Hallo Leute.
Wie angekündigt, kommt hier nun Teil V der Ana[rchie]-Reihe.
Dieses Mal soll es uns um die so genannte Integralrechung gehen und insbesondere um das Problem des Berechnens von Flächeninhalten, die nicht vollständig durch gerade Linien, sondern durch Funktionen begrenzt sind.
Dazu ist ein sicherer Umgang mit der Differentialrechnung notwendig und wird deshalb hier vorausgetzt. Wer das Wissen diesbezüglich vertiefen möchte, sollte den zweiten Teil unserer Reihe nochmal lesen.
Ähnlich wie der Differentialrechnung das Tangentenproblem zugrunde lag, liegt auch der so genannten Integralrechung ein einfaches geometrisches Problem zugrunde, nach dessen Lösung man suchte und sie mit der Integralrechnung (er)fand.
Die Problemstellung ist dabei, die Fläche unterhalb einer Funktion f(x) innerhalb eines Intervalls gauss(a;b) genau zu bestimmen.
\geo
ebene(300,240)
x(0,5)
y(0,4)
plot(0.2*x^3-0.9*x^2+3,f)
nolabel()
punkt(f,1,A,hide)
punkt(1,0,B,hide)
punkt(4,0,C,hide)
punkt(f,4,D,hide)
strecke(A,B) strecke(B,C) strecke(C,D)
fill(2,0.5,ccffcc)
\geooff
\geoprint()
So eine Fläche können wir bisher nicht genau bestimmen, da die Geometrie sich vor der Integralrechnung vor allem auf geradlinig begrenzte Flächen wie Rechtecke, Paralellogramme oder allgemeiner Polygone bezog.
Dieses "Manko" wollen wir beheben, indem wir die Integralrechnung einführen. Wesentlich ist dabei wie gesagt die Berechnung einer Fläche zwischen dem Funktionsgraphen und der x-Achse.
\small\ Anmerkung: Das Intervall gauss(a;b) soll im folgenden Abschnitt immer als nichtleer angesehen werden, also a
Genau wie bei der Lösung des Tangentenproblems der Differentialrechnung, können wir mit den Mitteln der Grenzwertbetrachtung eine Lösung zum Flächeninhaltsproblem finden:
Die Grundidee dabei ist es, das Intervall [a;b], innerhalb dessen wir uns bewegen, in kleinere Teilintervalle zu unterteilen. Dann findet man für jedes Teilintervall eine Annäherung an den wahren Flächeninhalt und summiert diese Werte auf. So bekommt man eine Näherung für den Gesamtflächeninhalt.
Konkret benutzt man folgende Näherungsmethode: Man schätzt schlicht zweimal die Fläche pro Streifen; einmal schätzt man knapp drüber und einmal knapp drunter, indem man Rechtecke über bzw. unter den Funktionsgraphen legt und deren (deutlich einfacher zu berechnenden) Flächeninhalte zu einer Schätzung des Gesamtflächeninhalts aufsummiert.
Hier ist das einmal mit einer Streifenbreite von 0.25 verdeutlicht:
\geo
ebene(600,300)
x(0,10)
y(0,5)
param(xx,0, 5,0.01)
param(yy,5,10,0.01)
kurve(xx,0.2*xx^3-0.9*xx^2+3,f1)
kurve(yy,0.2*power(yy-5,3)-0.9*power(yy-5,2)+3,f2)
nolabel() color(999999)
#trennung zwischen den Koordinatensystemen
punkt(5,0,_p0,hide)
punkt(5,1,_p1,hide)
gerade(_p1,_p0)
#1. bis 8. ober- und untersumme bis
for(j,1,8,1,\
konstante(x1,(j-1)*0.25+1) \
konstante(x2,j*0.25+1) \
konstante(x3,(j-1)*0.25+6) \
konstante(x4,j*0.25+6) \
konstante(y1,0.2*power(x1,3)-0.9*power(x1,2)+3) \
konstante(y2,0.2*power(x2,3)-0.9*power(x2,2)+3) \
punkt(x1,y1,A_j,hide) punkt(x2,y1,B_j,hide) \
punkt(x1, 0,C_j,hide) punkt(x2, 0,D_j,hide) \
strecke(A_j,B_j) strecke(B_j,D_j) strecke(D_j,C_j) strecke(C_j,A_j) \
fill(A_j,B_j,D_j,C_j,ccffcc) \
\
punkt(x3,y2,E_j,hide) punkt(x4,y2,F_j,hide) \
punkt(x3, 0,G_j,hide) punkt(x4, 0,H_j,hide) \
strecke(E_j,F_j) strecke(F_j,H_j) strecke(H_j,G_j) strecke(G_j,E_j) \
fill(E_j,F_j,H_j,G_j,ccffcc) \
)
#9. bis 12. ober- und untersumme
for(j,9,12,1,\
konstante(x1,(j-1)*0.25+1) \
konstante(x2,j*0.25+1) \
konstante(x3,(j-1)*0.25+6) \
konstante(x4,j*0.25+6) \
konstante(y1,0.2*power(x1,3)-0.9*power(x1,2)+3) \
konstante(y2,0.2*power(x2,3)-0.9*power(x2,2)+3) \
punkt(x1,y2,A_j,hide) punkt(x2,y2,B_j,hide) \
punkt(x1, 0,C_j,hide) punkt(x2, 0,D_j,hide) \
strecke(A_j,B_j) strecke(B_j,D_j) strecke(D_j,C_j) strecke(C_j,A_j) \
fill(A_j,B_j,D_j,C_j,ccffcc) \
\
punkt(x3,y1,E_j,hide) punkt(x4,y1,F_j,hide) \
punkt(x3, 0,G_j,hide) punkt(x4, 0,H_j,hide) \
strecke(E_j,F_j) strecke(F_j,H_j) strecke(H_j,G_j) strecke(G_j,E_j) \
fill(E_j,F_j,H_j,G_j,ccffcc) \
)
\geooff
\geoprint()
Die links dargestellten Rechtecke haben in ihrer Summe einen leicht größeren Flächeninhalt, die rechts dargestellten einen leicht niedrigeren, als den, den wir suchen.
