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Unendliche Galoistheorie
Häufig ist nur bekannt, dass es die Galoistheorie für endliche Körpererweiterungen gibt. In der Tat ist es aber auch so, dass man viele Resultate der Galoistheorie direkt oder leicht abgewandelt auf unendliche Körpererweiterungen übertragen kann.
Daher dieser Artikel, der sich zum Ziel gesetzt hat, dem Leser die Galoistheorie in verallgemeinerter Form darzulegen. Bedingung ist dafür, dass ihr etwas in Topologie bewandert seid und ein paar Grundeigenschaften von topologischen Gruppen 1 kennt.
Wenn dies bei euch erfüllt ist und ihr die nötige Geduld aufbringt, den Artikel bis zum Ende zu lesen, dann werden wir uns ein wunderschönes Theorem erarbeiten, das den Hauptsatz der Galoistheorie erst auf Galoiserweiterungen beliebigen Grades und schließlich auf beliebige Körpererweiterungen ausdehnt.
Seid also gespannt...
1 siehe Gruppenzwang VII, besonders die erste Hälfte wird für uns interessant sein.
Unser Ziel
In diesem Artikel werde ich zwei Verallgemeinerungen des aus array(Algebra I) bekannten Hauptsatzes der Galoistheorie vorstellen und auch beweisen.
Man betrachtet in der Galoistheorie die Abbildung H\mapsto\ L^H, die eine Untergruppe von Gal(L\|K) auf einen Zwischenkörper von L\|K abbildet, und die Abbildung M\mapsto\ Gal(L\|M), die einen Zwischenkörper auf eine Untergruppe abbildet.
Der Hauptsatz der endlichen Galoistheorie sagt für endliche Galoiserweiterungen L\|K aus, dass H\mapsto\ L^H und M\mapsto\ Gal(L\|M) zueinander inverse Bijektionen sind zwischen diesen Untergruppen\- bzw. Zwischenkörpermengen:
define(rl,array(\small\1:1;\normal\ opimg(<->);\small$\normal))
array(\
{,H<=Gal(L\|K),},\rl,{,K,opimg(\subseteq),M\subseteq\ L,};\
{,H<|Gal(L\|K),},\rl,{,K,\bigop(\normal\subseteq,,,Galois),M\subseteq\ L,})
Indem wir Gal(L\|K) mit einer Topologie versehen, werden wir ähnliche Aussagen für unendliche Galoiserweiterungen treffen und beweisen, dass die obigen Abbildungen Bijektionen zwischen diesen Mengen sind:
array(\
{,H<=Gal(L\|K),\|,H abgeschlossen,},\rl,{,K,opimg(\subseteq),M\subseteq\ L,};\
{,H<=Gal(L\|K),\|,H offen,},\rl,{,K,\bigop(\normal\subseteq,,,endl.),M\subseteq\ L,};\
{,H<|Gal(L\|K),\|,H abgeschlossen,},\rl,{,K,\bigop(\normal\subseteq,,,Galois),M\subseteq\ L,})
Haben wir das geschafft, so können wir noch einen Schritt weiter gehen und für eine beliebige__ Körpererweiterung L\|K Bijektionen zwischen diesen Mengen herstellen:
array(\
{,H<=Gal(L\|K),\|,H kompakt,},\rl,{,K,opimg(\subseteq),M,\bigop(\normal\subseteq,,,Galois),L,};\
{,H<=Gal(L\|K),\|,H kompakt und offen,},\rl,{,K,\bigop(\normal\subseteq,,,endl. erzeugt),M,\bigop(\normal\subseteq,,,Galois),L,}\
)
Galoiserweiterungen
In diesem Artikel soll es vor allem um Galois'sche Körpererweiterungen und ihre Eigenschaften gehen. Dazu müssen wir natürlich zunächst einmal wissen, was eine Galois'sche Erweiterung ist.
\big\ Definition\normal||: Eine Körpererweiterung L\|K heißt \darkblue\ Galoiserweiterung__\black oder \darkblue\ Galois'sch__\black||, wenn sie algebraisch, normal und separabel ist.
Das heißt also konkret, dass jedes Element von L Nullstelle eines separablen Polynoms aus K[x] ist und dass jedes irreduzible Polynom aus K[x], das in L eine Nullstelle hat, über L in Linearfaktoren zerfällt.
Im Falle einer endlichen Körpererweiterung kennt man viele äquivalente Formulierungen dieser Definition. Ich möchte diese jetzt nochmal auflisten und die Unterschiede zum unendlichen Fall darlegen:
\darkred\ Für eine endliche__ Körpererweiterung L\|K sind äquivalent:
\darkred\ll(i)L\|K ist eine Galoiserweiterung
\darkred\ll(ii)L ist Zerfällungskörper einer Menge separabler Polynome aus K[x]
\darkred\ll(ii')L ist Zerfällungskörper eines separablen Polynoms aus K[x]
\darkred\ll(iii)L^array(Gal(L\|K))=K
\darkred\ll(iv)Es gibt eine Untergruppe U<=Aut(L) mit L^U=K
\darkred\ll(v)abs(L:K)=abs(Gal(L\|K))
\blue\ Beweis: Siehe ein Algebra\-Skript deiner Wahl \bigbox
Ist L\|K nun eine beliebige Körpererweiterung, so ist weiterhin \ref(i)<=>\ref(ii) sowie \ref(iii) <=> \ref(iv), allerdings gilt nur noch \ref(i)=>\ref(iii). Es gibt Erweiterungen, die \ref(iii) erfüllen, aber nicht \ref(i).
