Mathematik: Stammfunktionen & Co.
Released by matroid on Mi. 26. Oktober 2005 22:55:34 [Statistics]
Written by FlorianM - 104538 x read [Outline] Printable version Printer-friendly version -  Choose language   
Analysis

\(\begingroup\)
Stammfunktionen & Co.



Dies ist nun der zweite Teil von „Einführung in die Integralrechnung“

Ich habe mich bemüht diesen Artikel vor allem verständlich und anschaulich zu gestalten.

Ich hoffe mir ist dieses gelungen.
Dieser Artikel umfasst nun einen zweiten Einblick in die Integralrechnung, die man so in der Oberstufe eines Gymnasiums
(12. Klasse) kennen lernt.

Es gibt noch viele Gebiete, in denen man die Integralrechnung anwenden kann. Hier will ich aber an dieser Stelle nicht weiter eingehen.
Vielleicht kommt ja noch ein dritter Teil. Das kann man nie ausschließen.
Aber jetzt erstmal viel Spaß mit meinem zweiten kleinen Einblick in die Einführung in die Integralrechnung.

Teil 1: Einführung in die Integralrechnung
Teil 2: Stammfunktionen & Co
Teil 4: Uneigentliche Integrale
Teil 5: Wie findet man eine Stammfunktion?


Download des Artikels im doc-Format


Inhalt
1 Integralfunktion
2 Hauptsatz der Differential –und Integralrechnung
3 Stammfunktion
3.1 Der Begriff „Aufleiten“
3.2 Die Stammfunktion
3.3 Berechnen von Integralen mit Hilfe einer Stammfunktion
4 Erste Anwendungsgebiete
5 Zusammenfassung Teil II
6 Abschluss
7 Quellenangabe


1 Integralfunktion

fed-Code einblenden

Lösung:
Tabelle

fed-Code einblenden

fed-Code einblenden

Informationen.
fed-Code einblenden

fed-Code einblenden
Tabelle2

Integrandenfunktion und Integralfunktion
Einfach ausgedrückt kann man es so formulieren: Die Nullstelle der Integrandenfunktion wird zur Extremstelle der Integralfunktion und die Extremstelle der Integrandenfunktion wird zur Wendestelle der Integralfunktion .

fed-Code einblenden

2 Hauptsatz der Differential –und Integralrechnung

fed-Code einblenden

fed-Code einblenden

Das Differenzieren macht das Integrieren wieder rückgängig.

Beweis:

fed-Code einblenden

Beweis1

fed-Code einblenden

Bild

fed-Code einblenden

Beweis3

fed-Code einblenden

3 Die Stammfunktion

3.1 Der Begriff „Aufleiten“

fed-Code einblenden

3.2 Die Stammfunktion

fed-Code einblenden

Der Begriff des Aufleitens einer Funktion f führt zu einer Stammfunktion der Funktion f.
fed-Code einblenden

3.3 Berechnen von Integralen mit Hilfe einer Stammfunktion:


fed-Code einblenden



fed-Code einblenden

Grundintegrale und weitere spezielle unbestimmte Integrale

Stammfunktionen

Tabelle wichtiger Stammfunktionen

4 Erste Anwendungsgebiete

Wie ich schon erwähnt habe, kann man auch die Integralrechnung mit der Differentialrechnung verknüpfen. Dazu ein paar Aufgaben mit Lösungen:

1. Aufgabe:

Für k>0 ist die Funktion fk gegeben durch fk(x)=k(-x³+3x+4).
Bestimme k so, dass der Graph von fk mit der Tangente im Hochpunkt eine Fläche mit dem Inhalt von 45 einschließt.


Lösungen:

fed-Code einblenden

Aufgabe 1

Wie man leicht sieht, verläuft die Tangente parallel zur x-Achse durch den Hochpunkt. Also ist die Tangentengleichung t(x)=6k.

3. Bestimmung von k

Nun geht man ganz normal vor, wie ihr es in meinem ersten Artikel unter Abschnitt 5 gelernt habt.