Man erkennt aber, dass die Abweichungen der geschätzten Flächeninhalte vom wahren Wert bei dieser Methode direkt damit zusammenhängen, wie breit man die Streifen wählt: Je kleiner man die Streifen macht, desto genauer liegen die Schätzungen am echten Wert.
Nun kommt die Grenzwertbetrachtung ins Spiel, denn wenn man die Streifenbreite gegen 0 streben lassen würde, erhielte man den genauen Wert.
Dieses Prinzip wollen wir nun formalisieren. Für die Grenzwertbetrachtung konstruieren wir uns zuerst einige Hilfsfolgen:
Die erste beschreibt die Streifenbreite. Wie ich oben schon sagte, soll die Annäherung durchgeführt werden, indem die Streifenbreite immer weiter verringert wird. Wir suchen also für die Breite der Streifen eine Nullfolge, die wir z.B. mit \Delta||x := (b-a)/n festlegen können.
Der Einfachheit halber schreibe ich die Folge ohne Index, aber man sollte im Hinterkopf behalten, dass \Delta||x kein fester Wert ist, sondern von n abhängt.
\geo
ebene(400,120)
x(1,9)
y(0,1.2)
fill(1,0,ffffff)
nolabel() color(cccccc)
for(i,1,9,1.0,punkt(i,1.05,A_i,hide) punkt(i,0.95,B_i,hide) strecke(A_i,B_i))
for(j,1.4,8.4,1,print(\D||x, j, 1.2))
for(i,1,9,0.5,punkt(i,0.35,C_i,hide) punkt(i,0.25,D_i,hide) strecke(C_i,D_i))
for(j,1.1,8.6,0.5,print(\D||x, j, 0.5))
pen(2)
punkt(1,1.0,B0,hide) punkt(9,1.0,A0,hide) strecke(A0,B0)
punkt(1,0.3,C0,hide) punkt(9,0.3,D0,hide) strecke(C0,D0)
color(000000)
print(n=8,8,0.9)
print(n=16,8,0.2)
\geooff
\geoprint()
Für unsere Zwecke reicht die oben definierte Folge vollkommen aus, aber man kann durchaus auch andere Folgen zur Unterteilung des Intervalls wählen.
Man kann das Intervall gauss(a;b) im Prinzip beliebig unterteilen, indem man verschiedene Zahlen x_0, x_1, ...,x_n wählt mit a=x_0\inf,(max(i=1..n,\D||x_i)))=0 sein.
Wir verwenden aber nur die oben definierte Intervallunterteilung mit \D||x=(b-a)/n, denn sie reicht vollkommen für unsere Zwecke.
Die zweite Folge, die wir uns konstruieren wollen, soll für die Schätzung überhalb des wahren Werts zuständig sein. Diese Folge soll die Funktionswerte aussuchen, die innerhalb des i-ten Streifens die größten sind:
f^-_i := max(x\el\II_i,f(x))
Eine dritte Folge soll etwas ähnliches für die Schätzung nach unten leisten, nur dass hier halt die Funktionswerte im jeweiligen Intervall minimal werden sollen:
f___i := min(x\el\II_i,f(x))
\(Hierbei soll \II_i wieder das i\-te Teilintervall von gauss(a;b) sein\)
Auch diese Folgen hängen noch von n ab, was man sich ebenfalls immer vor Augen führen sollte.
Jetzt fehlen uns nur noch die Schätzungen für den Gesamtflächeninhalt, welche wir durch diese beiden Folgen ausdrücken:
O_n=sum(f^-_i*\D||x,i=1,n)
U_n=sum(f___i*\D||x,i=1,n)
Besitzt die Folge O_n einen Grenzwert, so heißt dieser \darkblue\ Obersumme__\black||. Besitzt U_n einen Grenzwert, so heißt dieser \darkblue\ Untersumme__\black||.
Stimmen diese Grenzwerte überein, so definiert man das array(\darkblue\ bestimmte Integral der Funktion f(x) im Intervall [a\;b])__\black als int(f(x),x,a,b):=lim(n->\inf,O_n)=lim(n->\inf,U_n)
Dabei nennt man f(x) \darkblue\ Integrand__\black||, dx nennt man \darkblue\ Differential__\black||, a \darkblue\ obere__\black und b array(\darkblue\ untere Grenze)__\black||.
Außerdem nennt man f(x) dann eine array(\darkblue\ im Intervall gauss(a;b) integrierbare)__\black Funktion.
\small\ Anmerkung: Das Zeichen Integralzeichen geht auf das Summenzeichen, das Differential dx auf das \D||x zurück. Diese Schreibweise stammt von Gottfried Wilhelm Leibniz, der im 17.Jh etwa zeitgleich mit Isaac Newton die Differential- und Integralrechnung entwickelte.
\red\ Wichtig\black ist dabei, dass Ober- und Untersumme erstens existieren und zweitens übereinstimmen müssen.
Betrachtet man beispielsweise die Funktion f(x)=fdef(1,x\el\IQ;0,x\el\IR\\||\IQ) und betrachtet die maximalen und minimalen Funktionswerte, so stellt man fest, dass f^-_i=1 ist, da es in jedem noch so kleinen Intervall rationale Zahlen gibt, und f___i=0, da es in jedem Intervall ebenso irrationale Zahlen gibt.
Demzufolge wäre lim(n->\inf,O_n)=1*(b-a) und lim(n->\inf,U_n)=0*(b-a), was aber bei jedem nichtleeren Intervall gauss(a;b) verschiedene Werte sind.
Diese Funktion besitzt also in unserem Sinne kein bestimmtes Integral in welchem Intervall auch immer.
