Stern Mathematik: Gruppen sind immer noch Top!
Released by matroid on So. 05. Februar 2006 09:44:30 [Statistics]
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Mathematik

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Gruppenzwang VII

Hallo Freunde der Gruppentheorie. Nachdem ich zuerst unschlüssig war, ob ich die Gruppenzwangreihe über die Themen von Algebra I hinaus fortsetzen sollte, habe ich mich nun entschlossen, weiterführende Themen der Gruppentheorie hier mit einzugliedern. Das heißt in diesem Artikel insbesondere1, das Thema der topologischen Gruppen aufzugreifen. Das heißt vor allem auch, dass es ab hier Gruppenzwänge geben wird, die nicht mehr von Grund auf alles aufbauen, sondern gewisse Voraussetzungen machen. Es werden Artikel sein, die ich vor allem zu meinem Vergnügen und für eine kleinere Gruppe Themeninteressierter schreibe. In diesem Artikel werde ich z.B. Grundkenntnisse in Topologie voraussetzen, d.h. ein Verständnis davon, was offene Mengen und Umgebungen sind, was stetige Abbildungen und Hausdorff'sche Räume sind etc. Zumindest die grundlegenden Definitionen und Sätze sollten also bekannt sein.
1 Ich mag dieses Wort... :)


 
Inhalt

1.) Allgemeines über topologische Gruppen 1.1.) Definitionen und Beispiele 1.2.) Elementares 1.3.) Nicht so Elementares, aber Schönes 1.4.) Trennungsschmerz 2.) Anwendung: PSU(2) ist einfach! 2.1.) U,SU,PSU 2.2.) Einschub: Die Quaternionen 2.3.) SU(2) 2.4.) Warum kompliziert, wenns auch einfach geht?

 
Allgemeines über topologische Gruppen

 
Definitionen und Beispiele

"Nanu? Topologie in einer Gruppentheorie-Reihe? Wieso dies?" höre ich euch fragen. Nun ganz einfach: Weil es so genannte "Topologische Gruppen" gibt, in deren Theorie ich euch hier einen Einblick geben möchte. Was ist nun ein topologische Gruppe? Eine Gruppe G wird \darkblue\ topologisch__\black genannt, wenn es auf G als Menge eine Topologie gibt, so dass die Abbildungen array(G\cross\ G,\textrightarrow,G,:,(g,h),opimg(\mapsto),gh;\ G,\textrightarrow,G,:,g,opimg(\mapsto),$g^(-1)) stetig sind \(wobei man G\cross\ G hier mit der Produkt-Topologie versieht\). Das heißt, dass die beiden Strukturen der Topologie und der Gruppe miteinander verträglich sein sollen. Die beiden Bedingungen zur Stetigkeit kann man auch leicht zu einer Bedingung zusammenfassen, analog zum Untergruppenkriterium: Die Stetigkeit der beiden Abbildungen ist äquivalent zur Stetigkeit von G\cross\ G->G: (x,y)\mapsto xy^(-1). Triviale Beispiele findet man schnell: Durch die diskrete Topologie wird jede Gruppe zu einer topologischen Gruppe, einer sogenannten array(\darkblue\ diskreten Gruppe)__\black||. Ebenso kann man mit der indiskreten Topologie jede Gruppe zu einer topologischen machen. Allerdings ist diese Option in der Praxis kaum von Belang. Hat man einen topologischen Raum X, so wird die Gruppe der Homöomorphismen X->X zu einer topologischen Gruppe, wenn man sie als Teilmenge von X^X auffasst und sie mit der Spurtopologie versieht. Weniger triviale Beispiel erhält man mit dem Körper \IK \(\IK sei entweder \IR oder \IC, es funktioniert für beide\) zu Hauf: Die Körper selbst bzw. ihre additiven und multiplikativen Gruppen sind topologisch bezüglich der Standard-Topologie auf ihnen. Die normierten Vektorräume über \IK sind topologische Gruppen bezüglich der von der Norm induzierten Topologie. Insbesondere sind alle \IK^n topologisch. Die linearen Gruppen über \IK, das heißt Untergruppen von GL_n(\IK), sind topologisch. Die von \IK^(n\cross\ n) induzierte Teilraumtopologie auf GL_n(\IK) ist dabei mit der Matrizenmultiplikation als Gruppenverknüpfung verträglich. Deren Faktorgruppen wie PGL, PSU, PSO und PSU sind ebenfalls topologische Gruppen. Ein anderes Beispiel wäre der Torus, topologisch gesehen also die Menge T=S^1\cross\ S^1. Mit S^1~=\IR\/\IZ wird dadurch auch eine Gruppenstruktur auf dem Torus induziert, der ihn zu einer topologischen Gruppe werden lässt. Ein weiteres Beispiel wird der interessierte Leser (irgendwie bezweifle ich, dass es mehr als Einer ist ) im bald erscheinenden Artikel über unendliche Galoistheorie finden, denn auch Galoisgruppen können mit einer nichttrivialen Topologie versehen werden.

