Mathematik: Ana[rchie] IV: Extremsport
Released by matroid on Mo. 10. Oktober 2005 19:19:11 [Statistics]
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Analysis

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Ana[rchie] IV: Extremsport

Hallo, liebe Mit-Anarchisten! Dies soll nun der lange (und ungeduldig ;-)) erwartete vierte Teil der Ana[rchie]-Artikelreihe sein, in dem wir uns vor allem der zweiten Hauptanwendung der Differentialrechnung - den Extremwertaufgaben - widmen wollen. Der wesentliche Gedanke dabei ist, dass man die Erkenntnisse der Kurvendiskussion ausnutzt, um für praktische Probleme die optimalen Lösungen wie z.B. einen minimalen Ressourcenverbrauch und/oder einen maximalen Gewinn zu finden.

Der Grundlegende Algorithmus

Extremwertaufgaben haben ein weitgefächertes Anwendungsgebiet. Es gibt je nach konkretem Sachverhalt andere Strategien, die zum Ziel führen. Die einzelnen Schritte sind jedoch immer sehr ähnlich. In der Tat kann man jede Extremwertaufgabe in diesem Schema lösen (wenn sie denn lösbar ist :-)):

1.) Sachverhalt klarmachen

Zuerst sollte man sich immer die Frage stellen: Von welcher Größe suchen wir einen Extremwert? Außerdem ist bei vielen Sachverhalten eine Skizze unverzichtbar, um Zusammenhänge erkennen zu können, die die Lösung des Problems ermöglichen.

2.) Haupt- und Nebenbedingungen

Im zweiten Schritt geht es um genau das Erkennen dieser Zusammenhänge. Es stellen sich im Wesentlichen die Fragen: Wie kann man die gesuchte Größe berechnen? Welche zusätzlichen Angaben stehen uns zur Verfügung? Hier liegt eine große Schwierigkeit für viele Schüler, denn das Erkennen dieser Zusammenhänge erfordert u.U. ein sehr gefestigtes Wissen der bisher behandendelten Mathematik. Es geraten oft viele Zusammenhänge in Vergessenheit, die bei solchen komplexen Anwendungen wie Extremwertaufgaben wieder gebraucht werden.

3.) Zielfunktion erstellen

Durch Kombination der Haupt- und Nebenbedingungen stellen wir eine Funktion auf, nach der sich unsere Größe berechnen lässt. Dabei ist nicht selten ein wenig Kreativität gefragt, wenn es darum geht, die Nebenbedingungen so einzusetzen, dass man eine nutzbare und möglichst einfache Zielfunktion erhält. Mit ein wenig Erfahrung relativiert sich das aber.

4.) Kurvendiskussion

Es wird anschließend eine Kurvendiskussion dieser Zielfunktion durchgeführt. Da bewegen wir uns theoretisch auf sicherem Gebiet, denn Kurvendiskussion ist i.d.R. das Thema, was direkt vor Extremwertaufgaben behandelt wird und so noch am besten abrufbar ist bei den Schülern. (siehe dazu Teil III der Reihe) Meiner Erfahrung nach liegen in diesem Punkt auch die wenigsten Probleme bei den Schülern, da es sich meist um die Abarbeitung von "Schema F" handelt. Da insbesondere Schritt 2 und 3 stark von der jeweiligen Aufgabe abhängen, werden wir hier exemplarisch drei Beispiele durcharbeiten, die das grundlegende Prinzip zumindest verdeutlichen sollen. Insbesondere werden wir dabei im dritten, fortgeschritteneren Beispiel zwei typische "Tricks" anwenden: Den Strahlensatz und das Verwenden einer Ersatzfunktion.

1.Beispiel

Aufgabe: Gegeben sei ein Rechteck mit festem Flächeninhalt A. Man zeige, dass der Umfang dieses Rechtecks genau dann minimal wird, wenn das Rechteck ein Quadrat ist.