Eine kleine Anmerkung: Es ist keineswegs notwendig, den hier beschriebenen Weg zu gehen. Er ist zwar der einfachste, aber man kann den Flächeninhalt in der Tat auch anders (aber gleichwertig) berechnen. Zum Beispiel könnte man Trapeze an stelle von Rechtecken verwenden oder die Streifenbreite nicht einheitlich festlegen, sondern für jeden Streifen anders. Vieles ist möglich, aber es führt zum selben Ergebnis.
Eine offensichtliche Eigenschaften des bestimmten Integrals ist die Additivität der Grenzen:
Existiert das Integral von f(x) im Intervall gauss(a;b) und ist a
Zur Integralrechnung gehört neben dem bestimmten Integral auch das so genannte array(\darkblue\ unbestimmte Integral)__\black sowie die so genannte \darkblue\ Stammfunktion__\black||.
Unter einer Stammfunktion einer Funktion f(x) versteht man eine Funktion F(x), deren Ableitung wieder die ursprüngliche Funktion ist, also:
F'(x)=f(x)
Wichtig ist, dass diese Stammfunktion nicht eindeutig bestimmt ist, denn wenn F(x) eine Stammfunktion ist, dann ist auch F(x)+C eine Stammfunktion für jede Konstante C.
Die Menge aller__ Stammfunktionen wird als unbestimmtes Integral bezeichnet. Man schreibt dies meist aber nicht als Menge, sondern wie folgt auf:
int(f(x),x)=F(x)+C
Das dabei auftretende C nennt man auch \darkblue\ Integrationskonstante__\black||.
So ist sin(x)+2 z.B. eine Stammfunktion zu cos(x). Ebenso wie sin(x)+3, sin(x)+\pi etc.
Man würde das unbestimmte Integral dann int(cos(x),x)=sin(x)+C schreiben.
Jetzt stellt sich die berechtigte Frage, was bestimmte mit unbestimmten Integralen zu schaffen haben, wenn man vom Namen und der scheinbar willkürlich ähnlich gewählten Notation einmal absieht.
In der Tat gibt es einen bemerkenswerten Zusammenhang zwischen diesen beiden, dem wir uns jetzt nähern wollen.
Zuerst legen wir fest, dass die betrachtete Funktion f(x) im Intervall gauss(a;b) stetig ist, denn unstetige Funktionen erfüllen den Satz, den wir hier zeigen wollen, leider nicht immer.
Als nächstes definieren wir uns die Funktion \Phi_a(x):=int(f(t),t,a,x). Man achte darauf, dass hier das Argument x in der oberen Grenze des bestimmten Integrals steht. \Phi_a(x) gibt also insbesondere den (vorzeichenbehafteten) Flächeninhalt zwischen f(x) und der x-Achse im Intervall gauss(a;x) an, falls a0,f__(h))<=lim(h->0,(\Phi_c(x+h)-\Phi(x))/h)<=lim(h->0,f^-(h))
Da f nun als stetig vorrausgesetzt wurde, ist klar, dass
lim(h->0,f^-(h))=lim(h->0,f__(h))=f(x)
sein muss, weil sich das Maximum bzw. das Minimum im Intervall gauss(x;x+h) mit kleiner werdendem h natürlich dem Wert f(x) annähert.
Wir erhalten also:
f(x)<=lim(h->0,(\Phi_c(x+h)-\Phi(x))/h)<=f(x)
=> lim(h->0,(\Phi_c(x+h)-\Phi(x))/h)=f(x)
=> array(\Phi_c)'(x)=f(x)
Diese Tatsache führt uns umgehend zum so genannten
\darkblue\ array(Hauptsatz der Infinitesimalrechnung)__\black||:
Ist f(x) eine auf gauss(a;b) stetige Funktion mit der Stammfunktion F(x), so gilt:
int(f(x),x,a,b,)=F(b)-F(a)
Wie man leicht einsieht ist die Wahl der Stammfunktion in der Tat unerheblich, denn wie wir weiter oben festgestellt hatten, unterscheiden sich Stammfunktionen nur durch eine additive Konstante. Wenn man also die beiden Stammfunktionen F_1(x) und F_2(x) hat mit F_1(x)=F_2(x)+C, dann gilt:
F_1(a)-F_1(b)=F_2(a)+C-(F_2(b)+C)=F_2(a)-F_2(b)
Welche der unendlich vielen Stammfunktionen man nun nimmt, ist in der Tat egal.
\small\ Anmerkung: Nicht jede integrierbare Funktion erfüllt diesen Satz, da wir f hier als stetig vorrausgesetzt hatten. Umgekehrt ist aber jede stetige Funktion integrierbar.
Man führt für diesen Zusammenhang eine kürzere Schreibweise ein:
Ist F(x) eine Stammfunktion von f(x), so schreibt man:
int(f(x),x,a,b,)=stammf(F(x),a,b):=F(b)-F(a)
Diese Schreibweise hat sich überall durchgesetzt und wird auch von mir im weiteren Verlauf des Artikels verwendet werden.
Ähnlich wie beim Differenzieren wollen wir uns nun einige Regeln ermitteln, um solche Stammfunktionen zu finden.
Das wichtigste Hilfsmittel dabei wird die Kenntnis sein, dass Stammfunktionen über eine Ableitung definiert sind, dass also F'(x)=f(x) gelten muss.
Die Summenregel
Wie auch schon beim Differenzieren, können wir Summen und Differenzen beim Integrieren direkt auseinander ziehen:
\darkred\ int(f(x)+-g(x),x)=int(f(x),x)+-int(g(x),x)
\blue\ Beweis:
Sei F(x) eine Stammfunktion von f(x), G(x) eine von g(x), dann gilt:
[F(x)+-G(x)]'=f(x)+-g(x)
Also ist F(x)+-G(x) eine Stammfunktion von f(x)+-g(x).