 
Elementares

 
Homöomorphismen

\darkred\ Die Abbildungen g\mapsto\ ag, g\mapsto\ ga und g\mapsto\ aga^(-1) sind für alle Gruppenelemente a\el\ G Homöomorphismen G->G. \blue\ Beweis: Aus der Stetigkeit der beiden Abbildungen von oben folgt sofort, dass auch die Rechtsmultiplikation mit einem festen Element a\el\ G stetig ist, denn es ist die Verknüpfung zweier stetiger Abbildungen: array(\small\ ,g\mapsto(g,a),,(g,a)\mapsto\ ga;\ \normal\ G,\textrightarrow,G\cross\ G,\textrightarrow,G) Analog ist auch die Linksmultiplikation stetig. Ebenso ist die Konjugation mit a, d.h. die Abbildung g\mapsto\ aga^(-1) als Verkettung der Linksmultiplikation mit a und der Rechtsmultiplikation mit a^(-1) eine stetige Abbildung. Alle diese Abbildungen sind stetig, bijektiv und haben stetige Umkehrfunktionen, da diese auch Rechts- oder Linksmultiplikationen bzw. Konjugationen sind. Insbesondere sind dies alles offene, abgeschlossene und bijektive Abbildungen, was sie unglaublich nützlich macht. \blue\ q.e.d. Diese drei sind unter diversen anderen die wichtigsten stetigen Abbildungen G->G. Die Links- und Rechts-Multiplikation sind beispielsweise äußerst nützlich, da man viele Sätze nur für das neutrale Element beweisen kann und mit Hilfe der Homöomorphie-Eigenschaften von Links- und Rechtsmultiplikation folgern kann, dass diese Sätze (eventuell in leichter Abwandlung) auch für alle anderen Elemente der Gruppe gelten. Für je zwei Punkte x und y sehen - anschaulich gesprochen - die Umgebungen gleich aus, da man mit der Rechts- bzw. Linksmultiplikation eines entsprechenden Elements immer einen Homöomorphismus zwischen ihnen findet.

 
Untergruppen

Jede Untergruppe einer topologischen Gruppe ist \- sofern man sie mit der Unterraumtopologie versieht \- ebenfalls eine topologische Gruppe. \darkred\ Sei U<=G eine Untergruppe einer topologischen Gruppe G. Ist U offen, so auch abgeschlossen. Ist U abgeschlossen und hat endlichen Index, so ist U auch offen. \blue\ Beweis: Für jede Untergruppe U<=G gilt: G=union(gU,g\el\ G) => G\\U=union(gU,g\el\ G\\U) Da die Linksmultiplikationen homöomorph sind, ist gU genau dann offen \/ abgeschlossen, wenn U offen \/ abgeschlossen ist. Ist U also offen, so ist G\\U Vereinigung offener Mengen und daher ist U abgeschlossen. Ist U abgeschlossen und hat endlichen Index, so ist G\\U Vereinigung endlich vieler abgeschlossener Mengen und daher ist U offen. \blue\ q.e.d. \darkred\ Korollar 1: Ist G!={1} eine zusammenhängende, topologische Gruppe, so ist G die einzige offene Untergruppe von G. \blue\ Beweis: Ist U=\=Q\union\ QQ\union\ QQQ\union...||=union(Q^n,n\el\IN) eine offene Menge. Es folgt also, dass \=G ist. \blue\ q.e.d.

 
Faktorgruppen

Ist G eine topologische Gruppe mit Normalteiler N, so ist G\/N mit der Quotiententopologie ebenfalls eine topologische Gruppe. \darkred\ G\/N ist diskret <=> N ist offen \blue\ Beweis: \blue\ => Weil menge(1_G\/N) offen ist, ist N als dessen Urbild offen. \blue\ <== Ist N offen, so ist auch menge(1_G\/N) offen, also wegen der Stetigkeit der Linksmultiplikation auch jedes andere Element von G\/N. Insbesondere ist jede Teilmenge als Vereinigung einelementiger Teilmengen wiederum offen. \blue\ q.e.d.

 
Nicht so Elementares, aber Schönes

 
Wo war noch gleich der Zusammenhang?

