Stern Mathematik: Das Gruppenaxiom
Released by matroid on Mo. 13. Februar 2006 16:34:20 [Statistics]
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Mathematik

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Das Gruppenaxiom

"Das Gruppenaxiom"? Es gibt doch drei Gruppenaxiome! Üblicherweise definiert man Gruppen in der Mathematik durch eine Verknüpfung zwischen den Elementen (eine "Multiplikation") und die Forderung, dass drei bestimmte Aussagen (die "Gruppenaxiome") gelten sollen. So wird es im Artikel Gruppenzwang getan, der eine Einführung in die Gruppentheorie gibt. Da ist es doch einigermaßen überraschend, dass es auch mit weniger als drei Axiomen geht, wenn man nicht mit der Multiplikation, sondern mit der Division arbeitet. \ \frameon\ \big\ Satz: Eine nichtleere Menge G zusammen mit einer Verknüpfung \/ : G \times G -> G ist genau dann eine Gruppe, wenn für alle x,y,z in G gilt: x \/ ((((x\/x)\/y)\/z) \/ (((x\/x)\/x)\/z)) = y \lr(1) In diesem Fall ist die Gruppenverknüpfung durch a*b = a\/((a\/a)\/b) gegeben.\frameoff Einen Beweis selbst zu finden ist ziemlich schwer - es sei denn, man hat das richtige Buch zur Hand. ;)

\ Das richtige Buch ist in diesem Fall ein Artikel im Journal "Publicationes Mathematicae Debrecen" von Graham Higman und Bernhard Neumann aus dem Jahr 1952, zusammen mit einem Artikel im "Journal für reine und angewandte Mathematik" von Paul Lorenzen aus dem Jahr 1940. Der hier gegebene Beweis folgt diesen beiden Artikeln. Das besondere an dem Axiom \ref(1) ist nicht, dass es nur ein Axiom ist, sondern dass es nur eine Gleichung enthält. Man kann problemlos die drei üblichen Gruppenaxiome in ein Axiom verwandeln: \exists e \in G \forall a \in G \exists a' \in G \forall b, c \in G: a*(b*c)=(a*b)*c \and a*e = a \and a*a' = e Allerdings enthält es dann immer noch drei Gleichungen und zwei Existenzquantoren, während Axiom \ref(1) nur eine Gleichung ist, vor der nur Allquantoren stehen.

Inhalt

1. Beweis des Satzes 1.1. Alle Translationen sind bijektiv 1.2. e ist eindeutig bestimmt 1.3. Doppelbrüche sind kürzbar 1.4. G ist eine Gruppe 2. Verallgemeinerung 2.1. Beispiele 2.2. Aus "endlich" mach "eins" 2.3. Verallgemeinerter Satz 2.4. Verbesserung