Erster Schritt

Für den ersten Schritt ist es zweckmäßig, dass wir uns zuerst mal eine Prinzipskizze anfertigen, an der wir Bezeichnungen festlegen und Zusammenhänge erkennen können: \geo ebene(300,200) x(0,3) y(0,2) nolabel() p(0,0,p1,hide) p(0,2,p2,hide) p(3,2,p3,hide) p(3,0,p4,hide) s(p1,p2) s(p4,p1) label() s(p2,p3,b) s(p3,p4,a) print(\big\ A=ab,1,1) \geooff \geoprint() Wir haben also ein Rechteck mit den Seitenlängen a und b und suchen das Minimum des Umfangs u. Es ist in den meisten Fällen einfach, herauszufinden, welche Größe extremal werden soll, da es ja in der einen oder anderen Form immer in der Aufgabe steht. So ist es auch hier, denn die Aufgabe sagt ja, dass das Rechteck minimalen Umfang haben soll.

Zweiter Schritt

Es gilt \darkgreen\ Hauptbedingung: u=2a+2b Es folgt nun das Suchen von Zusammenhängen, aus denen wir einen Ansatz konstruieren können. Dass wir die Aufgabe noch nicht sofort lösen können, erkennen wir daran, dass u im Moment noch von zwei Größen abhängt, nämlich a und b. Wir wissen aber, dass es sich um ein Rechteck handelt und deshalb gilt: \darkgreen\ Nebenbedingung 1: A=ab <=> b=A/a Außerdem wissen wir, dass Seitenlängen niemals negativ werden: \darkgreen\ Nebenbedinung 2: a,b > 0 Das ist wichtig, um den korrekten Definitionsbereich für die Zielfunktion festzulegen. Wenn wir das nicht täten, könnte es vorkommen, dass wir eine falsche Lösung herausfänden, die zwar größer\/kleiner als die eigentliche Lösung wäre, aber nicht im Definitionsbereich läge.

Dritter Schritt

Um eine Zielfunktion zu erhalten, setzen wir einfach die 1.Nebenbedinung in die Hauptbedingung ein und erhalten: \darkgreen\ Zielfunktion: u(a)=2a+2A/a $ $ $ (a\el\IR, a>0)

Letzter Schritt

Nun folgt der vierte Schritt, der für die meisten Schüler erfahrungsgemäß das kleinste Problem darstellt, denn jetzt bewegen wir uns wieder auf sicherem Terrain, dass wir nach Schema F abhandeln können. Wir suchen das globale Minimum der Funktion u(a)=2a+2A/a=2a+2Aa^(-1) Dazu bilden wir die ersten beiden Ableitungen: u'(a)=2-2Aa^(-2) u''(a)=4Aa^(-3) Hier stellen wir schon fest, dass u''(a) für alle a > 0 strikt positiv ist, wir also für jede Nullstelle von u'(a) ein Minimum von u(a) erhalten. Begeben wir uns also auf die Suche nach diesen: u'(a)=0 2=2Aa^(-2) 2a^2=2A a^2=A => a=sqrt(A) Normalerweise würde die Gleichung a^2=A noch ein negative Lösung besitzen. Da wir den Defintionsbereich von u(a) und damit auch den von u'(a) auf a>0 eingeschränkt hatten, bleibt nur diese eine Nullstelle übrig. Der letzte Test, den unsere vorläufige Lösung noch überstehen muss, ist die Probe an den Rändern des Definitionsbereichs. Wie wir schon im letzten Teil bemerkt haben, müssen nämlich lokale Extrema nicht unbedingt auch globale sein. Wir müssen jetzt bestätigen, dass die lokale Extremstelle auch die globale ist, nach der wir ja eigentlich suchen. Dazu betrachten wir die Grenzwerte an den Rändern des Definitionsbereichs: lim(a->+0,u(a))=lim(a->+0,2a+2A/a)=+\inf lim(a->+\inf,u(a))=lim(a->+\inf,2a+2A/a)=+\inf Wir können also schlussfolgern, dass unser gefundenes a das globale Minimum von u darstellt. Wir setzen a jetzt in die 1.Nebenbedingung ein, um b zu erhalten: b=A/a=A/sqrt(A)=sqrt(A)=a Wir erkennen also, dass das Rechteck bei minimalem Umfang tatsächlich ein Quadrat ist, womit diese Aufgabe gelöst ist.