\darkred\ Die Zusammenhangskomponente C_1\subseteq\ G des neutralen Elements einer topologischen Gruppe G ist ein abgeschlossener Normalteiler in G \blue\ Beweis: Es ist bekannt, dass gilt: A zusammenhängend und A\subseteq\ B\subseteq\ A^- => B zusammenhängend. Daher ist mit B:=A^- auch der Abschluss einer zusammenhängenden Menge zusammenhängend. Ist C_1 nun die Zusammenhangskomponente der 1, also die Vereinigung aller 1 enthaltenden zusammenhängenden Mengen, so ist (C_1)^- \subseteq\ C_1\subseteq\ (C_1)^-, also C_1 abgeschlossen. Außerdem bekannt ist, dass das Bild einer zusammenhängenden Menge unter jeder stetigen Abbildung zusammenhängend ist. Insbesondere ist deshalb: c\el\C_1 => C_1\.c^(-1) ist zusammenhängend und enthält 1 => C_1\.c^(-1)\subseteq\ C_1 => \forall\ c,c'\el\ C_1: c'c^(-1)\el\ C_1 => C_1<=G sowie: g\el\ G => gC_1\.g^(-1) ist zusammenhängend und enthält 1 => gC_1\.g^(-1)\subseteq\ C_1 => C_1<|G \blue\ q.e.d. Der Beweis zeigt noch mehr. In der Tat ist C_1 \(u.A.\) unter jedem stetigen Endomorphismus von G invariant. Gibt es z.B. nur stetige Automorphismen, dann ist C_1 eine charakteristische Untergruppe. Aufgrund der Homöomorphie der Rechts\- und Linksmultiplikation ist gC_1=C_1\.g die Zusammenhangskomponente von g. Man kann den Beweis auf die Wegzusammenhangskomponente beinahe eins zu eins übertragen. Auch dies ist ein Normalteiler von G, i.A. aber kein abgeschlossener. \darkred\ Korollar: C_1<=cut(U,array(U<=G;U offen)) \blue\ Beweis: Sei U<=G offen. Dann ist G=union(gU,gU\el\ G\/U,opimg(*)) eine Partition von G in offene Mengen. Da C_1 zusammenhängend ist, muss C_1 vollständig in einer dieser offenen Mengen liegen. Da 1\el\ C_1 ist, muss C_1\subseteq\ U sein. Da dies für alle offenen Untergruppen U funktioniert, muss C_1 in ihrem Durchschnitt enthalten sein. \blue\ q.e.d.

 
Der Abschluss, aber nicht das Ende

\darkred\ Für jede Untergruppe U<=G einer topologischen Gruppe G ist U^- eine Untergruppe mit \calN_G(U)<=\calN_G(U^-). Ist U also insbesondere ein Normalteiler, so auch U^-. \blue\ Beweis: Wir bezeichnen der Kürze halber mit f die Multiplikationsabbildung G\cross\ G->G: f(a,b)=ab^(-1). Offensichtlich ist U\cross\ U\subseteq\ f^(-1)(U^-). Da f stetig ist und U^- abgeschlossen ist, muss auch f^(-1)(U^-) abgeschlossen sein, also auch den Abschluss von U\cross\ U nämlich array(U\cross\ U)^-=U^-\cross\ U^- enthalten. Somit ist U^- eine Untergruppe. Sei nun g\el\calN_G(U). Dann ist U=gUg^(-1)\subseteq\ g||U^-\.g^(-1). Dies ist eine abgeschlossene Untergruppe, die U enthält. Es ist also U^-\subseteq\ g||U^-g^(-1) für alle g\el\calN_G(U). Daher ist \calN_G(U) in \calN_G(U^-) enthalten. \blue\ q.e.d. Analog zur Zusammenhangskomponente kann man auch zeigen, dass \bigop(\normal\ U,,,opimg(\circ)), das Innere von U, eine Untergruppe mit \bigop(\normal\ U,,,opimg(\circ))<=U<=\calN(U)<=\calN(\bigop(\normal\ U,,,opimg(\circ))) ist, sofern es denn nicht\-leer ist.

