Mathematik: Mehrfachintegrale Teil II
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Analysis

\(\begingroup\) Bild Dieser Artikel ist die Fortsetzung des ersten Artikels über Mehrfachintegrale, den Doppelintegralen, und soll von Dreifachintegralen handeln. Wie auch im ersten Teil führe ich hier das Dreifachintegral zuerst über einen einfachen Körper ein und dann über einen allgemeinen.

pdf-Version des Artikels Inhaltsverzeichnis: 1. Einführung 2. Dreifachintegral über einem Kasten 3. Dreifachintegral über einem allgemeinerem Körper 4. Eigenschaften und Mittelwertsätze 5. Koordinatentransformation Ähnlich wie bei Doppelintegralen, ist es hier notwendig sich mit Dreifachsummen auszukennen. Unter sum(sum(sum(a_ijk,j=1,n),i=1,m),k=1,p) verstehen wir die Summe aller a_ijk wobei j von 1 bis n läuft und i von 1 bis m und k von 1 bis p. Bei Dreifachsummen ist es egal, ob wir zuerst alle j und dann alle i und dann alle k summieren oder in irgendeiner anderen Reihenfolge. Es können Konstanten herausgezogen werden sum(sum(sum(\a*a_ijk,j=1,n),i=1,m),k=1,p)=\a*sum(sum(sum(a_ijk,j=1,n),i=1,m),k=1,p) und es gilt ebenso sum(sum(sum((a_ijk+b_ijk),j=1,n),i=1,m),k=1,p)=sum(sum(sum(a_ijk,j=1,n),i=1,m)+sum(sum(b_ijk,j=1,n),i=1,m),k=1,p) Beginnen wir wieder damit, das Dreifachintegral über einem einfachen Körper darzustellen. Wir haben das Doppelintegral zuerst über ein Rechteck und dann über eine allgemeinere Fläche eingeführt. Dies legt doch sicher nahe, dass wir das Dreifachintegral zuerst über einen rechteckigen Kasten und dann über einen allgemeinen Körper des \IR^3 einführen. Beginnen wir zuerst mit dem Kasten K: a_1<=x<=a_2 , b_1<=y<=b_2 und c_1<=z<=c_2 Zerlegen wir die Intervalle intervall(a_1,a_2), intervall(b_1,b_2) und intervall(c_1,c_2) in Z_1={x_0, x_1, ...,x_n} mit a_1=x_0
Wenn auf diesem Kasten nun eine Belegungsfunktion herrscht, etwa die Temperatur oder die Massendichte, die in allen Punkten auf dem Kasten variabel ist ( unten durch die Farben dargestellt), und wir annehmen können, dass die Belegungsfunktion f(x,y,z) auf dem Kasten stetig ist, dann nimmt f auf jedem der kleinen Kästchen K_ijk ein Maximum M und ein Minimum m an. Bild Schauen wir uns nun das kleine Kästchen K_ijk an. Da f auf K stetig ist, ist f auch auf jedem K_ijk stetig und da K abgeschlossen und beschränkt ist, ist es auch jedes K_ijk und f nimmt auf jedem der K_ijk ein Maximum M_ijk (dunkle blaue Fläche) und ein Minimum m_ijk (helle weiße Fläche) an. Bild Wir können in diesem Fall aber nicht mehr von Volumen sprechen, wenn f auf K nicht konstant gleich 1 ist. Wäre f==1 auf K, dann wäre das Dreifachíntegral int(int(int(1,x),y,K),z) gleich dem Volumen von K. Der aufmerksame Leser wird sich fragen, warum sollte es keine Volumen auf K geben, wenn f nicht konstant ist. Etwa in dem folgenden Bild, in dem auf jeder Seite des Kastens eine Pyramide steht. Bild