2.Beispiel

Aufgabe: Eine als halbkugelförmig angenommene Kuchenglocke hat den Durchmesser 20cm. Wenn jeder Kuchen zylindrisch ist, wie groß ist dann das maximale Volumen, das so ein Kuchen haben darf, damit er noch geradeso unter die Glocke passt? Welche Höhe hat der Kuchen in diesem Maximalfall? Um diesen Sachverhalt zu verstehen, benutzen wir am besten diese Skizze, die die Kuchenglocke mit Kuchen im Querschnitt darstellen soll: \geo ebene(352,176) x(-0.2,4.2) y(0,2.2) nolabel() noaxis() punkt(-0.06,0,X1,hide) punkt(4.06,0,X2,hide) s(X1,X2) #glasglocke punkt(2,0,M,hide) kreis(M,2,k) kreis(M,2.05) fill(-0.01,0.01,66ffff) #kuchenumriss punkt(1,0,A,hide) punkt(1,1.7,B,hide) punkt(3,1.7,C,hide) punkt(3,0,D,hide) #kucheninneres p(1,1.65,p1,hide) p(3,1.65,q1,hide) p(1,0.92,p2,hide) p(3,0.92,q2,hide) p(1,0.88,p3,hide) p(3,0.88,q3,hide) p(1,0.72,p4,hide) p(3,0.72,q4,hide) p(1,0.68,p5,hide) p(3,0.68,q5,hide) p(1,0.52,p6,hide) p(3,0.52,q6,hide) p(1,0.48,p7,hide) p(3,0.48,q7,hide) p(1,0.2,p9,hide) p(3,0.2,q9,hide) fill(B,p1,q1,C,702430) fill(p1,p2,q2,q1,C1887F) fill(p2,p3,q3,q2,E67280) fill(p3,p4,q4,q3,C1887F) fill(p4,p5,q5,q4,E67280) fill(p5,p6,q6,q5,C1887F) fill(p6,p7,q7,q6,E67280) fill(p7,p9,q9,q7,C1887F) fill(p9,A,D,q9,D1BA9B) pen(2) color(702430) s(A,B) s(B,C) s(C,D) \geooff \geoprint() \stress $ $ Leckere $ Himbeertorte

Erster Schritt

Für den ersten Schritt sollten wir auch hier zuerstmal eine Prinzipskizze anfertigen: \geo ebene(352,168) x(-0.2,4.2) y(0,2.1) nolabel() noaxis() punkt(-0.06,0,X1,hide) punkt(4.06,0,X2,hide) s(X1,X2) #glasglocke punkt(2,0,M,hide) kreis(M,2,k) #kuchenumriss punkt(1,0,A,hide) punkt(k,120,B,hide) punkt(k,60,C,hide) punkt(3,0,D,hide) s(A,B) s(B,C) s(C,D) s(D,A) s(M,C) print(r_K,2.5,0.3) print(r_G,2.5,0.8) print(h,3.1,1) \geooff \geoprint() Hierbei soll r_G der Radius der Kuchenglocke sein, r_K der des zylindrischen Kuchens und h soll die Höhe des Kuchens sein. r_G ist uns durch die Angabe des Durchmessers der Kuchenglocke als 0.1m gegeben. Auch hier ist es einfach, herauszufinden, welche Größe extremal werden soll, denn die Aufgabe sagt ja, dass der Kuchen ein maximales Volumen haben soll.