 
Trennungsschmerz

In der Topologie sind die so genannten
Trennungsaxiome und die Räume, die sie erfüllen, von besonderem Interesse. Wir wollen nun zeigen: \darkred\ Für eine topologische Gruppe G sind äquivalent: \darkred\ll(i)G ist T_0, d.h. die Mengen der Umgebungen zweier verschiedener Punkte sind verschieden. \darkred\ll(ii)menge(1) ist abgeschlossen \darkred\ll(iii)G ist T_1, d.h. alle menge(g) mit g\el\ G sind abgeschlossen \darkred\ll(iv)G ist T_2, d.h. je zwei verschiedene Punkte werden durch Umgebungen getrennt \blue\ Beweis: \blue\ \ref(i) => \ref(ii) T_0 bedeutet, dass es zu allen x,y\el\ G mit x!=y eine offene Menge O_xy gibt, so dass x\el\ O_xy\and\ y\notel\ O_xy oder x\notel\ O_xy\and\ y\el\O_xy gilt. Für G={1} ist {1} sowieso immer abgeschlossen. OBdA sei also abs(G)>1. Wir betrachten nun O_1x für ein beliebiges x\el\ G\\{1}. Ist x in O_1x, dann ist O_1x eine offene Umgebung von x, die in G\\{1} liegt. Ist nun 1\el\ O_1x, dann ist aufgrund der Homöomorphie der Linksmultiplikation x^(-1)\el\ x^(-1)\.O_1x\and\ 1=x^(-1)\.x\notel\ x^(-1)\.O_1x. Aufgrund der Homöomorphie der Inversion gilt analog: x\el\ (x^(-1)\.O_1x)^(-1) und 1^(-1)\notel\ (x^(-1)\.O_1x)^(-1). Insbesondere ist (x^(-1)\.O_1x)^(-1)=((O_1x))^(-1)\.x eine offene Umgebung von x, die in G\\{1} liegt. G\\{1} ist also offen, {1} also abgeschlossen. \blue\ \ref(ii) => \ref(iii) Da die Linksmultiplikation abgeschlossen ist, ist mit {1} auch jede andere einelementige Teilmenge von G abgeschlossen. \blue\ \ref(iii) => \ref(iv) Äquivalent zu T_2 ist, dass \D_G:=menge((g,g)\el\ G\cross\ G) in G\cross\ G abgeschlossen ist. Um das zu zeigen, betrachten wir wieder die stetige Abbildung G\cross\ G->G: (g,h)\mapsto\ gh^(-1). Die Diagonale \Delta_G ist das Urbild von {1} und damit abgeschlossen. Die Richtungen \ref(iii)=>\ref(i) und \ref(iv)=>\ref(iii) sind bekannt bzw. trivial. \blue\ q.e.d. Das hat u.A. die Konsequenz, dass Faktorgruppen topologischer Gruppen genau dann Hausdorff sind, wenn der herausfaktorisierte Normalteiler abgeschlossen ist. Ebenfalls folgt daraus, dass total unzusammenhängende topologische Gruppen (in denen die Zusammenhangskomponenten einelementige Mengen sind) bereits Hausdorff sind. Weiterhin gilt bemerkenswerterweise: \darkred\ Jede topologische Gruppe ist T_3, d.h. für alle abgeschlossenen Mengen A\subseteq\ G und alle a\notin\ A existieren offene, disjunkte U,V mit a\el\ U, A\subseteq\ V. \blue\ Beweis: Äquivalent zu dieser Formulierung ist, dass für alle g\el\ G und für jede Umgebung U von g ein offenes V existiert mit g\el\ V\subseteq\ V^-\subseteq\ U. Es reicht das Ganze für g=1 zu betrachten, sei also U eine Umgebung von 1, dann gibt es eine offene V_1, V_2 mit V_1*V_2\subseteq\ U, da die Multiplikation stetig ist. Wir setzen W:=V_1\cut\ V_2 und V=W\cut\ W^(-1). V ist damit eine offene Menge mit VV\subseteq\ U und V=V^(-1). Weiterhin ist V^-=V^-^(-1) und x||V^-=xV^-, da die Inversion und Linkstranslation Homöomorphismen sind. Sei nun x\el\ V^- beliebig. Da x^(-1)\el\ (V^-)^(-1)=V^- ist, ist 1\el\ x||V^-=(xV)^-, also ist 1 ein Berührpunkt von xV. => V\cut\ xV!=\0, da V eine offene Umgebung der 1 ist. Es gibt also v und v' mit v=xv' => x=vv'^(-1)\el\ V*V^(-1)=VV\subseteq\ U Also ist x\el\ U und damit V^-\subseteq\ U. \blue\ q.e.d.

 
Anwendung: PSU(2) ist einfach!

Wir wollen uns nun speziellen topologischen Gruppen zuwenden, nämlich den unitären Gruppen und als besonderen Höhepunkt des Artikels den Beweis führen, dass die Gruppe PSU(2) eine einfache Gruppe ist.

