Hallo Freunde der Gruppentheorie.
Nachdem ich zuerst unschlüssig war, ob ich die Gruppenzwangreihe über die Themen von Algebra I hinaus fortsetzen sollte, habe ich mich nun entschlossen, weiterführende Themen der Gruppentheorie hier mit einzugliedern.
Das heißt in diesem Artikel insbesondere1, das Thema der topologischen Gruppen aufzugreifen.
Das heißt vor allem auch, dass es ab hier Gruppenzwänge geben wird, die nicht mehr von Grund auf alles aufbauen, sondern gewisse Voraussetzungen machen. Es werden Artikel sein, die ich vor allem zu meinem Vergnügen und für eine kleinere Gruppe Themeninteressierter schreibe.
In diesem Artikel werde ich z.B. Grundkenntnisse in Topologie voraussetzen, d.h. ein Verständnis davon, was offene Mengen und Umgebungen sind, was stetige Abbildungen und Hausdorff'sche Räume sind etc. Zumindest die grundlegenden Definitionen und Sätze sollten also bekannt sein.
"Nanu? Topologie in einer Gruppentheorie-Reihe? Wieso dies?" höre ich euch fragen. Nun ganz einfach: Weil es so genannte "Topologische Gruppen" gibt, in deren Theorie ich euch hier einen Einblick geben möchte.
Was ist nun ein topologische Gruppe?
Eine Gruppe G wird \darkblue\ topologisch__\black genannt, wenn es auf G als Menge eine Topologie gibt, so dass die Abbildungen
array(G\cross\ G,\textrightarrow,G,:,(g,h),opimg(\mapsto),gh;\
G,\textrightarrow,G,:,g,opimg(\mapsto),$g^(-1))
stetig sind \(wobei man G\cross\ G hier mit der Produkt-Topologie versieht\). Das heißt, dass die beiden Strukturen der Topologie und der Gruppe miteinander verträglich sein sollen.
Die beiden Bedingungen zur Stetigkeit kann man auch leicht zu einer Bedingung zusammenfassen, analog zum Untergruppenkriterium:
Die Stetigkeit der beiden Abbildungen ist äquivalent zur Stetigkeit von G\cross\ G->G: (x,y)\mapsto xy^(-1).
Triviale Beispiele findet man schnell: Durch die diskrete Topologie wird jede Gruppe zu einer topologischen Gruppe, einer sogenannten array(\darkblue\ diskreten Gruppe)__\black||. Ebenso kann man mit der indiskreten Topologie jede Gruppe zu einer topologischen machen. Allerdings ist diese Option in der Praxis kaum von Belang.
Hat man einen topologischen Raum X, so wird die Gruppe der Homöomorphismen X->X zu einer topologischen Gruppe, wenn man sie als Teilmenge von X^X auffasst und sie mit der Spurtopologie versieht.
Weniger triviale Beispiel erhält man mit dem Körper \IK \(\IK sei entweder \IR oder \IC, es funktioniert für beide\) zu Hauf:
Die Körper selbst bzw. ihre additiven und multiplikativen Gruppen sind topologisch bezüglich der Standard-Topologie auf ihnen.
Die normierten Vektorräume über \IK sind topologische Gruppen bezüglich der von der Norm induzierten Topologie. Insbesondere sind alle \IK^n topologisch.
Die linearen Gruppen über \IK, das heißt Untergruppen von GL_n(\IK), sind topologisch. Die von \IK^(n\cross\ n) induzierte Teilraumtopologie auf GL_n(\IK) ist dabei mit der Matrizenmultiplikation als Gruppenverknüpfung verträglich. Deren Faktorgruppen wie PGL, PSU, PSO und PSU sind ebenfalls topologische Gruppen.
Ein anderes Beispiel wäre der Torus, topologisch gesehen also die Menge T=S^1\cross\ S^1. Mit S^1~=\IR\/\IZ wird dadurch auch eine Gruppenstruktur auf dem Torus induziert, der ihn zu einer topologischen Gruppe werden lässt.
Ein weiteres Beispiel wird der interessierte Leser (irgendwie bezweifle ich, dass es mehr als Einer ist ) im bald erscheinenden Artikel über unendliche Galoistheorie finden, denn auch Galoisgruppen können mit einer nichttrivialen Topologie versehen werden.
\darkred\ Die Abbildungen g\mapsto\ ag, g\mapsto\ ga und g\mapsto\ aga^(-1) sind für alle Gruppenelemente a\el\ G Homöomorphismen G->G.