\blue\ q.e.d.
Demzufolge gilt für bestimmte Integrale analog:
\align\ int(f(x)+-g(x),x,a,b)><=stammf(F(x)+-G(x),a,b)
><=stammf(F(x),a,b)+-stammf(G(x),a,b)
><=int(f(x),x,a,b)+-int(g(x),x,a,b)
\stopalign
Man kann bestimmte Integrale insbesondere nur dann zusammenfassen, wenn die Grenzen übereinstimmen.
Faktorregel
Ganz ähnlich wie beim Differenzieren gibt es auch beim Integrieren eine Regel für konstante Faktoren:
\darkred\ int(c*f(x),x)=c*int(f(x),x)
\blue\ Beweis:
Ist wieder ganz einfach, denn wenn F(x) eine Stammfunktion von f(x) ist, dann ist wegen
[c*F(x)]'=c*f(x)
auch c*F(x) eine Stammfunktion von c*f(x).
\blue\ q.e.d.
Partielle Integration
Schon bei der Integration von Produkten ergeben sich aber Schwierigkeiten, denn allein aus der Kenntnis der Stammfunktionen der beiden Faktoren kann man noch keine Stammfunktion des Produkts bilden.
Es gilt allerdings der immer noch nützliche Zusammenhang:
\darkred\ int(u(x)v'(x),x)=u(x)v(x)-int(u'(x)v(x),x)
\blue\ Beweis:
Nach der Produktregel beim Differenzieren gilt:
[u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)
\align=> int([u(x)v(x)]',x)><=int([](u'(x)v(x)+u(x)v'(x)),x)
><=int(u'(x)v(x),x)+int(u(x)v'(x),x)
\stopalign=> int(u(x)v'(x),x)><=u(x)v(x)-int(u'(x)v(x),x)
\blue\ q.e.d.
Verkürzt wird diese Regel übrigens auch als
int(uv',x)=uv-int(u'v,x) oder mit vertauschten Rollen int(u'v,x)=uv-int(uv',x)
geschrieben.
Bei bestimmten Integralen gilt:
int(u(x)v'(x),x,a,b)=stammf(u(x)v(x),a,b)-int(u'(x)v(x),x,a,b)
Anmerkung:
Eine Quotientenregel könnte man nach diesem Strickmuster zwar auch formulieren, sie wird aber eher selten gebraucht, da sie im wesentlichen der Regel für partielle Integration entspricht. Sie würde dann so z.B. aussehen:
int(u'(x)/v(x),x)=u(x)/v(x)+int(u(x)v'(x)/v(x),x)
Das gleiche Resultat würde man aber auch erhalten, indem man int(1/v(x)*u'(x),x) nach der Regel für partielle Integretion auswertet.
Deshalb ist eine eigene Quotientenregel vollkommen unnötig.
Substitutionsregel
Ähnlich wie bei Produkten gibt es auch bei verketteten Funktionen keine allgemeingültige Möglichkeit, allein aus Kenntnis der Stammfunktionen der beiden Grundfunktionen eine Stammfunktion für ihre Verkettung zu ermitteln.
Analog zur partiellen Integration, gibt es aber eine artverwandte Regel, die so genannte Substitutionsregel:
\darkred\ int(f(g(x))*g'(x),x)=int(f(t),t) mit t=g(x) und dt=g'(x)dx
\blue\ Beweis:
Der Beweis ist recht einfach, denn wenn F(x) eine Stammfunktion von f(x) ist, dann ist [F(g(x))]'=f(g(x))*g'(x).
\blue\ q.e.d.
Wichtig ist die Ersetzung der Differentiale. Man fasst hierbei g'(x) und das Differential dx zu einem neuen Differential dt zusammen.
Beim (manchmal recht komplizierten) Vorgang des Ersetzens fasst man die Differentiale sehr oft als normale Variablen auf: Man teilt durch sie, multipliziert sie etc. Das führt zum richtigen Ergebnis, aber man sollte immer dran denken, dass es keine Variablen sind (insbesondere sind es nicht zwei Variablen, sondern eine einzige mit dem Namen dx bzw. dt, dz oder was man sonst gerade hat).
Wichtig ist, dass es erlaubt ist und funktioniert, auch wenn es schwer ist zu erklären, warum.
Eine vereinfachte Art der Substitution ist die so genannte "lineare Subsitution", die immer dann zum Einsatz kommt, wenn die innere Funktion eine lineare ist:
Sei F(x) eine Stammfunktion von f(x), dann gilt:
\darkred\ int(f(mx+n),x)=1/m*F(mx+n)+C
\blue\ Beweis:
Auch davon kann man sich durch Ableiten überzeugen:
gauss(1/m*F(mx+n))'=1/m*m*f(mx+n)=f(mx+n)
Man könnte auch die obige allgemeine Substitutionsregel verwenden, indem man t=mx+n und damit dt=m*dx setzt.
int(f(mx+n),x)=int(1/m*m*f(mx+n),x)
=int(1/m*f(t),t)
=1/m*F(t)+C=1/m*F(mx+n)+C
\blue\ q.e.d.
Eine weitere wichtige "Standard-Substitution" ist folgende:
\darkred\ int(f'(x)/f(x),x)=ln||abs(f(x))+C
\blue\ Beweis:
Das könnten wir wieder durch Ableiten bestätigen oder durch Anwenden der Substitutionsregel und der Kenntnis, dass ln||abs(x) eine Stammfunktion von 1/x ist:
ln||abs(x)=fdef(ln(-x),x<0;ln(x),x>0)
=> [ln||abs(x)]'=fdef(-1/(-x),x<0;1/x,x>0)=1/x
Jetzt können wir dies auf die Substitutionsregel anwenden. Dazu substituieren wir t=f(x) und erhalten damit dt=f'(x)dx, wie oben in der Regel angegeben:
int(f'(x)/f(x),x)=int(1/t,t)=ln||abs(t)+C=ln||abs(f(x))+C
\blue\ q.e.d.