\ref(v) braucht ebenfalls nicht mehr zu gelten, wenn man eine unendliche Galoiserweiterung hat.
Übrigens kann man als weiteres äquivalentes Kriterium für unendliche Galoiserweiterungen noch anführen
\darkred\ll(vi)L ist Vereinigung von endlichen Galoiserweiterungen über K
Dies ist offensichtlich äquivalent zu \ref(i) und \ref(ii), aber für endliche Galoiserweiterungen natürlich vollkommen unbrauchbar.
array(Beispiele\,Gegenbeispiele und sonstige Anmerkungen)__:
\ll(a)
array(\IF_p)^-\.\|\IF_p ist Galois'sch, denn es ist Zerfällungskörper von \IF_p\.[x]. Diese Erweiterung erfüllt aber \ref(v) nicht, da der Grad \aleph_0 beträgt, während die Automorphismengruppe überabzählbar \(genauer: von der Mächtigkeit abs(\IR)\) ist. Hier gelten also \ref(i), \ref(ii), \ref(iii), \ref(iv) sowie \ref(vi) aber weder \ref(ii') noch \ref(v).
\ll(b)
Allgemein ist K^sep\.\|K die größte Galoiserweiterung, die über einem Körper K möglich ist. K^sep ist dabei menge(x\el\ K^- | x separabel über K), d.h. der Zerfällungskörper aller separablen Polynome aus K[X].
Die Gruppe Gal(K^sep\.\|K) wird auch array(\darkblue\ absolute Galoisgruppe von K)__\black genannt.
\ll(c)
\IC\|\IQ ist keine Galoiserweiterung, da diese per Definition algebraisch ist und \IC über \IQ transzendente Elemente wie \ee und \pi enthält. Trotzdem gelten hier \ref(iii) und \ref(iv).
Die anderen Aussagen sind allesamt falsch für diese Erweiterung, denn Galois'sch ist sie wie gesagt nicht, also auch kein Zerfällungskörper von Polynomen mit rationalen Koeffizienten und außerdem ist für diese Erweiterung abs(Aut(\IC))=abs(Gal(\IC\|\IQ))=abs(2^\IC)>abs(\IC)=abs(\IC:\IQ)
Als Anmerkung sei noch gesagt, dass man Galoiserweiterungen auch als diejenigen Körpererweiterungen definieren kann, die (iii) und (iv) erfüllen.
Dies ist eine noch größere Verallgemeinerung, die aber schwieriger zu handhaben ist. So sind Galoiserweiterungen in unserem Sinne z.B. immer algebraisch. Erweiterungen, die (iii) erfüllen, müssen das - wie oben erwähnt - nicht sein.
Wir beschränken uns auf die Definition, die (i) und (ii) zugrunde legt. Zum einen, weil dieser Fall nicht ganz so schwer ist und zum anderen, weil man für ein vollständiges Verständnis des allgemeineren Falls sowieso die Ergebnisse aus dieser Form der Galoistheorie benötigt.
Ein bisschen was zu Körperhomomorphismen
Jetzt beweisen wir noch schnell ein paar Hilfssätze, die man für den Umgang mit unendlichen Erweiterungen immer gut gebrauchen kann:
Z.B. diesen ganz wichtigen:
\darkred\ Ist L\|K eine Galoiserweiterung, so ist L auch über jedem Zwischenkörper M Galois'sch.
\blue\ Beweis:
Ist sehr einfach, denn wenn L Zerfällungskörper von F\subseteq\ K[x] ist, dann ist es auch Zerfällungskörper dieser Menge, wenn man sie als Teilmenge von M[x] auffasst.
\blue\ q.e.d.
Mehr als einmal verwenden wir im Folgenden den
\darkred\big\ Fortsetzungssatz__:
\darkred\ Ist L\|K eine normale, algebraische Körpererweiterung mit Zwischenkörper E, so lässt sich jeder K\-Homomorphismus \a:E->L zu einem Homomorphismus L->L fortsetzen.
\blue\ Beweis:
Wir betrachten die Menge
Z:=menge((M,\phi) | M ist Zwischenkörper von L\|E, \phi\el\ Hom_K(M,L), \phi_\|E=\a),
die sich mittels
((M,\phi) <= (N,\psi)) :<=> (M\subseteq\ N \and \psi_\|M=\phi)
partiell ordnen lässt.
(E,\a) ist offensichtlich das kleinste Element dieser Ordnung.
Hat man nun eine Kette S bezüglich dieser Ordnung, so ist (M,\psi) mit M:=union(N,N\el\ S) eine obere Schranke, sofern man den Homomorphismus \psi so wählt, dass \psi(x)=\phi(x) für alle x\el\ N mit (N,\phi)\el\ S ist.
Zorns Lemma liefert uns also ein maximales Element (\Omega,\Xi). Wir müssen nun noch \Omega=L zeigen.