Wenn f mir nun den Graph der Pyramiden zeigt und ich über diesen Kasten integriere, dann ist im Inneren des Kastens f=0. Das Problem kann man aber mit Doppelintegralen lösen. Gibt f mir die Massendichte über dem Kasten, also auf dem Rand und im Inneren von K und auf K_ijk ist die größte Dichte 10 g/m^3 und die kleinste Dichte 2 g/m^3 und das Kästchen hat ein Volumen von 5m^3. Dann gilt für die Gesammtmasse G des Kästchens 2*5 Da wir jetzt das Dreifachintegral über einem Kasten eingeführt haben, wollen wir nun das Dreifachintegral über einen allgemeineren Körper einführen. Das folgende Bild soll so einen Körper zeigen. Stellt euch einfach einen Stein vor, den ihr von der Strasse aufhebt. Dieser Stein soll eine variable Dichte D(x,y,z) in jedem inneren Punkt haben. Wir wollen wissen wie seine Gesamtmasse ist. Bild Dieser Stein wird oben von der Funktion p(x,y) und unten von q(x,y). Das ist wie bei einem Gefäß. q(x,y) ist der Behälter und p(x,y) der Deckel. Bild Wenn wir von oben auf q(x,y) (Gefäß) und von unten auf p(x,y) (Deckel) schauen, sehen wir die gleiche Fläche. Diese Fläche könnnte ungefähr so aussehen wie im nächsten Bild. Die Fläche wird in der x,y-Ebene oben von r(x) und unten von s(x) begrenzt und auf der x-Achse von a und b. Bild Stellen wir uns nun unseren Stein als hohl vor. Wir können diesen hohlen Stein innen mit nicht überlappenden Kästchen füllen. Dies geschieht ählich wie beim Kasten. Bei jedem dieser Kästchen können mir annehmen, dass dort die Dichte konstant ist. Das Kästchen K_ijk: x_(i-1)<=x<=x_i, y_(j-1)<=y<=y_j, z(k-1)<=z<=z_k hat das Volumen v_ijk=\Delta x_i*\Delta y_j*\Delta z_k und die Masse M_ijk=d_ijk*v_ijk wobei d_ijk die Dichte im Kästchen K_ijk ist. Werden \Delta x_i, \Delta y_j, \Delta z_k immer kleiner und erhalten infinitisimale Größe lässt sich die Masse unseres Steins mit einem Dreifachintegral berechnen. int(int(int(D(x,y,z),z),y,Stein),x). Doch wie sind die Grenzen unseres Integrals zu wählen? Wer den ersten Artikel über Doppelintegrale gelesen hat, wird es nun wissen. Wir füllen unsere Fläche in der x,y-Ebene mit ganz vielen Rechtecken. Setzen wir auf jedes dieser Rechtecke Säulen, so werden diese oben und unten von z=p(x,y) und z=q(x,y) begrenzt. Für Masse einer solche Säule ergibt sich M_säule=int(d(x,y,z),z,q(x,y),p(x,y))*dy*dx Unsere Fläche in der x,y-Ebene ist der Bereich G: s(x)<=y<=r(x), a<=x<=b. Für die Gesamtmasse M unseres Steins bleibt nun ein Doppelintegral übrig M=int(int(int(d(x,y,z),z,q(x,y),p(x,y)),y,G),x) und dies kennen wir aus Teil I. Dies ist M=int(int(int(d(x,y,z),z,q(x,y),p(x,y)),y,s(x),r(x)),x,a,b) Dies ist nur eine Möglichkeit die Masse unseres Steins auszurechnen, wir hätten unseren Stein auch erstmal auf die x,z-ebene projizieren können, dann hätte unser Dreifachintegral vielleicht so int(int(int(d(x,y,z),y,q(x,z),p(x,z)),z,s(x),r(x)),x,a,b) ausgesehen.
Wie auch bei Doppelintegralen, gibt es für Dreifachintegrale bestimmte Eigenschaften der Linearität, Erhaltung der Ordnung, Additivität und Erfüllung einer Mittelwertsbedingung. Der Beweis für die Mittelwertsbedingung läuft ähnlich dem für Doppelintegrale. 1. Linearität des Doppelintegrals: int(int(int(\a*f(x,y,z)+\b*g(x,y,z),x),y,K),z) =\a*int(int(int(f(x,y,z),x),y,K),z)+\b*int(int(int(g(x,y,z),x),y,K),z) 2. Erhaltung der Ordnung: Wenn auf K f>=0 ist, so ist int(int(int(f(x,y,z),x),y,K),z)>=0 wenn auf K f<=g ist, so ist int(int(int(f(x,y,z),x),y,K),z)<=int(int(int(g(x,y,z),x),y,K),z) 3. Additivität des Dreifachintegral: Wenn K in mehrere kleine, nicht überlappende Körper K_i aufgeteilt wird und ist f auf K stetig, so ist f auch auf allen K_i stetig, dann ist int(int(int(f(x,y,z),x),y,K),z) =int(int(int(f(x,y,z),x),y,K_1),z)+...+int(int(int(f(x,y,z),x),y,K_n),z) Kommen wir zum \frame Mittelwertsatz für Dreifachintegrale Sind f und g auf dem Grundkörper K stetig und ist g auf K nicht negativ, so existiert ein Punkt (x_0, y_0, z_0) \el\ K mit int(int(int(f(x,y,z)*g(x,y,z),x),y,K),z) =f(x_0,y_0,z_0)*int(int(int(g(x,y,z),x),y,K),z) \frameoff