 
U, SU und PSU

D.h. wir betrachten im folgenden die Gruppen: U(n) := menge(A\el\ GL(n,\IC) | AA^H=1) SU(n) := menge(A\el\ U(n) | det(A)=1) PSU(n):= SU(n)\/(Z(GL(n,\IC))\cut\ SU(n)) \small\ Hierbei bezeichnet A^H die transponierte und komplex konjugierte Matrix von A, A^H:=A^-^T=array(A^T)^- Dies sind \- wie schon erwähnt \- topologische Gruppen, indem man sie mit der Teilraumtopologie von \IC^n^2 und der Matrizenmultiplikation versieht. Wir zeigen zuerst etwas Allgemeines, nämlich dass U(n) und SU(n) kompakt sind. Erster Schritt: U(n) und SU(n) sind abgeschlossen in \IC^n^2. Dazu betrachten wir die Abbildung A\mapsto\ AA^H, die offensichtlich stetig ist, da das Transponieren, das Konjugieren und das Multiplizieren stetig sind. U(n) ist das Urbild der abgeschlossenen Menge {1} unter dieser Abbildung, also insbesondere selbst abgeschlossen. Die Determinante ist eine stetige Abbildung \IC^n^2->\IC. \det^(-1)(1)=SL(n,\IC) ist also ebenfalls abgeschlossen. SU(n)=U(n)\cut\ SL(n,\IC) ist daher als Durchschnitt abgeschlossener Mengen abgeschlossen. Nun zeigen wir, dass U(n) beschränkt ist. Für jede Matrix V\el\ GL(n,\IC) mit den Zeilenvektoren v_1, ... v_n gilt: VV^H=matrix(norm(v_1)^2,\*,..,\*;\*,norm(v_2)^2,..,\*;:,:,._.,:;\*,\*,..,norm(v_n)^2) Für V\el\ U(n) gilt also nach Definition norm(v_1)=norm(v_1)=...||=norm(v_n)=1. Insbesondere ist für V=((a_ij)) \el\ U(n)\subseteq\IC^n^2 immer sum(abs(a_ij)^2,i\,j=1...n)=sum(sum(abs(a_ij)^2,j=1,n),i=1,n)=sum(norm(v_i)^2,i=1,n)=n. V hat also als Vektor aus \IC^n^2 die Vektornorm sqrt(n). U(n) ist also beschränkt und abgeschlossen, also kompakt. SU(n) ist als abgeschlossene Untergruppe von U(n) also ebenfalls kompakt. Es ist Z(GL(n,\IC))\cut\ SU(n)=menge(1,(-1)^(n-1)), wie man leicht nachrechnet. Insbesondere ist das eine kompakte, weil endliche, und abgeschlossene Menge. PSU(n) ist also als Faktorgruppe hausdorff und kompakt.

 
Einschub: Die Quaternionen

Wir werden im Folgenden intensiven Gebrauch vom Schiefkörper der Quaternionen und seinen Eigenschaften machen. Ohne Beweis möchte ich dehalb noch mal das Wesentlichste zusammenfassen: \IH kann auf verschiedene Weisen definiert werden. Unter Anderem als: \ll(1)Unterring menge(matrix(z,w;-w^-,z^-)\el\IC^array(2\cross\ 2)) \ll(2)\IR^4 mit komponentenweise Addition und komplizierter Multiplikation, die ich nicht aufschreibe, weil ich zu faul dafür bin und wirs eh nicht brauchen. \ll(3)\IR^(1+3), d.h. \IR\oplus\IR^3 mit komponentenweiser Addition und Multiplikation wie folgt: (s_1, v_1)(s_2, v_2)=(s_1\.s_2 - \, s_1\.v_2+s_2\.v_1+v_1\cross\v_2) wobei \<.,.\> das Standardskalarprodukt auf dem \IR^3 und opimg(\cross) das Kreuzprodukt meint. Das konjugierte Quaternion entspricht: \ll(1)der konjugiert und transponierten Matrix matrix(z,w;-w^-,z^-)^H=matrix(z^-,-w;w^-,z) \ll(2)dem Bild des Vektors unter \small\ matrix(1,,,;,-1,,;,,-1,;,,,-1) \ll(3)(s,v)^-=(s,-v) Die Konjugation ist ein \IC\-semilineare und eine \IR\-lineare Abbildung sowie ein Ring\-Antiautomorphismus, d.h. x^-*y^-=yx^-. Die Norm eines Quaternions norm(h):=sqrt(h\.h^-) entspricht: \ll(1)Der Quadratwurzel aus der Determinante der Matrix \(welche hier immer reell und nichtnegativ ist\) \ll(2)Der euklidischen Norm des \IR^4 \ll(3)norm((s,v))=sqrt(s^2+norm(v)^2), wobei norm(opimg(*)) die euklidische Norm des \IR^3 ist Die Norm ist multiplikativ. \IH wird durch diese Norm mit einer Metrik und einer Topologie versehen. (\IH,+) und (\IH^x, *) werden offensichtlich durch diese Topologie zu topologischen Gruppen. Auf diese Topologie werden wir uns beziehen. Das Inverse eines Quaternions lässt sich durch h^(-1)=h^-/norm(h)^2 berechnen. Für Einheitsquaternionen sind insbesondere h^(-1) und h^- identisch. Alle drei Definitionen sind kanonisch isomorph als Ringe, als \IR\-Vektorräume, als normierte, metrische und topologische Räume sowie in diversen anderen Kategorien. Die natürlichen Identifizierungen sind gegeben durch: matrix(u,v;-u^-,v^-)\mapsto\ (Re(u);Im(u);Re(v);Im(v))\mapsto(Re(u),(Im(u);Re(v);Im(v))) Wir werden immer zwischen diesen drei Darstellungen von \IH wechseln, wie es gerade am Besten passt.