Beweis des Satzes

\ Dass jede Gruppe die angegebene Gleichung erfüllt, lässt sich durch Umstellen leicht nachrechnen. Deutlich schwieriger und interessanter ist der Beweis der Umkehrung: Jede nichtleere Menge mit einer Verknüpfung, die die Gleichung \ref(1) erfüllt, ist eine Gruppe. Die Verknüpfung \/ : G \times G -> G induziert zwei Arten von Abbildungen: Für jedes Element a von G haben wir die \stress\ Linkstranslation\normal L_a: G -> G, L_a(x) = a\/x und die \stress\ Rechtstranslation\normal R_a: G -> G, R_a(x) = x\/a. Zusätzlich betrachten wir die \stress\ identische Abbildung\normal id: G -> G, id(x) = x. Den Mehrfachbruch (x\/y)\/z schreibe ich in diesem Artikel als x\/y\/z. Somit steht x\/x\/x\/z für den im Axiom \ref(1) auftretenden Bruch ((x\/x)\/x)\/z, aber Brüche wie x\/(y\/z) werden weiterhin geklammert. \(Diese hilfreiche Konvention war Buris Idee.) Das Divisionszeichen wird so zu einem links\-assoziativen Operator. (Siehe auch den Wikipedia-Artikel Operatorassoziativität.) \ Der Beweis erstreckt sich über vier Hilfssätze, die die Beweisidee wiederspiegeln: 1. Wir zeigen, dass alle Linkstranslationen L_x und alle Rechtstranslationen R_x bijektiv sind. 2. Wir zeigen, dass der Bruch e := x\/x für alle x derselbe ist, und dass für alle x gilt: x\/e = x und e\/(e\/x) = x. 3. Wir zeigen, dass man in einem Doppelbruch den gemeinsamen Nenner kürzen kann, d.h. (y\/z)\/(x\/z) = y\/x. 4. Wir definieren die Multiplikation und beweisen, dass sie die drei üblichen Gruppenaxiome erfüllt. Im folgenden wird stets gefordert, aber nicht dazugeschrieben, dass jede auftretende Gleichung gelten soll, egal welche Elemente von G man für die Variablen einsetzt. Die Gleichungen sind damit "implizit allquantifiziert" \(das Symbol \forall für den Ausdruck "für alle" heißt All\-Quantor). Das Axiom sieht mit diesen Konventionen etwas übersichtlicher aus: x \/ ((x\/x\/y\/z) \/ (x\/x\/x\/z)) = y. \lr(1) Es lässt sich unter Benutzung der Translationen so formulieren: (L_x \circ R_(x\/x\/x\/z) \circ R_(z) \circ L_(x\/x)) (y) = y. \(Das nachzurechnen, ist eine gute Übung zum Verständnis der Translationen.) Die zusammengesetzte Abbildung, die hier auf y angewendet wird, liefert wieder y, stimmt also mit der identischen Abbildung überein. Als Gleichung von Abbildungen haben wir daher L_(x) \circ R_(x\/x\/x\/z) \circ R_(z) \circ L_(x\/x) = \id. \lr(2)
\ \big\ Lemma 1: \stress\ R_(x) und L_(x) sind bijektiv für jedes x in G. Alle Aussagen über die Injektivität, Surjektivität und Bijektivität von Abbildungen, die von Variablen abhängen, sind wie die Gleichungen "implizit allquantifiziert". Die linke Seite von Gleichung \ref(2) ist eine bijektive Abbildung. Deshalb ist L_(x) surjektiv und L_(x\/x) injektiv. Da die Surjektivität von L_(x) für alle x gilt, gilt sie insbesondere für x\/x, also ist L_(x\/x) bijektiv. Gleichung \ref(2) "multiplizieren" wir nun von rechts mit der Umkehrabbildung von L_(x\/x), und erhalten: L_(x) \circ R_(x\/x\/x\/z) \circ R_(z) = L_(x\/x)^ -1 ist bijektiv. \lr(3) Setzen wir hier x\/x für x ein und definieren a := (x\/x)\/(x\/x)\/(x\/x)\/z, erhalten wir aus der Bijektivität von L_(x\/x) \(diesmal durch Multiplikation von links mit der Umkehrabbildung): R_(a) \circ R_(z) = L_(x\/x)^ -1 \circ L_((x\/x)\/(x\/x))^ -1 ist bijektiv. \lr(4) Nun ist R_(a) surjektiv und R_(z) injektiv. Einsetzen von a für z in R_(z) liefert, dass R_(a) bijektiv ist. Mit \ref(4) ist nun R_(z) bijektiv für jedes z in G. Dann ist insbesondere R_(x\/x\/x\/z) bijektiv, und mit \ref(3) folgt, dass L_(x) für jedes x in G bijektiv ist. \bigbox \ \big\ Lemma 2: \stress\ Der Quotient e := x\/x ist unabhängig von x. \stress\ x\/e = x, e\/(e\/y) = y für alle x und y in G. Aus \ref(3) folgt mit der Bijektivität von L_(x) die Gleichung R_(x\/x\/x\/z) \circ R_(z) = L_(x)^ -1 \circ L_(x\/x)^ -1 . Die linke Seite dieser Gleichung hängt nicht von z ab \(weil die rechte nicht von z abhängt). Wir haben damit R_(x\/x\/x\/z) \circ R_(z) = R_(x\/x\/x\/z') \circ R_(z') für beliebige z und z', oder ausgeschrieben (y\/z)\/(x\/x\/x\/z) = (y\/z')\/(x\/x\/x\/z'). \lr(5) Da L_(x\/x\/x) surjektiv ist, gibt es zu jedem u ein z mit x\/x\/x\/z = L(x\/x\/x)(z) = u und zu jedem v ein z' mit x\/x\/x\/z' = v. Setzen wir y auf x\/x\/x, erhalten wir aus \ref(5) die Gleichung u\/u = v\/v für beliebige Werte von u und v. Das bedeutet gerade, dass u\/u von u unabhängig ist, und wir setzen e := u\/u. \lr(6) Gleichung \ref(2) lässt sich nun verkürzen zu L_(x) \circ R_(e\/x\/z) \circ R_(z) \circ L_(e) = \id \lr(7) oder ausgeschrieben x\/((e\/y\/z)\/(e\/x\/z)) = y. \lr(8) Einsetzen von x für y und vereinfachen mit \ref(6), u = e\/x\/z, ergibt x\/e = x. \lr(9) Einsetzen von e für x und z in \ref(8) und vereinfachen mit \ref(9) ergibt y = e\/((e\/y\/e)\/(e\/e\/e)) = e\/((e\/y)\/(e)) = e\/(e\/y). \lr(10) \bigbox \ \big\ Lemma 3: \stress\ (y\/z)\/(x\/z) = y\/x für alle x,y,z in G. Formel \ref(8) stellen wir um zu (e\/y\/z)\/(e\/x\/z) = L_(x) ^ -1 (y). Die linke Seite ist von z unabhängig \(weil die rechte es ist), es ist also (e\/y\/z)\/(e\/x\/z) = (e\/y\/z')\/(e\/x\/z') für beliebige z und z'. Setzen wir e für z' ein, erhalten wir (e\/y\/z)\/(e\/x\/z) = (e\/y)\/(e\/x). \lr(11) Für beliebiges u und v wählen wir x und y mit u = e\/x und v = e\/y, und \ref(11) ergibt (v\/z)\/(u\/z) = v\/u. \bigbox \big\ Lemma 4: \stress\ G ist mit der Verknüpfung (a, b) |-> a\/((a\/a)\/b) eine Gruppe. Weil R_(b) bijektiv ist, ist die Gleichung R_(b)(x) = x\/b = a stets eindeutig nach x auflösbar, also wird durch die Setzung a*b = x bigop(<=>,,,def) x\/b = a \lr(12) eine innere Verknüpfung \void* auf G definiert. Mit \stress\ Lemma 3\normal\ , x = (a*b)*c, y = b*c, z = c, und \ref(12) erhalten wir ((a*b)*c)\/(b*c) = (((a*b)*c)\/c)\/((b*c)\/c) = \void = (a*b)\/b = a = (a*(b*c))\/(b*c) und mit der Injektivität von R_(b*c) folgt daraus (a*b)*c = a*(b*c). \lr(A) Wegen a\/e = a und a\/a = e ist a*e = a und e*a = a. \lr(N) Mit a^- := e\/a ist e\/||a^- = a \ref(10) und damit a^- * a = e und a * a^- = e. \lr(I) Wir wissen nun, dass G mit der Verknüpfung \void* eine Gruppe ist, und haben nun nur noch festzustellen, dass die Verknüpfung in der angegebenen Form darstellbar ist. Aus \ref(A), \ref(I) und \ref(N) folgt (a * b) * b^- = a * (b * b^-) = a * e = a. Mit \ref(12) ergibt sich schließlich a * b = a \/ b^- = a\/(e\/b) = a\/(a\/a\/b). \bigbox \ Damit haben wir den Satz bewiesen, dass sich Gruppen beschreiben lassen als diejenigen nichtleeren Mengen mit einer inneren Verknüpfung, die dem Axiom \ref(1) genügen. \bigbox

