Mathematik: Ana[rchie] VI: Ich hab den Bogen raus!
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Mathematik

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Ana[rchie] VI: Ich hab den Bogen raus!

Herzlich Willkommen zum finalen Teil der Ana[rchie]-Artikelreihe. Dieses Mal soll es uns um die Anwendungen der im letzten Teil eingeführten Integralrechnung gehen. Insbesondere wollen wir dabei auf 3 wesentliche Anwendungen eingehen: Die Berechnung von Volumina rotationssymmetrischer Körper, die Berechnung von Bogenlängen von Funktionen sowie die Verwendung von Integralen und Ableitungsfunktionen innerhalb der Physik.

Rotationskörper

Für die erste Anwendung müssen wir zuerst klären, wie wir rotationssymmetrische Körper betrachten wollen. Vorraussetzung, um die Mittel der Integralrechnung anwenden zu können, ist, dass wir unserem Rotationskörper eine Funktion zuordnen können. Idealerweise ist das eine Funktion, die einen "Querschnitt" durch den Rotationskörper darstellt. So hat z.B. dieser Kegel hier: \geo ebene(400,300) x(0,4) y(-1.5,1.5) plot(x/3) plot(-x/3) nolabel() p(3.0,0,q,hide) p(3.5,0,r,hide) strahl(q,r) konst(a,0.3) konst(b,1) param(xx,2.7,3.3,0.001) kurve(xx,b/a*sqrt(a^2-power(xx-3,2))) kurve(xx,-b/a*sqrt(a^2-power(xx-3,2))) fill(2,0.5,ccccff) fill(3,0.5,8888aa) \geooff \geoprint() diesen Querschnitt: \geo ebene(400,300) x(0,4) y(-1.5,1.5) plot(x/3) plot(-x/3) nolabel() punkt(3,1,p,hide) punkt(3,-1,q,hide) s(p,q) \geooff \geoprint() Dem obigen Kegel würden wir also die Funktion y=1/3\.x zuordnen, da durch Rotation dieser Geraden um die x-Achse eben dieser Kegel entstehen würde. Natürlich müssen wir auch darauf achten, dass wir ein Intervall festlegen, denn offensichtlich entstehen verschiedene Körper, wenn wir nur den Teil der Funktion im Intervall [1,3] rotieren lassen und wenn wir sie im Intervall [0,3] rotieren lassen würden. Im ersten Fall entstünde ein Kegelstumpf, im zweiten ein echter Kegel. Entscheidend ist die Darstellbarkeit durch eine "Randfunktion". Wir wollen uns in diesem Artikel auf solche Rotationskörper beschränken, zu denen wir eine stetige Randfunktion angegeben können, also eine Funktion, die durch Rotation um x- oder y-Achse wieder den Rotationskörper ergibt. Die Forderung nach der Stetigkeit ist sinnvoll, da wir so garantieren können, dass wir die Integralrechnung auch wirklich einsetzen können.