 
SU(2)

Die Gruppe SU(2) hat nun noch weitere schöne Eigenschaften, die wir nun untersuchen wollen. Zum einen ist SU(2) zur Gruppe der Einheitsquaternionen menge(h\el\IH | norm(h)=1) isomorph \(als topologische Gruppe\). Durch AA^H=1 und det(A)=1 für alle A\el\ SU(2) kann man sich schnell davon überzeugen, dass SU(2) genau aus den Matrizen der Form matrix(u,v;-v^-,u^-) mit u\.u^-+v\.v^-=1 besteht. Mit Definition \ref(1) erkennt man SU(2) dann sofort als Teilmenge von \IH. Insbesondere ist die Einbettung SU(2)\hookrightarrow\IH stetig und hat als Bild genau die Einheitsquaternionen. Fasst man \IH als \IR^4 auf, so ergibt sich daraus, dass die 3\-Sphäre S^3=menge(v\el\IR^4 | norm(v)=1) mit SU(2) identifiziert werden kann und so eine kanonische Struktur als topologische Gruppe erhält. Dies ist daher bemerkenswert, da außer S^1~=\IR\/\IZ und S^0~=\IZ_2 nur noch S^3 mit einer mit der Topologie verträglichen Gruppenstruktur versehen werden kann \(was zu zeigen, das Format dieses Artikel deutlich sprengen würde und für uns auch erstmal nebensächlich ist\). Man könnte über diese Homöomorphie von SU(2) und S^3 auch direkt folgern, dass SU(2) kompakt ist, auch wenn wir das schon wissen. Als besonderes Schmankerl erhalten wir aber, dass SU(2) wegzusammenhängend ist, was wir später noch verwenden werden. Durch die Eigenschaften von \IH könnten wir auch das Zentrum von SU(2) sehr einfach bestimmen, wenn wir es nicht schon kennen würden. Denn ein Element im Zentrum von SU(2) liegt auch im Zentrum von \IH, welches wiederum mit dem Teilkörper \IR übereinstimmt. Dazu machen wir uns klar, dass man jedes Quaternion q!=0 als norm(q)*(q/norm(q)) schreiben kann, d.h. als Produkt aus reeller Zahl und einem Element aus SU(2). Liegt x nun im Zentrum von SU(2), so gilt x*q=x*norm(q)*(q/norm(q))=norm(q)*x*(q/norm(q))=norm(q)*(q/norm(q))*x=q*x. Das heißt also: Z(SU(2))=\IR\cut\ SU(2)={+-1}.

 
Warum kompliziert, wenns auch einfach geht?