Verallgemeinerung

\ Eine analoge Behauptung kann man nun für bestimmte Unterarten von Gruppen aufstellen: Auch die abelschen Gruppen lassen sich durch ein einziges Axiom beschreiben, welches die Gruppenaxiome mit umfasst. Ebenso die n\-Torsionsgruppen für jede feste natürliche Zahl n (siehe unten). Es stellt sich fast von selbst die Frage: Für welche Klassen von Gruppen gelingt denn eigentlich die Beschreibung durch ein einziges Axiom? Higman und Neumann haben in ihrem Artikel bewiesen, dass das zumindest für Gruppen möglich ist, die durch \stress\ endlich viele allquantifizierte Gleichungen \normal\ beschreibbar sind. Solche Gruppen erfüllen neben den Gruppenaxiomen noch endlich viele Axiome der Form \forall x_1 \in G ... \forall x_n \in G: u_i(x_1, ..., x_n) = v_i(x_1, ..., x_n) wobei u_i und v_i Terme sind, in denen nur die Gruppenverknüpfungen \(Multiplikation, Division, Inversenbildung), die Variablen x_1 bis x_n sowie das neutrale Element e vorkommen. Die Zählvariable i laufe von 0 bis k-1, wobei k die Anzahl der Axiome ist. Die Variablenanzahl kann für alle Axiome gleich gewählt werden, indem man ggf. über zusätzliche Variablen quantifiziert, die dann einfach nicht verwendet werden. Eine Klasse von Gruppen, die durch allquantifizierte Gleichungen beschreibbar ist, heißt "Varietät von Gruppen". \(Dieser Begriff ist in einem gewissen Sinne verwandt mit einem anderen Begriff der Varietät, nämlich der Lösungsmenge eines Gleichungssystems. In unserem Fall sind die Gruppen selbst die Lösungen.) Die Behauptung ist also, dass sich jede Varietät von Gruppen, die ein endliches Axiomensystem hat, durch ein einziges Axiom darstellen lässt, welches die Gruppenaxiome mit umfasst.

Beispiele

\ Die Eigenschaft, eine abelsche Gruppe zu sein, lässt sich bekanntlich durch das Zusatzaxiom \forall x \in G \forall y \in G: x*y = y*x beschreiben. Die Eigenschaft, für eine feste natürliche Zahl n eine n\-Torsionsgruppe zu sein, wird durch folgendes Axiom beschrieben: \forall x \in G: x*x*...*x = e wobei hier n-mal der Faktor x auftritt \(wegen des Assoziativgesetzes ist die Klammerung egal, per Konvention wird linksgeklammert). Eine abelsche 3-Torsionsgruppe ist also durch die gleichzeitige Gültigkeit der zwei Axiome \forall x \in G \forall y \in G: x*y = y*x \forall x \in G: x*x*x = e gekennzeichnet. Die Eigenschaft, eine Torsionsgruppe zu sein, ist ein Beispiel für eine Eigenschaft, die nicht durch allquantifizierte Gleichungen beschreibbar ist \(auch nicht, wenn man unendlich viele Gleichungen zulässt). Sie wird üblicherweise so formuliert: \forall x \in G \exists n \in \IN: x^n = e Dabei ist die Potenz als wiederholte Gruppenverknüpfung definiert. Hier tritt ein Existenzquantor auf, und \- was schwerwiegender ist \- dieser bezieht sich auf natürliche Zahlen und nicht auf Gruppenelemente. \(Der Beweis, dass die Klasse der Torsionsgruppen nicht durch Axiome im obigen Sinne beschreibbar ist, erfordert Mittel der Modelltheorie und wird vielleicht einmal zum Gegenstand eines anderen Artikels.)