Zweiter Schritt

Der zweite Schritt ist hier auch verhältnismäßig einfach, da wir die Berechnung des Volumens einfach aus einem beliebigen Tafelwerk, einer Formelsammlung oder optimalerweise aus dem eigenen Gedächtnis entnehmen können: \darkgreen\ Hauptbedingung: V=\pi||r_K^2\.h Es folgt wie oben das Suchen von Zusammenhängen, aus denen wir einen Ansatz konstruieren können. Dabei hilft uns die Skizze, denn wir erkennen, dass das eingezeichnete Dreieck offensichtlich ein rechtwinkliges ist und deshalb nach dem Satz von Pythagoras gilt: r_K^2+h^2=r_G^2 Wir sehen, dass es einen Zusammenhang zwischen r_K und h gibt, der es uns erlauben wird, eine der beiden Größen aus der obigen Gleichung zu eliminieren. Wir formen also nach r_K^2 um. \darkgreen\ Nebenbedingung 1: r_K^2=r_G^2-h^2 \small\ Anmerkung: Man könnte auch nach h umformen. Das macht für das Endergebnis keinen Unterschied, aber mit einem geschärften Blick erkennt man, dass der Weg nach r_K^2 umzuformen der bessere ist, da die Terme einfachere Gestalt haben und so weniger Gefahr besteht, sich bei komplizierten Ausdrücken zu verrechnen. Außerdem erkennen wir, dass r_K und h nur zwischen 0 und r_G liegen können: \darkgreen\ Nebenbedingung 2: 0 < r_K, h < r_G

Dritter Schritt

Der dritte Schritt besteht jetzt nur noch aus schlichtem Einsetzen der Neben\- in die Hauptbedingung: \align\ V><=\pi||r_K^2\.h ><=\pi(r_G^2-h^2)h ><=\pi(r_G^2\.h-h^3) \stopalign Wir erhalten also die \darkgreen\ Zielfunktion: V(h)=\pi(r_G^2\.h-h^3) $ $ $ (h\el\IR, 0Letzter Schritt Wir suchen nun das globale Maximum der Funktion V(h) im Intervall (0,r_G). Dazu ermitteln wir zuerst die Ableitungen: V'(h)=\pi(r_G^2-3h^2) V''(h)=-6*\pi*h Wir stellen schon fest, dass V''(h) im betrachteten Intervall immer negativ ist. Jede Nullstelle von V'(h) in diesem Intervall ist also ein Maximum von V(h). Diese Nullstellen suchen wir jetzt: \align\ V'(h)><=0 0><=\pi(r_G^2-3h^2) 0><=r_G^2-3h^2 3h^2><=r_G^2 h^2><=1/3*r_G^2 \stopalign => h=sqrt(1/3)*r_G Das können wir schlussfolgern, da h und r_G positive Zahlen sind. Damit haben wir schon den zweiten Teil der Fragestellung gelöst. Indem wir diesen Wert nun in die Formel für das Volumen einsetzen, erhalten wir das gesuchte Maximalvolumen: V_max=\pi*(r_G^2-(sqrt(1/3)*r_G)^2)*sqrt(1/3)*r_G=2\pi/(3||sqrt(3))*r_G^3 Wir prüfen wieder die Grenzwerte an den Rändern des Definitionsbereichs, um zu prüfen, ob das lokale Maximum auch das globale ist. Wir berechnen also lim(h->0,V(h))=lim(h->0,\pi(r_G^2\.h-h^3)=lim(h->0,h)*lim(h->0,\pi(r_G^2-h^2))=0 lim(h->r_G,V(h))=lim(h->r_G,\pi(r_G^2\.h-h^3)=\pi(r_G^2*r_G-r_G^3)=0 Beides ist kleiner als unsere Lösung. Also ist das lokale Extremum auch das lang gesuchte und endlich gefundene globale! Wenn wir jetzt noch r_G=0.1m in die Lösungen einsetzen erhalten wir die Lösungen zur Aufgabenstellung: V_max\approx\ 1.21*10^(-3) m^3\approx\ array(1.21 l)____ h\approx\ 0.0577m\approx\ array(5.77 cm)____