Sei dazu a\el\ L. Wir wollen nun \Xi auf \Omega(a) fortsetzen.
Bezeichne \mue_K das Minimalpolynom von a über K und \mue_\Omega das über \Omega. \mue_\Omega ist dabei insbesondere ein Teiler von \mue_K. Da L\|K normal ist, zerfallen beide Polynome in Linearfaktoren.
Wir erhalten einen Ringhomomorphismus \Omega||[X]->L[X], welchen wir mit \Xi^\* bezeichnen, indem wir X auf X abbilden und Koeffizienten mit \Xi abbilden.
\Xi^\* bildet \mue_K auf sich selbst ab, da \Xi ein K\-Homomorphismus ist. \mue_\Omega wird deshalb auf einen Teiler von \mue_K abgebildet. Indem wir a auf eine Nullstelle von \Xi^\*(\mue_\Omega) abbilden \(deren Existenz durch das Zerfallen in Linearfaktoren gesichert ist\), können wir auf \Omega(a) fortsetzen.
Da \Omega maximal ist, folgt \Omega=\Omega(a) => a\el\Omega => \Omega=L.
\blue\ q.e.d.
Kleine Anmerkung vielleicht: Ist L höchstens abzählbar erzeugt über E, so lässt sich die Benutzung des Lemmas von Zorn natürlich vermeiden, indem man die Konstruktion vom Ende, bei der wir von \Omega auf \Omega(a) fortgesetzt haben, induktiv für alle Erzeuger durchführt. Auf diese Weise kann man den Fortsetzungssatz z.B. für \IQ^-\|\IQ und array(\IF_p)^-\.\|\IF_p ohne AC beweisen.
(Dieses Prinzip kann man verallgemeinern, um weitere Fortsetzungssätze zu beweisen. Siehe dazu mein Notizbuch)
\darkred\ Ist L\|K eine algebraische Körpererweiterung, so ist Hom_K(L,L)=Gal(L\|K)
\blue\ Beweis:
Es muss gezeigt werden, dass jeder K\-Endomorphismus \phi von L auch surjektiv ist.
Sei a\el\ L und \mue das Minimalpolynom von a über K. Sei nun A=menge(b\el\ L | \mue(b)=0) die Menge der Nullstellen von \mue in L.
\phi_\|A ist nun eine Abbildung A->A, da Nullstellen von \mue nur wieder auf andere Nullstellen dieses Polynoms abgebildet werden können. Insbesondere ist \phi_\|A injektiv und wegen der Endlichkeit von A auch surjektiv. Vor allem ist a\el\ Bild(\phi_\|A)\subseteq\ Bild(\phi). Weil a\el\ L beliebig war, ist \phi surjektiv.
\blue\ q.e.d.
Als Konsequenz dieser beiden Sätze erhält man, dass für Galoiserweiterungen \ref(iii) und \ref(iv) aus dem letzten Absatz gelten.
\darkred\ Ist L\|K eine Galoiserweiterung, so ist L^array(Gal(L\|K))=K.
\blue\ Beweis:
Betrachten wir a\el\ L\\K, dann ist das Minimalpolynom von a über K mindestens vom Grad 2, besitzt also noch mindestens eine weitere Nullstelle a^-!=a in L, da L normal und separabel ist. Der K\-Homomorphismus K(a)->K(a^-): a\mapsto\ a^- lässt sich nach dem obigen Satz zu einem Homomorphismus L->L fortsetzen, der wiederum ein Automorphismus ist.
Also ist a\notel\ L^array(Gal(L\|K)). Da K offensichtlich im Fixkörper enthalten ist, ist die Gleichung erfüllt.
\blue\ q.e.d.
Als weitere Anwendung dieser Sätze folgt, dass sich Automorphismen von Zwischenkörpern in Galoiserweiterungen zu Automorphismen des Erweiterungskörpers fortsetzen lassen, d.h.:
\darkred\ Ist L\|M\|K ein Körperturm, bei dem L\|K und M\|K Galoiserweiterungen sind, so ist Gal(L\|K)->Gal(M\|K): \phi\mapsto\phi_\|M ein surjektiver Gruppenhomomorphismus mit Kern Gal(L\|M).
\blue\ Beweis:
Das Prinzip ist ja schon aus der endlichen Galoistheorie bekannt, es ist im Prinzip nur noch die Wohldefiniertheit und die Surjektivität zu zeigen.
Die Wohldefiniertheit folgt trivialerweise daraus, dass M\|K normal ist und daher \phi(M)\subseteq\ M ist für alle \phi\el\ Gal(L\|K).
Die Surjektivität folgt aus den letzten beiden Sätzen, denn man kann jeden K\-Automorphismus von M als K\-Homomorphismus M->L auffassen und ihn zu einem Endomorphismus von L fortsetzen, der nach dem zweiten Satz ein Automorphismus und damit ein Urbild unter der Einschränkungsabbildung ist.
\blue\ q.e.d.
Gal(L|K) als topologische Gruppe
Um den Hauptsatz der Galoistheorie auf unendliche Galoiserweiterungen übertragen zu können, versehen wir die Galoisgruppe einer Körpererweiterung nun mit einer Topologie. (Siehe dazu wie gesagt Gruppenzwang VII)
Die Krulltopologie
Sei im Folgenden immer L|K eine beliebige Körpererweiterung.