Kommen wir nun zur Koordinatentransformation bei Dreifachintegralen. Transformieren wir unseren Grundkörper K durch u=u(x,y,z), v=v(x,y,z) und w=w(x,y,z), so entsteht unser neuer Körper L. Natürlich sollte unsere Transformation umkehrbar sein und durch p(u,v,w)=(x;y;z)=(x(u,v,w);y(u,v,w);z(u,v,w)) gegeben sein. Dann gilt folgende Beziehung int(int(int(f(x,y,z),x),y,K),z) =int(int(int(f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))*abs(p_u x p_v)*p_w,u),v,L),w) =int(int(int(f(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))*\det(p_u,p_v,p_w),u),v,L),w) Ich möchte den Beweis an dieser Stelle nicht bringen. Bei der Transformation der einzelnen K_i werden die L_i erzeugt, das Volumen der L_i kann man durch das Spatprodukt der Tangentenvektoren darstellen. Auch hier wiederum schaut euch die Transformation bei Doppelintegralen an.
Haüfige Transformationen sind Transformation in Zylinderkoordinaten: p(r,\phi,z)=(x;y;z)=(r*cos \phi;r*sin \phi;z) damit ist \det(p_r,p_\phi,p_z)=r Transformation in Kugelkoodinaten: p(r,\nue,\phi)=(x;y;z)=(r*sin \nue*cos \phi;r*sin \nue*sin \phi;r*cos \nue) damit ist \det(p_r,p_\nue,p_\phi)=r^2*sin \nue
Das war nun der zweite Teil meiner Reihe über Mehrfachintegrale, ich habe viele Beweise hier rausgelassen, da sie in sehr änlicher Weise in meinem ersten Teil stehen. Im nächsten Teil, wo es um die Anwendungen von Mehrfachintegralen geht, werden auch mehr Beispiele kommen. Bis dann Artur Koehler (alias pendragon302)
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Mehrfachintegrale Teil II [von pendragon302]  
Dieser Artikel ist die Fortsetzung des ersten Artikels über Mehrfachintegrale, den Doppelintegralen, und soll von Dreifachintegralen handeln. Wie auch im ersten Teil führe ich hier das Dreifachintegral zuerst über einen einfachen Körper ein und dann über einen allgemeinen.
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"Mathematik: Mehrfachintegrale Teil II" | 3 Comments
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Re: Mehrfachintegrale Teil II
von: Hans-im-Pech am: Do. 08. Dezember 2005 12:36:48
\(\begingroup\)Penny, mein Integral-Held! Wie könnte ich nur ohne Dich integrieren! 😄 Danke für den schönen Artikel! Gruß, HiP\(\endgroup\)
 

Re: Mehrfachintegrale Teil II
von: FlorianM am: Do. 08. Dezember 2005 14:04:02
\(\begingroup\)Mit viel Liebe zum Detail verfasst! Wieder einmal ein wunderbarer Artikel von dir!\(\endgroup\)
 

Re: Mehrfachintegrale Teil II
von: Ex_Mitglied_40174 am: Fr. 09. Februar 2007 20:02:05
\(\begingroup\)hab lange gesucht und hier die lösung gefunden. danke dir das du das verfasst hast. alles mit einfachen wörtern beschrieben und für jeden verständlich, einfach genial \(\endgroup\)
 

 
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