Volumina von Rotationskörpern

Wir betrachten zunächst den Fall der Rotation um die x-Achse. Nehmen wir uns eine Funktion f(x), die wir im \(idealerweise nichtleeren\) Intervall [a;b] um die x-Achse rotieren lassen wollen: \geo ebene(300,120) x(0,3) y(-0.2,1) nolabel() punktform(.) plot((x+1)*(x-4)*(-0.16),f) p(0.5,0,p1) p(f,0.5,p2) s(p1,p2) p(2.5,0,p3) p(f,2.5,p4) s(p3,p4) s(p1,p3) print(a,0.5,0) print(b,2.5,0) fill(1,0.5,ccccff) \geooff \geoprint() Um das Volumen dieses Körpers berechnen zu können, gehen wir ähnlich vor, wie bei der Flächenberechnung: Wir zerlegen den Körper in "Streifen": \geo ebene(600,120) x(0,6) y(-0.2,1) nolabel() punktform(.) param(xx,0,3,0.01) param(yy,3,6,0.01) kurve(xx,(xx+1)*(xx-4)*(-0.16),f) kurve(yy,(yy-2)*(yy-7)*(-0.16),g) color(999999) p(3,0,_p0) p(3,1,_p1) s(_p0,_p1) for(j,1,4,1,\ konstante(x1,(j-1)*0.25+0.5) \ konstante(x2,j*0.25+0.5) \ konstante(x3,(j-1)*0.25+3.5) \ konstante(x4,j*0.25+3.5) \ konstante(y1,(x1+1)*(x1-4)*(-0.16)) \ konstante(y2,(x2+1)*(x2-4)*(-0.16)) \ p(x1,y1,A_j) p(x2,y1,B_j) \ p(x1,0,C_j) p(x2,0,D_j) \ s(A_j,B_j) s(B_j,D_j) s(D_j,C_j) s(C_j,A_j) \ fill(A_j,B_j,D_j,C_j,ccccff) \ p(x3,y2,E_j) p(x4,y2,F_j) \ p(x3,0,G_j) p(x4,0,H_j) \ s(E_j,F_j) s(F_j,H_j) s(H_j,G_j) s(G_j,E_j) \ fill(E_j,F_j,H_j,G_j,ccccff) \ ) for(j,5,8,1,\ konstante(x1,(j-1)*0.25+0.5) \ konstante(x2,j*0.25+0.5) \ konstante(x3,(j-1)*0.25+3.5) \ konstante(x4,j*0.25+3.5) \ konstante(y1,(x1+1)*(x1-4)*(-0.16)) \ konstante(y2,(x2+1)*(x2-4)*(-0.16)) \ p(x1,y2,A_j) p(x2,y2,B_j) \ p(x1,0,C_j) p(x2,0,D_j) \ s(A_j,B_j) s(B_j,D_j) s(D_j,C_j) s(C_j,A_j) \ fill(A_j,B_j,D_j,C_j,ccccff) \ p(x3,y1,E_j) p(x4,y1,F_j) \ p(x3,0,G_j) p(x4,0,H_j) \ s(E_j,F_j) s(F_j,H_j) s(H_j,G_j) s(G_j,E_j) \ fill(E_j,F_j,H_j,G_j,ccccff) \ ) \geooff \geoprint() Wir betrachten also auch hier wieder eine Intervallzerlegung, indem wir Zahlen x_0 bis x_n nehmen mit a=x_0 < x_1 < ... < x_(k-1) < x_k=b und das i-te Teilintervall von gauss(a;b) mit \II_i:=gauss(x_(i-1), x_i) definieren. Dann gehen wir wie bei der Flächeninhaltsberechnung vor und definieren f^-_i := max(x\el\II_i,f(x)) und f___i:=min(x\el\II_i,f(x)). Jetzt machen wir es fast genauso wie bei der Flächenberechnung, nur dass wir uns diesmal dem Volumen widmen. Da wir jetzt die Funktion um die x-Achse rotieren lassen, kommen wir dazu, dass jeder Streifen als Zylinder aufgefasst werden kann. Ein Zylinder mit Radius r und Höhe hat das Volumen \pi*r^2*h. Angewandt auf unser Beispiel ist die Höhe hier die Intervallbreite, also \Delta||x, während der Radius entweder f^-_i oder f___i ist. Wir erhalten wieder zwei Folgen, die das Volumen annähern: O_n=sum(\pi*f^-_i^2*\Delta||x,i=1,n) U_n=sum(\pi*f___i^2*\Delta||x,i=1,n) Das Volumen selbst ergibt sich nun aus