3.1 Gleichsetzen der beiden Gleichungen, um die Schnittpunkte zu bestimmen:
fed-Code einblenden

fed-Code einblenden

Lösungen:

Diese Aufgabe erfordert weitere Kenntnisse aus der Sekundarstufe I. Ihr kennt bestimmt eine Aufgabe, bei der man eine Funktion mit bestimmten Eigenschaften bestimmen sollte.
Dieses eventuell vorhandene Wissen müsst ihr bei dieser Aufgabe mit einfließen lassen.

fed-Code einblenden
5. Aufstellen einer Skizze
Aufgabe2

Aufgabe 2

Die schwarze Fläche hat den Flächeninhalt 5000 FE.

fed-Code einblenden


5 Zusammenfassung Teil II

fed-Code einblenden

6 Abschluss /Weitere Links

So das war nun der zweite Teil. Ich hoffe ich konnte euch das Verfahren, um Integrale mit Hilfe der Stammfunktion zu berechnen, ausführlich und verständlich erklären.

Es gibt noch viel mehr, dass man mit Integralrechnung machen kann. Zum Beispiel eine Anwendung, mit der man Rotationskörper berechnen kann.

Und genau um dieses Thema handelt der dritte Teil, aber bis dieser fertig ist, kann es noch etwas dauern, da die Schule jetzt wieder los geht.

Weitere Links:

Weitere interessante Links zur Integralrechnung:
  • Integralsammlung

  • Doppelintegrale

  • Ein paar Integrale ...




  • Weitere interessante Links zur Analysis:

    Die Ana[rchie]-Reihe




    Teil I: Folgen Sie mir!
    Teil II: Der Blitzableiter
    Teil III: 90-60-90 und andere schöne Kurven
    Teil IV: Extremsport
    Teil V: Neues vom Integrationsbeauftragten

    7 Quellenangabe

    Ich habe mich sehr an mein wunderschönes, ausführliches und verständliches Schulbuch gehalten. Hier zu kaufen:
    Bild

    Bild
    Teil 1: Einstieg in die Integralrechnung
    Teil 2: Stammfunktionen & Co.
    Teil 3: Rotationskörper
    Teil 4: Uneigentliche Integrale
    Teil 5: Wie findet man eine Stammfunktion?

    Euer
    Florian Modler
    \(\endgroup\)
    Get link to this article Get link to this article  Printable version Printer-friendly version -  Choose language     Kommentare zeigen Comments  
    pdfpdf-Datei zum Artikel öffnen, 89 KB, vom 04.07.2006 16:02:26, bisher 17139 Downloads


    Arbeitsgruppe Alexandria Dieser Artikel ist im Verzeichnis der Arbeitsgruppe Alexandria eingetragen:
    : Analysis :: Leicht verständlich :: Schule :: Schüler aufwärts :: Integralrechnung :
    Stammfunktionen & Co. [von FlorianM]  
    Dies ist nun der zweite Teil von „Einführung in die Integralrechnung“ Ich habe mich bemüht diesen Artikel vor allem verständlich und anschaulich zu gestalten Ich hoffe mir ist dieses gelungen. Dieser Artikel umfasst nun einen zweiten Einblick in die Integralrechnung.
    [Die Arbeitsgruppe Alexandria katalogisiert die Artikel auf dem Matheplaneten]

     
     