3.Beispiel

Aufgabe: Auf einem - als flache Ebene angenommenen - Meer fahren zwei Schiffe mit konstanter Geschwindigkeit und komplett geradlinig. Ein Passagierschiff fährt mit 26kn * vom Punkt A(72;0) nach B(0;30). Der langsamere Tanker fährt mit 15kn von C(0;0) nach D(40;30). Beide Schiffe starten zeitgleich von ihrem jeweiligen Ausgangspunkt. Da sich die beiden Kapitäne kennen, wollen sie ein Funk-Gespräch führen. Das geht aber nur solange die Schiffe sich in Sichtweite (die wir auf 12 Seemeilen festlegen**) zueinander befinden. a.) Ist ein Gespräch möglich? Wenn ja, für wie lange? b.) Wann ist der Abstand zwischen den Schiffen am kleinsten? Welcher Abstand ist das genau? * 1 Knoten = 1 Seemeile pro Stunde. Alle Längeneinheiten betrachten wir ab sofort als Seemeilen, alle Zeiteinheiten als Stunden. ** Das ist eine grobe Näherung, die sich auf ein 20 Meter hohes Schiff bezieht.

Erster Schritt

\geo ebene(370,160) x(-0.1,7.4) y(-0.1,3.1) punktform(.) p(7.2,0,A) p(0,3,B) p(4,3,D) p(0,0,C) nolabel() color(009900) pfeil(A,B) color(000099) pfeil(C,D) color(000000) p(5,2.6,p1) p(6,2.6,p5) p(5,2.5,p3) p(6,2.5,p4) p(5,2.4,p2) p(6,2.4,p6) s(p1,p2) s(p3,p4) s(p5,p6) print(1sm,5.3,2.5) \geooff \geoprint()

Zweiter Schritt

Wir entnehmen der Aufgabenstellung die Geschwindigkeiten \darkgreen\ v_P=26 \black\ und \darkblue\ v_T=15\black||. Wichtig für die Aufgabe sind auch die beiden Geradengleichungen der Fahrtrouten. Da ein Schüler der Oberstufe problemlos in der Lage sein sollte, eine Gerade durch zwei Punkte zu legen \(geht bei diesen Werten sogar noch durch scharfes Hingucken\), hier nur die Ergebnisse: \darkgreen\ y_P(x)=-5/12*x+30 \darkblue\ y_T(x)=3/4*x Um außerdem konkret angeben zu können, wann sich welches Schiff wo befindet, müssen wir aus der Geschwindigkeitsangabe und der jeweiligen Geradengleichung je eine Funktion erstellen, die in Abhängigkeit von der Zeit t die x-Koordinate des Schiffes angibt. \(Wir könnten auch eine Funktion suchen, die der Zeit eine y-Koordinate zuordnet, aber da wir die Geradengleichungen haben, ist das vollkommen gleichwertig\) Dazu benutzen wir die Tatsache, dass sich die Schiffe mit konstanter Geschwindigkeit und geradlinig bewegen sowie den Strahlensatz: \geo ebene(370,160) x(-0.1,7.4) y(-0.1,3.1) punktform(.) p(7.2,0,A) p(0,3,B) p(4.8,1,P) p(4.8,0,Q) p(0,0,R) nolabel() color(009900) s(A,B) s(P,Q) s(A,R) s(B,R) color(000000) p(5,2.6,p1) p(6,2.6,p5) p(5,2.5,p3) p(6,2.5,p4) p(5,2.4,p2) p(6,2.4,p6) s(p1,p2) s(p3,p4) s(p5,p6) print(1sm,5.3,2.5) \geooff \geoprint() Dabei soll P der Punkt sein, an dem sich das Schiff nach einer Stunde befindet. Insbesondere ist P also 26 Einheiten von A entfernt. Nach dem Strahlensatz gilt nun: AP^-/AB^-=AQ^-/AR^- Die Strecken AB^-, AP^- und AR^- sind uns aus der Aufgabenstellung bekannt, wir können also AQ^-=24 berechnen. Q ist also 24 Einheiten von A entfernt, wenn eine Stunde verstrichen ist. Nach der Zeit t ist Q also 24*t von A entfernt. Insbesondere haben wir damit die Gleichung: \darkgreen\ x_P(t)=72-24*t Durch eine analoge Anwendung des Strahlensatzes für die zweite Geschwindigkeit kommen wir auf: \darkblue\ x_T(t)=12*t Befinden sich die Schiffe an Position (x_P, y_P) und (x_T, y_T), dann ist der Abstand dieser beiden ja per Definition: d=sqrt((x_P-x_T)^2+(y_P-y_T)^2) Und genau dies ist schlussendlich auch die Größe, deren Minimum wir suchen.