Aus "endlich viele" mach "eins"

\ Es ist möglich, die k Zusatzaxiome durch ein einziges Zusatzaxiom auszudrücken. Das i\-te Axiom \forall x_1 \in G ... \forall x_n \in G: u_i(x_1, ..., x_n) = v_i(x_1, ..., x_n) wird dafür so umgeschrieben: \forall x_1 \in G ... \forall x_n \in G: u_i(x_1, ..., x_n) \/ v_i(x_1, ..., x_n) = e Die linke Seite dieses neuen Axioms nennen wir w_i(x_1, ..., x_n). \ Nun verwenden wir für jedes Axiom neue Variablen: \forall x_(1+in) \in G ... \forall x_(n+in) \in G: w_i(x_(1+in), ..., x_(n+in)) = e Alle k Axiome zusammen sind nun äquivalent zu diesem: \forall x_1 \in G ... \forall x_(nk) \in G: w_0 \/ w_1 \/ ... \/ w_(k-1) = e Die Richtung von der Axiomenmenge zu dem einen Axiom ist klar, die andere Richtung ergibt sich, indem man alle Variablen, außer den in w_i auftretenden, gleich e setzt \(jede Verknüpfung von e mit e ergibt e). Im Beispiel der abelschen 3\-Torsionsgruppen ergibt sich dieses Axiom: \forall x \in G \forall y \in G \forall z \in G: ((x*y)\/(y*x))\/(z*z*z) = e Zuletzt wird noch die Gruppenmultiplikation und die Inversenbildung durch die Division ausgedrückt, x_i * x_j = x_i \/ (e \/ x_j), x_i ^ -1 = e \/ x_i, und e wird durch x_1 \/ x_1 ersetzt, um ein Axiom der Form \forall x_1 \in G ... \forall x_(nk) \in G: w(x_1, ..., x_(nk)) = e zu erhalten, wo der Term w nur noch Divisionen und die Variablen x_1 bis x_(nk) enthält. Mit diesem Term w konstruierten Higman und Neumann ein Axiom, welches zur Gültigkeit der drei Gruppenaxiome und der Gleichung w = e äquivalent ist.

Verallgemeinerter Satz

\ \frameon\stress\big\ Satz: Eine nichtleere Menge G zusammen mit einer Verknüpfung \/: G \times G -> G ist genau dann eine Gruppe, die dem Zusatzaxiom \forall x_1, ..., x_n \in G: w(x_1, ..., x_n) = e \lr(13) genügt, wenn das folgende Axiom für alle x, y, z, x_1, ..., x_n \in G erfüllt ist: x \/ ((x\/x\/w\/y\/z) \/ (x\/x\/x\/z)) = y \lr(14) Dabei ist w eine Kurzschreibweise für w(x_1, ..., x_n). Die Gruppenverknüpfung ist durch a*b = a\/((a\/a)\/b) gegeben.\frameoff Dieser zweite Satz lässt sich analog zum ersten Satz zu beweisen, insbesondere bleiben die vier Lemmata mit ihren Aussagen erhalten. Eine der Gleichung \ref(2) entsprechende Form von \ref(14) ist L_(x) \circ R_(x\/x\/x\/z) \circ R_(z) \circ L_(x\/x\/w) = \id. \lr(15) Der Beweis des neuen Lemma 1 ergibt sich aus dem ersten Beweis, indem man x\/x\/w anstelle von x\/x vewendet. Im neuen Lemma 2 ergibt sich dieselbe Gleichung \ref(5), auch der Beweis von \ref(6) ist unverändert. Die vereinfachte Form von \ref(15) ergibt sich zu L_(x) \circ R_(e\/x\/z) \circ R_(z) \circ L_(e\/w) = \id. \lr(16) Umstellen ergibt L_(e\/w) = R_(z) ^ -1 \circ R_(e\/x\/z) ^ -1 \circ L_(x) ^ -1 , woran man sieht, dass die Abbildung L_(e\/w) nicht vom Wert von w(x_1, ..., x_n) abhängt, also für jede feste Wahl von x und z dieselbe ist, egal wie die Variablen x_1 bis x_n belegt werden. Setzt man speziell x_1 = ... = x_n = e ein, ergibt sich mit wiederholter Anwendung von \ref(6), dass w(e, ..., e) = e ist, weil in w nur Divisionen auftreten. Damit ist L_(e\/w) = L_(e\/e) = L_(e) für jede Wahl der x_1 bis x_n, und mit L_(e)(w) = e\/w = e\/w\/e = L_(e\/w)(e) = L_(e)(e) und der Injektivität von L_(e) ist w = e, und Axiom \ref(13) ist erfüllt. Nun erhalten wir aus \ref(16) die alte Gleichung L_(x) \circ R_(e\/x\/z) \circ R_(z) \circ L_(e) = \id \lr(7) und der Rest des Beweises von Lemma 2 folgt unverändert. Die Beweise von Lemma 3 und Lemma 4 können unverändert übernommen werden, womit auch der zweite Satz bewiesen ist. \bigbox