    Aufrufzähler 104538
     
    Aufrufstatistik des Artikels
    Insgesamt 7795 externe Seitenaufrufe zwischen 2012.01 und 2021.04 [Anzeigen]
    DomainAnzahlProz
    https://google.com260.3%0.3 %
    https://google.de2683.4%3.4 %
    https://matheplanet.com10%0 %
    http://www.onlinemathe.de545970%70 %
    http://google.de164521.1%21.1 %
    http://google.hu791%1 %
    http://google.it871.1%1.1 %
    http://google.fr490.6%0.6 %
    http://google.pt170.2%0.2 %
    http://de.cyclopaedia.net120.2%0.2 %
    http://google.es110.1%0.1 %
    http://florianmodler.de110.1%0.1 %
    http://www.florianmodler.de80.1%0.1 %
    http://images.google.de70.1%0.1 %
    http://www.cosmiq.de50.1%0.1 %
    http://www.facebook.com50.1%0.1 %
    http://10.0.0.3:191030%0 %
    http://google.com40.1%0.1 %
    http://www.bing.com310.4%0.4 %
    http://matheraum.de20%0 %
    http://suche.gmx.net20%0 %
    http://192.168.123.254:191020%0 %
    http://de.images.search.yahoo.com50.1%0.1 %
    http://search.snapdo.com20%0 %
    http://ch.search.yahoo.com20%0 %
    http://de.search-results.com20%0 %
    http://de.search.yahoo.com120.2%0.2 %
    http://de.wow.com20%0 %
    http://search.yahoo.com30%0 %
    http://192.168.1.3:191010%0 %
    http://r.duckduckgo.com10%0 %
    http://search.conduit.com20%0 %
    http://search.icq.com10%0 %
    http://vorhilfe.de10%0 %
    http://search.softonic.com10%0 %
    http://search.webssearches.com10%0 %
    http://google.at20%0 %
    http://search.babylon.com10%0 %
    http://www2.delta-search.com10%0 %
    http://www.ecosia.org40.1%0.1 %
    http://www.startxxl.com10%0 %
    http://www1.delta-search.com10%0 %
    http://suche.t-online.de20%0 %
    http://ecosia.org20%0 %
    http://172.18.0.20:191010%0 %
    http://www.delta-search.com10%0 %
    http://www.webssearches.com10%0 %
    http://www.benefind.de10%0 %
    http://www.fireball.de20%0 %
    https://www.startpage.com10%0 %
    http://isb.contentserv.net10%0 %
    https://de.search.yahoo.com10%0 %
    http://www.search.ask.com10%0 %
    https://www.bing.com10%0 %

    Aufrufer der letzten 5 Tage im Einzelnen
    Insgesamt 12 Aufrufe in den letzten 5 Tagen. [Anzeigen]
    DatumAufrufer-URL
    2021.04.05-2021.04.17 (3x)https://google.com
    2021.04.05-2021.04.16 (6x)https://google.com/
    2021.04.03-2021.04.14 (3x)https://google.de