Wir betrachten nun die Untergruppen
\calS_\L := menge(\g\el\ Gal(L\|K) | \g(\l)=\l \forall\l\el\L)=Gal(L\|K(\L))
für \L\subseteq\ L.
Man kann diese Gruppen nun nutzen, um eine Topologie auf Gal(L\|K) zu definieren, die so genannte \darkblue\ Krull\-Topologie__\black||. Die offenen Mengen sind dabei genau die Mengen M, bei denen zu jedem m\el\ M eine endliche__ Teilmenge \L\subseteq\ L existiert mit m\calS_\L\subseteq\ M.
Insbesondere sind alle \calS_\L und deren Linksnebenklassen für endliche \L selbst offen und damit abgeschlossen. Sie bilden eine Umgebungsbasis der 1 für diese Topologie.
\darkred\ Gal(L\|K) wird mit der Krull\-Topologie zu einer topologischen Gruppe.
\blue\ Beweis:
Dazu beweisen wir, dass die Abbildung \m: (g,h)\mapsto\ gh^(-1) stetig ist, dass also zu jeder Umgebung U von gh^(-1) eine Umgebung V von (g,h) existiert mit \m(V)\subseteq\ U.
Seien also g,h\el\ Gal(L\|K) und U eine Umgebung mit gh^(-1)\el\ U.
Es existiert nach Definition der Topologie eine endliche Menge \L\subseteq\ L mit gh^(-1)\.\calS_\L\subseteq\ U. Setzen wir nun \G:=h^(-1)(\L), so gilt, weil \calS_\L eine Untergruppe ist:
g\calS_\G*((h\calS_\G))^(-1)=g*h^(-1)\.\calS_\L\.h*(h*h^(-1)\.\calS_\L\.h)^(-1)
=gh^(-1)\.\calS_\L\.h*(\calS_\L\.h)^(-1)=gh^(-1)\.\calS_\L\.hh^(-1)\.\calS_\L
=gh^(-1)\.\calS_\L\.\calS_\L=gh^(-1)\.\calS_\L
Dabei haben wir \g\calS_\L\.\g^(-1)=\calS_array(\g(\L)) und (\calS_\L)^(-1)=\calS_\L=\calS_\L\.\calS_\L benutzt.
Also ist also \m(g\calS_\G\cross\ h\calS_\G)=gh^(-1)\.\calS_\L\subseteq\ U. Da g\calS_\G und h\calS_\G offen sind, ist V:=g\calS_\G\cross\ h\calS_\G eine offene Menge und insbesondere eine Umgebung von (g,h).
\blue\ q.e.d.
\big\ Anmerkungen__:
Wenn man algebraische Erweiterungen betrachtet, kann man als Umgebungsbasis auch nur diejenigen \calS_\L zulassen, bei denen \L eine invariante Teilmenge von L ist, also \g(\L)=\L für alle \g\el\ Gal(L\|K).
In diesem Fall ist \calS_\L sogar ein Normalteiler von Gal(L\|K).
Außerdem ist jede endliche Menge \L\subseteq\ L in einer solchen invarianten Teilmenge \L^- enthalten. Dazu betrachtet man einfach die verschiedenen Einbettungen von K(\L)->L. Da \L aus endlich vielen algebraischen Elementen besteht, kann es auch nur endlich viele Einbettungen geben, da jedes nur auf endlich viele Nullstellen des eigenen Minimalpolynoms abgebildet werden kann.
Insbesondere ist dann \L^-:=union(\g(\L),\g\el\ Gal(L\|K)) eine endliche invariante Teilmenge von L und \calS_\L^- = cut(\calS_array(\g(\L)),\g\el\ Gal(L\|K)) = cut(\g\calS_\L\.\g^(-1),\g\el\ Gal(L\|K)).
Dabei tritt ein allgemeineres Phänomen auf: Ist (((\L_i)))_array(i\el\ I) ein System von Teilmengen von L und V die Vereinigung dieser Teilmengen, so ist cut(\calS_\L_i,i\el\ I)=\calS_V.
Die Topologien, die durch menge(\calS_\L | \L\subset\ L endlich) und menge(\calS_\L | \L\subset\ L endlich und invariant) als Umgebungsbasis der 1 definiert werden, sind daher diesselben, sofern L\|K algebraisch ist. Wir können \(und werden von Zeit zu Zeit\) oBdA annehmen, dass die Topologie von den invarianten, endlichen Teilmengen stammt.
Ist L\|K jedoch transzendent, dann sind diese Topologien nicht mehr äquivalent und als Krulltopologie wird nur noch diejenige bezeichnet, die ich zu Beginn dieses Abschnitts definiert habe.
Ist L|K eine endliche erzeugte Körpererweiterung, so stimmt die Krulltopologie mit der diskreten Topologie überein, da man als endliche Teilmenge schlicht die Erzeugermenge wählen kann und so die triviale Untergruppe als offene Menge erhält. Auch lässt sich umgekehrt (aus einigen der folgenden Aussagen) schließen, dass eine Galoiserweiterung mit diskreter Galoisgruppe endlichen Grades ist.
