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Einführung in die Integralrechnung
In diesem Artikel will ich euch einen ersten Einblick in die Integralrechnung geben. Dieser Artikel ist speziell für Schüler geschrieben.
Ich habe mich bemüht diesen Artikel vor allem verständlich und anschaulich zu gestalten.
Ich hoffe mir ist dieses gelungen.
Dieser Artikel umfasst nur einen ersten Einblick in die Integralrechnung, die man so in der Oberstufe eines Gymnasiums (12. Klasse) kennen lernt.
Es gibt noch viele Gebiete, in denen man die Integralrechnung anwenden kann. Deswegen wird es auf jeden Fall noch einen zweiten Teil geben.
Vielleicht kommt auch noch ein dritter und vierter Teil. Das kann man nie ausschließen.
Aber jetzt erstmal viel Spaß mit meiner kleinen Einführung in die Integralrechnung.Teil 1: Einführung in die IntegralrechnungTeil 2: Stammfunktionen & CoTeil 4: Uneigentliche IntegraleTeil 5: Wie findet man eine Stammfunktion?
Inhalt1 Erste Berechnungen einer Fläche im Graphen2 Der Begriff des Integrals
2.1 Geometrische Definition des Integrals
2.2 Analytische Definition des Integrals
3 Rechenregel für Integrale
3.1 Faktorregel
3.2 Summenregel
3.3 Intervalladditivität
4 Verwenden der Integrale zur Flächenberechnung5 Flächenberechnung zwischen 2 Graphen6 Zusammenfassung Teil I7 Abschluss8 Quellenangabe
Um den Begriff des Integrals einführen zu können, muss ich etwas weiter ausholen. Und zwar soll zuerst die schwarz markierte Fläche unter dem Graphen berechnet werden.
Die Funktion des Graphen ist y=x.(1 Einheit=1 cm)
Man sieht die Antwort sofort: A=0,5 cm².
Es gibt mehrere Möglichkeiten, um zu dieser Antwort zu gelangen. Zwei möchte ich hier ganz kurz anführen:
1. Möglichkeit: Wir berechnen den Flächeninhalt des Quadrats (1 cm x 1 cm) und halbieren diesen Flächeninhalt, da das Quadrat durch die Funktion y=x halbiert wird.
2. Möglichkeit: Wir berechnen den Flächeninhalt des Dreiecks mit folgender Formel:
A=(g*h)/2 , g ist dabei 1 cm und h ebenfalls 1 cm, so kommen wir auf A=0,5 cm^2.
Nun berechnet bitte folgenden Flächeninhalt der schwarz markierten Fläche:
Die Funktion des Graphen ist y=x².
Mit unseren Quadraten und Dreiecken kommen wir hier nicht weit.
Vielleicht kennt ihr die Methode, die ich jetzt anführen werde, schon aus dem Bereich Geometrie, wo ihr den Flächeninhalt des Kreises abschätzen solltet, um zu Pi zu gelangen.
Vorgehensweise:
1. Zuerst teilen wir die Fläche in 4 Säulen ein, die unter dem Graphen liegen. (Untersumme)
2. Nach diesem Schritt teilen wir den Graphen noch einmal in 4 Säulen ein, die auch über dem Graphen verlaufen und bilden daraus einen Mittelwert. (Obersumme)
Die Funktion ist ebenfalls y=x².
Nun berechnen wir die Obersumme und die Untersumme. Da wir die Breite (0,25) kennen, wissen wir durch den entsprechenden Funktionswert auch die Höhe einer Säule:
Die Summe der Säulen unterhalb des Graphen wird als \black\ Untersumme bezeichnet.
Es gilt S_4<=A.
S_4=1/4 * 9/16 + 1/4 * 1/4 +1/4 * 1/16=9/64 + 1/16 + 1/64=(9+4+1)/64=14/64=7/32
Die Summe der Säulen oberhalb des Graphen wird als \black\ Obersumme bezeichnet.
Es gilt (S_4)^->=A
(S_4)^-=1/4 * 9/16 + 1/4 * 1/4 +1/4 * 1/16 + 1/4 * 1=9/64 + 1/16 + 1/64 + 1/4 =
(9+4+1+16)/64=30/64=15/32
Der gesuchte Flächeninhalt A wird von S_4 und (S_4)^- eingeschachtelt.
Als Abschätzung ergibt sich: 7/32\inf\ geht 1/3 - 1/2n + 1/6n^2-> 1/3 und 1/3 + 1/2n + 1/6n^2 ->1/3
Dies bedeutet für die Abschätzung von A:
1/3<=A<=1/3, also A=1/3
Als Übung folgende Aufgabe an euch:
Berechne den Flächeninhalt A der vom Graphen f(x)=x^3, der x-Achse und der Geraden x=1 begrenzt wird.