    Häufige Aufrufer in früheren Monaten
    Insgesamt 7659 häufige Aufrufer [Anzeigen]
    DatumAufrufer-URL
    2012-2020 (5050x)http://www.onlinemathe.de/forum/integralfunktion
    2012-2017 (394x)http://www.onlinemathe.de/forum/Integralfunktionen-und-Integral
    2013-2018 (266x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=
    2020-2021 (241x)https://google.de/
    201401-01 (99x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=für k 0 ist die funktion
    201201-01 (96x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=zusammenhänge stammfunktion, funktion , ...
    201301-01 (91x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=wie bildet man die stammfunktion
    201203-03 (89x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=zusammenhang funktion und stammfunktion
    201212-12 (88x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=stammfunktion von 1/3x^3
    201302-02 (84x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=4&ved=0CDoQFjAD
    201205-05 (83x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=zusammenhänge funktion und stammfunktion
    201211-11 (79x)http://google.hu/imgres?biw=1280&bih=709&tbm=isch&tbnid=LYThNGwDU1Ty5M:
    201402-02 (79x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=für k größer als 0 ist die funktio...
    201202-02 (78x)http://google.it/imgres?start=397&gbv=2&biw=1664&bih=841&tbm=isch&tbnid=vPVGj...
    201206-06 (68x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=zwei differenzierbare funktionen stammfunkt...
    201209-09 (65x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=warum bildet man die stammfunktion ?
    201303-03 (62x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=stammfunktionen e funktion tabelle
    201210-10 (56x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=tabelle von stammfunktionen wichtiger
    201305-05 (54x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=warum unterscheiden sich zwei stammfunktion...
    201204-04 (53x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=zusammenhang funktion stammfunktion
    201304-04 (53x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=4&ved=0CCwQFjAD
    201207-07 (49x)http://google.fr/url?sa=t&rct=j&q=
    201309-09 (49x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=untersuchen sie, ob die funktion i eine int...
    201311-11 (46x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=für k 0 ist die funktion fk gegeben durc...
    201306-06 (40x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=zusammenhänge zwischen eigenschaften ein...
    201307-07 (27x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=wege zum bilden der stammfunktion
    202011-11 (22x)https://google.de/url?sa=t
    201501-01 (21x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=3&ved=0CCIQFjAC
    201208-08 (20x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=wichtige stammfunktionen und ableitungen
    201308-08 (18x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=stammfunktion für dummies beispiel
    202007-07 (17x)https://google.com/
    201412-12 (17x)http://google.pt/url?sa=i&rct=j&q=
    2012-2016 (13x)http://www.onlinemathe.de/forum/Integrallrechnung
    2013-2014 (12x)http://de.cyclopaedia.net/wiki/Tabelle-von-Ableitungs-und-Stammfunktionen
    201411-11 (11x)http://google.es/search?q=stammfunktionen tabelle
    2012-2017 (11x)http://florianmodler.de/index.php?site=publikationen-1
    201506-06 (9x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=2&ved=0CCAQFjAB
    201405-05 (9x)http://google.it/url?sa=t&rct=j&q=
    201406-06 (7x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=zusammenhänge zwischen den punkten der f...
    2012-2016 (7x)http://www.florianmodler.de/index.php?site=publikationen-1
    2016-2017 (5x)http://images.google.de/url?sa=t&rct=j&q=
    2012-2014 (5x)http://www.cosmiq.de/qa/show/1377805/Integralfunktion-warum-funktion-warum-in...
    201709-11 (4x)http://google.de/
    201704-07 (4x)http://google.de/url?sa=i&rct=j&q=
    201301-01 (4x)http://www.facebook.com/
    201505-05 (4x)http://google.de/search?q=ableitungen tabelle pdf

    [Top of page]

    "Mathematik: Stammfunktionen & Co." | 19 Comments
    The authors of the comments are responsible for the content.

    Was ist bei unstetigen Funktionen?
    von: SchuBi am: Mi. 26. Oktober 2005 23:35:00
    \(\begingroup\)
    Du solltest schon zu Beginn schreiben, daß du dich auf stetige Funktionen beschränkst.
    Wenn du schon den Begriff Aufleiten erwähnst, dann fehlt mir der explizite Zusammenhang deiner Stammfunktionen mit dem Ableiten.
    Noch ein Kritikpunkt (es liegt wahrscheinlich an der Schulbuchvorlage)
    fed-Code einblenden
    So funktioniert Mathematik nur in Schulbüchern. Zumindestens eine Beweisskizze wäre an dieser Stelle angebracht.\(\endgroup\)
     

    Re: Stammfunktionen & Co.
    von: FlorianM am: Do. 27. Oktober 2005 10:30:57
    \(\begingroup\)
    Danke für deine Kritik! Mit den stetigen Funktionen habe ich jetzt an die wichtigsten Stellen angeführt, wo es nötig ist (oder habe ich etwas vergessen?)

    Und zum Hauptsatz der Differential -und Integralrechnung habe ich nun auch einen Beweis angeführt.

    P.S.: Die Änderungen sind übernommen.

    gibt es weitere Meinungen? Kommentare?\(\endgroup\)
     

    Re: Stammfunktionen & Co.
    von: Hans-im-Pech am: Di. 08. November 2005 16:51:40
    \(\begingroup\)
    Hallo Florian,


    gut, daß Du SchuBis Änderungsvorschläge übernommen hast!