Wir wollen nun den im vorangegangenen Abschnitt zuletzt bewiesenen Satz noch etwas konkretisieren:
\darkred\ Sei L\|M\|K ein Körperturm, bei dem L\|K und M\|K Galois'sch sind und M\|K endlich erzeugt ist. Dann ist die Abbildung Gal(L\|K)->Gal(M\|K): \phi\mapsto\phi_\|M ein stetiger Gruppenhomomorphismus bezüglich der Krulltopologie.
\blue\ Beweis:
Sei M=K(A) mit einer endlichen Erzeugermenge A.
Das Urbild von menge(1_array(Gal(M\|K))) ist Gal(L\|M)=\calS_A, also eine offene Menge. Die Nebenklassen davon sind ebenfalls offen. Insbesondere ist also jedes Urbild offen in Gal(L\|K).
\blue\ q.e.d.
Bisher hatten wir zwar schon einiges Neues, aber nichts weltbewegend Anderes festgestellt im Vergleich zu dem, was man aus der endlichen Galoistheorie so kennt.
Nun kommen langsam aber sicher die Unterschiede zum Vorschein:
\darkred\ Ist L\|K eine Galoiserweiterung mit den Zwischenkörper M, so ist Gal(L\|M) eine abgeschlossene Untergruppe von Gal(L\|K). Umgekehrt ist für jede Untergruppe H<=Gal(L\|K) auch Gal(L\|L^H)=H^-.
\blue\ Beweis:
Für jede endliche Teilmenge \L\subseteq\ M ist Gal(L\|M)<=\calS_\L. Insbesondere ist Gal(L\|M)=cut(\calS_\L,array(\L\subseteq\ M; abs(\L)\el\IN))
Als Durchschnitt abgeschlossener \(weil offener\) Untergruppen ist auch Gal(L\|M) abgeschlossen.
Für die zweite Aussage haben wir also schon zur Verfügung, dass H':=Gal(L\|L^H) abgeschlossen ist und offensichtlich H enthält.
Es sei nun \L\subseteq\ L eine endliche Teilmenge von L. Sei nun M ein beliebiger Zwischenkörper von L\|K, so dass \L\subseteq\ M und M\|K eine endliche Galoiserweiterung ist. Das können wir z.B. erreichen, indem wir \L^-=cut(\g(\L),\g\el\ Gal(L\|K)) und M=K(\L^-) setzen.
Wir wissen bereits, dass die Restriktion auf M ein Homomorphismus ist. Bezeichne nun B das Bild von H unter diesem Homomorphismus.
B ist eine Untergruppe von Gal(M\|K) und aus der endlichen Galoistheorie wissen wir auch, dass B=Gal(M\|M^B) ist.
Wegen M^B=L^H\cut\ M ist aber jede Einschränkung von \sigma\el\ H' auf M die Identität auf M^B, also in B enthalten. Für jedes \sigma\el\ H' existiert also ein \tau\el\ H mit \sigma_\|M=\tau_\|M.
Vor allem ist dann aber \tau\el\sigma\calS_array(\L^-)\cut\ H\subseteq\sigma\calS_\L\cut\ H'. Somit ist in jeder Umgebung in H' auch mind. ein Element von H enthalten, H liegt also dicht in H', d.h. H'=H^-
\blue\ q.e.d.
Zwei sehr wichtige Aussagen über die topologische Struktur von Galoisgruppen wollen wir nun noch beweisen:
\darkred\ Für jede Körpererweiterung L\|K ist Gal(L\|K) hausdorff und total unzusammenhängend
\blue\ Beweis:
Wir betrachten zunächst die Zusammenhangskomponente C_1 des neutralen Elements. Für jede offene Untergruppe U gilt nun
C_1\subseteq\ Gal(L\|K)=U\union\ union(gU,g\el\ Gal(L\|K)\\U)
Da C_1 zusammenhängend und 1\el\ C_1 ist, ist C_1\subseteq\ U. Da U beliebig war, ist nun insbesondere
C\subseteq\ cut(U,array(U<=Gal(L\|K);U offen))\subseteq\ cut(\calS_\L,array(\L\subseteq\ L;abs(\L)\el\IN))=\calS_L={1}
Daraus folgt bereits, dass Gal(L\|K) hausdorff ist. Man kann es aber auch direkt beweisen. Seien \t!=\s\el\ Gal(L\|K), dann gibt es ein a\el\ L mit \t(a)!=\s(a). Für jede endliche Teilmenge \L\subseteq\ L, die a enthält, ist nun \t\calS_\L\cut\s\calS_\L=\0.
\blue\ q.e.d.
\darkred\ Für jede Galoiserweiterung L\|K ist G:=Gal(L\|K) eine kompakte Gruppe.
\blue\ Beweis:
Der Beweis hat es etwas in sich. Zunächst halten wir fest, dass G\/\calS_\L für endliche, invariante \L zu einer Untergruppe der diskreten Gruppe Sym(\L) isomorph und insbesondere endlich ist.
