Stern Mathematik: Ultrafilter in Topologie und Logik
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Mathematik

\(\begingroup\) Ultrafilter

Ultrafilter in Topologie und Logik

Ultrafilter sind sehr seltsame mengentheoretische Objekte. Kein Mensch kann sich vorstellen wie ein freier Ultrafilter aussieht. Trotzdem lässt sich damit eine Menge interessanter Mathematik betreiben. Wir verwenden Ultrafilter um eine Reihe spektakulärer Sätze zu Beweisen. Insbesondere beweisen wir Tychonoffs Produkttheorem und den Kompaktheitssatz der Aussagenlogik.

Wenn in diesem Artikel gesagt wird dass zwei Aussagen äquivalent sind, dann ist damit gemeint dass die Aussagen in der Mengenlehre ZF ohne Auswahlaxiom logisch äquivalent sind.

Filter und Ultrafilter im Allgemeinen

Sei M eine Menge. Eine nichtleere Familie \calF von Teilmengen von M ist ein \stress\Filter\normal\ auf M wenn sie folgende Bedingungen erfüllt: (i) \0\notel\ \calF (ii) A\el\ \calF und B\el\ \calF impliziert A\cut\ B\el\ \calF. (iii) A\el\ \calF und A\subsetequal\ B\subsetequal\ M impliziert B\el\ \calF. Intuitiv können wir Filter als "große" Teilmengen betrachten. M ist groß und \0 ist sicher nicht groß. Da eine Übermenge einer großen Menge "noch größer" ist, ist sie auch groß. Und da große Mengen einen großen Teil von M einnehmen, stimmen sie auf einem großen Bereich überein. Damit ist auch der Schnitt zweier großer Mengen groß. In der Nichtstandardanalysis zum Beispiel werden Funktionen oft als gleich betrachtet wenn sie auf einer großen Menge übereinstimmen, also auf dem Element eines Filters (eines freien Ultrafilters um genau zu sein). Nicht alle Filter werden dieser Intuition gleichermaßen gerecht. Die Teilmengen des Einheitsintervalls [0,1] mit Lebesgue-Maß 1 sind ein Filter, aber auch die fixierten Ultrafilter von denen wir bald reden werden. Diese enthalten eine gar nicht so große einelementige Menge. Ein Filter \calF heißt \stress\frei\normal\ falls cut(\calF)=\0, andernfalls heißt \calF \stress\fixiert\normal\. Aus (i) und (ii) folgt dass es auf einer endlichen Menge keine freien Filter gibt. Auf jeder unendlichen Menge M ist der \stress\ kofinite Filter \normal\ oder \stress\Fréchetfilter \normal\ \calK={A\subsetequal\ M: M-A ist endlich} frei, da jedes Element in einer endlichen Teilmenge liegt und damit nicht in allen Komplementen endlicher Teilmengen. Es gilt sogar: \big\ Satz 1:\normal\ Sei M eine Unendliche Menge und \calK der kofinite Filter auf M. Ein Filter \calF auf M ist genau dann frei wenn \calK\subsetequal\ \calF. \big\ Beweis:\normal\ Wir müssen nur noch zeigen dass ein freier Filter \calF den kofiniten Filter umfasst. Sei E\subsetequal\M endlich. Wir zeigen dass M-E\el\ \calF. Da der Annahme gemäß cut(\calF)=\0 gibt es für jedes e\el\ E ein F_e\el\ \calF mit e\notel\ F_e. Nun ist wegen (ii) cut(F_e,e\el\ E)\el\ \calF und dies ist eine Teilmenge von M-E. Also gilt wegen (iii) M-E\el\ \calF. \bigbox Folgendes Lemma ist zuweilen ganz nützlich: \stress\ Lemma 1: \normal\ Sei \calF ein Filter auf M. Wenn A\subsetequal\ M und weder A\el\ \calF noch M-A\el\ \calF dann ist {B\cut\ F: F\el\ \calF, A\subsetequal\ B\subsetequal\ M} ein Filter auf M der A enthält und \calF umfasst. \stress\ Beweis: \normal\ Wir müssen die Filtereigenschaften nachweisen. (iii) Ist C\supersetequal\ F\cut\B so ist C=(C\union\ B)\cut\ (C\union\ F). Dabei ist (C\union\ F) als Übermenge von F in \calF enthalten und es gilt A\subsetequal\ B\subsetequal\ (C\union\B)\subsetequal\ M. (i) Wenn B\cut\ F=\0 dann gilt F\subsetequal\ M-B\subsetequal\ M-A\el\ \calF. \blitz (ii) (B_1\cut\ F_1)\cut\(B_2\cut\ F_2 )=(F_1\cut\ F_2)\cut\(B_1\cut\ B_2 ). \bigbox Wir nennen einen Filter \calU auf M \stress\ Ultrafilter \normal\ falls für jede Menge A\subsetequal\ M entweder A\el\ \calU oder M-A\el\ \calU gilt. Um die vorher erwähnte Intuition weiterzuführen: Ein Ultrafilter teilt alle Mengen in große und kleine Mengen. Wir können zu jedem Ultrafilter ein endlich-additives Maß definieren, indem wir Mengen aus dem Filter das Maß 1 und allen anderen das Maß 0 zuordnen. Was auf dem Element eines Filters gilt, gilt dann "fast überall". Es gibt noch ein paar andere mögliche Arten einen Ultrafilter zu definieren: \stress\ Satz 2: \normal\ Sei \calU ein Filter auf M. Folgende Bedingungen sind äquivalent: (1) \calU ist ein Ultrafilter. (2) Wenn \calF ein Filter auf M ist und \calU\subsetequal\ \calF dann gilt \calU=\calF. (3) Wenn A_1\union\ A_2\el\ \calU dann gilt A_1\el\ \calU oder A_2\el\ \calU. \stress\ Beweis: \normal\ (1=>2) Gäbe es ein Element A in \calF das nicht in \calU wäre so wäre M-A in \calU und somit auch in \calF. Aber wegen (ii) wäre dann A\cut (M-A)=\0\el\ \calF, aber das ist ein Widerspruch zu (i).\blitz (2=>1) Wäre das nicht so könnten wir, wie in Lemma 1 gezeigt, einen echt größeren Filter finden, der \calU umfasst.\blitz (1=>3) A_1\notel\ \calU impliziert M-A_1\el\ \calU und M-A_1\cut\ (A_1\union\ A_2)\subsetequal\ A_2. (3=>1) Hierfür wählen wir einfach A_2=M-A_1. Die Vereinigung beider ist M und nach Voraussetzung muß eine von beiden in \calU sein. \bigbox Bei (3) ist es natürlich egal wieviele Mengen A_1, A_2, ...A_n mit A_1\union\ ... \union\ A_n\el \calU wir betrachten. Es gibt immer ein A_i\el \calU mit 1<=i<=n. Die fixierten Ultrafilter sind relativ übersichtlich. Denn wenn \calU ein Ultrafilter auf M ist und x\el\ cut(\calU) dann ist \calF={A\subsetequal\ M: x\el\ A} ein Ultrafilter der \calU umfasst und wegen Satz 2.2 gilt \calF=\calU. Die fixierten Ultrafilter auf M sind also einfach die Systeme aller Teilmengen die ein bestimmtes Element enthalten. Freie Ultrafilter sind deutlich unübersichtlicher und es ist unmöglich einen solchen explizit anzugeben. Mit Hilfe des Auswahlaxioms können wir nichtsdestotrotz zeigen dass auf jeder unendlichen Menge ein Ultrafilter existiert. Wir verwenden dazu folgenden Satz den wir mit Hilfe von Zorns Lemma (\textrightarrow Anhang) beweisen. \stress\ Satz 3 (UF): \normal\ Jeder Filter wird von einem Ultrafilter auf der selben Menge umfasst. \stress\ Beweis: \normal\ Sei \calF ein Filter auf M. Die Menge {\calG\supersetequal\ \calF: \calG ist ein Filter auf M} wird durch die Teilmengenrelation \subsetequal\ geordnet. Wenn K eine Kette in dieser Menge ist so ist, wie sich leicht zeigen lässt, union(K) wieder ein Filter der \calF umfasst und eine obere Schranke von K. Damit ist die Vorraussetzung für Zorns Lemma gegegben und es existiert ein \void\subsetequal\-maximales Element \calU. Nach Satz 2.2 ist \calU ein Ultrafilter. \bigbox Ein Ultrafilter auf M der den kofiniten Filter umfasst ist frei, falls M unendlich ist, und somit existiert nach Satz 3 auf jeder unendlichen Menge ein freier Ultrafilter. Sei f:X->Y eine beliebige Funktion und \calF ein Filter auf X. Dann ist f[\calF\]={A\supersetequal\ f(F):A\subsetequal Y, F\el\ \calF} ein Filter auf Y, der \stress\ Bildfilter \normal\ von \calF unter f. Äquivalent dazu: f[\calF \]=menge(A \subseteq Y | f^(-1) (A) \in \calF) Wenn \calU ein Ultrafilter ist dann ist auch f[\calU\] immer ein Ultrafilter. Anmerkungen: Zuweilen wird Bedingung (i) in der Definition eines Filters weggelassen, damit sind Filter dual zu mengentheoretischen Idealen. Filter lassen sich auch allgemeiner auf beliebigen (partiell) geordneten Mengen definieren. Sei O eine geordnete Menge. Ein Filter F ist dann eine Teilmenge von O die (i) echt kleiner ist als O, (ii) zu je zwei Elementen gibt es eine untere Schranke. (iii) mit jedem Element von O enthält F auch alle größeren. Wenn die geordnete Menge ein Boolscher Verband ist lassen sich alle Sätze in diesem Abschnitt probemlos übertragen. Den kofiniten Filter Fréchetfilter zu nennen ist eigentlich recht verbreitet, allerdings verwendet zumindest Boto von Querenburg in Mengentheoretische Topologie 2001 den Ausdruck für einen anderen (freien) Filter auf R. Satz 3 lässt sich nur mit dem Auswahlaxiom beweisen, ist jedoch echt schwächer als dieses. Wir werden in diesem Artikel eine Reihe von Sätzen vorstellen die äquivalent zu Satz 3 sind.

Ultrafilter in der Topologie

\stress\ Zur Wiederholung:\normal\ Ein \stress\ topologischer Raum \normal\ besteht aus einer Menge X und einem System \tau von Teilmengen mit folgenden Eigenschaften: (i) \0,X\el\ \tau (ii) M\subsetequal\ \tau impliziert union(M)\el\tau (iii) O_1 ,O_2 \el\tau impliziert O_1 \cut O_2 \el\tau Dabei wird \tau eine \stress\ Topologie\normal\ genannt. Zuweilen erwähnen wir die Topologie nicht extra und nennen X selbst einen topologischen Raum. Die Elemente von \tau werden \stress\ offene Mengen \normal\ gennant, ihre Komplemente in X \stress\ abgeschlossene Mengen\normal\ . Wenn alle Elemente einer Topologie \tau gerade die Vereinigung von Elementen aus einer Menge \calB sind, dann ist \calB eine \stress\ Basis \normal\ von \tau. Wenn die endlichen Schnittmengen einer Menge S die Basis einer Topologie \tau sind, dann ist S eine \stress\ Subbasis \normal\ von \tau. Die von der Subbasis erzeugte Topologie ist die kleinste Topologie in der alle Elemente der Subbasis offen sind. Topologien können recht seltsam sein. Auf jeder Menge M ist {M,\0} eine Topologie, die Klumpentopologie. Ein anderes Extrem ist alle Teilmengen von M als offen zu betrachten. Die Topologie \calP(M) wird in diesem Zusam\- menhang \stress\ diskrete \normal\ Topologie genannt. Wenn \calF ein Filter auf M ist, dann ist \calF\union\ {\0} eine Topologie. Wenn \calF der kofinite Filter ist, bekommen wir so die \stress\ kofinite Topologie \normal\. Eine etwas natürlichere Topologie ist die \stress\ natürliche Topologie auf \IR\normal\ , sie hat alle offenen Intervalle als Basis. Eine Menge von reellen Zahlen ist also offen in der natürlichen Topologie auf \IR wenn jeder Punkt der Menge in einem offenen Intervall, das ganz in der Menge enthalten ist, liegt. Es sind Topologien wie diese, die die Intuition zu unseren topologischen Begriffen liefert. Aber auch die pathologischeren Topologien sind für unsere Zwecke nützlich. Eine Teilmenge U eines topologischen Raumes heißt \stress\ Umgebung \normal\ array(von x wenn es) eine offene Menge O gibt mit x\el\O\subsetequal\ U. Die Menge aller array(Umgebungen von x) ist ein Filter und wir nennen ihn den \stress\Umgebungsfilter \normal\ U(x). Die offenen Mengen sind gerade die Umgebungen, die Umgebung jedes ihrer Elemente sind. Ein topologischer Raum hat die \stress\Hausdorff-Eigenschaft \normal\ wenn sich zwei beliebige Punkte durch disjunkte Umgebungen trennen lassen, dh. X hat die Hausdorff-Eigenschaft wenn für a,b\el X, a!