Verbesserung

\ Für konkrete Varietäten von Gruppen kann es durchaus vorkommen, dass die hier angegebene Formel nicht optimal ist. So gibt es für die Klasse der abelschen Gruppen folgende Formel: x\/((y\/z)\/(y\/x)) = z Diese Formel ist optimal in dem Sinne, dass sie mit den wenigsten Variablennennungen (nämlich insgesamt 6) auskommt. Die Korrektheit dieser Formel wird auf ähnliche Weise bewiesen wie die anderen beiden Formeln, dieser Beweis bleibt dem interessierten Leser als Übung. \(Tipp: Die letzte Behauptung von Lemma 2 lässt sich zu x\/(x\/y) = y verstärken.)
\ Nun fragt ihr vielleicht: Wozu das ganze? Forschende Mathematiker sind darum bemüht, die Grenzen ihres Faches zu erkunden und ihr Wissen - und das mathematische Wissen der Allgemeinheit - zu erweitern. Dazu gehört auch die Frage: Gehts mit weniger? In diesem Fall gehts mit weniger: Aus endlich vielen Gleichungen kann man eine einzige machen. Aber schon ergibt sich daraus die nächste Frage: Gibt es überhaupt Varietäten von Gruppen, die kein endliches Axiomensystem haben? Higman und Neumann wussten 1952 noch keine Antwort darauf.

Quellen

Der verlinkte Diskussionsfaden veranlasste mich, die beiden Artikel in einer Bibliothek zu suchen, ich habe nämlich keine Quellen im Internet gefunden, in denen der Satz bewiesen wird. Hiermit hat sich das geändert. ;)
  • Higman, Graham und Neumann, Bernhard: Groups as groupoids with one law, Publicationes Mathematicae Debrecen, 2 (1952), 215-227.
  • Lorenzen, Paul: Ein vereinfachtes Axiomensystem für Gruppen, Journal für reine und angewandte Mathematik, 182 (1940), 50.
  • LinkDas Gruppenaxiom - Diskussionsfaden zum Thema

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Das Gruppenaxiom [von SirJective]  
Wie man die Gruppeneigenschaft an einem einzigen Axiom beweist.
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"Stern Mathematik: Das Gruppenaxiom" | 15 Comments
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Re: Das Gruppenaxiom
von: jannna am: Mo. 13. Februar 2006 17:23:30
\(\begingroup\)Hallo Mir gefällt der Artikel, und ich notizbuche ihn mal um ihn beizeiten durchzuarbeiten. Es geht also mit weniger. Allerdings, so scheint es mir jedenfalls jetzt noch, verliert man einiges an Übersichtlichkeit 😉 Grüße Jana\(\endgroup\)
 

Alternative Darstellung der Gruppenverknüpfung
von: fru am: Mo. 13. Februar 2006 17:50:38
\(\begingroup\) Ich habe einen Vorschlag zur Verbesserung der Übersichtlichkeit der mehrfach verschachtelten Operationen. Mit der zusätzlichen Definition x/y:=x\/y könnte man das Gruppenaxiom so schreiben: x\/|(x\/x/y|\/z)/(x\/x/x|\/z)=y Es scheint mir einfacher lesbar als das mit Klammern überladene Original x \/ ((((x\/x)\/y)\/z) \/ (((x\/x)\/x)\/z)) = y Auch die noch relativ einfach strukturierte Gruppenverknüpfung a*b = a\/((a\/a)\/b) würde in dieser Darstellung: a*b=a\/|a\/a/b besser auf einen Blick durchschaubar sein. Liebe Grüße, Franz \(\endgroup\)
 

Re: Das Gruppenaxiom
von: Martin_Infinite am: Mo. 13. Februar 2006 18:09:32
\(\begingroup\)Hi Christian, vielen Dank für diesen Artikel! Damit hast du meine Frage in diesem Thread natürlich mehr als umfassend beantwortet, und bietest zugleich vielen anderen einen Einblick in diesen schön elementaren Beweis, dass man die Gruppenaxiome auf ein einziges reduzieren kann. Trotz der vielen Gleichungen und Variablen hast du den Beweis m.E. sehr übersichtlich und verständlich dargestellt Danke übrigens auch dafür, dass du meine 'typografischen' Änderungsvorschläge umgesetzt hast. @fru: Das ist wohl mitunter Geschmackssache. ;) Gruß Martin\(\endgroup\)
 

Re: Das Gruppenaxiom
von: SirJective am: Mo. 13. Februar 2006 18:59:13
\(\begingroup\)Hallo fru, ich könnte ja mehrere Schreibweisen einbringen. \ Nachdem ich die Idee übernommen habe, Brüche linkszuklammern, erscheint mir diese Formel noch am übersichtlichsten: x \/ ((x\/x\/y\/z) / (x\/x\/x\/z)) = y \lr(K1) Sobald die Rechenregeln a\/a = e und e\/(e\/a) = a bewiesen sind, reduziert sich die Multiplikation ja eh auf a*b = a / (b^ -1), und das ist an Übersichtlichkeit nicht mehr zu toppen. :) Ein Grund, warum ich übereinanderstehende Brüche vermieden habe, ist die ständige Verwendung der Links- und Rechsttranslationen. Ich denke, dass der Gleichung \ref(K1) schwerer anzusehen ist, wie sie in eine Kette von Transationen umzuwandeln ist. Christian \(\endgroup\)
 

Re: Das Gruppenaxiom
von: Gockel am: Mo. 13. Februar 2006 20:39:34
\(\begingroup\)Hi christian. Ein echt schöner Artikel, der Spaß macht beim Lesen. mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

Re: Das Gruppenaxiom
von: Snowball am: Mo. 13. Februar 2006 22:59:55
\(\begingroup\)Man kann aber immer beliebig viele Axiome zu einem zusammenfassen (einfach durch logische Verknüpfung). Nicht, dass ich die Leistung hier schmälern will, ich hab ja selbst gesehen, dass das nicht so leicht ist, aber es ist schon die Form dieses Axioms, die es so besonders macht.\(\endgroup\)
 