V=lim(n->\inf,O_n)=lim(n->\inf,U_n) vorausgesetzt, dass die Limiten existieren \(dann stimmen sie aber überein, da wir f als stetig vorrausgesetzt hatten\). Diese Konstruktion erinnert uns nicht zu Unrecht an das Vorgehen zur Einführung des bestimmten Integrals, denn V lässt sich auch mit einem bestimmten Integral ausdrücken: V=int(\pi*(f(x))^2,x,a,b)=\pi*int((f(x))^2,x,a,b) Um dies zu bestätigen, muss man sich nur klarmachen, dass die hier definierten Folgen U_n und O_n mit denen für das bestimmte Integral insofern übereinstimmen, dass sie denselben Grenzwert haben. Anschaulich gesprochen muss man sich also klarmachen, dass es egal ist, ob ich Minima und Maxima der Funktion quadriere oder die Funktion quadriere und dann davon die Minima und Maxima nehme. Das ist rechnerisch daher klar, weil (f(x))^2=abs(f(x))^2 sowie abs(f(x))>=0 ist und daher max(x\el\II_i,(f(x))^2)=(max(x\el\II_i,abs(f(x))))^2 gilt. Und ebenso für die Minima. (siehe dazu auch Teil IV) Betrachten wir nun den Fall, dass wir eine Funktion f im Bereich c<=f(x)<=d um die y-Achse rotieren lassen: \geo ebene(300,300) xy(-0.2,4.8) nolabel() punktform(.) plot(2*sqrt(x),f) p(0,2,p1) p(1,2,p2) s(p1,p2) p(0,4,p3) p(4,4,p4) s(p3,p4) s(p1,p3) fill(1,3,ccccff) p(1,0,q1) p(4,0,q2) s(p2,q1) s(p4,q2) print(c,0.1,2) print(d,0.1,4) print(a,1,0) print(b,4,0) print(f(x),2.25,3) \geooff \geoprint() Wir können diesen Sachverhalt auf den vorherigen zurückführen, indem wir den Körper und die Funktion an der Geraden y=x spiegeln: \geo ebene(300,300) xy(-0.2,4.8) nolabel() #punktform(.) plot(0.25*x^2,f) p(2,0,p1) p(2,1,p2) s(p1,p2) p(4,0,p3) p(4,4,p4) s(p3,p4) s(p1,p3) fill(3,1,ccccff) p(0,1,q1) p(0,4,q2) s(p2,q1) s(p4,q2) print(c,2,0) print(d,4,0) print(a,0.1,1) print(b,0.1,4) print(g(x),3,2.25) \geooff \geoprint() Formal bedeutet dies, dass wir die Umkehrfunktion g der Randfunktion f betrachten. Wir setzen wie in der Skizze a=g(c) und b=g(d). Damit überhaupt eine Umkehrfunktion existiert, muss f im Intervall [a;b] bzw. [b;a] injektiv sein (oder eineindeutig, wie es auch oft genannt wird). Die Funktion g muss also insbesondere g(f(x))=x und f(g(x))=x für alle x im Intervall [a;b] bzw. [b;a] erfüllen. (In der Tat würde die erste Bedingung ausreichen. Aus ihr folgt bereits die zweite) Daraus ergibt sich dann die Formel: V=int((g(y))^2,y,c,d) Ist f eine differenzierbare Funktion, so können wir dieses Integral in eine nützlichere Form bringen, indem wir die Substitution y=f(x) durchführen. Nach der Substitutionsregel ist dann: \align\ V><=\pi*int((g(y))^2,y,c,d) ><= \pi*int((g(f(x)))^2*f'(x),x,g(c),g(d)) ><= \pi*int(x^2*f'(x),x,a,b) \stopalign Das ist deshalb nützlicher, weil wir nicht den Umweg über die Umkehrfunktion g machen müssen, um das Volumen zu berechnen, sondern direkt mit f arbeiten können.

