geänderet, müssen nur noch auf die Freischaltung warten.
@Nelson
Der Artikel soll eigentlich speziell für Schüler ausgerichtet sein. Natürlich hast du mit deiner Anmerkung Recht, aber ich meine, dass diese Definition für einen Schüler für einen direkten Beweis reicht, ansonsten mach bitte einen anderen Vorschlag. :)\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Unglücklich finde ich übrigens die Formulierung
"Eine Aussage wird von einem Mathematiker nur geglaubt..."
Was daran stört ist erstens das "glauben" und zweitens das binden der Aussage an eine Person.
Das glauben klingt so, als wäre es eine Überzeugungsfrage. Wer hat die schlagkräftigeren Argumente? Wie stark wiegt welches Argument? Wer hat recht?
Dann: Der Mathematiker... Es geht nicht darum, was eine Person als richtig oder falsch anerkennt sondern was universell richtig oder falsch ist, und das hat nichts mit dem Mathematiker an sich zu tun. Das klingt so, als wäre das Beweisen nur eine Korinthenkackerei der Mathematiker, weil DIE es sonst nicht glauben, wieso auch immer, und als wäre es für die Aussage an sich egal, da man sie ja auch einfach so glauben kann.
Denn glauben heißt: Etwas für wahr erachten ohne dass es ZWINGEND wahr ist.
Was noch fehlt - wenn auch nicht sooo bedeutend - ist der Beweis durch Kontraposition: Um zu zeigen "Aus A folgt B" kann man auch beweisen "Aus nicht-B folgt nicht-A"\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo Florian,
ob man hier den Beweis der Kontraposition zeigen muß oder ob die eine oder andere Formulierung etwas unglücklich ist, sei dahingestellt. Ich finde den Artikel trotzdem gut.
LG
bindi\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Folgender Vorschlag bezüglich der m.E. berechtigten Kritik an dem Merkkasten für den direkten Beweis: warum diesen nicht analog zum indirekten Beweis etwas detaillierter logisch "entschlüsseln"?
Dagegen spricht sicher der Einwand, es solle leicht verständlich bleiben, aber dann wiederum fragt sich, warum die Methode des indirekten Beweises im Vergleich dazu recht kompliziert aufbereitet ist...
Also, was haltet Ihr beim direkten Beweis von folgender Ergänzung zu dem bisherigen Satz:
---------------
[Ergänzung im Kasten]
Logisch schematisiert kann so vorgegangen werden:
Die zu beweisende Behauptung formt man in eine Implikation um ("Wenn A, dann B" bzw. A -> B), deren Wenn-Teil als wahr angenommen wird. So muss nur noch gezeigt werden, dass auch B wahr ist, dann gilt die Implikation. Dies erreicht man durch geeignete Umformungen."
[erläuternde Ergänzung unterm Kasten]
Anhand der gegegebenen Beispiele bedeutet dies für Beispiel 1 - der Satz "Das Quadrat jeder geraden natürlichen Zahl n ist gerade." wird umgeformt zu "Wenn eine natürliche Zahl gerade ist (A), so ist auch ihr Quadrat gerade. (B)" Der Weg von Aussage A durch Umformungen die Aussage B zu folgern, ist gewissermaßen ein direkter.
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Prima, man sollte aber nicht übersehen, daß viele Hilfesuchende hier zwar grundlegende Prinzipien nett zusammengefasst bekommen, aber dennoch bei vielen Beweisdurchführungen scheitern - nicht am Prinzip, aber an Ideen, die man 'unterwegs im Beweis' braucht.
Es ist eine IDEE, daß man eine gerade Zahl n als 2faches einer anderen ganzen Zahl k darstellen kann und damit weiterkommt ...
Ob es auch Zusammenstellungen von solchen IDEEN gibt?
Erst mit den Ideen gelingt später (Studium) Vieles. Eine weitere Idee ist, mit Substitutionen zu arbeiten: Das mit dem n=2k ist schon eine solche, aber es gibt auch eine Substitution vom Typ i=z^2 oder die z=sin y^2 oder z=sin°2 y oder ... man schreibt eine Zahl z als eine unendliche Reihe ... oder man ersetzt ein n-Eck duch eine "geschickte" (=auch das ist eine Idee - man benötigt räumliches Vorstellungsvermögen und analytische Fähigkeiten) Zerlegung in Dreiecke oder Quadrate ..., die man formelmäßig ausführlich"er" beherrscht ...