\blue\ Beweis:
Aus der Stetigkeit der beiden Abbildungen von oben folgt sofort, dass auch die Rechtsmultiplikation mit einem festen Element a\el\ G stetig ist, denn es ist die Verknüpfung zweier stetiger Abbildungen:
array(\small\ ,g\mapsto(g,a),,(g,a)\mapsto\ ga;\
\normal\ G,\textrightarrow,G\cross\ G,\textrightarrow,G)
Analog ist auch die Linksmultiplikation stetig.
Ebenso ist die Konjugation mit a, d.h. die Abbildung g\mapsto\ aga^(-1) als Verkettung der Linksmultiplikation mit a und der Rechtsmultiplikation mit a^(-1) eine stetige Abbildung.
Alle diese Abbildungen sind stetig, bijektiv und haben stetige Umkehrfunktionen, da diese auch Rechts- oder Linksmultiplikationen bzw. Konjugationen sind.
Insbesondere sind dies alles offene, abgeschlossene und bijektive Abbildungen, was sie unglaublich nützlich macht.
\blue\ q.e.d.
Diese drei sind unter diversen anderen die wichtigsten stetigen Abbildungen G->G. Die Links- und Rechts-Multiplikation sind beispielsweise äußerst nützlich, da man viele Sätze nur für das neutrale Element beweisen kann und mit Hilfe der Homöomorphie-Eigenschaften von Links- und Rechtsmultiplikation folgern kann, dass diese Sätze (eventuell in leichter Abwandlung) auch für alle anderen Elemente der Gruppe gelten.
Für je zwei Punkte x und y sehen - anschaulich gesprochen - die Umgebungen gleich aus, da man mit der Rechts- bzw. Linksmultiplikation eines entsprechenden Elements immer einen Homöomorphismus zwischen ihnen findet.
Untergruppen
Jede Untergruppe einer topologischen Gruppe ist \- sofern man sie mit der Unterraumtopologie versieht \- ebenfalls eine topologische Gruppe.
\darkred\ Sei U<=G eine Untergruppe einer topologischen Gruppe G. Ist U offen, so auch abgeschlossen. Ist U abgeschlossen und hat endlichen Index, so ist U auch offen.
\blue\ Beweis:
Für jede Untergruppe U<=G gilt:
G=union(gU,g\el\ G)
=> G\\U=union(gU,g\el\ G\\U)
Da die Linksmultiplikationen homöomorph sind, ist gU genau dann offen \/ abgeschlossen, wenn U offen \/ abgeschlossen ist.
Ist U also offen, so ist G\\U Vereinigung offener Mengen und daher ist U abgeschlossen.
Ist U abgeschlossen und hat endlichen Index, so ist G\\U Vereinigung endlich vieler abgeschlossener Mengen und daher ist U offen.
\blue\ q.e.d.
\darkred\ Korollar 1: Ist G!={1} eine zusammenhängende, topologische Gruppe, so ist G die einzige offene Untergruppe von G.
\blue\ Beweis:
Ist U=\=Q\union\ QQ\union\ QQQ\union...||=union(Q^n,n\el\IN) eine offene Menge. Es folgt also, dass \=G ist.
\blue\ q.e.d.
Faktorgruppen
Ist G eine topologische Gruppe mit Normalteiler N, so ist G\/N mit der Quotiententopologie ebenfalls eine topologische Gruppe.
\darkred\ G\/N ist diskret <=> N ist offen
\blue\ Beweis:
\blue\ =>
Weil menge(1_G\/N) offen ist, ist N als dessen Urbild offen.
\blue\ <==
Ist N offen, so ist auch menge(1_G\/N) offen, also wegen der Stetigkeit der Linksmultiplikation auch jedes andere Element von G\/N. Insbesondere ist jede Teilmenge als Vereinigung einelementiger Teilmengen wiederum offen.
\blue\ q.e.d.
\darkred\ Die Zusammenhangskomponente C_1\subseteq\ G des neutralen Elements einer topologischen Gruppe G ist ein abgeschlossener Normalteiler in G
\blue\ Beweis:
Es ist bekannt, dass gilt:
A zusammenhängend und A\subseteq\ B\subseteq\ A^- => B zusammenhängend.
Daher ist mit B:=A^- auch der Abschluss einer zusammenhängenden Menge zusammenhängend.