Hilfe: (1+8+27+...+(n-1)^3)=((n-1)^2 * n^2)/4 und (1+8+27+...+(n^3))=((n+1)^2 * n^2)/4
Lösung:
S_n=1/n * 1/n^3 + 1/n * (2/n)^3 +...+1/n *((n-1)/n)^3
=1/n^4+1/n^4 *8+...+(n-1)^3 * 1/n^4
=1/n^4 *(1+8+27+...+(n-1)^3)
S_n=1/n^4 *((n-1)^2 * n^2)/4 =1/4n^2 * (n-1)^2 =(n^2 - 2n + 1)/4n^2 =1/4 - 1/2n +1/4n^2
Für die Obersumme gilt dementsprechend:
(S_n)^-=1/n * 1/n^3 + 1/n * (2/n)^3 +...+1/n *((n/n)^3)
=1/n^4+1/n^4 *8+...+(n^3 * 1/n^4
=1/n^4 *(1+8+27+...+(n^3)
(S_n)^-=1/n^4 *((n+1)^2 * n^2)/4 =1/4n^2 * (n+1)^2 =(n^2 + 2n + 1)/4n^2 =1/4 + 1/2n +1/4n^2
Nun lassen wir n gehen Unendlich streben, da wir unendlich viele Säulen verwenden wollen. Dafür gilt:
Für n ->\inf\ geht 1/4 + 1/2n +1/4n^2-> 1/4 und 1/4 + 1/2n +1/4n^2 ->1/4
Dies bedeutet für die Abschätzung von A:
1/4<=A<=1/4, also A=1/4
Nun haben wir aber den Flächeninhalt nur im Intervall [0;1] berechnet. Wie sieht der Flächeninhalt aber im Intervall [0;2] oder [0;b] aus?
Um diese Frage zu klären, nehmen wir wieder die Funktion f(x)=x^3 und erhalten wir die Obersumme und Untersumme im Intervall [0;2]:
Lösung:
S_n=2/n * (2/n)^3 + 2/n * (4/n)^3 +...+2/n *((2(n-1))/n)^3
=16/n^4+16/n^4 *8+...+(n-1)^3 * 16/n^4
=16/n^4 *(1+8+27+...+(n-1)^3)
S_n=16/n^4 *((n-1)^2 * n^2)/4 =(4(n^2-2n+1))/n^2
=4- 8/n + 4/n^2
Für die Obersumme gilt dementsprechend:
(S_n)^-=2/n * (2/n)^3 + 2/n * (4/n)^3 +...+2/n +((2n/n))^3
=16/n^4+16/n^4 *8+...+(n^3 * 16/n^4
=16/n^4 *(1+8+27+...+(n)^3)
S_n=16/n^4 *((n+1)^2 * n^2)/4 =(4(n^2+2n+1))/n^2
=4+ 8/n + 4/n^2
Nun lassen wir n gehen Unendlich streben, da wir unendlich viele Säulen verwenden wollen. Dafür gilt:
Für n ->\inf\ geht 4+ 8/n + 4/n^2->4 und 4+ 8/n + 4/n^2 ->4
Dies bedeutet für die Abschätzung von A:
4<=A<=4, also A=4
Klingt ja auch logisch, denn die Breite einer Säule ist ja nun 2/n , weil wir die Länge 2 in n Säulen unterteilt haben und dafür ändert sich der jeweilige Funktionswert, also auch die Höhe der Säule.
Allgemein im Intervall [0;b] heißt das:
S_n=b/n * (b/n)^3 +b/n * (2b/n)^3 +...+b/n *((b(n-1))/n)^3
=b^4/n^4+b^4/n^4 *8+...+(n-1)^3 * b^4/n^4
=b^4/n^4 *(1+8+27+...+(n-1)^3)
S_n=b^4/n^4 *((n-1)^2 * n^2)/4 =(b^4 *(n-1)^2)/4=(b^4 *(n^2-2n+1))/4n^2
=b^4/4- b^4/2n + b^4/4n^2
Für die Obersumme gilt dementsprechend:
(S_n)^-=b/n * (b/n)^3 +b/n * (2b/n)^3 +...+b/n *((bn)/n)^3
=b^4/n^4+b^4/n^4 *8+...+n^3 * b^4/n^4
=b^4/n^4 *(1+8+27+...+n^3)
(S_n)^-=b^4/n^4 *((n+1)^2 * n^2)/4 =(b^4 *(n+1)^2)/4=(b^4 *(n^2+2n+1))/4n^2
=b^4/4+ b^4/2n + b^4/4n^2
Nun lassen wir n gehen Unendlich streben, da wir unendlich viele Säulen verwenden wollen. Dafür gilt:
Für n ->\inf\ geht b^4/4+ b^4/2n + b^4/4n^2->b^4/4 und b^4/4+ b^4/2n + b^4/4n^2->b^4/4
Dies bedeutet für die Abschätzung von A:
b^4/4<=A<=b^4/4, also A=b^4/4
Berechne den Flächeninhalt A der Fläche, die von der Funktion f(x)=x^3, der x-Achse, der Geraden x=2 und der Geraden x=3 begrenzt wird.
Lösung:
A=3^4/4 - 2^4/4 =65/4 =16,25
Berechne den Flächeninhalt A der Fläche, die von der Funktion f(x)=x, der x-Achse und der Geraden x=b begrenzt wird.
Lösung:
A=b^2/2
Orientierter Flächeninhalt – Definition des Integrals:
- Flächeninhalte oberhalb der x-Achse haben ein positives Vorzeichen.
- Flächeninhalte unterhalb der x-Achse haben ein negatives Vorzeichen.
\black\frame\black\big\ Definition:
Gegeben sei eine Funktion f, die über einem Intervall [a; b] definiert ist, dann versteht man unter dem \big\ Integral der Funktion
von a bis b die Summe der orientierten Flächeninhalte zwischen dem Graphen von f, der x-Achse und der Geraden x=a und x=b.
\big\ Schreibweise:
int(f,x,a,b)=int(f(x),x,a,b)=+A1+(-A2)+A3+(-A4)
a: untere Grenze
b: obere Grenze
Wie liest man das? So: "Integral von a bis b der Funktion f"
\big\ Grundintegrale:
int(x^3,x,a,b)=b^4/4 - a^4/4 ; int(x^2,x,a,b)=b^3/3 - a^3/3 ;
int(x,x,a,b)=b^2/2 - a^2/2 ; int(1,x,a,b)=b - a ;
Ergänzung zur Formel int(f,x,a,b)=int(f(x),x,a,b)=+A1+(-A2)+A3+(-A4) :
2.2 Analytische Definition des Integrals
\black\frame\black\big\ Analytische Definition des Integrals:
Die Funktion f sei über dem Intervall [a; b] definiert und dort beschränkt. Dann versteht man unter dem Integral von a bis b der Funktion f eine Zahl, die man folgendermaßen erhält:
(1) Man bildet die Zerlegung Z_n des Intervalls [a; b] in n gleich lange Teilintervalle.
(2) Man bildet die zu Z_n gehörende Obersumme (S_n)^- und die Untersumme S_n. Insgesamt erhält man eine Folge von Obersumme (S_n)^- und Untersumme S_n ,
(3) Wir bilden lim(n->\inf\ ,(S_n)^- ) und lim(n->\inf\ ,S_n ).
Stimmen beide Grenzwerte überein, das heißt ist: lim(n->\inf\ ,(S_n)^- )=lim(n->\inf\ ,S_n ), so heißt dieser gemeinsame Grenzwert das \big\ Integral von a bis b der Funktion f.
Man schreibt: int(f,x,a,b) oder int(f(x),x,a,b) .
Nun berechnet doch einmal folgendes Integral int(2x^3,x,1,4) .
Das neue besteht jetzt darin, dass die Funktion nicht mehr heißt f(x)=x^3, sondern f(x)=2x^3.
Durch geometrische Überlegungen kommt man jedoch zu dem Schluss, dass der Flächeninhalt verdoppelt werden müsste.
int(2x^3,x,1,4)=2*int(x^3,x,1,4)=2(4^4/4 - 1^4/4)=2(64 - 1/4)=2* 63 3/4=127,5
Prüfen wir dies doch mit unserer Berechnung von Obersumme und Untersumme:
S_n=b/n * 2* (b/n)^3 +b/n * 2* (2b/n)^3 +...+b/n *2* ((b(n-1))/n)^3
=2* b^4/n^4 *(1+8+27+...+(n-1)^3)
S_n=2* b^4/n^4 *((n-1)^2 * n^2)/4 =2* b^4/4 - b^4/n + b^4/2n^2
Für die Obersumme gilt dementsprechend:
(S_n)^-=b/n * 2* (b/n)^3 +b/n * 2* (2b/n)^3 +...+b/n *2* ((bn)/n)^3
=2* b^4/n^4 *(1+8+27+...+(n^3)
(S_n)^-=2* b^4/n^4 *((n+1)^2 * n^2)/4 =2* b^4/4 + b^4/n + b^4/2n^2
Nun lassen wir n gehen Unendlich streben, da wir unendlich viele Säulen verwenden wollen. Dafür gilt:
Für n ->\inf\ geht 2* b^4/4 + b^4/n + b^4/2n^2->2* b^4/4 und 2* b^4/4 + b^4/n + b^4/2n^2->2* b^4/4
Dies bedeutet für die Abschätzung von A:
2* b^4/4<=A>=2* b^4/4, also A=2* b^4/4= b^4/2
Wir sehen, dass b^4/4 verdoppelt wird. Also stimmt unsere Üblegung.
Zwei weitere Beispiele:
int(3x^2,x,4,1)=3*int(x^2,x,4,1)
int(cx,x,4,1)=c*int(x,x,4,1)
So kommen wir zur so genannten \big\ Faktorregel.
\black\frame\black\big\ Faktorregel:
int(cf(x),x,a,b)=c*int(f(x),x,a,b)
kurz: int(cf,x,a,b)=c*int(f,x,a,b)
3.2. Summenregel
Es gibt noch weitere Rechenregeln für Integrale, zum Beispiel die \big Summenregel.
\black\frame\black\big\ Summenregel:
int(f(x)+g(x),x,a,b)=int(f(x),x,a,b)+int(g(x),x,a,b)
Eine Summe wird gliedweise integriert.
3.3 Intervalladditivität
Schaut euch bitte folgende Integrale und deren Lösungen an:
int(x^2,x,1,3)=3^3/3 - 1^3/3=9 - 1/3=8 2/3 und int(x^2,x,3,1)=1^3/3 -3^3/3=1/3 - 9
=-8 2/3
int(x^2,x,a,b)=b^3/3 - a^3/3=-[- b^3/3 + a^3/3] und int(x^2,x,b,a)=a^3/3 -b^3/3=- b^3/3 + a^3/3
int(x^2,x,a,a)=a^3/3 - a^3/3=0
Aus den Beispielen folgt folgende Definition:
\black\frame\black\big\ Definition 1:
(1) Ist a
Der Graph f(x)=x²-3 schließt mit der x-Achse eine Fläche ein.
Berechne den Flächeninhalt der gesamten Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse
Vorgehensweise:
1. Zuerst sollten wir uns eine Zeichnung machen, um den Sachverhalt zu verdeutlichen.
2. Um die Integralgrenzen zu bekommen, müssen wir die Nullstellen berechnen.
0=x^2 -3
x=+-sqrt(3)
3. Nun stellen wir das entsprechende Integral auf, um den Flächeninhalt berechnen zu können.
Aufgrund der Achsensymmetrie berechnen wir erstmal das Integral von 0 bis sqrt(3) und multiplizieren das Ergebnis mit 2.
int((x^2 - 3),x,0,sqrt(3))=int((x^2),x,0,sqrt(3)) - 3*int(1,x,0,sqrt(3))=sqrt(3)-3*sqrt(3)=\|-2*sqrt(3)\|
A=2*sqrt(3) + 2*sqrt(3)=4*sqrt(3)
1. Berechne den Inhalt der von dem Graphen von f und g eingeschlossenen Fläche.
f(x)=x²; g(x)=-x+2
Vorgehensweise:
1. Auch hier zeichnen wir uns wieder eine Skizze, um uns den Sachverhalt zu verdeutlichen.
2. Um die Integralgrenzen zu erhalten, bestimmen wir die Schnittpunkte der Graphen.
x^2=-x+2
x^2+x-2=0
p,q-Formel
x_(1,2)=-1/2 +- sqrt(9/4)=-1/2 +- 3/2
x_1=1
x_2=-2
3. Man sieht leicht:
int(g(x),x,x_1,x_2) - int(f(x),x,x_1,x_2)
Also gilt:
A=int(-x+2,x,1,-2) - int(x^2,x,1,-2)=-1*(2^2/2- 1/2) - 6-((-2)^3/3 - 1/3)
=-1,5-6+3=-4,5
A=4,5
\black\frame\black\big\ Satz 1:
Ist f(x)>g(x) für alle x mit a
Fassen wir noch einmal zusammen, was wir bis jetzt wissen:
1. Grundintegrale
int(x^3,x,a,b)=b^4/4 - a^4/4 ; int(x^2,x,a,b)=b^3/3 - a^3/3 ;
int(x,x,a,b)=b^2/2 - a^2/2 ; int(1,x,a,b)=b - a ;
2. Rechenregeln
2.1 Faktorregel:
int(c*f,x,a,b)=c*int(f,x,a,b)
2.2 Summenregel
int(f(x)+g(x),x,a,b)=int(f(x),x,a,b) + int(g(x),x,a,b)
3. Vereinfachungen
int(f,x,a,b)=- int(f,x,b,a)
int(f,x,a,a)=0
4. Intervalladditivität
int(f,x,a,b) + int(f,x,b,c)=int(f,x,a,c)
a, b, c können beliebig sein.
5. Verwenden von Integralen zur Flächenberechnung:
f(x)=x²-3 [0; 3]
Vorgehensweise:
1. Zuerst berechnet man die Nullstellen.
2. Danach stellt man die entsprechenden Integrale mit den Integralgrenzen auf.
3. Zum Schluss stellt man die Grundintegrale auf und addiert die einzelnen Flächeninhalte.
6. Flächeninhalt der Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen:
\black\frame\black\big\ Satz 1:
Ist f(x)>g(x) für alle x mit aVorgehensweise:
1. Zuerst berechnet man die Schnittpunkte der beiden Funktion f und g.
2. Danach stellt man die entsprechenden Integrale mit den Integralgrenzen auf.
3. Zum Schluss stellt man die Grundintegrale auf und addiert die einzelnen Flächeninhalte.
Dies war nun der erste Teil der Serie „Einführung in die Integralrechnung“. Der zweite Teil wird sich um die Stammfunktion drehen. Schon so viel vorweg: Mit der Stammfunktion braucht man nicht mehr die Grundintegrale. Man kann also Integrale auf einer schnelleren Art berechnen. Aber ich will nicht zu viel verraten. Einfach auf den zweiten Teil warten, der schon in 2-3 Wochen erscheinen wird.
In diesem Artikel will ich euch einen ersten Einblick in die Integralrechnung geben. Dieser Artikel ist speziell für Schüler geschrieben.
Ich habe mich bemüht diesen Artikel vor allem verständlich und anschaulich zu gestalten.
\(\begingroup\)Genau sowas hab ich gesucht. Eine handliche für Schü+ler geschriebene Einführung in die Integralrechnung. Fehlt nurnoch etwas zur Differenzialrechnung. Danke für die Information. \(\endgroup\)
\(\begingroup\)@Neodor:
Die Differentialrechnung ist z.B. in der Ana[rchie]-Artikelreihe besprochen worden:
Ana[rchie] II: Der Blitzableiter\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hi FlorianM,
da haben wir Dir nun eine sehr übersichtliche Darstellung der Integralrechnung und ihrer wichtigen Regeln zu verdanken. Es ist sehr gut, wie Du das gemacht hast, und es ist sehr gut, daß Du das gemacht hast, denn schon manchmal hat mich jemand, der noch keine Integralrechnung in der Schule gehabt hat, gefragt, was denn das eigentlich ist: die Integralrechnung. Darum mußte es endlich diesen Artikel geben.
Vielen Dank, und evtl. kannst Du beim zweiten Teil auf die Integralsammlungen von pendragon302 und andere thematisch angrenzende Artikel verweisen, denn vielleicht beginnt jemand hier zu lesen und freut sich, daß er weitere Verweise findet.
Viele Grüße
Matroid\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Danke für die netten Kommentare. Habe mich darüber sehr gefreut. Es ist immer wieder schön, wenn die Arbeit positives Feedback bekommt. :)
@matroid
Bei meinen anderen Artikel weise ich auf andere Artikel hin. :) Habe mir die Urls schon rausgesucht. :)\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Leider habe ich einen Fehler im Worddokument endeckt.Auf Seite 3
Zeile 21 steht, dass 15/32 =0,343375. Das ist aber falsch, denn 15/32=0.46875. Ansonsten fand ich den Artikel sehr hilfreich.\(\endgroup\)
\(\begingroup\)jo florian, ich kenn dich zwar nicht, aber vielen dank, deine artikel sind genau das was ich brauche um mich auf mein vorabi morgen vorzubereiten,....DANKE\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Lieber Florian,
danke für die tolle Einführung in die Integralrechnung. Deine Ausführungen sind wirklich gut zu verstehen.