    Jetzt fällt mir nichts mehr auf, was man ändern müßte.

    Schöner Artikel!

    Viele Grüße,
    HiP\(\endgroup\)
     

    Re: Stammfunktionen & Co.
    von: FlorianM am: Fr. 11. November 2005 20:12:35
    \(\begingroup\)
    Danke für dein Lob. Über jeden Kommentar freut man sich... :)\(\endgroup\)
     

    Re: Stammfunktionen & Co.
    von: Ex_Mitglied_40174 am: Mi. 07. Dezember 2005 16:11:40
    \(\begingroup\)
    Wunderschöne Seite. Nur fehlen mir (oder vieleicht habe ich sie nicht gefunden) die speziellen Regeln zur Integral Aufleitung.Wie zum Beispiel die Substitutionsregel, die man anwenden kann um das Integral zuerst zu vereinfachen und dann aufzuleiten.
    \(\endgroup\)
     

    Re: Stammfunktionen & Co.
    von: FlorianM am: Di. 13. Dezember 2005 19:18:37
    \(\begingroup\)
    Die folgenden im nächsten Teil :)
    Und ebenfalls Rotationskörper. ;)\(\endgroup\)
     

    Re: Stammfunktionen & Co.
    von: Ex_Mitglied_40174 am: Mi. 04. Januar 2006 18:13:34
    \(\begingroup\)
    finde die seite super! benutze die aufgaben immer wieder gerne für den nachhilfeunterricht!\(\endgroup\)
     

    Re: Stammfunktionen & Co.
    von: Ex_Mitglied_40174 am: Di. 11. April 2006 12:17:59
    \(\begingroup\)
    Hi,
    erstmal muss ich sagen, dass die seite echt sehr gut verständlich ist und sie mir schon weiter geholfen hat, dennoch hab ich eine frage zu dem beweis des hauptsatzes:
    Muss man das mit diesem Mittelwertsatz der Integralrechnung machen, sprich mit dem f(z) * h?? Denn eigentlich geht doch schon der Differenquotient für h-->0 gegen f(x)?! Kann man das denn nicht weglassen? Oder ist das für die Stetigkeit wichtig?
    Ich muss den Beweis fürs ABi können und umso weniger ich mir merken muss, umso besser ;)
    Vielen Dank schon mal und liebe Grüsse\(\endgroup\)
     

    Re: Stammfunktionen & Co.
    von: Ex_Mitglied_40174 am: So. 12. November 2006 22:24:48
    \(\begingroup\)
    sehr geil, sehr gut erklärt, fast so gut wie bei meinem mathelehrer^^\(\endgroup\)
     

    Rotationskörper.
    von: Ex_Mitglied_40174 am: Sa. 25. November 2006 14:04:36
    \(\begingroup\)
    Hi,

    also ich finds auch absolut einleuchtend und gut erklärt, ich habe nur eine Frage und zwar zu deiner Aufgabe 3 bei den Rotationskörpern. Ich verstehe einfach nicht, wie du auch die erste Ableitung kommst. Könntest du das vielleicht nochmal ausführen?

    Ansonsten ist das echt top erklärt. Danke schön.

     \(\endgroup\)
     

    Re: Stammfunktionen & Co.
    von: Ex_Mitglied_40174 am: Mo. 04. Dezember 2006 19:42:12
    \(\begingroup\)
    man man man... bis gerade dachte ich, dass ich vor nächster woche m ontag (matheklausur) noch sterben müsste... denn ich konnte nix. fast hätte ich jemanden engagiert der mich bis dahin umbringt, meine nachhilfe hatte mich auch noch draufgesetzt... aber jetzt - hab ich wieder ein kleinen funken hoffnung... nach der bomben erklärung!

    nur kann ich keine stammfunktion bilden... das versteh ich noch nicht so ganz. mal sehn

    dankeschön - ich glaube du hast mir den arsch gerettet ;)

    gruß, Laura*\(\endgroup\)
     

    Re: Stammfunktionen & Co.
    von: FlorianM am: Sa. 13. Januar 2007 16:21:33
    \(\begingroup\)
    Kein Problem, Laura.