Meine Erfahrung ist, daß mit dem Betreten neuer Wissensgebiete auch immer neue Ideen oder T y p e n von Ideen wichtig werden UND daß auch Ideen aus anderen Wissensgebieten manchmal überraschend erfolgreich verwendbar sind.
Die Eulers, Einsteins, Gauss und - wie heißt der mit dem Keks nochmal? -, usw. hatten geniale Ideen. Und ohne Phantasie wird keiner z.B. ein Mathe- oder Informatikstudium schaffen. Voraussetzung ist, daß man 'sein' Repertoire von Ideen immer weiter vergrößert und präsent hält.
Metallander\(\endgroup\)
\(\begingroup\)@Metallander:
Du hast natürlich recht, wenn du sagst, dass man ohne genügend Kreativität kein sehr erfolgreicher Mathematiker werden wird.
Was aber für die Studenten der ersten Semester - für die dieser Artikel ja am ehesten gedacht ist - entscheidend ist, sind nicht diese Ideen, sondern das "Handwerk" des Beweisens. (Die meisten davon wollen ja auch gar keine erfolgreichen Mathematiker, sondern Ingenieure, Lehrer o.Ä. werden)
Die Übungsaufgaben, die man in den ersten beiden Semestern in Mathematikvorlesungen typischerweise gestellt bekommt, sind in den allermeisten Fällen nicht mehr als "Definitionsgeschubse".
Man braucht keine Idee, um eine gerade Zahl als 2k darzustellen, man muss nur wissen, dass gerade Zahlen eben genauso definiert sind, und man darf keine Scheu haben, einfach stumpf solche Definitionen zu benutzen.
Das Trainieren der obigen Beweisstrategien an einfachen Beispielen und das Denken in Definitionen, Sätzen und Beweis, das ist es, was die Ersties und Zweitis lernen sollen.
Ich bezweifle auch stark, dass man das Finden der "richtigen" Idee lernen geschweige denn lehren kann.
mfg Gockel.\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Aufgabe: Finde x !
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8/ |x
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2
Lösung:
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8/ |x <--- Da ist es!
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2
Bewertung:
Es ist kein Definitionsgeschubse - es ist die Idee. Talente bilden sich auf Basis von Ideen.
Und das erste Ziel ist das Vordiplom und nicht ein Dasein als Mathematiker. Per Definitionsgeschubse kann man es bestehen, aber man hat dann Nichts verstanden. Derjenige, der versteht, kommt von sich aus drauf, daß man gerade Zahlen als 2k darstellen kann.
Um nicht weiter missverstanden zu werden: Ich werte die Abhandlung zu den Beweisverfahren nicht ab - ich habe auf etwas weiteres Nützliches mit einer Frage aufmerksam gemacht. In der Folge findet sich keineswegs eine Behauptung, man könne Ideen l e r n e n, sondern ich habe der Leserschaft nahe gelegt, daß es das Ideen-Kennen und Ideen-Verstehen sind, mit denen sich das Talent schärfen lässt, auch mal eine Idee zu h a b e n - und übrigens verstärkt dies auch das Interesse.
Denken hilft! - Drüber nachdenken hilft darüber hinaus!
Querdenken fügt dem noch eine Dimension hinzu - und Spass dabei hilft real weiter (s.o.).
Metallander\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Leider gibt es keinen Königsweg um das Beweisen zu lernen. Da muss man wissen, üben und nachdenken. Einige Schul-Beispiele findet man unter Mathe-Club auf www.poegot.org. Dort auf der Lehrer-Seite ist auch eine Übersicht zu Beweisen und Heurismen als Mindmap. 😎
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Ich hätte den Gegenbeweis, der ja eigentlich ein Anti-Beweis ist, weg gelassen.
Statt dessen in der Einführung geschrieben:
Beweise dienen dem Nachweis der allgemeinen Gültigkeit von Sätzen, Vermutungen oder Hypothesen. Findet man dagegen nur ein Beispiel, dass den Satz nicht erfüllt (man spricht von Gegenbeweis) ist der Satz nicht wahr.
\(\endgroup\)
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2023-03-26 20:19 U <
Wie unterstütze ich den Matheplaneten mit Geld?
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