Dritter Schritt

Besonders aus letzterer Angabe können wir nun unsere Zielfunktion erstellen. Wir setzen jetzt nämlich für y_T und y_P die beiden aus dem Strahlensatz ermittelten Gleichungen für x_T und x_P als x-Wert ein: \align\ d(t)><=sqrt((x_P(t)-x_T(t))^2+(y_P(t)-y_T(t))^2) ><=sqrt((x_P(t)-x_T(t))^2+(-5/12\.x_P(t)+30-3/4\.x_T(t))^2) ><=sqrt((72-24t-12t)^2+(-5/12\.(72-24t)+30-3/4\.12t)^2) ><=sqrt(5184 - 5184*t + 1297*t^2)

Vierter Schritt

Die beiden Teilaufgaben lösen wir getrennt. Bei a.\) ist im Wesentlichen eine Ungleichung zu lösen, denn damit Funkkontakt hergestellt werden kann, muss d(t)<=12 sein: \mixoff\ 12>=d(t) 12>=sqrt(5184 - 5184*t + 1297*t^2) 144>=5184 - 5184*t + 1297*t^2 0>=5040 - 5184*t + 1297*t^2 0>=5040/1297 - 5184/1297*t + t^2 Wir erinnern uns an dieser Stelle an die Lösungsformel für quadratische Gleichungen der Form x^2+px+q=0. Dort war x_1=-p/2+sqrt((p/2)^2-q) und x_2=-p/2-sqrt((p/2)^2-q). Wir sehen sofort, dass der Abstand zwischen den beiden Nullstellen \(und damit auch die Breite des Intervalls, in dem die Funktion kleinergleich Null ist\) x_1-x_2 genau 2*sqrt((p/2)^2-q)=sqrt(p^2-4q) ist. Angewandt auf unsere Gleichung ergibt sich ein Abstand von sqrt((-5184/1297)^2-4(5040/1297))\approx\ 0.657____. Die beiden Kapitäne können also rund 0.657 Stunden oder ca. 39 Minuten miteinander kommunizieren. Teilaufgabe b.) zu lösen erfordert dann gute Kenntnis der Kurvendiskussion oder - in diesem speziellen Falle - etwas Einfallsreichtum. Es geht nun um die Extremstellen der Funktion d(t)=sqrt(5184 - 5184*t + 1297*t^2). In der Tat könnten wir nun wie gewohnt vorgehen und d'(t) und d''(t) bilden, d'(t) null setzen, die Gleichung auflösen etc. Wir können uns aber auch durch geschicktes Überlegen eine einfachere Methode überlegen, denn wenn f(x) eine stetige Funktion ist, dann sind alle Extremwerte von f(x) auch Extremwerte von (f(x))^2. Das könnte man sich einmal anschaulich klar machen: \geo xy(-0.5,1.5) plot(5*x*(x-1)*(x-1)) color(0000ff) plot(25*x^2*(x^2-2*x+1)*(x^2-2*x+1)) print(f(x),0.5,0.8) print(\blue\ f(x)^2,-0.1,1) \geooff \geoprint() Oder man zeigt es rechnerisch: Sei f(x) eine stetige Funktion und sei g(x):=f(x)^2. Sei x_E weiterhin eine Extremstelle von f(x). Es ist dann x_E auch eine Extremstelle von g(x). \blue\ Beweis: Wir unterscheiden 4 Fälle \(Es sei hierbei jeweils x ein beliebiges Element aus einem geeigneten Intervall gauss(x_E-\eps,x_E+\eps) um die Extremstelle herum\) Ist 0>=f(x)>=f(x_E), ist (x_E, f(x_E)) also ein Minimumspunkt unter der x-Achse, so folgt durch Quadrieren: g(x)<=g(x_E). (x_E, g(x_E)) ist also ein Maximumspunkt von g. Ist f(x)>=f(x_E)>=0, ist (x_E, f(x_E)) also ein Minimumspunkt über der x-Achse, so folgt durch Quadrieren: g(x)>=g(x_E). (x_E, g(x_E)) ist dann also ein Minimumspunkt von g. Ist 0<=f(x)<=f(x_E), ist (x_E, f(x_E)) also ein Maximumspunkt über der x-Achse, so folgt durch Quadrieren: g(x)<=g(x_E). (x_E, g(x_E)) ist also ein Maximumspunkt von g. Ist f(x)<=f(x_E)<=0, ist (x_E, f(x_E)) also ein Maximumspunkt unter der x-Achse, so folgt durch Quadrieren: g(x)>=g(x_E). (x_E, g(x_E)) ist also ein Minimumspunkt von g. \blue\ q.e.d. Dieses sehr oft anwendbare Verfahren werden wir auch jetzt verwenden \(\Es drängt sich ja fast auf, die Wurzel durchs Quadrieren wegzubekommen\). Wir setzen also e(t):=d(t)^2. Dann ist e(t)=5184 - 5184*t + 1297*t^2 und e'(t)=-5184 + 2594*t, woraus wir die mögliche Extremstelle x_E=2592/1297\approx\ 1.998 erhalten. Diese setzen wir in die ursprüngliche Gleichung ein: d(x_E)\approx\ 6.320. Zusammen mit d(2)\approx\ 6.324 und d(1)\approx\ 36.014 bestätigen wir also, dass x_E wirklich ein Extremum von d(t) ist. (An dieser Stelle sollte man sich klar machen, wieso hier das Einsetzen dieser beiden Stellen reicht, um zu bestätigen, dass es sich um einen Extremwert handelt.)