Brotscheiben-Grenzwerte

Bevor wir mit der zweiten Anwendung - den Bogenlängen - anfangen, wollen wir noch einen kleinen, aber feinen Hilfssatz (ein so genanntes Lemma) beweisen, dass uns die Berechnung der Grenzwerte erleichtern wird. Es handelt sich um das sogenannte "Sandwich-Lemma". Sind ((a_n)) und ((c_n)) konvergente reelle Zahlenfolgen mit lim(n->\inf,a_n)=lim(n->\inf,c_n) und ist ((b_n)) eine reelle Zahlenfolge, für die ein n_0\el\IN existiert mit a_n<=b_n<=c_n für alle n\el\IN_>=n_0 So ist auch ((b_n)) konvergent und es gilt lim(n->\inf,a_n)=lim(n->\inf,b_n)=lim(n->\inf,c_n) Bevor wir das beweisen, möchte ich nochmal auf Teil 1 der Reihe verweisen, um die Erinnerungen an Grenzwerte aufzufrischen. \blue\ Beweis: Vorweg eine kleine Skizze zur Veranschaulichung: \geo ebene(500,300) y(-3,3) x(0,10) nolabel() punktform(.) konstante(sg,1) for(n,0,10,1,\ konstante(a_n, 2/log(n+2)) \ konstante(sg ,-sg) \ konstante(b_n,sg/log(n+2)) \ konstante(c_n,-2/log(n+2)) \ color(ff0000) p(n,a_n,P_n) kreis(P_n,0.06,KP_n) fill(KP_n,ff0000) \ color(009900) p(n,b_n,Q_n) kreis(Q_n,0.06,KQ_n) fill(KQ_n,009900) \ color(0000ff) p(n,c_n,R_n) kreis(R_n,0.06,KR_n) fill(KR_n,0000ff) \ ) print(\red\ ((a_n)), 9.5,3.0) print(\darkgreen\ ((b_n)),9.5,2.5) print(\blue\ ((c_n)), 9.5,2.0) \geooff \geoprint() Sei \g=lim(n->\inf,a_n)=lim(n->\inf,c_n). Für jedes \eps>0 gibt es dann nach Definition des Grenzwertes ein n_a und ein n_c mit abs(a_n-\g)<\eps für alle n>=n_a und abs(c_n-\g)<\eps für alle n>=n_c. Wir setzen nun n_b=max|menge(n_0, n_a, n_c). Jetzt unterscheiden wir für n>=n_b zwei Fälle: 1.\) 0<=b_n-\g Also ist insbesondere 0<=b_n-\g<=c_n-\g. Dann folgt: abs(b_n-\g)<=abs(c_n-\g)<\eps 2.\) b_n-\g<0 Also ist insbesondere a_n-\g<=b_n-\g<0. Dann folgt: abs(b_n-\g)<=abs(a_n-\g)<\eps Das Ganze funktioniert für alle \eps>0 und alle n>=n_b, wie wir gesehen haben. Also ist ((b_n)) konvergent mit lim(n->\inf,b_n)=\g \blue\ q.e.d. Anschaulich kann man sich diesen Hilfssatz wie folgt vorstellen: Die Folge ((b_n)) ist zwischen ((a_n)) und ((c_n)) "eingequetscht". Lässt man man nun n gegen \inf laufen, so nähern sich a_n und c_n immer weiter aneinander an, weil sie ja einem gemeinsamen Grenzwert zustreben. Da b_n in der Mitte "feststeckt", muss auch ((b_n)) gegen diesen Grenzwert konvergieren. Daher stammen auch die verschiedenen Namen für dieses Lemma. \darkblue\ Sandwich\-Lemma__\black||, weil b_n zwischen a_n und c_n steckt wie ein Salatblatt zwischen zwei Sandwichhälften. Analog heißt dieser Satz auch \darkblue\ Quetsch\-Lemma__\black||, \darkblue\ Einschnürungssatz__\black oder trockener einfach nur \darkblue\ Einschließungskriterium__\black||. (Graumsam, oder? )