Nun wollen wir all unser geballtes Wissen darauf konzentrieren, zu zeigen, dass PSU(2) eine einfache Gruppe ist. \darkred\ Lemma 1: A,B\el\ SU(2) sind genau dann konjugiert, wenn spur(A)=spur(B). \blue\ Beweis: Sind A und B konjugiert, so ist die Spur bekanntermaßen identisch. Betrachten wir also den Fall, dass A und B diesselbe Spur haben. Wir halten zuerst fest, dass spur(u,v;-v^-,u^-)=u+u^-=2*Re(u) ist. Stellt man A und B als Einheitsquaternionen dar, so haben sie die Form A=(s,v_A) bzw. B=(s,v_B), ihr skalarer Anteil ist also identisch. s entspricht in dieser Darstellung 1/2*spur(A)=1/2*spur(B). Zuerst schließen wir den Fall s=+-1 aus. Man kann leicht nachrechnen, dass s=1 mit A=1 sowie s=-1 mit A=-1 äquivalent ist, da A normiert ist. Haben also A und B beide die Spur +2 bzw -2 so sind sie beide identisch 1 bzw. -1. Diese Matrizen bilden daher einelementige Konjugiertenklassen. Wir betrachten nun den Spezialfall s=0. Eine aufwändige und langweilige Rechnung zeigt, dass qAq^(-1)=B gilt, wenn man q:=(sqrt(1/2*(1+\)), sqrt(1/2*(1-\))*(v_A\cross\ v_B)/norm(v_A\cross\ v_B)) setzt. Dazu braucht man, dass v_A und v_B normiert sind sowie drei Formeln aus der Vektorgeometrie, nämlich x^>\cross(y^>\cross\ z^>)=\<\.x^>, z^>\.\>*y^>-\<\.x^>, y^>\.\>*z^>, abs(x^>\cross\ y^>)=abs(x^>)*abs(y^>)*sin\sphericalangle(x^>, y^>) und \<\.x^>, y^>\.\>=abs(x^>)*abs(y^>)*cos\sphericalangle(x^>, y^>). Alternativ gehts natürlich auch, indem man \IH als \IR^4 auffasst und die monströsen Formeln für die 4-Koordinaten-Multiplikation benutzt, aber naja... das muss ja nicht sein. Deutlich leichter ist da der Nachweis, dass q wirklich ein Einheitsquaternion ist, also in SU(2) liegt. Das ist schlichtes Nachrechnen. Da die Abbildung A\mapsto\ qAq^(-1) für alle invertierbaren Quaternionen q ein Ringautomorphismus ist, können wir den Fall s=0 auf alle s\el\ intervalloo(-1,1) verallgemeinern, denn wir können A=(s,v_A)=(s,0)+(sqrt(1-s^2), 0)(0,v_A/sqrt(1-s^2)) schreiben und mit einem passenden q dann B erhalten. Dazu müssen wir nur beachten, dass die reellen Zahlen das Zentrum der Quaternionen bilden und daher von dieser Abbildung elementweise festgelassen werden: qAq^(-1)=q(s,0)q^(-1)+q(sqrt(1-s^2),0)q^(-1)*q(0,v_A/sqrt(1-s^2))q^(-1) =(s,0)+(sqrt(1-s^2),0)(0,v_B/sqrt(1-s^2)) =(s,v_B)=B Damit ist gezeigt, dass je zwei Matrizen aus SU(2) konjugiert sind, wenn sie diesselbe Spur haben. \blue\ q.e.d. \darkred\ Lemma 2: Die Konjugiertenklassen in SU(2) sind wegzusammenhängend. \blue\ Beweis: Die beiden Klassen {+1} und {-1} lassen wir mal außen vor, da es bei diesen beiden trivial ist. Identifizieren wir SU(2) mit S^3, so sind die Konjugiertenklassen, die "Breitengrade", d.h. die Schnittmengen von S^3 mit den Hyperebenen x=s, wobei s\el\ intervalloo(-1,1). Explizit sind das also die Mengen: K_s = menge((x;y;z;w)\el\IR^4 | x=s, x^2+y^2+z^2+w^2=1) Durch (x;y;z;w)\mapsto\ (y/sqrt(1-s^2);z/sqrt(1-s^2);w/sqrt(1-s^2)) erhalten wir einen Homöomorphismus K_s->S^2, wie man leicht nachrechnet. Weil S^2 wegzusammenhängend ist, ist es auch K_s. \blue\ q.e.d. Diese beiden Aussagen zur Klassifikation der Konjugiertenklassen verwenden wir nun, um folgendes zu zeigen: \darkred\ Die Gruppe PSU(2) ist einfach. \blue\ Beweis Dazu zeigen wir, dass SU(2) außer seinem Zentrum {+-1} keine nichttrivialen Normalteiler besitzt. Nehmen wir uns einen Normalteiler mit N!={+-1} und N!={+1}. Dieser würde dann mindestens eine Konjugiertenklasse K_s beinhalten, die weder {+1} noch {-1} ist. Wir nehmen uns zwei Elemente P!=Q \el\ K_s sowie einen verbindenden Weg \phi: intervall(0,1)->K_s: \phi(0)=P, \phi(1)=Q. Durch Linksmultiplikation erhalten wir den Weg \phi2=P^(-1)\.\phi. Dieser liegt vollständig in N und verbindet 1 und P^(-1)\.Q. Indem wir \psi=spur\circ\phi2 setzen, erhalten wir eine stetige Abbildung intervall(0,1)->\IR mit \psi(0)=2 und \psi(1)!=2. Aus dem Zwischenwertsatz folgt, dass \psi also auch alle Werte zwischen 2 und \psi(1) annimmt. Das heißt insbesondere, dass einige Matrizen auf dem Weg \phi2 diese Spuren haben. Wir wissen, dass die Spur eine Invariante der Konjugationsklasse ist. Also enthält N mit einer Matrix bereits alle Matrizen mit derselben Spur. Insbesondere enthält N also alle Matrizen deren Spur in intervall(\psi(1),2) liegt. Der Abstand von der Einheitsmatrix zu einer Matrix der Spur s ist, wie man leicht nachrechnet, sqrt(2-s). Umgekehrt ist durch den Abstand zur Einheitsmatrix die Spur festgelegt. Das heißt für uns, dass N alle Matrizen enthält, deren Abstand von der Einheitsmatrix zwischen 0 und sqrt(2-\psi(1)) liegt. Wegen \psi(1)!=2, enthält N also die offene Kugel um 1 mit dem Radius sqrt(2-\psi(1)). Wir wissen aus den allgemeineren Betrachtungen, dass eine offene Menge bereits die gesamte Gruppe erzeugt. Also ist N=SU(2). Daraus schließen wir, dass SU(2) nur die drei Normalteiler {1}, {+-1} und SU(2) besitzt. Das wiederum heißt, dass die Faktorgruppe PSU(2)=SU(2)\/{+-1} einfach ist. \blue\ q.e.d.