Der Durchschnitt aller dieser Untergruppen ist \- wie gesagt \- die triviale Untergruppe. Daher ist der kanonische Homomorphismus G->produkt(G\/\calS_\L_i,i\el\ I) injektiv. \(wobei I hier eine Indexmenge für alle endlichen, invarianten Teilmengen von L sein soll\)
Versieht man G\/\calS_\L jeweils mit der diskreten und \bigop(\Pi,G\/\calS_\L) mit der Produkttopologie, so stellt man fest, dass dieser Homomorphismus sogar stetig ist und G homöomorph zu seinem Bild ist.
Da die G\/\calS_\L endlich sind, sind sie kompakt. Nach dem \(zum AC äquivalenten\) Satz von Tychonoff ist also auch bigop(\Pi,G\/\calS_\L) kompakt. Es verbleibt zu zeigen, dass das Bild von G abgeschlossen im Produkt ist.
Sei nun j,k\el\ I und \L_j\subseteq\L_k.
Jetzt nehmen wir uns zwei stetige Abbildungen \bigop(\Pi,G\/\calS_\L)->G\/\calS_\L_j, nämlich einmal die Projektion auf die j\-te Komponente und einmal die Projektion auf die k\-te Komponente mit anschließender Einschränkung auf \L_j.
Sei R(\L_j, \L_k) nun die Menge, auf der diese beiden Abbildungen übereinstimmen. Da G\/\calS_\L_j diskret und somit hausdorff ist, ist R(\L_j, \L_k) abgeschlossen.
Konkret kann man R(\L_j, \L_k) angeben als
R(\L_j, \L_k)=menge(((g_i\.\calS_\L_i))_(i\el\ I)\el\bigop(\Pi,G\/\calS_\L) | ((g_j))_(\|\L_j) = (((g_k)))_(\|\L_j) )
Wenn wir G nun mit seinem Bild identifizieren, dann ist
G=cut(R(\L_j, \L_k),array(j\,k\el\ I;\L_j\subseteq\L_k))
also insbesondere abgeschlossen in bigop(\Pi,G\/\calS_\L) und somit kompakt.
\blue\ q.e.d.
Zwingend notwendig für die Kompaktheit ist im Übrigen, dass L|K wirklich eine algebraische Erweiterung ist. Obwohl wir die Krull-Topologie für alle Galoisgruppen definiert haben, gelingt der Beweis der Kompaktheit nur im algebraischen Fall. Das liegt darin begründet, dass im algebraischen Fall jede endliche Teilmenge von L in einer endlichen und invarianten Menge enthalten ist.
Ist L|K transzendent, so gibt es i.A. endliche Teilmengen von L, die in keiner endlichen invarianten Teilmenge enthalten sind (nämlich solche, die transzendente Elemente enthalten). Insbesondere funktioniert dann nämlich die Einbettung von G in das direkte Produkt nicht mehr, die hier Grundlage unseres Beweises war.
Was hingegen auch bei transzendenten Erweiterungen funktioniert, ist der Beweis, dass G total unzusammenhängend und somit Hausdorff ist.
Als weitere Anmerkung sei erwähnt, dass man diesen Satz auch umkehren kann: Jede topologische Gruppe, die total unzusammenhängend, (deshalb) hausdorff und kompakt ist, tritt als Galoisgruppe einer Galoiserweiterung auf. Man kann sogar sagen, dass diese Erweiterung Charakteristik 0 hat.
Der Hauptsatz der (unendlichen) Galoistheorie
Damit haben wir alle Mittel zusammen, um den Hauptsatz der unendlichen Galoistheorie zu formulieren und zu beweisen:
\big\ array(Hauptsatz der Galoistheorie)__:
Sei L\|K eine Galoiserweiterung. Dann sind H\mapsto L^H und M\mapsto Gal(L\|M) zueinander inverse, inklusionsumkehrende Bijektionen zwischen der Menge der abgeschlossenen Untergruppen von Gal(L\|K) und der Menge der Zwischenkörper K\subseteq\ M\subseteq\ L.
Sei G:=Gal(L\|K) und H eine abgeschlossene Untergruppe. Dann gilt weiterhin:
\ll(a)H ist genau dann offen, wenn L^H\.\|K endlich ist. In diesem Fall ist abs(L^H\.:K)=abs(G:H).
\ll(b)Gal(L\|\a(L^H))=\a\.H\a^(-1) für jeden Automorphismus \a\el\ G
\ll(c)L^H\.\|K ist genau dann normal, wenn H normal in G ist.
\blue\ Beweis des Hauptsatzes:
Die vorher bewiesenen Sätze liefern uns den Hauptsatz praktisch schon frei Haus, denn es gilt für abgeschlossene H<=G
Gal(L\|L^H)=H^-=H
und für Zwischenkörper K\subseteq\ M\subseteq\ L
L^array(Gal(L\|M))=M
Die beiden Abbildungen sind also zueinander inverse Bijektionen. Dass sie inklusionsumkehrend sind, bedeutet also H_1\subseteq\ H_2 <=> L^(H_1)\supseteq\ L^(H_2). Dies ist wegen
H_1\subseteq\ H_2=>L^(H_1)\supseteq\ L^(H_2)=>Gal(L\|L^(H_1))\subseteq\ Gal(L\|L^(H_2))
unmittelbar einsichtig.