Ist C_1 nun die Zusammenhangskomponente der 1, also die Vereinigung aller 1 enthaltenden zusammenhängenden Mengen, so ist (C_1)^- \subseteq\ C_1\subseteq\ (C_1)^-, also C_1 abgeschlossen.
Außerdem bekannt ist, dass das Bild einer zusammenhängenden Menge unter jeder stetigen Abbildung zusammenhängend ist.
Insbesondere ist deshalb:
c\el\C_1 => C_1\.c^(-1) ist zusammenhängend und enthält 1
=> C_1\.c^(-1)\subseteq\ C_1
=> \forall\ c,c'\el\ C_1: c'c^(-1)\el\ C_1
=> C_1<=G
sowie:
g\el\ G => gC_1\.g^(-1) ist zusammenhängend und enthält 1
=> gC_1\.g^(-1)\subseteq\ C_1
=> C_1<|G
\blue\ q.e.d.
Der Beweis zeigt noch mehr. In der Tat ist C_1 \(u.A.\) unter jedem stetigen Endomorphismus von G invariant. Gibt es z.B. nur stetige Automorphismen, dann ist C_1 eine charakteristische Untergruppe.
Aufgrund der Homöomorphie der Rechts\- und Linksmultiplikation ist gC_1=C_1\.g die Zusammenhangskomponente von g.
Man kann den Beweis auf die Wegzusammenhangskomponente beinahe eins zu eins übertragen. Auch dies ist ein Normalteiler von G, i.A. aber kein abgeschlossener.
\darkred\ Korollar: C_1<=cut(U,array(U<=G;U offen))
\blue\ Beweis:
Sei U<=G offen. Dann ist G=union(gU,gU\el\ G\/U,opimg(*)) eine Partition von G in offene Mengen.
Da C_1 zusammenhängend ist, muss C_1 vollständig in einer dieser offenen Mengen liegen. Da 1\el\ C_1 ist, muss C_1\subseteq\ U sein.
Da dies für alle offenen Untergruppen U funktioniert, muss C_1 in ihrem Durchschnitt enthalten sein.
\blue\ q.e.d.
Der Abschluss, aber nicht das Ende
\darkred\ Für jede Untergruppe U<=G einer topologischen Gruppe G ist U^- eine Untergruppe mit \calN_G(U)<=\calN_G(U^-). Ist U also insbesondere ein Normalteiler, so auch U^-.
\blue\ Beweis:
Wir bezeichnen der Kürze halber mit f die Multiplikationsabbildung G\cross\ G->G: f(a,b)=ab^(-1).
Offensichtlich ist U\cross\ U\subseteq\ f^(-1)(U^-). Da f stetig ist und U^- abgeschlossen ist, muss auch f^(-1)(U^-) abgeschlossen sein, also auch den Abschluss von U\cross\ U nämlich array(U\cross\ U)^-=U^-\cross\ U^- enthalten. Somit ist U^- eine Untergruppe.
Sei nun g\el\calN_G(U). Dann ist U=gUg^(-1)\subseteq\ g||U^-\.g^(-1). Dies ist eine abgeschlossene Untergruppe, die U enthält. Es ist also U^-\subseteq\ g||U^-g^(-1) für alle g\el\calN_G(U). Daher ist \calN_G(U) in \calN_G(U^-) enthalten.
\blue\ q.e.d.
Analog zur Zusammenhangskomponente kann man auch zeigen, dass \bigop(\normal\ U,,,opimg(\circ)), das Innere von U, eine Untergruppe mit \bigop(\normal\ U,,,opimg(\circ))<=U<=\calN(U)<=\calN(\bigop(\normal\ U,,,opimg(\circ))) ist, sofern es denn nicht\-leer ist.
In der Topologie sind die so genannten Trennungsaxiome und die Räume, die sie erfüllen, von besonderem Interesse.
Wir wollen nun zeigen:
\darkred\ Für eine topologische Gruppe G sind äquivalent:
\darkred\ll(i)G ist T_0, d.h. die Mengen der Umgebungen zweier verschiedener Punkte sind verschieden.