Hat man ein bestimmtes Integral, so kann\/muss\/sollte man auch die Grenzen mitsubstituieren.
Es gilt dabei:
\align\ int(f(g(x))*g'(x),x,a,b)><=stammf(F(g(x)),a,b)
><=stammf(F(x),g(a),g(b))
><=int(f(t),t,t(a),t(b))
\stopalign\ wobei t=g(x) substituiert wurde.
Wenn man also ein bestimmtes Integral durch Substitution löst, müssen die Grenzen ebenfalls angepasst werden. Das kann von Vorteil sein, da man sich im Gegensatz zum unbestimmten Integral dann die Rücksubstitution sparen kann. Das kann aber auch ein Nachteil sein, da es wieder ein kleines Detail ist, auf das man als Anfänger achten muss und das Fehlerquellen birgt.
Zusammenfassend sei noch gesagt, dass die Schwierigkeit beim Substituieren schlichtweg dadrin besteht, dass man nicht einfach beliebige Ausdrücke durch t ersetzen kann, sondern die Differentiale auch noch anpassen muss (aus einem dx muss ein dt werden). Es muss also zwingend auch die Ableitung vom ersetzen Ausdruck "eingearbeitet" werden in die Rechnungen.
Dass das manchmal sehr schwer fällt, wird jedem Anfänger sehr schnell deutlich, der sich am Integrieren versucht. Nicht umsonst gibt es das geflügelte Wort: "Differenzieren ist ein Handwerk, Integrieren eine Kunst."
Umkehrregel
Die Umkehrregel wird selten verwendet, ist aber eine sehr schöne Regel, wie ich finde. Deshalb sei sie hier noch einmal erwähnt.
Wenn F(x) eine Stammfunktion von f(x) ist und g(x) eine stetige Funktion ist, so dass f(g(x))=x für alle x im Definitionsbereich von g ist, dann gilt:
\darkred\ int(g(x),x)=x*g(x)-F(g(x))+C
Dafür müssen wir etwas weiter ausholen. Zuerst möchte ich den Mittelwertsatz der Differentialrechnung erwähnen:
\darkred\ Ist f(x) eine im Intervall gauss(a;b) stetige und im Intervall (a\;b) differenzierbare Funktion, so gibt es ein \xi\el(a\;b) mit f'(\xi)=(f(b)-f(a))/(b-a).
Das kann man sich schnell anhand einer solchen Funktion klarmachen:
\geo
xy(-0.5,3.5)
plot(2*(x^3-4.5*x^2+6*x)/3,f)
konstante(x1,(3+sqrt(3))/2)
konstante(x2,(3-sqrt(3))/2)
konstante(y1,2*x1*x1*x1/3-3*x1*x1+4*x1)
konstante(y2,2*x2*x2*x2/3-3*x2*x2+4*x2)
nolabel()
punkt(0,0,A,hide)
punkt(3,3,B1,hide)
punkt(3,0,B2,hide)
punkt(x1,y1,C1,hide)
punkt(x1, 0,C2,hide)
punkt(x2,y2,D1,hide)
punkt(x2, 0,D2,hide)
color(ff0000)
strecke(A,B1)
color(cccccc)
strecke(B1,B2)
strecke(C1,C2)
strecke(D1,D2)
color(0000ff)
plot(x+y1-x1)
plot(x+y2-x2)
print(a,0.05,-0.05)
print(\xi_1,x1,-0.05)
print(\xi_2,x2,-0.05)
print(b,3,-0.05)
\geooff
\geoprint()
Der Wert (f(b)-f(a))/(b-a) gibt den Anstieg der Sekante durch (a\;f(a)) und (b\;f(b)) an. Für eine lineare Funktion stimmt diese Sekante mit der Funktion selbst überein und die Aussage ist trivial.
\blue\ Beweis des Mittelwertsatzes
Formal beweist man den nichttrivialen Fall, indem man eine Hilfsfunktion f^\* definiert:
f^\*(x):=f(x)-(f(b)-f(a))/(b-a)*(x-b)
Man erkennt grundlegende Eigenschaften, wie f^\*(b)=f^\*(a)=f(b) und f^\*'(x)=f'(x)-(f(b)-f(a))/(b-a).
Da auch f^\* stetig ist, hat f^\* im Intervall gauss(a;b) maximale und minimale Funktionswerte.
Es gibt nun zwei Fälle: Alle Maxima und Minima könnten gleich a oder b sein. Da aber f^\*(a)=f^\*(b) ist, wäre f^\* dann konstant auf gauss(a;b), was aber wieder auf den trivialen Fall einer linearen Funktion f(x) führen würde.
Andernfalls hat f^\* also mindestens eine Extremstelle im Intervall (a\;b).
An diesen Stellen ist bekanntermaßen die Ableitung gleich 0. Wir setzen \xi gleich einer dieser Extremstellen und erhalten:
f^\*'(\xi)=0=f'(\xi)-(f(b)-f(a))/(b-a)
=>f'(\xi)=(f(b)-f(a))/(b-a)
\blue\ q.e.d.
Diesen Mittelwertsatz nutzen wir aus, um die Umkehrregel zu beweisen. Dazu bilden wir sehr klassisch den Grenzwert des Differenzenquotienten:
\blue\ Beweis der Umkehrregel:
lim(h->0,((x+h)*g(x+h)-F(g(x+h))-x*g(x)+F(g(x)))/h)
=lim(h->0,(g(x+h)+x*(g(x+h)-g(x))/h-(F(g(x+h))-F(g(x)))/h))
=lim(h->0,(g(x+h)+(g(x+h)-g(x))/h*(x-(F(g(x+h))-F(g(x)))/(g(x+h)-g(x)))),
Dass wir hier mit g(x+h)-g(x) erweitern dürfen, liegt daran, dass g(x+h)!=g(x) ist für alle h!=0, da g eine Umkehrfunktion von f sein soll und deshalb nie zweimal denselben Wert annimmt.