\blue\ q.e.d.
\blue\ Beweis von \ref(a):
Die Abbildung G\/H->Hom_K(L^H,L): \g||H\mapsto\g_array(\|L^H) ist wohldefiniert, da L^H ja elementweise festgelassen wird von H.
Dass sie bijektiv ist, kann man leicht nachrechnen bzw. aus dem Fortsetzungssatz folgern.
Da G kompakt ist, ist H nun genau dann offen, wenn abs(G:H) endlich ist, denn eine offene Untergruppe in einer kompakten Gruppe ist von endlichem Index und eine abgeschlossene Untergruppe von endlichem Index ist offen.
Für einen Zwischenkörper M mit n:=abs(Hom_K(M,L))\el\IN ist n=abs(M:K).
Dazu zeigen wir zuerst abs(M:K)<=n: Sei m_1, ...m_(n+1) eine Menge von Elementen aus M und sei M':=K(m_1, ..., m_(n+1)). Dann gibt es ein primitives Element \a mit M'=K(\a).
Da L normal und separabel ist, ergibt sich für jede Nullstelle des Minimalpolynoms \mue_\a von \a eine andere Einbettung in L. Da es aufgrund des Fortsetzungssatzes maximal n Einbettungen von M' geben kann, ist deg(\mue_\a)=abs(M':K)<=n. Insbesondere sind m_1, ..., m_(n+1) nicht linear unabhängig und, weil sie völlig frei aus M gewählt wurden, gilt abs(M:K)<=n.
M ist also eine endliche Erweiterung. Wählt man nun ein primitives Element für ganz M, also M=K(\b), gibt es genau abs(M:K)=deg(\mue_\b) Einbettungen von M in L.
Es ist also abs(Hom_K(M,L))=abs(M:K) im endlichen Fall.
Ist umgekehrt abs(M:K) endlich, so ist aufgrund ähnlicher Überlegungen zum primitiven Element abs(M:K)=abs(Hom_K(M,L)).
Daher folgt:
H offen <=> abs(L^H\.:K) endlich => abs(L^H\.:K)=abs(G:H)
\blue\ q.e.d.
\blue\ Beweis von \ref(b)
Es gilt für alle h\el\ H:
\forall\ m\el\ L^H: \a\.h\a^(-1)(\a(m))=\a(m) <=> \a\.h\a^(-1) \el\ Gal(L\|(\a(L^H))
\blue\ q.e.d.
\blue\ Beweis von \ref(c)
Bekannt ist, dass M\|K genau dann normal ist, wenn \a(M)=M ist. Daher ist mit \ref(b) H genau dann normal in G, wenn M normal über K ist.
Die Einschränkung auf M ist \- wie oben schon bewiesen \- ein Homomorphismus mit Kern Gal(L\|L^H)=H. Es ist also insbesondere Gal(L^H\.\|K)~=Gal(L\|K)\/Gal(L\|L^H) falls L^H\.\|K normal ist.
\blue\ q.e.d.
Bevor wir uns dem nächsten großen Schritt zuwenden, wollen wir noch schnell ein Beispiel betrachten:
\darkred\ Es gibt Galoisgruppen, die nicht\-offene und nicht\-abgeschlossene Untergruppen haben.
Man betrachte L=\IQ(sqrt(p) \| p\el\IP). Es ist nun Gal(L\|K)~=(\IZ_2)^\IP. Fasst man einen Automorphismus \k\el\ Gal(L\|K) als Folge (k_2, k_3, k_5, ...) auf, so ist die Wirkung durch \k(sqrt(p))=(-1)^k_p*sqrt(p) gegeben.
Die Untergruppe (\IZ_2)^(\IP), also die direkte Summe von abzählbar vielen Kopien von \IZ_2, hat denselben Fixkörper wie die komplette Gruppe. Der Hauptsatz der Galoistheorie liefert uns:
array((\IZ_2)^(\IP))^- = (\IZ_2)^\IP
Daher ist (\IZ_2)^(\IP) nicht abgeschlossen und daher auch nicht offen.
Es gibt also i.A. "mehr" Untergruppen als Zwischenkörper in unendlichen Galoiserweiterungen. \(Anders als bei endlichen Erweiterungen, wo es mindestens so viele Zwischenkörper wie Untergruppen gibt\)
Einen hab ich noch...
Nun, da wir den Hauptsatz bewiesen haben, können wir noch einen Schritt weiter gehen und eine noch allgemeinere Variante beweisen, die nun für beliebige Körpererweiterungen gilt und mit Hilfe der 2 natürlichen Abbildungen folgende Mengen bijektiv aufeinander abbildet:
define(rl,array(\small\1:1;\normal\ opimg(<->);\small$\normal))
array(\
{,H<=Gal(L\|K),\|,H kompakt,},\rl,{,K,opimg(\subseteq),M,\bigop(\normal\subseteq,,,Galois),L,};\
{,H<=Gal(L\|K),\|,H kompakt und offen,},\rl,{,K,\bigop(\normal\subseteq,,,endl. erzeugt),M,\bigop(\normal\subseteq,,,Galois),L,}\
)
Diesen Zusammenhang werden wir jetzt beweisen:
\darkred\ Sei L\|K Körpererweiterung, \frakH die Menge der kompakten Untergruppen von Gal(L\|K) und \frakM die Menge der Zwischenkörper M, so dass L\|M Galois'sch ist. Die kanonischen Abbildungen bilden diese Mengen bijektiv aufeinander ab.