Senf oder Ketchup, das ist hier die Frage
von: fru am: Mo. 13. Februar 2006 23:39:57
\(\begingroup\) Hallo, Christian! Jede Darstellungsform hat natürlich ihre Vor\- und Nachteile, je nachdem, welchen Aspekt man gerade im Auge hat, z.B. sich einen ersten Überblick über die Art der Verknüpfung zu verschaffen oder die Translationen schön darstellen zu können. Buris interessanter Vorschlag, von links nach rechts zu rechnen, ist eine Mischform. Er spart zwar auch Klammern, ist aber zunächst etwas gewöhnungsbedürftig, dann aber doch auch sehr übersichtlich. Nun, ich wollte mit meinem ersten Kommentar halt auch meinen Senf dazugeben, mehr sollte es nicht sein. Übrigens: Statt a*b=a/b^(-1) meinst Du wohl a*b=a\/b^(-1) ? \;\-\) Liebe Grüße, Franz \(\endgroup\)
 

Re: Das Gruppenaxiom
von: cow_gone_mad am: Sa. 29. April 2006 22:59:13
\(\begingroup\)Hallo ihr alle 😄 Da ich über neues Spielzeug gehört habe, und es gleich mal quälen wollte, haben wir jetzt hier ein Problem: www-unix.mcs.anl.gov/~mccune/sobb2/cgi/area.cgi behauptet, dass diese Aussage falsch ist. Mit den Hypothesen: x / ((((x / x) / y) / z) / (((x / x) / x)/ z)) = y. x * y = x/((x/x)/y). kommt die Ausgabe, dass x * e = x. falsch ist, mit dem Gegenbeispiel: e : 0 * : | 0 1 --+---- 0 | 1 0 1 | 0 1 / : | 0 1 --+---- 0 | 1 0 1 | 0 1 Aber mit dem Input: x/y = x * y'. Kann die Behauptung: x / ((((x / x) / y) / z) / (((x / x) / x)/ z)) = y. gezeigt werden. Liebe Grüsse, cow_\(\endgroup\)
 

Re: Das Gruppenaxiom
von: cow_gone_mad am: Sa. 29. April 2006 23:38:12
\(\begingroup\)Okay, Problem hat sich doch von selber gelöst, wenn man die Conclusions selber eingibt, werden Beweise ausgeben. 😉 Wenn jemand Lust hat: x / ((((x / x) / y) / z) / (((x / x) / x)/ z)) = y. x * y = x/((x/x)/y). folgt: all x all y all z ((x * y) * z = x * (y * z)). exists e all x (x * e = x). sowie unter dazunahme obigen zur Annahme (also nur dem Zweiten). all x exists y (x * y = e). Womit man die Gruppeneigenschaften doch gezeigt hat 😉 Es ist auch interessant zu sehen, das eine Beweisstrategie ähnlich wie im Artikel verwendet wird: 4 ($c1 * $c2) * $c3 != $c1 * ($c2 * $c3). [clausify] 5 x / ((((x / x) / y) / z) / (((x / x) / x) / z)) = y. [input] 6 x * y = x / ((x / x) / y). [input] 7 ($c1 / (($c1 / $c1) / $c2)) / ((($c1 / (($c1 / $c1) / $c2)) / ($c1 / (($c1 / $c1) / $c2))) / $c3) != $c1 / (($c1 / $c1) / ($c2 / (($c2 / $c2) / $c3))). [copy 4 demod (6 6 6 6)] 8 ((((x / x) / (x / x)) / y) / z) / ((((x / x) / (x / x)) / (x / x)) / z) = x / ((y / u) / (((x / x) / x) / u)). [para (5 (a 1) 5 (a 1 2 1 1)) flip a] 9 x / (y / (((x / x) / x) / ((((((x / x) / z) / ((x / x) / z)) / y) / u) / (((((x / x) / z) / ((x / x) / z)) / ((x / x) / z)) / u)))) = z. [para (5 (a 1) 5 (a 1 2 1))] 14 ((((x / x) / (x / x)) / (x / x)) / y) / ((((((((x / x) / (x / x)) / (x / x)) / y) / ((((x / x) / (x / x)) / (x / x)) / y)) / z) / u) / (((x / (((x / x) / v) / (((x / x) / x) / v))) / ((((x / x) / (x / x)) / (x / x)) / y)) / u)) = z. [para (8 (a 1) 5 (a 1 2 2 1 1))] 16 (x / x) / (x / ((y / z) / (((x / x) / x) / z))) = y. [para (8 (a 1) 5 (a 1 2))] 20 ((((x / x) / (x / x)) / ((x / x) / y)) / z) / ((((x / x) / (x / x)) / (x / x)) / z) = y. [para (8 (a 2) 5 (a 1))] 24 ((((x / x) / (x / x)) / y) / z) / ((((x / x) / (x / x)) / (x / x)) / z) = x / ((y / ((((((x / x) / x) / ((x / x) / x)) / u) / v) / (((((x / x) / x) / ((x / x) / x)) / ((x / x) / x)) / v))) / u). [para (5 (a 1) 8 (a 2 2 2))] 37 x / ((((y / y) / (y / y)) / (y / y)) / (((y / y) / (y / y)) / ((x / z) / (((((y / y) / (y / y)) / ((y / y) / (y / y))) / ((y / y) / (y / y))) / z)))) = y / y. [para (16 (a 1) 8 (a 1 1)) demod (5)] 42 (((x / x) / (x / x)) / ((x / x) / (x / x))) / (((x / x) / (x / x)) / ((y / ((((x / x) / (x / x)) / (x / x)) / ((x / x) / (x / x)))) / (x / x))) = y. [para (8 (a 1) 16 (a 1 2 2 2)) demod (5)] 45 x / (y / y) = x. [para (5 (a 1) 9 (a 1 2 2))] 47 x / ((x / x) / (((x / x) / x) / (((((x / x) / y) / ((x / x) / y)) / z) / (((((x / x) / y) / ((x / x) / y)) / ((x / x) / y)) / z)))) = y. [para (9 (a 1) 6 (a 2)) demod (45 6)] 64 (x / x) / ((x / x) / y) = y. [back_demod 42 demod (45 45 45 45 45 45 45 45 45 45)] 69 x / ((x / y) / ((z / z) / y)) = z / z. [back_demod 37 demod (45 45 45 45 45 45 45 45 64)] 77 (((x / x) / y) / z) / ((x / x) / z) = x / ((y / ((((((x / x) / x) / ((x / x) / x)) / u) / v) / (((((x / x) / x) / ((x / x) / x)) / ((x / x) / x)) / v))) / u). [back_demod 24 demod (45 45 45)] 81 (x / y) / ((z / z) / y) = x. [back_demod 20 demod (45 64 45 45)] 84 ((x / x) / y) / ((((x / x) / z) / u) / (((x / (((x / x) / v) / (((x / x) / x) / v))) / ((x / x) / y)) / u)) = z. [back_demod 14 demod (45 45 45 45 45 45 81 45 45)] 87 (x / x) / y = x / ((y / z) / (((x / x) / x) / z)). [back_demod 8 demod (45 45 45 81)] 96 x / ((y / ((((x / x) / z) / u) / (x / u))) / z) = (x / x) / y. [back_demod 77 demod (81 81 81 64) flip a] 101 x / x = y / y. [back_demod 69 demod (81)] 110 x / ((x / x) / (((x / x) / x) / (((x / x) / y) / (z / y)))) = z. [back_demod 47 demod (81 81 64)] 112 x / x = c0. [new_symbol 101] 116 x / (c0 / ((c0 / x) / ((c0 / y) / (z / y)))) = z. [back_demod 110 demod (112 112 112)] 128 x / ((y / (((c0 / z) / u) / (x / u))) / z) = c0 / y. [back_demod 96 demod (112 112)] 136 x / ((y / z) / ((c0 / x) / z)) = c0 / y. [back_demod 87 demod (112 112) flip a] 138 c0 / (c0 / x) = x. [back_demod 84 demod (112 112 112 112 136 112 112 136)] 141 (x / y) / (c0 / y) = x. [back_demod 81 demod (112)] 145 ($c1 / (c0 / $c2)) / (c0 / $c3) != $c1 / (c0 / ($c2 / (c0 / $c3))). [back_demod 7 demod (112 112 112 112 112 112)] 152 c0 / ((c0 / x) / (y / x)) = y. [para (112 (a 1) 116 (a 1 2 2 1)) demod (138)] 156 (x / (c0 / y)) / y = x. [para (138 (a 1) 141 (a 1 2))] 162 c0 / (x / y) = y / x. [para (141 (a 1) 152 (a 1 2 2)) demod (138)] 184 ($c1 / (c0 / $c2)) / (c0 / $c3) != $c1 / ((c0 / $c3) / $c2). [para (162 (a 1) 145 (a 2 2))] 187 (x / (y / z)) / (z / y) = x. [para (162 (a 1) 141 (a 1 2))] 190 (c0 / ((c0 / x) / y)) / x = y. [para (162 (a 2) 156 (a 1 1))] 193 c0 / ((c0 / $c3) / ($c1 / (c0 / $c2))) != $c1 / ((c0 / $c3) / $c2). [para (162 (a 2) 184 (a 1))] 294 c0 / (x / ((y / z) / ((c0 / u) / z))) = y / (x / u). [para (187 (a 1) 128 (a 1 2 1)) flip a] 389 (x / y) / (z / y) = x / z. [para (136 (a 1) 190 (a 1 1 2)) demod (138 138) flip a] 408 c0 / (x / (y / (c0 / z))) = y / (x / z). [back_demod 294 demod (389)] 409 $F. [resolve (408 a 193 a)] Man beachte Zeile Nummer 101 und 112. Liebe Grüsse, cow_ \(\endgroup\)
 

Re: Das Gruppenaxiom
von: Plex_Inphinity am: Fr. 13. April 2007 20:04:38
\(\begingroup\)Hi, \quoteon Gibt es überhaupt Varietäten von Gruppen, die kein endliches Axiomensystem haben? Higman und Neumann wussten 1952 noch keine Antwort darauf. \quoteoff Natürlich gibt es die. Die Klasse aller endlichen Gruppen ist beispielsweise nicht endlich axiomatisierbar (nicht in FO heißt das). Das folgt aus dem Kompaktheitssatz für FO. Gruß Plex\(\endgroup\)
 