 
Wissenswertes

1. PSU(2) ist zur dreidimensionalen Drehgruppe SO(3,IR) isomorph. Das erkennt man, indem man SU(2) auf der Konjugationsklasse der Matrizen mit Spur 0 operieren lässt (natürlich durch Konjugation, was eine lineare Abbildung, genauer gesagt eine Drehung, definiert). Das artet ein bisschen in Rechnerei aus, ist aber interessant. :) Wir haben also auch den Beweis erbracht, dass SO(3,IR) einfach ist. Dies ist Standardbeispiel für unendliche einfache Gruppen. 2. PSU(n) ist nicht nur für n=2 eine einfache Gruppe, auch wenn man für den allgemeinen Beweis sehr viel mehr Handwerkszeug benötigt. 3. Man kann unitäre Gruppen auch über endlichen Körpern definieren, sofern deren Ordnung eine Quadratzahl ist. Diese endlichen Gruppen notiert man dann meist mit PSU(n,q) oder PSU(n,q2). Bis auf drei Ausnahmen (PSU(2,2), PSU(2,3) und PSU(3,2)) sind diese Gruppen ebenfalls einfach.

 
Abschluss

Ich hoffe, dass ich euch einen guten und interessanten Einblick in die Theorie der topologischen Gruppen geben konnte. In meinem Artikel über unendliche Galoistheorie werdet ihr, wenn ihr möchtet, auf eine weitere Anwendung der Theorie stoßen. mfg\/{+-Gockel}.

 
Die Gruppenzwang-Reihe

Teil 1: Wir rechnen mit allem Teil 2: Anonyme Mathematiker bieten Gruppentherapie an Teil 3: Sensation: Homo Morphismus ist ein Gruppentier Teil 4: Gruppencamper brauchen Iso(morphie)matten Teil 5: Dr.Cauchy und Dr.Sylow bitte zur GruppenOP Teil 6: Randale: Gruppendemo musste aufgelöst werden Teil 7: Gruppen sind immer noch top! Teil 8: Konvois auf der A20: Autos nur noch in Gruppen unterwegs Teil 9: Unfall im Genlabor: (Per)mutationen in der Bevölkerung Teil 10: Jäger der verlorenen Gruppe - Special Xtended Version Teil 11: Der Gruppentheorie-Adventskranz Teil 12: Wegen guter Führung entlassen: Gruppen sind frei Teil 13: Amnestie: Auch Untergruppen frei
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: Gruppentheorie :: Interessierte Studenten :: Komplexe Zahlen :: Matrizen :: Topologie :: Reine Mathematik :
Gruppenzwang VII: Gruppen sind immer noch Top! [von Gockel]  
Dieser Teil der Serie behandelt topologische Gruppen und ihre Eigenschaften. Im zweiten Teil werden unitäre Gruppen untersucht und bewiesen, dass PSU(2) eine einfache Gruppe ist
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"Stern Mathematik: Gruppen sind immer noch Top!" | 4 Comments
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Re: Gruppen sind immer noch Top!
von: Ex_Mitglied_40174 am: So. 05. Februar 2006 20:17:31
\(\begingroup\)wollte nur sagen, dass ich das Wort "insbesondere" auch ganz toll finde :)\(\endgroup\)
 

Re: Gruppen sind immer noch Top!
von: Martin_Infinite am: Mo. 06. Februar 2006 10:59:24
\(\begingroup\)Hi Gockel, interessanter Artikel! :) Vor allem das Finale, indem du die Einfachheit von PSU(2), eine rein algebraische Aussage, mit topologischen Mitteln beweist. Gruß Martin\(\endgroup\)
 

Re: Gruppen sind immer noch Top!
von: Gockel am: Di. 21. Februar 2006 16:22:32
\(\begingroup\)Hallo nochmal. Ich wollte noch sagen, dass der Beweis für den im Artikel erwähnten Isomorphismus SU(2)\/{+-1}~=SO(3) jetzt in meinem Notizbuch zu finden ist. Man kann ihn, wenn man will, sogar mit ein bisschen Topologie ausstatten, um zu beweisen, dass das Bild einer Matrix aus SU(2) wirklich die Determinante 1 hat. Anstatt also die Orientierungserhaltung über das Kreuzprodukt zu beweisen, wie es im obigen Beweis geschieht, kann man auch die stetige Abbildung Det\circ\phi: SU(2)->\IR betrachten. \small\(\phi ist der Homomorphismus q\mapsto(x\mapsto\ qxq^(-1)), der im Link definiert wurde, dass dieser stetig ist, ist zwar anschaulich, aber nicht so einfach zu zeigen.\) Das Bild dieser Abbildung ist in {1,-1}, da \phi nach O(3) abbildet. Angenommen, es gäbe ein q mit (Det\circ\phi)(q)=-1. Weil SU(2) wegzusammenhängend ist, gäbe es dann einen Weg von 1 nach q. Zusammen mit \phi und der Determinanten ergäbe das einen Weg innerhalb von {1,-1}, der 1 und -1 verbindet, was offensichtlich nicht möglich ist, da {1,-1} unzusammenhängend ist. Also muss die Determinante von allen \phi(q) gleich 1 sein. mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

Re: Gruppen sind immer noch Top!
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mi. 04. Juni 2008 11:25:34
\(\begingroup\)gut\(\endgroup\)
 

 
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