\blue\ Beweis:
Wir nehmen uns ein H\el\frakH sowie ein \xi\el\ L.
Gal(L\|K(\xi))=\calS_menge(\xi) ist eine offene Menge von Gal(L\|K) und H':=H\cut\calS_menge(\xi) ist demnach eine offene Menge von H.
Weil H kompakt ist, ist H' von endlichem Index in H \(die Nebenklassen bilden eine offene Überdeckung\). Wir betrachten das Polynom produkt((X-h(\xi)),hH'\el\ H\/H'). \xi ist offensichtlich eine Nullstelle und die Koeffizienten liegen in L^H, da das Polynom unter der Operation von H invariant ist.
Demzufolge ist L\|L^H eine algebraische Erweiterung. Da h_1(\xi)=h_2(\xi) <=> h_1\.H'=h_2\.H' gilt, ist das obige Polynom und damit die Erweiterung L\|L^H separabel. Das obige Polynom und mit ihm auch das Minimalpolynom von \xi über L^H zerfällt in L[x] in Linearfaktoren, also ist L\|L^H normal.
Insbesondere haben wir es also mit einer Galoiserweiterung zu tun.
Der Hauptsatz der Galoistheorie liefert nun Gal(L\|L^H)=H.
In der Umkehrung wissen wir, dass für jedes Element M\el\frakM die Gruppe Gal(L\|M) kompakt ist und L^array(Gal(L\|M))=M erfüllt.
\blue\ q.e.d.
\darkred\Seien L\|K, \frakH und \frakM wie oben. Sei weiterhin \frakH^0\subseteq\frakH die Teilmenge der offenen, kompakten Untergruppen und \frakM^0\subseteq\frakM die Menge der Zwischenkörper M, so dass L\|M Galois'sch und M\|K endlich erzeugt ist.
\darkred\frakH^0 und \frakM^0 werden durch die natürlichen Abbildungen bijektiv aufeinander abgebildet. Gal(L\|K) ist genau dann lokal\-kompakt, wenn \frakH^0 \(und damit auch \frakM^0\.\) nicht\-leer ist.
\blue\ Beweis:
Sei M\el\frakM^0 mit M=K(\l_1, ..., \l_n). Dann ist Gal(L\|M)=\calS_menge(\l_1, ..., \l_n) eine kompakte, offene Untergruppe.
Sei nun weiterhin H\el\frakH^0. Da H offen ist, existiert ein endliches \L\subseteq\ L, so dass \calS_\L\subseteq\ H ist. \calS_\L ist nun ebenfalls in \frakH^0, da \calS_\L offen, abgeschlossen und Teilmenge einer kompakten Menge ist. Der Fixkörper L^\calS_\L=K(\L) ist in \frakM^0. Es ist L^H\subseteq\ L^\calS_\L\., da \calS_\L\subseteq\ H.
Als Unterkörper des endlich erzeugten L^\calS_\L ist auch L^H endlich erzeugt.
(siehe dazu auch hier im Forum)
Ist \frakH^0 nichtleer, so haben wir schon gezeigt, dass ein offenes, kompaktes \calS_\L existiert, also eine Umgebung von 1. Durch Linksmultiplikation erhält man so eine offene, kompakte Umgebung für jedes Element von Gal(L\|K).
Ist umgekehrt Gal(L\|K) lokalkompakt, so existiert eine offene Umgebung O der 1, deren Abschluss kompakt ist. Wir erhalten wieder ein endliches \L\subseteq\ L, so dass \calS_\L\subseteq\ O\subseteq\ O^- ist.
\calS_\L ist wieder offen, abgeschlossen und Teilmenge einer kompakten Menge. Insbesondere also eine offene, kompakte Untergruppe.
\blue\ q.e.d.
Abschluss
Mit diesen beiden letzten Bijektionen ergibt sich wiederum der Hauptsatz der Galoistheorie (in beiden Versionen), denn z.B. im endlichen Falle sind alle Untergruppen offen, abgeschlossen und kompakt, da Gal(L|K) endlich und diskret ist.
Im unendlichen Fall sind die kompakten Untergruppen genau die abgeschlossenen, da Gal(L|K) dort selbst kompakt ist.
Es gibt andere Beweisansätze, die nicht wie hier "unten anfangen" und jeweils mit Hilfe des Spezialfalles die Verallgemeinerung beweisen. Man könnte also auch die schweren Geschütze zuerst beweisen und mit ihnen dann die endlichen und unendlichen Galoiserweiterungen erschlagen, aber ich finde diese Variante schöner, weil hier sehr schön eins ins andere greift.
Zusammenfassend kann man nur sagen "Einfach begeisternd, oder?". Ich jedenfalls bin von der Schönheit der hier bewiesenen Sätze sehr angetan und ich hoffe, euch auch ein wenig dafür begeistert zu haben.
Gal(M\|F^G)=G^-ockel
\(\endgroup\)
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2023-03-24 11:03 U ?
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