An dieser Stelle können wir vor allem den Mittelwertsatz einsetzen, denn für (F(g(x+h))-F(g(x)))/(g(x+h)-g(x)) gibt es ein \xi mit (F(g(x+h))-F(g(x)))/(g(x+h)-g(x))=F'(\xi).
Da \xi aus (g(x)\;g(x+h)) stammt und g stetig ist, können wir ein t\el gauss(0;1) finden, so dass \xi=g(x+th) ist. t ist also praktisch eine Angabe, wo im Intervall gauss(x;x+h) dieses \xi beheimatet ist.
Jetzt nutzen wir weiterhin aus, dass F'(x)=f(x) und dass f(g(x))=x ist, so dass wir F'(\xi)=f(g(x+th))=x+th erhalten.
Das setzen wir wieder in den Grenzwert ein:
lim(h->0,(g(x+h)+(g(x+h)-g(x))/h*(x-(x+th)))
=lim(h->0,(g(x+h)+(g(x+h)-g(x))*t))
=lim(h->0,g(x+h))+lim(h->0,(g(x+h)-g(x))*t)
=g(x)+0
Hier haben wir ausgenutzt, dass g stetig ist, so dass lim(h->0,g(x+h))=g(x) bzw. lim(h->0,(g(x+h)-g(x)))=0 ist, und dass t aus gauss(0;1) stammt, also nie größer wird als 1, so dass lim(h->0,(g(x+h)-g(x))*t)=0 ist.
Damit haben wir also bewiesen, dass x*g(x)-F(g(x)) eine Stammfunktion von g(x) ist, womit die Umkehrregel bestätigt wird.
\blue\ q.e.d.
\small\ Anmerkung: Wenn g(x) nicht nur stetig, sondern auch differenzierbar ist, dann können wir den Beweis viel stärker vereinfachen:
\small\ Mit Hilfe der Regeln zur partiellen Integration und zur Substitution folgt dann nämlich:
\small\ int(g(x),x)=int(1*g(x),x)=x*g(x)-int(x*g'(x),x)
\small\ =x*g(x)-int(f(g(x))*g'(x),x)=x*g(x)-F(g(x))+C
Ähnlich wie bei den Ableitungen in Teil II kommt nun nach den allgemeinen Regeln eine Aufstellung der bekanntesten Beispiele, aus denen man sich mit Hilfe der obigen Regeln viele Stammfunktionen ermitteln kann. Es sei aber nochmal angemerkt, dann man im Gegensatz zum Differenzieren sehr häufig auf Funktionen stoßen wird, denen man keine so genannte elementare Stammfunktion zuordnen kann.
Prinzipiell kann man sich von der Richtigkeit der Formeln durch einfaches Ableiten überzeugen. Ebenfalls ist natürlich die Tabelle der Ableitungsfunktionen aus Teil II ebensogut als Tabelle für Stammfunktionen zu gebrauchen. Exemplarisch sei hier doch in ein paar Fällen der Weg über die Integrationsregeln vorgeführt:
Hier können wir die Umkehrregel sehr gut anwenden, indem wir g(x)=log_a(x), f(x)=a^x und F(x)=1/ln(a)*a^x setzen:
int(log_a(x),x)=x*log_a(x)-a^array(log_a(x))/ln(a)+C=x*log_a(x)-x/ln(a)+C
Dies beinhaltet insbesondere den bekanntesten und wichtigsten Fall der Logarithmusfunktionen, den natürlichen Logarithmus ln(x)=log_\ee\.(x):
int(ln(x),x)=x*ln(x)-x+C
\blue\ q.e.d.
Die Tangensfunktion
Hier können wir die Substitutionsregel anwenden, indem wir t=cos(x) setzen:
\align\ int(tan(x),x)><=int(sin(x)/cos(x),x)
><=int(-(-sin(x))/cos(x),x)
><=-int((cos(x))'/cos(x),x)
><=-ln||abs(cos(x))+C
\stopalign
\blue\ q.e.d.
Die Arcus-Funktionen
Auch hier können wir die Umkehrregel anwenden, indem wir g(x)=arcsin(x), f(x)=sin(x) und F(x)=-cos(x) setzen:
\align\ int(arcsin(x),x)><=x*arcsin(x)+cos(arcsin(x))+C
><=x*arcsin(x)+sqrt(1-sin^2(arcsin(x)))+C
><=x*arcsin(x)+sqrt(1-x^2)+C
\stopalign
Analog funktioniert das mit arccos(x).
\blue\ q.e.d.
\small\ Anmerkung: Das positive Vorzeichen der Wurzel in der Gleichung cos(x)=sqrt(1-sin^2(x)) ist deshalb berechtigt, weil arcsin(x) nur Werte im Intervall gauss(-\pi/2\.;\.\pi/2) annimmt und der Cosinus auf diesem Intervall ausschließlich >=0 ist.
Wenn man sich in der Trigonometrie ein wenig auskennt, kann man den arctan-Fall genauso abhandeln, man muss nur einen geschlossenen Ausdruck für cos(arctan(x)) finden. Dazu sei pendragon302s Artikel Die Beziehungen von Sinus und Cosinus empfohlen.
Wir wollen jetzt einmal den Weg über die Integrationsregel zur partiellen Integration gehen:
int(arctan(x),x)=int(1*arctan(x),x)=x*arctan(x)-int(x*1/(1+x^2),x)
=x*arctan(x)-1/2*int(2x/(1+x^2),x)
=x*arctan(x)-1/2*int((1+x^2)'/(1+x^2),x)
=x*arctan(x)-1/2*ln||abs(1+x^2)+C
\blue\ q.e.d.