\darkred\ll(ii)menge(1) ist abgeschlossen
\darkred\ll(iii)G ist T_1, d.h. alle menge(g) mit g\el\ G sind abgeschlossen
\darkred\ll(iv)G ist T_2, d.h. je zwei verschiedene Punkte werden durch Umgebungen getrennt
\blue\ Beweis:
\blue\ \ref(i) => \ref(ii)
T_0 bedeutet, dass es zu allen x,y\el\ G mit x!=y eine offene Menge O_xy gibt, so dass x\el\ O_xy\and\ y\notel\ O_xy oder x\notel\ O_xy\and\ y\el\O_xy gilt.
Für G={1} ist {1} sowieso immer abgeschlossen. OBdA sei also abs(G)>1.
Wir betrachten nun O_1x für ein beliebiges x\el\ G\\{1}. Ist x in O_1x, dann ist O_1x eine offene Umgebung von x, die in G\\{1} liegt.
Ist nun 1\el\ O_1x, dann ist aufgrund der Homöomorphie der Linksmultiplikation x^(-1)\el\ x^(-1)\.O_1x\and\ 1=x^(-1)\.x\notel\ x^(-1)\.O_1x.
Aufgrund der Homöomorphie der Inversion gilt analog: x\el\ (x^(-1)\.O_1x)^(-1) und 1^(-1)\notel\ (x^(-1)\.O_1x)^(-1).
Insbesondere ist (x^(-1)\.O_1x)^(-1)=((O_1x))^(-1)\.x eine offene Umgebung von x, die in G\\{1} liegt.
G\\{1} ist also offen, {1} also abgeschlossen.
\blue\ \ref(ii) => \ref(iii)
Da die Linksmultiplikation abgeschlossen ist, ist mit {1} auch jede andere einelementige Teilmenge von G abgeschlossen.
\blue\ \ref(iii) => \ref(iv)
Äquivalent zu T_2 ist, dass \D_G:=menge((g,g)\el\ G\cross\ G) in G\cross\ G abgeschlossen ist.
Um das zu zeigen, betrachten wir wieder die stetige Abbildung G\cross\ G->G: (g,h)\mapsto\ gh^(-1). Die Diagonale \Delta_G ist das Urbild von {1} und damit abgeschlossen.
Die Richtungen \ref(iii)=>\ref(i) und \ref(iv)=>\ref(iii) sind bekannt bzw. trivial.
\blue\ q.e.d.
Das hat u.A. die Konsequenz, dass Faktorgruppen topologischer Gruppen genau dann Hausdorff sind, wenn der herausfaktorisierte Normalteiler abgeschlossen ist.
Ebenfalls folgt daraus, dass total unzusammenhängende topologische Gruppen (in denen die Zusammenhangskomponenten einelementige Mengen sind) bereits Hausdorff sind.
Weiterhin gilt bemerkenswerterweise:
\darkred\ Jede topologische Gruppe ist T_3, d.h. für alle abgeschlossenen Mengen A\subseteq\ G und alle a\notin\ A existieren offene, disjunkte U,V mit a\el\ U, A\subseteq\ V.
\blue\ Beweis:
Äquivalent zu dieser Formulierung ist, dass für alle g\el\ G und für jede Umgebung U von g ein offenes V existiert mit g\el\ V\subseteq\ V^-\subseteq\ U.
Es reicht das Ganze für g=1 zu betrachten, sei also U eine Umgebung von 1, dann gibt es eine offene V_1, V_2 mit V_1*V_2\subseteq\ U, da die Multiplikation stetig ist.
Wir setzen W:=V_1\cut\ V_2 und V=W\cut\ W^(-1). V ist damit eine offene Menge mit VV\subseteq\ U und V=V^(-1). Weiterhin ist V^-=V^-^(-1) und x||V^-=xV^-, da die Inversion und Linkstranslation Homöomorphismen sind.
Sei nun x\el\ V^- beliebig. Da x^(-1)\el\ (V^-)^(-1)=V^- ist, ist 1\el\ x||V^-=(xV)^-, also ist 1 ein Berührpunkt von xV.
=> V\cut\ xV!=\0, da V eine offene Umgebung der 1 ist.
Es gibt also v und v' mit v=xv' => x=vv'^(-1)\el\ V*V^(-1)=VV\subseteq\ U
Also ist x\el\ U und damit V^-\subseteq\ U.
\blue\ q.e.d.
1. PSU(2) ist zur dreidimensionalen Drehgruppe SO(3,IR) isomorph. Das erkennt man, indem man SU(2) auf der Konjugationsklasse der Matrizen mit Spur 0 operieren lässt (natürlich durch Konjugation, was eine lineare Abbildung, genauer gesagt eine Drehung, definiert). Das artet ein bisschen in Rechnerei aus, ist aber interessant. :)
Wir haben also auch den Beweis erbracht, dass SO(3,IR) einfach ist. Dies ist Standardbeispiel für unendliche einfache Gruppen.