=b eine Umgebung U von a und eine Umgebung V von b existiert mit U\cut V=\0. Die diskrete Topologie auf einer Menge oder die natürliche Topologie auf \IR haben beide die Hausdorff-Eigenschaft. Beispiele für Topologien die die Hausdorff-Eigenschaft nicht haben sind die Klumpentopologie auf einer Menge mit midestens zwei Elementen oder die kofinite Topologie auf einer unendlichen Menge. Eine funktion f von einem Topologischen Raum X in einen topologischen Raum Y ist \stress\stetig \normal\ falls die Urbilder von Y\-offenen Mengen unter f X\-offen sind. Äquivalent dazu ist f stetig falls für alle x\el X das Urbild jeder Umgebung von f(x) eine Umgebung von x ist. Wenn Y Teilmenge eines Topologischen Raumes X mit der Topologie \tau ist, so ist \tau_Y={O\cut\ Y:O\el\ \tau} eine Topologie auf Y, die \stress\ Teilraumtopologie. \normal\ Ein Topologischer Raum X heißt \stress\ kompakt \normal\ wenn für jede Menge \calO von offenen Mengen mit union(\calO)=X eine endliche Menge \calE\subsetequal\ \calO existiert mit union(\calE)=X. Dual dazu ist X kompakt wenn für jede Menge von abgeschlossenen Mengen mit cut(\calA)=\0 eine endliche Menge \calE\subsetequal\ \calA existiert mit cut(\calE)=\0. Eine Teilmenge Y eines topologischen Raumes heißt kompakt wenn sie mit der Teilraumtopologie versehen ein kompakter topologischer Raum ist, d.h. Wenn \calO ein System offener Mengen mit union(\calO)\supersetequal\ Y ist dann existiert eine endliche Menge \calE\subsetequal\ \calO mit union(\calE)\supersetequal\ Y. Alle endlichen Mengen sind kompakt und oft kann "kompakt" als Verall\- gemeinerung von "endlich" verwendet werden. Filter erlauben uns den aus der Analysis bekannten Konvergenzbegriff für Folgen auf topologische Räume auszudehnen. Die Definition aus der Analysis: Eine Folge ((x_n)) in \IR konvergiert gegen x wenn für jedes \epsilon>0 ein N\el\ \IN existiert so dass für alle n>=N gilt dass x_n\el\ (x-\epsilon,x+\epsilon). Wenn wir \IR mit der natürlichen Topologie als topologischen Raum betrachten, können wir das verkürzen zu: Eine Folge ((x_n)) in \IR konvergiert gegen x wenn für jedes U\el\U(x) ein N\el\ \IN existiert so dass für alle n>=N gilt dass x_n\el\U. Definieren wir nun einen Filter \calF(x_n) zu jeder Folge mit \calF={M\subsetequal\ \IR: n>=N impliziert x_n\el\ M für ein N\el\ \IN}. Wir können nun weiter kürzen: Eine Folge ((x_n)) in \IR konvergiert gegen x wenn U(x)\subsetequal\ \calF(x_n). Und schon sind wir bei der Konvergenz von Filtern. Ein Filter \calF in einem topologischen Raum \stress\ konvergiert \normal\ gegen x wenn U(x)\subsetequal\ \calF. Wir schreiben dann \stress\ x\el\lim \calF\normal\. Das ist nun schön und gut, aber was können Filter was Folgen nicht können? Betrachten wir einmal folgenden Satz: \stress\ Satz 4: \normal\ Sei X eine Menge und \tau, \tau\' Topologien auf X. Die beiden Topologien sind genau dann gleich wenn die selben Filter gegen die selben Punkte konvergieren. \stress\ Beweis: \normal\ Wenn beide Topologien gleich sind haben sie die selben offenen Mengen und damit die selben Umgebungsfilter. Da die Konvergenz eines Filters gegen einen Punkt nur von dem Filter selbst und dem Umgebungs\- filter abhängt ist klar dass die selben Filter gegen die selben Punkte konvergieren. Für die Umgekehrte Richtung sei x ein beliebiger Punkt aus X, U(x) der Umgebungsfilter mit der Topologie \tau und U'(x) der Umgebungsfilter