Schau Dir bitte die doc-Version noch einmal genauer an.
Gruß
Wolfgang
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo,
danke für die netten Kommentare. Sind bei der Doc-Version noch Fehler drin? Dann schreib mir doch bitte die Seite. Danke.
Gruss Florian\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Danke, anonymer Schreiber, für Deine Aufmerksamkeit
und die Berichtigung des Rechenfehlers.
Die Änderung habe ich bereits beantragt
wurde bereits durchgeführt.
Liebe Grüße, Franz
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Erstmal hallo
Danach schulde ich dir ein grosses Danke;denn dein Artikel hat mir sehr geholfen ich kam bei eine aufgabe nicht klar,Die aufgabe war über "Flächenberechnung zwischen 2 Graphen".Aber dein Artikel hat mir weiter geholfen und ich konnte miene aufgabe richtig rechnen.
Danke nochmal!\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Danke für den Artikel. Ich hätte noch eine Frage. Bei der Berechnung der Untersumme bei dem Beispiel mit den Säulen verstehe ich nicht wie man auf die 9/16 kommt. Eigentlich möchte man doch 4 Säulen berechnen es scheint aber so zu sein, dass nur 3 berechnet werden oder?
Vielleicht könnte jemand so nett sein und den folgenden Satz nochmal näher erläutern.
"Da wir die Breite kennen, wissen wir durch den entsprechenden Funktionswert auch die Höhe"
Danke.
Gruß Tom\(\endgroup\)
\(\begingroup\) Hallo Tom,
es wird der Bereich 0<=x<=1 betrachtet, der in 4 Säulen aufgeteilt wird. Jede Säule hat dann eine Breite von 1/4
Nun betrachtet man für jede Säule den "linken oberen" Eckpunkt. Bei der Untersumme berührt die Säule dort den Funktionsgrafen y=x^2
Florian ist mit der "letzten" Säule gestartet. Der linke obere Eckpunkt hat die Koordinate x=3/4 und damit ergibt sich y=x^2=9/16
Die "letzte" Säule hat die x-Koordinate 0 und damit die Höhe 0. Die Fläche dieser Säule ist also Null. Deswegen erscheint sie nicht in der Summe.
lg
Georg\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Oh Man, ich häng jetzt heute und morgen an dieser Seite dran und versuch mein Abi gerade so zu schaffen... Ist schon echt cool, dass man doch endlich was hilfreiches findet, um sich gut vorzubereiten, wenn man zu Hause nicht die nötigen Materialien dafür hat!
Danke dafür.
Gruß (ich bleib lieber Anonym, nicht, dass mich meine Mitschüler noch auslachen, weil ich jetzt erst richtig mit lernen anfange ☹️ \(\endgroup\)
\(\begingroup\)Wirklich klasse und so ausführlich und verständlich, wie ich es schon lange nicht mehr gesehen habe. Danke für diese Top-Erklärung und weiter so!\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo ich hab mal eine Frage, und zwar ganz oben beim ersten Beisppiel wo steht : An dieser Stelle müssen wir eine Formel verwenden, die ihr in der Formelsammlung.....
(1+4+9+...+ (n-1)²) = (n-1)n * (2n-1) /6
Wikipedia sagt aller dings : 1+2+3+...+n = n(n+1) / 2 !!!
kann mir jemand diese Umformung erklären ?
Ich habe (n-1)² für das n in der Wikipediaformel eingesetzt bin bin auf ein anderes Ergebnis gekommen.
Vielen Dank schonmal im Vorraus !\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hi Anonymous, beide Formeln sind richtig !
In der ersten werden aber nur die ersten Quadratzahlen summiert,
in der zweiten jedoch alle natürlichen Zahlen bis zu einer Grenze.
Dein "Wikipedia sagt allerdings" ist also völlig unangebracht,
weil die Wikipediaformel ja von etwas ganz Anderem handelt.
Die beiden Formeln haben so gut wie nichts miteinander zu tun;
die erste ist jedenfalls keine Umformung der zweiten (wie Du
offenbar vermutest) !
Du wunderst Dich doch eigentlich nur darüber,
daß bei 1+2+3=6 etwas anderes herauskommt als bei 1+4=5
(hierbei habe ich in beiden Formel einfach n=3 gesetzt).
Aber was sollte daran verwunderlicher sein als z.B. an der
Selbstverständlichkeit, daß bei einer Halbierung Deines Vermögens
i.A. nicht dasselbe herauskommt wie bei einer Verdreifachung ?
Liebe Grüße, Franz
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Okay danke für die schnelle Antwort. Wie gesagt ich hatte von dieser Formel noch nie etwas gehört und bin auch in meiner Formelsammlung nicht fündig gewordenen.
Könntest du mir vielleicht kurz die, für diesen Zweck "richtige", Ausgangsformel aufschreiben ?
Das würde mir sehr weiterhelfen\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hi, ich bin nicht ganz sicher, ob ich Deine Bitte richtig verstehe:
Suchst Du nach einem Beweis für die erste der beiden Formeln, also für
\
sum(k^2,k=1,n-1)=1^2+2^2+3^2+ ... +(n-1)^2=(n*(n-1)*(2*n-1))/6 \?
Falls ja: Kennst Du die Beweismethode der "vollständigen Induktion" ?
Damit läßt sich diese Formel standardmäßig beweisen.
Es gibt aber auch andere Möglichkeiten.
Im Forum finden sich sicherlich schon Dutzende Threads,
die einen Beweis dafür enthalten. Die
Forumsuche
kann Dir dabei behilflich sein, z.B. mit dem Suchbegriff
sum(k^2
Falls Du weitere Hilfe dazu brauchst, dann melde Dich bitte an
und stelle Deine konkreten Fragen dazu im Mathematikforum.
Dort ist dann auch der richtige Ort für so etwas,
es wird Dir mit Sicherheit sehr rasch geholfen werden können.
Liebe Grüße, Franz
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)hi ich hab mal eine Frage:
Wenn man erst eine beliebige Fläche ausrechnen muss, (was ich denk ich nun endlich zustande bekomme) und dann brechnen soll, welche funktion Y=x^n (also welchen (n)-ten Grades diese Fläche halbiert...
wie kann ich das berechnen?
würd mich sehr freuen über Hilfe!
danke...
ansonsten danke für den super Text, da hab ich endlich vieles verstanden,was eigentlich fast schon ein Wunder ist \(\endgroup\)
\(\begingroup\)genauer:
Zeichne das Dreieck mit den Ecken O(0|0), A(1|0),B(1|1),.
Bestimme n€N, som dass die parabel K:y=X^n (das ^soll hoch bedeuten)
die Fläche des Dreiecks OAB halbiert.
😵 \(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo, anon!
Wenn du Probleme mit dieser Aufgabe hast, dann melde dich im Forum an und poste die Aufgabe dort.
Dann können wir dir qualifiziert weiterhelfen 😄\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Ich lerne mir gerade mit dieser Einführung die Integralrechnung 😄 . Ich hatte schon mal angefangen von ner Bekannten das Mathebuch durchzulesen und mach jetzt hier weiter.
Macht echt Spaß bis hierhin. Ich bin gerade in der 10., falls es jemanden interessiert und kann Kurvendiskussion, was wegen des Grenzwertbegriffs recht gut ist.
Danke für diese Einführung xD
Gruß, Anne\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Es geht um die Formel im folgenden Abschnitt:
"Allgemein im Intervall [0;b] heißt das:
S_n=b/n * (b/n)^3 +b/n * (2b/n)^3 +...+2/n *((b(n-1))/n)^3
=b^4/n^4+b^4/n^4 *8+...+(n-1)^3 * b^4/n^4
"
Müßte es nicht lauten:
S_n=b/n * (b/n)^3 +b/n * (2b/n)^3 +...+b/n *((b(n-1))/n)^3
=b^4/n^4+b^4/n^4 *8+...+(n-1)^3 * b^4/n^4
(Falls nicht warum nicht ?)
Danke im Voraus :)
Gruß Andi\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Erstmal ein Danke an den Verfasser fand den Artikel ziemlich hilfreich.
Bei der Beispielrechnung bezüglich der eingeschlossenen Fläche ziwschen den 2 graphen f(x)=x^2 und g(x)=-x+2, also kanns sein dass der Flächeninhalt nicht 4,5 sondern 9,8Periode3 beträgt? Ich habe das ganze zwar mithilfe der Stammfunktion berechnet aber das ist ja ziemlich egal, ich mach das jetz mal ohne die Rechnung irgedwie zu vereinfachen=
int(-x+2,x,1,-2)-int(x^2,x,1,-2)
Die Stammfunktion für Integral 1 sind -x^2/2+2x und für Integral 2 x^3/3
Folglich:
[((-((-2)^2/2)+2*(-2)))-(-(1^2/2)+(2*1)))]-[((-2)^3/3)-(1^3/3)]
= -9,8333333...
Also meiner Ansicht nach müsste das korrekt sein, auch enn ich nicht ganz verstehe warum ich einen negativen Flächeninhatl rausbekomme, schliesslich findet das ja über der x achse statt...
Bei dem anderen Integral dass man weiter oben vereinfachen soll..
int(3x^2+5x-4,x,-2,1)
da wollte ich nur drauf hinweisen dass bei mir ein Wert von 63 (glaube ich, keien Lust das nochmal nachzurechnen müsste aber stimmen) raus.
Habe ich beides mehrere Male und mit verschiedenen Vereinfachungen zum Üben etc ausgerechnet und kommt immer dasselbe raus..
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Du erhältst beim 1. Beispiel einen negativen Wert, weil die Integrationsgrenzen "vertauscht" sind., d.h. die größere Grenze 1 ist untere Grenze des Integrals.
Es gilt: \blue int(f(x),x,a,b)=-int(f(x),x,b,a)
int((-x+2),x,1,-2)-int(x^2,x,1,-2)=int((-x+2-x^2),x,1,-2)
=stammf(-x^2/2+2x-x^3/3,1,-2)
=-(-2)^2/2+2*(-2)-(-2)^3/3-(-1/2+2-1/3)
=-2-4+8/3+1/2-2+1/3=-4.5
Das Ergebnis des 2. Integrals ist 68,25.\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo!!
Einen großen Dank möchte ich den Leuten ausprechen, die diese Seite hier erstellt haben. Endlich mal eine umfangreiche Erklärung in einem deutsch, dass selbst sogenannte "Mathe-nix-versteher" wie ich verstehen können. Ich hätte mir noch Übungsaufgaben mit Lösungen gewünscht, damit sich mein jetzt gewonnener Optimismus bestätigt =)
Danke Danke Danke =)
Morgen werde ich in Mathe glänzen. *hehe*
Lg Svenja\(\endgroup\)
\(\begingroup\)so leids mir tut, für mich als schüler der 12. klasse der über kein mathematisches Grundwissen verfügt ist dieser artikel komplett unverständlich. ☹️
es fehlen einfach viel zu viele zwischenschritte bzw. erklärungen.
mfg ben\(\endgroup\)
\(\begingroup\)vielen Dank für die Beschreibung, ich habe gestern mit meinem Sohn für ne Arbeit gelernt. Da es bei mir schon 25 Jahre her ist, habe ich innerhalb einer Stunde mir das nötige Wissen angeeignet. Ich meine damals habe ich es nicht kapiert, jetzt schon. Die ersten Seiten habe ich ausgelassen. Entscheidend ist doch, dass man weiß wie die Grundfunktionen funktionieren. So ließen sich alle Aufgaben lösen. Jetzt suche ich nur noch die Beschreibung der Stammfunktion.
Danke und Gruß
Thomas 😮 😮 \(\endgroup\)
\(\begingroup\)hi erstmal...
ich verstehe nicht wie du woher ((n-1)/n)^2 kommt....
außerdem kann ich an der lösung nicht erkennen, ob ich es richtig gerechnet hab. du hast an vielen stellen zahlen durch ... ersetzt wodurch ich mir nicht sicher bin , ob meine lösung richtig ist.
wäre dankbar wenn mir jemand mal alles erklären könnte.
mfg ahmet\(\endgroup\)
\(\begingroup\)hallöchen erstmal vielen dank für die mühe!! ich bin auch schülerin der 12. klasse und finde den artikel brillant geschrieben. es ist wirklich sehr gut erklärt und auch die hinführung zum thema war mir eine große hilfe die notwendigkeit von integralrechnung zu begreifen. 😉 😄
Vielen Dank!\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo,
ich bin aus der 10ten Klasse und hab noch lange kein Integral in der Schule. Aber mir macht Mathematik Spaß und diese Seite hat mir eine Möglichkeit geben, die Integralrechnung mir selber beizubringen.
Die seite ist echt spitze
mfg Flo\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Ich habe eine laienhafte Frage zu dem Kapitel 2.1, Grundintegrale
Integral über x³ = b hoch 4 minus a hoch 4, dies alles durch 4
Wie kommt man zu den Zahlen im Nenner und Zähler ?
Bitte erläutern Sie mir auch die Zahlen im Nenner und Zähler vom Integral von a nach b für x².
Danke für Ihre Geduld. Entschuldigung, dass ich im Internet nicht die Taste für das hochstellen der Zahlen finde.
MfG
EP\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Ich verstehe nicht, wieso in der Rechnung ganz am Anfang - nach den drei Integralen:
1. 1/4*9/16 [...] geschrieben wird,
2. wie es scheint nur 3 Säulen addiert werden? =/
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)hey,
genau das habe ich gesucht 😁
lerne grad für die abivorbereitung (mathe mündlich^^) und da ist das genau das richtige...alles super erklärt und gut nachzuvollziehen^^ bin jetzt wieder voll drin in dem thema^^
LG
Jana
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Das ist total unverständlich für Anfänger. 😵
Woher kommen denn im ersten Schritt die 9/16? ☹️ Ich wollte in das Thema eingeführt werden um mich auf die 11. Klasse vorzubereiten, aber dafür ist das viel zu unverständlich. 😐
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo Anonymer!
\quoteon(2011-07-02 13:10:27 - Anonymus)
Woher kommen denn im ersten Schritt die 9/16?
\quoteoff
Das ist die Länge des größten (am weitesten rechts gelegenen) der drei Rechtecke, deren Flächen zusammen die Untersumme bilden:
Der voranstehende Faktor 1/4 ist die (allen Rechtecken gemeinsame) Breite, und die Länge (oder Höhe) ist gleich dem Funktionswert
f(3/4)=(3/4)2
an der Stelle x=3/4.
Liebe Grüße, Franz
PS: Falls Du mehr darüber wissen willst, dann melde Dich bitte an und eröffne für Deine Fragen im Forum einen eigenen Thread. Die Kommentare hier sind nicht der geeignete Ort für die Klärung solcher Probleme.
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)moin...
ich hätte eine Frage zu folgender, hier behandelter Aufgabe:
\
int((x+1),x,-1,k) = 2
wie komme ich auf die Gleichung
\
k^2/2-1/2+k+1=2
ich verstehe die MINUS 1/2 nicht.
wenn
\
int(x,x,0,b)= (b^2)/2
ist, hier aber bei -1 begonnen wird muss doch die Fläche con -1 bis 0 dazu addiert werden und nicht abgezogen werden??
Danke schon mal für die Hilfe
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo Anonymer!
\
Allgemein gilt:
int(x*,x,a,b)=stammf(x^2/2,a,b)=b^2/2-a^2/2
Daher speziell mit a=-1 und b=k:
int(x*,x,-1,k)=stammf(x^2/2,-1,k)=k^2/2-(-1)^2/2=k^2/2-1/2
Zwischen \-1 und 0 liegt die Fläche unterhalb__ der x\-Achse und tritt daher bei der Integration als negativer__ Summand auf. Wenn Du die Fläche im Intervall intervall(-1,k) mit positivem k berechnen willst, mußt Du dieses Intervall an der Nullstelle____ 0 des Integranden x teilen, damit der Integrand in keinem der beiden Teilintervalle sein Vorzeichen wechselt. Der Betrag__ jedes Teilintegrals ergibt dann die zugehörige Teilfläche:
A=abs(int(x*,x,-1,0))+abs(int(x*,x,0,k))=
abs(0^2/2-(-1)^2/2)+abs(k^2/2-0^2/2)=
abs(-1/2)+abs(k^2/2)=
1/2+k^2/2
Liebe Grüße, Franz
PS: Für weitere Fragen eröffne bitte im Forum einen eigenen Thread!