Andere Funktionen
Die Gleichung int(1/sqrt(x^2+c),x)=ln|abs(x+sqrt(x^2+c))+C lässt sich durch eine kompliziertere Anwendung der Substitutionsregel bestätigen:
Wir formen dazu folgendermaßen um:
1/sqrt(x^2+c)=(x+sqrt(x^2+c))/(x+sqrt(x^2+c))*1/(sqrt(x^2+c))
Und substituieren: t=x+sqrt(x^2+c). Die Ableitung davon ist 1+x/sqrt(x^2+c)=(sqrt(x^2+c)+x)/sqrt(x^2+c). Damit können wir die Differentiale wie folgt ersetzen:dt=(sqrt(x^2+c)+x)/sqrt(x^2+c)*dx und erhalten:
int(1/sqrt(x^2+c),x)=int(1/(x+sqrt(x^2+c))*(x+sqrt(x^2+c))/(sqrt(x^2+c)),x)
=int(1/t,t)
=ln|abs(t)+C
=ln|abs(x+sqrt(x^2+c))+C
\blue\ q.e.d.
Wenn c=0 ist, funktioniert dies aber nicht uneingeschränkt. Obwohl das erstmal nicht offensichtlich ist, da beim Ableiten scheinbar kein Fehler auftritt, ist die Gleichung für c=0 falsch.
Die Formel ln|abs(x+sqrt(x^2)) ist für x<0 nämlich nicht definiert, denn es gilt:
x+sqrt(x^2)=fdef(x+x,x>0;x+(-x),x<=0)=fdef(2x,x>0;0,x<=0)
Also kann ln|abs(x+sqrt(x^2)) im Bereich x<0 insbesondere keine Stammfunktion für 1/sqrt(x^2) sein. In dem Bereich, in dem sie definiert ist (x>0), ist sie aber korrekt, da ln|abs(2x)=ln(2*abs(x))=ln(2)+ln|abs(x) ist und das eine Stammfunktion von 1/x ist. Deshalb geht das Ableiten der Formel
ln|abs(x+sqrt(x^2+c)) selbst auch ohne Fehler von statten, denn der Fehler liegt einzig und allein im fehlerhaften Definitionsbereich für c=0.
Der Vollständigkeit halber sei gesagt, dass -ln|abs(x) für c=0 und x<0 eine Stammfunktion ist.
Zum Schluss sei noch ein Spezialfall des bestimmten Integrals genannt: Die so genannten array(\darkblue\ uneigentlichen Integrale)__\black||. Diese sind bestimmte Integrale, bei denen der Integrand an einer oder beiden Grenzen nicht definiert ist, also z.B. eine Polstelle dort hat \(||array(\darkblue\ Uneigentliches Integral 1.Art)__\black\), oder wenn eine der Grenzen "unendlich" ist \(||array(\darkblue\ Uneigentliches Integral 2.Art)__\black\).
Allgemein ist soetwas über Grenzwerte definiert:
Handelt es sich um ein uneigentliches Integral 1.Art mit der kritischen Stelle x_k, so setzt man:
int(f(x),x,a,x_k):=lim(b->x_k,int(f(x),x,a,b))
bzw.
int(f(x),x,x_k,b):=lim(a->x_k,int(f(x),x,a,b))
Handelt es um ein uneigentliches Integral 2.Art, so setzt man:
int(f(x),x,a,+\inf):=lim(b->+\inf,int(f(x),x,a,b))
bzw.
int(f(x),x,-\inf,b):=lim(a->-\inf,int(f(x),x,a,b))
\geo
ebene(600,300)
x(0,10)
y(0,5)
nolabel()
punkt(5,0,p1,hide)
punkt(5,1,p2,hide)
color(a0a0a0) strahl(p1,p2)
param(xx,0,5,0.01)
param(yy,5,10,0.01)
kurve(xx,1/sqrt(xx-1),f)
kurve(yy,2*exp(-(yy-5)*0.5),g)
punkt(f,1.04,q1,hide)
punkt(1,5,q2,hide)
punkt(1,0,q3,hide)
punkt(4,0,q4,hide)
punkt(f,4,q5,hide)
strecke(q1,q2) strecke(q2,q3) gerade(q3,q4) strecke(q4,q5)
punkt(10,0,q6,hide)
punkt(g,10,q7,hide)
strecke(q6,q7)
fill(1.5,1,ccffcc)
fill(5.5,1,ccffcc)
color(000000)
kurve(xx,1/sqrt(xx-1))
kurve(yy,2*exp(-(yy-5)*0.5))
\geooff
\geoprint()
Die links abgebildetete Funktion f(x)=1/sqrt(x-1) ist ein solcher Fall für ein uneigentliches Integral 1.Art, da die Funktion bei x_p=1 eine Polstelle besitzt.
Die markierte Fläche entspricht dem uneigentlichen Integral int(1/sqrt(x),x,1,4), das wir mit obiger Definition und dem Hauptsatz der Infinitesimalrechnung ganz einfach ermitteln können:
int(1/sqrt(x-1),x,1,4)=lim(a->1,int(1/sqrt(x-1),x,a,4))
=lim(a->1,stammf(2*sqrt(x-1),a,4))
=lim(a->1,2*sqrt(3)-2*sqrt(a-1))
=2||sqrt(3)
Ebenso können wir damit die rechts markierte Fläche unter der Funktion f(x)=2*exp(-1/2\.x) durch ein uneigentliches Integral zweiter Art ermitteln:
int(2*exp(-1/2\.x),x,0,\inf)=lim(b->\inf,int(2*exp(-1/2\.x),x,0,b))
=lim(b->\inf,stammf(-4*exp(-1/2\.x),0,b))
=lim(b->\inf,-4*exp(-1/2\.b)+4*1)
=4
Bisher war nur eine der beiden Grenzen eine undefinierte Stelle bzw. unbeschränkt nach links oder rechts.