Bogenlängen

Es ist oftmals interessant zu wissen, wie lang die Kurve ist, die der Graph einer Funktion beschreibt. Auch hier können wir die altbewährte Strategie benutzen: Wir unterteilen das zu untersuchende Intervall in Teilintervalle und führen eine Annäherung durch. Damit wir die Integralrechnung anwenden können, setzen wir voraus, dass die Funktion f(x) differenzierbar und ihre Ableitung stetig ist. \geo ebene(400,210) x(0,4) y(-0.1,2) pen(2) plot(-0.75*x^4+6*x^3-16.5*x^2+18*x-5,f) nolabel() pen(1) punktform(.) konstante(s,0.5) konstante(e,3.5) konstante(d,(e-s)/8) for(i,0,7,1,\ konstante(x1,d*i+s)\ konstante(x2,d*(i+1)+s)\ punkt(f,x1,A_i) punkt(f,x2,B_i) \ punkt(x1,0,C_i) punkt(x2,0,D_i) \ color(0000ff) strecke(A_i,B_i) \ color(000000) s(A_i,C_i) s(B_i,D_i) \ ) print(a,s,0) print(b,e,0) \geooff \geoprint() Auch hier also wieder die Zerlegung von gauss(a;b) in Intervalle \II_i:=gauss(x_(i-1), x_i) mit a=x_0<=sqrt((x_i-x_i\-1)^2+(f(x_i)-f(x_i\-1))^2) ><=abs(x_i-x_i\-1)*sqrt(1+((f(x_i)-f(x_i\-1))/(x_i-x_i\-1))^2) ><=sqrt(1+((f(x_i)-f(x_i\-1))/(x_i-x_i\-1))^2)*\Delta||x \stopalign Nun benutzen wir den Mittelwertsatz der Differentialrechnung, den wir aus dem letzten Artikel kennen, um dies noch etwas weiter zu vereinfachen: Denn nach eben jenem Satz gibt es in jedem Teilintervall \II_i \(genauer gesagt im Intervall (x_i, x_i\-1)\) ein \xi_i mit: (f(x_i)-f(x_i\-1))/(x_i-x_i\-1)=f'(\xi_i) => s_i=sqrt(1+(f'(\xi_i))^2)*\Delta||x für ein \xi_i\el(x_i\-1, x_i) Es gilt nun klarerweise min(x\el\II_i,sqrt(1+(f'(x))^2)<=sqrt(1+(f'(\xi_i))^2)<=max(x\el\II_i,sqrt(1+(f'(x))^2) da \xi_i\el\II_i ist. Nun kann man i jede Zahl von 1 bis n annehmen lassen. Jedes mal ist diese Ungleichung erfüllt. Man erhält im Prinzip also n Ungleichungen und immer ist der linke Term der kleinste, der rechte Term der größte und der mittlere zwischen diesen beiden "gefangen". Wenn man also jede Ungleichung mit \Delta||x multipliziert und sie alle aufsummiert, ergibt sich links die n-te Untersumme und rechts die n-te Obersumme: sum(min(x\el\II_i,sqrt(1+(f'(x))^2))*\Delta||x,i=1,n)<=sum(s_i,i=1,n)<=sum(max(x\el\II_i,sqrt(1+(f'(x))^2))*\Delta||x,i=1,n) Oder kürzer mit S_n:=sum(s_i,i=1,n) etwas kürzer formuliert: U_n<=S_n<=O_n für alle n>=1 Nun bringen wir wieder ins Spiel, dass f'(x) eine stetige Funktion sein soll. Denn dadurch ist auch sqrt(1+(f'(x))^2) als Verkettung stetiger Funktion wieder stetig. Insbesondere ist diese Funktion integrierbar und es gilt: lim(n->\inf,O_n)=lim(n->\inf,U_n)=int(sqrt(1+(f'(x))^2),x,a,b) Nach dem Sandwich\-Lemma ist also: lim(n->\inf,S_n)=int(sqrt(1+(f'(x))^2),x,a,b) Und damit haben wir unser Ziel erreicht, denn wir wollten ja genau das zeigen, dass die durch S_n beschriebene Näherung der Bogenlänge gegen eben jenes Integral konvergiert. Als kleine Anmerkung sei vielleicht noch gesagt, dass man die Forderung, dass f'(x) stetig sein soll, abschwächen kann und stattdessen die Integrierbarkeit von f'(x) im Intervall [a;b] fordern kann. Das würde dasselbe Ergebnis liefern, aber mehr Beweisarbeit erfordern, da das Hantieren mit allgemeinen integrierbaren Funktion sehr viel umständlicher als mit stetigen Funktion ist, da man z.B. nicht mehr allgemein sagen kann, dass die Verkettung integrierbarer Funktionen wieder integrierbar ist. Ganz abgesehen davon sind nichtstetige Funktionen eher selten bis überhaupt nicht in der Schulmathematik von Belang. Das hier verwendete Prinzip kann man - sofern man die dazu notwendigen Mittel hat - verallgemeinern, um nicht nur Bogenlinien in der Ebene berechnen, so wie wir das getan haben, sondern auch in höher-dimensionalen Räumen. Die Bahn eines Flugzeugs z.B. ist eine Kurve im Raum, deren Länge wir mit der verallgemeinerten Formel berechnen könnten.