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Danke Franz... deshalt steht in der Definition auch ORIENTIERTER Flächenenhalt ^^ habe es anfangs nicht verstanden.
mfg
ich
\(\endgroup\)
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In diesem Artikel will ich euch einen ersten Einblick in die Integralrechnung geben. Dieser Artikel ist speziell für Schüler geschrieben.
Ich habe mich bemüht diesen Artikel vor allem verständlich und anschaulich zu gestalten.
Ich hoffe mir ist dieses gelungen.
Dieser Artikel umfasst nur einen ersten Einblick in die Integralrechnung, die man so in der Oberstufe eines Gymnasiums (12. Klasse) kennen lernt.
Es gibt noch viele Gebiete, in denen man die Integralrechnung anwenden kann. Deswegen wird es auf jeden Fall noch einen zweiten Teil geben.
Vielleicht kommt auch noch ein dritter und vierter Teil. Das kann man nie ausschließen.
Aber jetzt erstmal viel Spaß mit meiner kleinen Einführung in die Integralrechnung.
Teil 1: Einführung in die Integralrechnung
Die Funktion des Graphen ist y=x.(1 Einheit=1 cm)
Man sieht die Antwort sofort: A=0,5 cm².
Es gibt mehrere Möglichkeiten, um zu dieser Antwort zu gelangen. Zwei möchte ich hier ganz kurz anführen:
1. Möglichkeit: Wir berechnen den Flächeninhalt des Quadrats (1 cm x 1 cm) und halbieren diesen Flächeninhalt, da das Quadrat durch die Funktion y=x halbiert wird.
2. Möglichkeit: Wir berechnen den Flächeninhalt des Dreiecks mit folgender Formel:
A=(g*h)/2 , g ist dabei 1 cm und h ebenfalls 1 cm, so kommen wir auf A=0,5 cm^2.
Nun berechnet bitte folgenden Flächeninhalt der schwarz markierten Fläche:
Die Funktion des Graphen ist y=x².
Mit unseren Quadraten und Dreiecken kommen wir hier nicht weit.
Vielleicht kennt ihr die Methode, die ich jetzt anführen werde, schon aus dem Bereich Geometrie, wo ihr den Flächeninhalt des Kreises abschätzen solltet, um zu Pi zu gelangen.
Vorgehensweise:
1. Zuerst teilen wir die Fläche in 4 Säulen ein, die unter dem Graphen liegen. (Untersumme)
2. Nach diesem Schritt teilen wir den Graphen noch einmal in 4 Säulen ein, die auch über dem Graphen verlaufen und bilden daraus einen Mittelwert. (Obersumme)
Die Funktion ist ebenfalls y=x².
Nun berechnen wir die Obersumme und die Untersumme. Da wir die Breite (0,25) kennen, wissen wir durch den entsprechenden Funktionswert auch die Höhe einer Säule:
Die Summe der Säulen unterhalb des Graphen wird als \black\ Untersumme bezeichnet.
Es gilt S_4<=A.
S_4=1/4 * 9/16 + 1/4 * 1/4 +1/4 * 1/16=9/64 + 1/16 + 1/64=(9+4+1)/64=14/64=7/32
Die Summe der Säulen oberhalb des Graphen wird als \black\ Obersumme bezeichnet.
Es gilt (S_4)^->=A
(S_4)^-=1/4 * 9/16 + 1/4 * 1/4 +1/4 * 1/16 + 1/4 * 1=9/64 + 1/16 + 1/64 + 1/4 =
(9+4+1+16)/64=30/64=15/32
Der gesuchte Flächeninhalt A wird von S_4 und (S_4)^- eingeschachtelt.
Als Abschätzung ergibt sich: 7/32
2. Um die Integralgrenzen zu bekommen, müssen wir die Nullstellen berechnen.
0=x^2 -3
x=+-sqrt(3)
3. Nun stellen wir das entsprechende Integral auf, um den Flächeninhalt berechnen zu können.
Aufgrund der Achsensymmetrie berechnen wir erstmal das Integral von 0 bis sqrt(3) und multiplizieren das Ergebnis mit 2.
int((x^2 - 3),x,0,sqrt(3))=int((x^2),x,0,sqrt(3)) - 3*int(1,x,0,sqrt(3))=sqrt(3)-3*sqrt(3)=\|-2*sqrt(3)\|
A=2*sqrt(3) + 2*sqrt(3)=4*sqrt(3)
2. Um die Integralgrenzen zu erhalten, bestimmen wir die Schnittpunkte der Graphen.
x^2=-x+2
x^2+x-2=0
p,q-Formel
x_(1,2)=-1/2 +- sqrt(9/4)=-1/2 +- 3/2
x_1=1
x_2=-2
3. Man sieht leicht:
int(g(x),x,x_1,x_2) - int(f(x),x,x_1,x_2)
Also gilt:
A=int(-x+2,x,1,-2) - int(x^2,x,1,-2)=-1*(2^2/2- 1/2) - 6-((-2)^3/3 - 1/3)
=-1,5-6+3=-4,5
A=4,5
\black\frame\black\big\ Satz 1:
Ist f(x)>g(x) für alle x mit a
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