Mit Hilfe der uns bekannten Additivität kann man das aber ganz einfach verallgemeinern, so dass auch beidseitig uneigentliche Integrale möglich sind:
Sind \a und \b Definitionslücken von f(x) bzw. +-\inf und ist c\el(\a\;\b), dann setzt man
int(f(x),x,\a,\b):=int(f(x),x,\a,c)+int(f(x),x,c,\b)
=lim(a->\a,int(f(x),x,a,c))+lim(b->\b,int(f(x),x,c,b))
\small\ Anmerkung: Wie viele Grenzwerte, muss ein uneigentliches Integral nicht zwangsläufig auch existieren.
\small\ Das Integral int(1/x,x,0,a) divergiert z.B. für alle a!=0.
Nach all der Theorie, wollen wir jetzt einmal in die Praxis übergehen und die Integralrechung an einem Beispiel erproben:
Wir nehmen uns die Funktionen f(x)=-1/64\.x^4+1/4\.x^2 und g(x)=1/4\.x^2-x und wollen die Fläche bestimmen, die diese Funktionen begrenzen.
\geo
ebene(500,300)
x(0,5)
y(-1.5,1.5)
plot(-4*power(0.25*x,4)+0.25*x^2,f)
plot(0.25*x^2-x,g)
fill(1,0,ccffcc)
\geooff
\geoprint()
Dazu bestimmen wir zunächst die Schnittpunkte der Funktionen, denn diese geben uns das Intervall an, über das wir integrieren werden. Wir setzen also gleich und lösen auf:
f(x)=g(x)
-1/64\.x^4+1/4\.x^2=1/4\.x^2-x
0=1/64\.x^4-x
0=x(x^3-64)
Damit ergeben sich die beiden Lösungen x_1=0 und x_2=wurzel(3,64)=4. Diese beiden benutzen wir als Integrationsgrenzen.
Da f(x)-g(x) den Abstand der beiden Funktionen darstellt, kann man die Fläche zwischen den Funktion durch das bestimmte Integral int(f(x)-g(x),x,x_1,x_2) darstellen.
Alternativ könnte man auch sagen, dass int(f(x),x,x_1,x_2) den Teil der grünen Fläche oberhalb der x-Achse darstellt, int(g(x),x,x_1,x_2) den Teil unterhalb der x-Achse \(mit negativem Vorzeichen\) und somit int(f(x),x,x_1,x_2)-int(g(x),x,x_1,x_2)=int(f(x)-g(x),x,x_1,x_2) die Gesamtfläche ist.
Wir rechnen die Fläche also mit unserem Wissen über bestimmte Integrale aus:
int(f(x)-g(x),x,x_1,x_2)=int(-1/64\.x^4+1/4\.x^2-1/4\.x^2+x,x,0,4)
=int(-1/64\.x^4+x,x,0,4)
=stammf(-1/5*1/64\.x^5+1/2\.x^2,0,4)
=-4^5/(64*5)+16/2-0
=array(24/5)____
Die markierte Fläche hat also einen Flächeninhalt von 24/5=4,8 Flächeneinheiten.
Jaa, auch wenn mancher zwischendurch gedacht haben mag, dass dieser Artikel nie ein Ende hat: Er hat! Und zwar in nur wenigen Zeilen.
Also will ich kurz zusammenfassen, was wir erfahren haben: Wir haben das Flächeninhaltsproblem durch bestimmte Integrale gelöst und festgestellt, dass man mit Stammfunktionen sehr einfach den Flächeninhalt unter einem Funktionsgraphen ermitteln kann. Wir haben uns Regeln erarbeitet, um Stammfunktionen zu ermitteln und sind auf uneigentliche Integrale eingegangen.
Damit haben wir ein sehr mächtiges Rüstzeug für die Berechnung von Flächeninhalten mit gekrümmten Begrenzungslinien gefunden und auch erprobt.
Wie wir im nächsten (und letzten) Teil der Ana[rchie]-Serie sehen werden, ist die Integralrechnung aber nicht nur für die Bestimmung von Flächen nützlich, sondern auch für die Bestimmung gekrümmter Strecken und Volumina von rotationssymmetrischen Körpern. Bleibt also gespannt auf Teil VI.
Vielen Dank geht an Buri für den genialen Beweis der Umkehrregel im Forum und an meine fleißigen Testleser(innen).
int(g,x,m,f)=Gockel
\(\begingroup\)Nein die Überschrift war am Anfang gar nicht da (was aber nur die ersten 19 Leser gesehen haben), da ich vorm Freigeben des Artikels zu blöd war, den Titel den ich mir ausgedacht hatte, auch reinzuschreiben.
Aber von Anfang an war es genau dieser Text, der als Überschrift diente.
mfg Gockel.\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo Johannes,
ein sehr schöner Artikel, der in sehr einfachen Worten die Kunst des Integrierens darstellt. Ich werde diesen Artikel, wie auch die anderen vermutlich in meiner Übungsgruppe zur Pflichtlektüre erklären 😉
Gruß,
Felix\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo Gockel
Ein erstklassiger Artikel! Die Heranführung an die Integralrechnung über das Flächeninhaltsproblem ist didaktisch mit Abstand die Anschaulichste. Es vermittelt dem Lernenden aber oft den Eindruck, dass es sich beim bestimmten Integral ausschliesslich um eine Fläche handelt. „Integralrechnung ist keine Flächenberechnung“ (Zitat meines Mathe-Dozenten). Wenn das integrieren „…von Nullstelle zu Nullstelle“ hier sinnvoll und notwendig ist um „negative“ Flächen zu vermeiden, so gibt es auch Beispiele, die diese Darstellung nicht gerecht werden (man denke z.B. an die Berechnung des Mittelwertes einer periodischen Funktion). Daher als Anregung in deinem letzten Teil der Ana[rchie]-Serie: Eine Beispiel, welches zeigt, dass ein Integral auch eine physikalische Grösse sein kann.
Gruss Theo
\(\endgroup\)
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