Abschluss

Ich hoffe, dass ich euch einen grundsätzlichen Eindruck über das Handling von Extremwertaufgaben und der zwei "Tricks" vermitteln konnte. Wenn ihr auch das dritte große Gebiet der Schulanalysis - die Integralrechnung - kennenlernen wollt, seid gespannt auf Teil V der Ana[rchie]-Reihe. m/f'(g)=Goc/kel

Die Ana[rchie]-Reihe

Teil I: Folgen Sie mir! Teil II: Der Blitzableiter Teil III: 90-60-90 und andere schöne Kurven Teil IV: Extremsport Teil V: Neues vom Integrationsbeauftragten Teil VI: Ich hab den Bogen raus!
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: Analysis :: Schüler aufwärts :: Leicht verständlich :: Differentialrechnung :: Extremwertaufgaben :
Ana[rchie] IV: Extremsport [von Gockel]  
Teil IV der Ana[rchie]-Reihe beschäftigt sich mit der zweiten Hauptanwendung der Differentialrechnung, den Extremwertaufgaben.
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"Mathematik: Ana[rchie] IV: Extremsport" | 10 Comments
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Re: Ana[rchie] IV: Extremsport
von: jannna am: Di. 11. Oktober 2005 13:45:23
\(\begingroup\)Hallo Gockel Schulmathe ist zwar nicht grade mein Gebiet im Moment aber der Artikel ließt sich super und die Beispiele sind gut (lecker Himbeertorte 😉 ). Für Nachhilfe kann man sich an deinen Artikeln gut orientieren. Grüße Jana\(\endgroup\)
 

Re: Ana[rchie] IV: Extremsport
von: FlorianM am: Di. 11. Oktober 2005 16:33:50
\(\begingroup\)Sehr schöner Artikel, wie alle aus dieser Reihe. :) Verständlich und nachvollziehbar erklärt. Freue mich schon auf die Integralrechnung.\(\endgroup\)
 

Re: Ana[rchie] IV: Extremsport
von: matroid am: Fr. 14. Oktober 2005 20:01:37
\(\begingroup\)Hi Gockel, auch diese Fortsetzung ist wirklich gelungen. Ich mag Deinen Schreibstil. Das neue Logo finde ich spitze - professionell wie für eine DVD-Beschriftung. Gruß Matroid\(\endgroup\)
 

Re: Ana[rchie] IV: Extremsport
von: daloenni am: Sa. 15. Oktober 2005 08:05:42
\(\begingroup\)Ich liebe Extreme 😉\(\endgroup\)
 