Infinitesimalrechnung in der Physik

Neben der innermathematischen Anwendung der Infinitesimalrechnung ist vor allem auch die Anwendung der hier vorgestellten Techniken in anderen Disziplinen wie der Physik zu betonen. In der Tat ist es so, dass viele physikalische Größen über Integrale und Ableitungen erst definiert werden.

Mechanik

Man kann die Geschwindigkeit eines Objekts als Änderungsrate des Weges interpretieren. Aus diesem Grund wird, sofern die Mittel dafür zur Verfügung stehen, die Geschwindigkeit als erste Ableitung des Weges nach der Zeit definiert: v(t):=s'(t) \small\ Anmerkung: Gerade in der Physik ist es üblich, die Ableitung nach der Zeit mit einem Punkt zu notieren. In dieser Notation wäre also v:=s^* Ganz ähnlich kann man die Beschleunigung als erste Ableitung der Geschwindigkeit interpretieren\/definieren: a(t):=v'(t)=s''(t) Umgekehrt kann man auch Geschwindigkeit und Weg aus Beschleunigung bzw. Geschwindigkeit erhalten: v(t)=int(a(\t),\t,t_0,t) s(t)=int(v(\t),\t,t_0,t) Auf diese Weise erhält man schnell und einfach wichtige Formeln und Zusammenhänge zwischen diesen drei Größen, die man sonst nur anschaulich erklären konnte. So wird unmittelbar klar, wieso der Schwinger einer Schwingung mit der Gleichung y(t)=y^^*sin(\omega*t+\phi_0) die Geschwindigkeit v(t)=y^^*\omega*cos(\omega*t+\phi_0) und die Beschleunigung a(t)=-y^^*\omega^2*sin(\omega*t+\phi_0) hat. Ebenso kann man problemlos die 3 Grundgleichungen für eine glm. beschleunigte Bewegung ermitteln: a(t)=a^^ \(konstant\) v(t)=int(a(\t),\t,t_0,t)=a^^*t+v_0 s(t)=int(v(\t),\t,t_0,t)=1/2*a^^*t^2+v_0*t+s_0 Andere Größen wie die Arbeit kann man ebenfalls über Integrale definieren: W=int(F(s),s,s_1,s_2) Wenn man F als konstante Kraft betrachtet, folgt daraus die früher bekannte Gleichung W=F*\Delta||s. In anderen Fällen, wie z.B. einer gespannten Feder, ist F(s)=D*s und somit W=1/2*D*s^2, was als Hooke'sches Gesetz bekannt sein sollte.

Elektrizitätslehre

In der E-Lehre treten ganz ähnlich an vielen Stellen Integrale und Ableitungen auf, wo in niedrigeren Klassenstufen nur die Spezialfälle notiert wurden. So kann man z.B. die Stromstärke I als Q^* oder andersherum Q(t) als int(I(\t),\t,t_0,t) definieren. Das Potential zwischen zwei Punkten s_1 und s_2 kann als int(E(s),s,s_1,s_2) definiert werden. In einer Spule mit N Windungen kann die Induktionsspannung mit U(t)=-N*\Phi||'(t) berechnet werden, wobei \Phi der magnetische Fluss ist. Auf diese und viele andere Weisen, tritt die Infinitesimalrechnung bei einer Unzahl von Größen und Gleichungen der Mechanik, der Elektrizitätslehre und anderen Gebieten der Physik auf. So lassen sich das Trägheitsmoment, der (Dreh)Impuls, die Leistung, die (magnetische und elektrische) Spannung und viele, viele mehr über Integrale und Ableitungen definieren, wodurch sich viele Formeln und Zusammenhänge ähnlich wie oben demonstriert als einfache Spezialfälle dieser Definitionen ergeben. Hat man etwas mehr Mathematik zur Verfügung, so kann man diese Größen auch im Raum mit Integralen definieren, statt wie jetzt allein im Eindimensionalen.