Re: Das Gruppenaxiom
von: Martin_Infinite am: So. 07. August 2011 22:48:17
\(\begingroup\)B.H. Neumann hat übrigens auch ein einzelnes Axiom gefunden, welches Gruppen definiert, allerdings nicht mit der Rechtsdivision, sondern mit der üblichen Multiplikation und Inversion arbeitet. Es lautet: $x \cdot (( (y^{-1} \cdot (x^{-1} \cdot t))^{-1}\cdot z) \cdot (y \cdot z)^{-1})^{-1} = t$ Und das ist nur ein Beispiel von vielen. Siehe dazu den Artikel William W. McCune, Single Axioms for Groups and Abelian Groups with Various Operations, online\(\endgroup\)
 

Re: Das Gruppenaxiom
von: SirJective am: Sa. 22. Oktober 2011 20:46:58
\(\begingroup\)Hallo Plex, die Klasse aller endlichen Gruppen ist aus demselben Grund wie die Klasse aller Torsionsgruppen keine Varietät: Die Bedingung, endlich zu sein (ausgedrückt durch die klassische ODER(!)-Verknüpfung der Gleichungen \ \exists x1 ... \exists xn \forall x: x=x1 \or ... \or x=xn für jedes n in IN), ist kein Axiomensystem. Gruß, SirJective \(\endgroup\)
 

Re: Das Gruppenaxiom
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mo. 15. Juni 2015 08:25:48
\(\begingroup\) \ \frameon\ \big\ Satz: Eine nichtleere Menge G zusammen mit einer Verknüpfung \/ : G \times G -> G ist genau dann eine Gruppe, wenn für alle x,y,z in G gilt: x \/ ((((x\/x)\/y)\/z) \/ (((x\/x)\/x)\/z)) = y \lr(1) In diesem Fall ist die Gruppenverknüpfung durch a*b = a\/((a\/a)\/b) gegeben.\frameoff Ist es denn nun die Verknüpfung *, oder die Verknüpfung /, die mit der Menge G eine Gruppe bildet, wenn das Gruppenaxiom gilt (und der Träger nichtleer ist)? Eigentlich dachte ich, dass / die Verknüpfung ist, doch dann verstehe ich das Kommentar "In diesem Fall ist die Gruppenverknüpfung durch a*b = a/((a/a)/b) gegeben" nicht. mfg asdf. \(\endgroup\)
 

Re: Das Gruppenaxiom
von: Ex_Mitglied_43988 am: Do. 18. Juni 2015 15:44:16
\(\begingroup\) \ \frameon\ \big\ Satz: Eine nichtleere Menge G zusammen mit einer Verknüpfung \/ : G \times G -> G ist genau dann eine Gruppe, wenn für alle x,y,z in G gilt: x \/ ((((x\/x)\/y)\/z) \/ (((x\/x)\/x)\/z)) = y \lr(1) Diese Aussage ist falsch, vermute ich. Setzen wir beispielsweise $G=\mathbb{Z}, /=+$, dann erhält man eine Gruppe und es soll nach dem Satz x + ((((x+x)+y)+z) + (((x+x)+x)+z)) = y für alle ganzen Zahlen gelten. Für x = 1, z = 1, und ein y = 9000 gilt dies aber nicht, also gilt es nicht für alle ganzen Zahlen. Wenn diese Argumentation richtig ist, dann ist der Satz falsch. mfg asdf.\(\endgroup\)
 

Re: Das Gruppenaxiom
von: Martin_Infinite am: Do. 18. Juni 2015 23:42:25
\(\begingroup\)$/$ soll nicht die Gruppenmultiplikation sein, sondern die Division $a/b = a \cdot b^{-1}$. Die Verknüpfung $\cdot$ ist, wie angegeben, $a \cdot b := a/((a/a)/b)$. Der Satz sollte eigentlich lauten: Sei $X$ eine nichtleere Menge. Dann gibt es eine Bijektion zwischen Gruppenstrukturen auf $X$ (d.h. den Gruppen mit unterliegender Menge $X$) und den binären Verknüpfungen / auf $X$, welche dieses monströse 'Gruppenaxiom' (1) erfüllen. (Du hast diese Bijektion mit der Identität verwechselt.) Es versteht sich eigentlich von selbst, dass das im Artikel so gemeint ist, vor allem, wenn man ihn etwas weiterliest, aber ich muss zugeben, dass das durchaus missverstanden werden kann. Diese Bijektion ist übrigens auch mit Homomorphismen verträglich, d.h. eine Abbildung $f : X \to X'$ ist bezüglich zwei Gruppenstrukturen auf $X$ bzw. $X'$ genau dann ein Homomorphismus, wenn $f(a/b)=f(a)/f(b)$ für alle $a,b \in X$ gilt. Das Ganze lässt sich ganz prägnant mit Hilfe der Kategorientheorie zusammenfassen: Die Kategorie der Gruppen ist zur Kategorie der Paare $(X,/)$ isomorph, wobei $/$ eine binäre Verknüpfung ist, welche das 'Gruppenaxiom' (1) erfüllt. Die Kategorien sind nicht identisch, kann man aber, wie man allgemein bei Isomorphie sagt, miteinander identifizieren.\(\endgroup\)
 

 
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