Als die Extreme zusammenstießen
von: SchuBi am: Sa. 15. Oktober 2005 10:22:52
\(\begingroup\)begriff Max Müller, wie nötig er sei. Und er gründete die Partei aller Menschen, die Müller hießen. Müller liebte alle Klassen. Politische Meinungen hatte er keine. Wichtig war ihm nur das eine: Sämtliche Müllers zusammenzufassen. ... (Erich Kästner: Die deutsche Einheitspartei)\(\endgroup\)
 

Re: Ana[rchie] IV: Extremsport
von: weserus am: So. 16. Oktober 2005 19:05:35
\(\begingroup\)Hallo gockel, zu Deinem Artikel und die exzellente Bearbeitung beglückwünsche ich Dich. Hast Du jedoch selbst nicht die Befürchtung, dass der Inhalt der Einführung und die Zielsetzung der behandelten Themen bei einigen hier und Matroid auf Widerspruch stossen könnte, wenn die behandelten Erkenntnisse u.a. dazu dienen (ich zitiere Dich): "um........maximalen Gewinn zu finden"? "Maximalen Gewinn" streben doch nur die Ausbeuter dieses Ausbeuterstaates an. Ich zitiere weiter(und Matroid stimmt dem sicher zu): "Leben ist eben mehr als Markt( der wiederum nur dem maximalen Gewinn anstrebt-Einschub von mir) und Ellenbogen, auch wenn man es heute nobler umschreibt." Bedenke(ich zitiere dem Inhalt nach mit Erweiterung):"Es könnte ekelhaft sein, mit solchen Berechnungsmethoden für die, die schon soviel haben noch mehr auf Kosten derjenigen zu schaffen, die schon jetzt kaum wissen, wie sie über die Runden kommen sollen." Der MP und der hier behandelte Stoff sollte deshalb allein der "reinen Mathematik" dienen und nicht den zu beleidigenden Marktliberalisten. Wenn Du jedoch selbst keine Bedenken hast und Dich gegen Matroid und andere durchsetzen kannst, sollte der Artikel selbstverständlich so bleiben. Mit mathematischen Grüssen Peter \(\endgroup\)
 

Re: Ana[rchie] IV: Extremsport
von: huepfer am: So. 16. Oktober 2005 20:09:58
\(\begingroup\)Hallo Gockel, Du hast mit diesem Artikel wieder gezeigt, dass die Schulmathematik alles andere als langweilig ist. Außerdem hast Du auch gezeigt, dass es möglich ist sie anschaulich und verständlich darzustellen. Das ist eine große Leistung. Gruß, Felix\(\endgroup\)
 

Re: Ana[rchie] IV: Extremsport
von: FlorianM am: So. 16. Oktober 2005 21:03:55
\(\begingroup\)Und genau damit der Matheplanet noch mehr anschauliche und verständliche Artikel zur Schulmathematik bekommt, wurde die Arbeitsgruppe MP-Schulmathematik ins Leben gerufen. \(\endgroup\)
 

Re: Ana[rchie] IV: Extremsport
von: Ex_Mitglied_40174 am: Fr. 14. August 2009 15:07:53
\(\begingroup\)Hallo Gockel, ich bin Neuling ( uralt ) und möchte mich rasch in Mathe wieder einarbeiten. Die letzte Aufgabe von Beispiel 3 macht mir leider Probleme besonders die Teilaufgabe b wie man dort zu d (2) und d (1) über d ( x E ) gelangt. Frdl. Gruß ManfredMüsse\(\endgroup\)
 

Re: Ana[rchie] IV: Extremsport
von: huepfer am: Fr. 14. August 2009 15:20:05
\(\begingroup\)Hallo Manfred, die Diskussion von Übungsaufgaben findet sinnvollerweise im Forum statt. Am besten Du registrierst Dich dort und erstellst einen Thread mit der Frage. Dort findest Du vermutlich auch mehr, die Dir weiterhelfen können. Gruß, Felix\(\endgroup\)
 

 
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