Abschluss

Ja, das war sie... die Ana[rchie]-Artikelreihe. Ich hoffe sie hat euch gefallen und euch vielleicht sogar ein wenig Wissen gebracht. Ich möchte nochmals allen Helfer(inne)n, Tippsgeber(inne)n und Testleser(inne)n danken, die diese Artikel mitzuverantworten haben , als da wären: Kiddycat, totedichterin, SchuBi, asterisque, Irrlicht, Wauzi, Kleine_Meerjungfrau, AimpliesB als Mitglieder der AG sowie Buri als Lieferant eines genialen Beweises. Vielen Dank euch. int(sqrt(m+(f'(g))^2),x,a,b)=Gockel

Die Ana[rchie]-Reihe

Teil I: Folgen Sie mir! Teil II: Der Blitzableiter Teil III: 90-60-90 und andere schöne Kurven Teil IV: Extremsport Teil V: Neues vom Integrationsbeauftragten Teil VI: Ich hab den Bogen raus!
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Ana[rchie] VI: Ich hab den Bogen raus! [von Gockel]  
Letzter Teil der Reihe, der sich mit Bogenlängen und Volumina von Rotationskörpern beschäftigt.
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"Mathematik: Ana[rchie] VI: Ich hab den Bogen raus!" | 4 Comments
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Re: Ana[rchie] VI: Ich hab den Bogen raus!
von: murmelbaerchen am: Mo. 02. Januar 2006 08:50:21
\(\begingroup\)Hallo Gockel, mein Glückwunsch zu einem weiteren Artikel in Deiner Reihe zur Analysis. Vieles ist mir zwar bekannt, jedoch lerne auch ich immer noch dazu durch die Form und den Blickwinkel, wie man mir Bekanntes präsentiert. Sehr gelungen finde ich den Exkurs in die Physik und deren Anwendungen. Auf ein artikelreiches Jahr 2006 😄 Viele Grüße Murmelbärchen P.S. Von welcher AG redest Du in Deinem Artikel?\(\endgroup\)
 

Re: Ana[rchie] VI: Ich hab den Bogen raus!
von: Gockel am: Mo. 02. Januar 2006 17:17:57
\(\begingroup\)Hi bärchen. Vielen Dank für das Lob. :) Ich sprach/schrieb von der (inzwischen nicht mehr existenten) stillen AG 'Ana für Schüler', die ich gegründet hatte, um die Ana[rchie]-Artikel und meine Testleser-Schar besser verwalten zu können. :) mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

Re: Ana[rchie] VI: Ich hab den Bogen raus!
von: weserus am: Mo. 02. Januar 2006 19:48:11
\(\begingroup\)Hallo Gockel, danke für diesen weiteren Artikel und die gute Aufarbeitung. Sehr gut finde ich die zusätzliche Darstellung des sog. "Sandwich-Lemma", weil oft danach gefragt und nun auch auf Deinen Artikel verwiesen werden kann. Wie Murmelbärchen finde auch ich den Exkurs auf die Anwendungen in der Physik gut. Grüsse Peter \(\endgroup\)
 

Re: Ana[rchie] VI: Ich hab den Bogen raus!
von: Ex_Mitglied_40174 am: Do. 01. Februar 2007 12:51:05
\(\begingroup\)Habe einen Fehler entdeckt: Bei Anwendungen für Physik hast du die Federspannarbeit als W=1/2 * D *s , was natürlich 1/2*D*s^2 heißen sollte! Aber sonst guter Artikel\(\endgroup\)
 

 
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