2. PSU(n) ist nicht nur für n=2 eine einfache Gruppe, auch wenn man für den allgemeinen Beweis sehr viel mehr Handwerkszeug benötigt.
3. Man kann unitäre Gruppen auch über endlichen Körpern definieren, sofern deren Ordnung eine Quadratzahl ist. Diese endlichen Gruppen notiert man dann meist mit PSU(n,q) oder PSU(n,q2). Bis auf drei Ausnahmen (PSU(2,2), PSU(2,3) und PSU(3,2)) sind diese Gruppen ebenfalls einfach.
Abschluss
Ich hoffe, dass ich euch einen guten und interessanten Einblick in die Theorie der topologischen Gruppen geben konnte.
In meinem Artikel über unendliche Galoistheorie werdet ihr, wenn ihr möchtet, auf eine weitere Anwendung der Theorie stoßen.
mfg\/{+-Gockel}.
Dieser Teil der Serie behandelt topologische Gruppen und ihre Eigenschaften. Im zweiten Teil werden unitäre Gruppen untersucht und bewiesen, dass PSU(2) eine einfache Gruppe ist
\(\begingroup\)Hi Gockel,
interessanter Artikel! :)
Vor allem das Finale, indem du die Einfachheit von PSU(2), eine rein algebraische Aussage, mit topologischen Mitteln beweist.
Gruß
Martin\(\endgroup\)
\(\begingroup\)Hallo nochmal.
Ich wollte noch sagen, dass der Beweis für den im Artikel erwähnten Isomorphismus SU(2)\/{+-1}~=SO(3) jetzt in meinem Notizbuch zu finden ist.
Man kann ihn, wenn man will, sogar mit ein bisschen Topologie ausstatten, um zu beweisen, dass das Bild einer Matrix aus SU(2) wirklich die Determinante 1 hat.
Anstatt also die Orientierungserhaltung über das Kreuzprodukt zu beweisen, wie es im obigen Beweis geschieht, kann man auch die stetige Abbildung Det\circ\phi: SU(2)->\IR betrachten.
\small\(\phi ist der Homomorphismus q\mapsto(x\mapsto\ qxq^(-1)), der im Link definiert wurde, dass dieser stetig ist, ist zwar anschaulich, aber nicht so einfach zu zeigen.\)
Das Bild dieser Abbildung ist in {1,-1}, da \phi nach O(3) abbildet. Angenommen, es gäbe ein q mit (Det\circ\phi)(q)=-1. Weil SU(2) wegzusammenhängend ist, gäbe es dann einen Weg von 1 nach q. Zusammen mit \phi und der Determinanten ergäbe das einen Weg innerhalb von {1,-1}, der 1 und -1 verbindet, was offensichtlich nicht möglich ist, da {1,-1} unzusammenhängend ist.
Also muss die Determinante von allen \phi(q) gleich 1 sein.
mfg Gockel.\(\endgroup\)
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Hallo Freunde der Gruppentheorie.
Nachdem ich zuerst unschlüssig war, ob ich die Gruppenzwangreihe über die Themen von Algebra I hinaus fortsetzen sollte, habe ich mich nun entschlossen, weiterführende Themen der Gruppentheorie hier mit einzugliedern.
Das heißt in diesem Artikel insbesondere1, das Thema der topologischen Gruppen aufzugreifen.
Das heißt vor allem auch, dass es ab hier Gruppenzwänge geben wird, die nicht mehr von Grund auf alles aufbauen, sondern gewisse Voraussetzungen machen. Es werden Artikel sein, die ich vor allem zu meinem Vergnügen und für eine kleinere Gruppe Themeninteressierter schreibe.
In diesem Artikel werde ich z.B. Grundkenntnisse in Topologie voraussetzen, d.h. ein Verständnis davon, was offene Mengen und Umgebungen sind, was stetige Abbildungen und Hausdorff'sche Räume sind etc. Zumindest die grundlegenden Definitionen und Sätze sollten also bekannt sein.
) im bald erscheinenden Artikel über unendliche Galoistheorie finden, denn auch Galoisgruppen können mit einer nichttrivialen Topologie versehen werden.
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