mit der Topologie \tau\'. Umgebungsfilter konvergieren natürlich immer in der jeweiligen Topologie. Da nach Annahme die selben Filter auf X gegen die selben Punkte konvergieren gilt U(x)\subsetequal\U'(x) und U'(x)\subsetequal\U(x). Das folgt direkt aus der Definition der Filterkonvergenz. Damit gilt U(x)=U'(x) und beide Topologien haben die selben Umgebungsfilter. Da die offenen Mengen gerade die Umgebungen sind die Umgebung all ihrer Punkte sind, folgt dass beide Topologien die selben offenen Mengen haben und damit gleich sind. \bigbox Topologien werden also durch ihre Filterkonvergenz determiniert. Mit Folgen klappt das einfach nicht mehr. Sei X überabzählbar. Sowohl in der diskreten Topologie als auch in der kofiniten Topologie auf X konvergieren lediglich die Folgen, die eventuell konstant sind, und sie konvergieren nur gegen die jeweilige Konstante. Trotzdem sind beide Topologien verschieden. 1:0 für die Filter! Wir könnten problemlos weitere Punkte für die Filter sammeln, aber wir wollen zu den Ultrafiltern. Also: \stress\ Satz 5: \normal\ Ein topologischer Raum X ist genau dann kompakt wenn alle Ultrafilter auf X konvergieren. \stress\Beweis: \normal\ Angenommen X ist kompakt, aber ein Ultrafilter \calU auf X konvergiert nicht. Damit gibt es für jedes x\el\ X eine offene Umgebung die nicht in \calU enthalten ist. Sei \calO={O:O offen, O\notel\ \calU}. Es gilt union(\calO)=X und da X kompakt ist existiert eine Endliche Menge \calE\subsetequal\ \calO mit union(\calE)=X. Nach Satz 2.3 ist ein Element von \calE in \calU enthalten.\blitz Angenommen nun jeder Ultrafilter konvergiert, aber X ist nicht kompakt. Sei \calO eine Menge von offenen Mengen mit union(\calO)=X, so dass für keine endliche Menge \calE\subsetequal \calO gilt dass union(\calE)=X. Sei B={X-union(E): E\subsetequal\ \calO, E endlich}. Wenn Y\el B und Z\el B dann ist Y\cut Z nichtleer. Damit ist {W\supersetequal A:A\el B} ein Filter der von einem konvergenten Ultrafilter umfasst wird (Satz 3, UF). Dieser Filter konvergiert gemäß der Annahme gegen ein x. Dises x ist in einem U_x\el\ \calO enthalten. Da \calU gegen x konvergiert gilt U_x\el\ \calU. Aber auch X-U_x\el\ \calU.\blitz \bigbox Vielleicht kennt ihr den Satz dass ein metrischer Raum M genau dann kompakt ist wenn jede Folge in M eine konvergente Teilfolge hat. Dies ist die Verallgemeinerung für beliebige topologische Räume. Es kann übrigens auch im metrischen Fall nicht ganz auf das Auswahlaxiom verzichtet werden. Der nächste Satz verallgemeinert die Äquivalenz von Stetigkeit und Folgenstetigkeit in metrischen Räumen. \stress\ Satz 6: \normal\ Seien (X,\tau) und (X',\tau\') zwei Topologische Räume. Eine Funktion f:X->X' ist genau dann stetig wenn für jeden gegen x konvergierenden Filter \calF in X auch f[\calF\] gegen f(x) konvergiert. \stress\ Beweis: \normal\ Sei f stetig, x\el lim \calF und U(f(x)) eine Umgebung von f(x). Wir wollen zeigen dass die Umgebung U im Bildfilter f[\calF\] liegt. Da f stetig ist, ist f^(-1) (U) eine Umgebung von x und da x\el lim \calF haben wir f^(-1) (U)\el \calF (Definition der Filterkonvergenz). Da U eine beliebige Umgebung war, liegen alle Umgebungen von f(x) in f[\calF\] und damit f(x)\el lim f[\calF\]. Für die umgekehrte Richtung betrachten wir lediglich die Umgebungsfilter. Das Bild des Umgebungsfilters U(x) konvergiert nach Annahme gegen f(x). Um zu beweisen dass f stetig ist müssen wir zeigen dass die Urbilder von Umgebungen von f(x) Umgebungen von x sind. