Mathematik: Spezielle Funktionen
Released by matroid on Di. 29. November 2005 06:54:34 [Statistics]
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Mathematik

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Spezielle Funktionen


In diesem Artikel soll eine möglichst vollständige Sammlung von speziellen Funktionen und ihren Eigenschaften entstehen. Mit speziellen Funktionen bezeichne ich hier Funktionen wie die Legendre-, Laguerrepolynome oder die Bessel-, sphärischharmonische- und Neumannfunktionen.
Allerdings ist es eine zeitraubende Arbeit die Eigenschaften von diesen Funktionen nachzurechnen, deswegen mache ich mal den Anfang, aber hoffe auf Mithilfe anderer, um das Ganze zu ergänzen.


1.) Kugel Funktionen


1.1.) Legendre Polynome


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1.2.) Assozierte Legendre Polynome


Zu schreiben ...

Sphärisch Harmonische Funktionen


Zu schreiben ...

2. Fourierkoeffizienten


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3.) Zylinder Funktionen


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3.1.) Bessel Funktionen


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Painlevé Transzendente - Nicht lineare Spezielle Funktionen



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An dieser Stelle eine historische Bemerkung, zu diesen vermutlich merkwürdig anmutenden Gleichungen. Sie entstanden aus folgendem Problem. Gesucht seien alle DGLs der Form w'' = F(w, w', z), wobei F rational in w und w' ist und analytisch in z. Weiters schränken wir die zulässigen rechten Seiten durch die Bedingung, dass alle Singularitäten von w, die keine Pole sind, nicht von den Anfangsdaten abhängen dürfen. Dann kommt man auf bekannte Gleichungen (obige Liste ist nicht erschöpfend) und eben diesen Painlevé Gleichungen (benannt nach dem Mathematiker Painlevé, der dieses Problem zusammen mit Gambier löste).

Als letzte Bemerkung noch, das äquivalente Problem w' = F(w,z) führt zur verallgemeinerten Ricatti Gleichung.

Abschluss


Ich habe jetzt erstmal die wichtigsten Sachen, die mir zu den Legendre Polynomen eingefallen sind nieder geschrieben, und hoffe jetzt, dass weiter Abschnitte und Eigenschaften ergänzt werden.
Ich freue mich auf jeden Fall auf eure Mithilfe diese Liste möglichst komplett zu bekommen.

Auf Wallys Vorschlag hin habe ich Arbeitsgruppe eingerichtet. Wer also mithelfen will, ist herzlichst eingeladen beizutreten.
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Spezielle Funktionen [von cow_gone_mad]  
In diesem Artikel soll eine möglichst vollständige Sammlung von speziellen Funktionen und ihren Eigenschaften entstehen. Mit speziellen Funktionen bezeichne ich hier Funktionen wie die Legendre-, Laguerrepolynome oder die Bessel-, sphärischharmonische- und Neumannfunktionen.
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"Mathematik: Spezielle Funktionen" | 3 Comments
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Re: Spezielle Funktionen
von: Wally am: Mi. 30. November 2005 12:52:08
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Hallo, Helge,

das ist sicher eine gute Idee.
Vielleicht solltest du aber eher eine Arbeitsgruppe gründen, die gemeinsam die Eigenschaften der Funktionen zusammenträgt.

Ich fände es außerdem gut, wenn es Links und/oder Literaturhinweise zu Beweisen der Eigenschaften gäbe.

Wally\(\endgroup\)
 

Re: Spezielle Funktionen
von: Gockel am: Mi. 30. November 2005 13:05:13
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Hi.

Ein paar der "speziellen" Funktionen sind so genannte Hypergeometrische Funktionen. Einer meiner allerersten Artikel handelte darüber:
article.php?sid=549

mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

Re: Spezielle Funktionen
von: cow_gone_mad am: Mi. 30. November 2005 19:47:26
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Hallo ihr beiden :-)

@Gockel: Es lassen sich sogar alle von mir hier gemeinten speziellen Funktionen auf die sogenannte hypergeometrische Funktion reduzieren. Allerdings übertragen sich die ganz unterschiedlichen Eigenschaften meines Wissens nicht, was die Nützlichkeit der Darstellung sehr stark reduziert.

@Wally: Über das Beweisen habe ich auch nachgedacht, und dann als deutlich zu ambitioniert verworfen. Je nachdem, wieviele Leute mitschreiben werden, wird es sicher noch Monate dauern bis die Liste der speziellen Funktionen halbwegs vollständig ist.
Ich weiss jetzt nicht genau, was der Vorteil des Gründens einer Arbeitsgruppe wäre ... aber ich kann es mal machen.

Liebe Grüsse,
cow_\(\endgroup\)
 

 
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