    Gruss Florian\(\endgroup\)
     

    Re: Stammfunktionen & Co.
    von: Laske am: Sa. 07. April 2007 13:40:56
    \(\begingroup\)
    Hi,

    danke für den super Artikel, konnte mir damit alles ganz allein beibringen. Aber bei 4.Erste Anwendungsgebiete Aufgabe 2 fehlt die Angabe   fed-Code einblenden

    Nichtsdestotrotz ganz großes Lob, Gruss Laske\(\endgroup\)
     

    Re: Stammfunktionen & Co.
    von: FlorianM am: Sa. 07. April 2007 15:17:43
    \(\begingroup\)
    Hi Laske,
    da hast du vollkommen Recht. Habe die Funktion in die Aufgabe noch einmal eingefügt.  :-)
    Danke für den Hinweis.

    Gruss Florian\(\endgroup\)
     

    Re: Stammfunktionen & Co.
    von: Ex_Mitglied_40174 am: So. 03. Juni 2007 01:59:02
    \(\begingroup\)
    Hi!

    Ich hab mal ne Frage zu der Aufgabe 2d) unter 1 Integralrechung.
    Ich bekomme anstatt "-x^2" "+x^2" raus. Ich kann keinen Fehler bei mir finden. Kann es sein, dass das hier falsch ist? Oder find ich meinen Fehler nicht? xD

    Ansonsten bis hierhin  😁  😄  😄 ne gute Seite.

    LG, Anne\(\endgroup\)
     

    Fehler bei Aufgabe 2d
    von: SchuBi am: So. 03. Juni 2007 09:47:37
    \(\begingroup\)
    Hallo, Anne!
    Du hast richtig gerechnet 😄 Es scheint ein Schreibfehler zu sein.\(\endgroup\)
     

    Re: Stammfunktionen & Co.
    von: Ex_Mitglied_40174 am: Sa. 17. November 2007 01:19:50
    \(\begingroup\)
    :-?
    Ich hab leider immer noch nichts verstanden!!!\(\endgroup\)
     

    Re: Stammfunktionen & Co.
    von: Ex_Mitglied_40174 am: So. 24. Februar 2008 15:51:39
    \(\begingroup\)
    muss bei der ersten aufgabe, bzw. bei der lösung
    die obere grenze nicht "1" sein, und die untere "-2"?

    und ich verstehe die lösung nicht ganz...
    wo sind die stammfunktionen?\(\endgroup\)
     

    Re: Stammfunktionen & Co.
    von: IVmath am: Fr. 30. März 2018 18:15:55
    \(\begingroup\)
    Hier ist auch ein schöner Artikel zu dem Thema.

    www.researchgate.net/publication/316735230_Produktregel_Quotientenregel_Reziprokenregel_Kettenregel_und_Umkehrregel_fur_die_Integration

    "Zusammenfassung:
    Integrationsregeln für das Produkt, den Quotienten, das Reziproke, die Verkettung und die Umkehrfunktion von Funktionen sind im Prinzip bekannt. Sie werden jedoch nur selten explizit ausformuliert, sondern sind in der Regel für die partielle Integration oder in der Substitutionsregel enthalten. Im vorliegenden Artikel sollen die genannten Integrationsregeln einmal ausformuliert, kurz zusammengestellt und damit noch besser bekanntgemacht werden. Dabei stellt sich heraus, dass die Quotientenregeln und diejenigen Integrationsregeln die daraus hergeleitet werden nur für sehr spezielle Integranden zu einer Vereinfachung des Integrationsausdrucks führen. Die Herleitung der genannten Integrationsregeln wird kurz angedeutet."\(\endgroup\)
     

     
    All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
    This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
    Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
    Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
    [Seitenanfang]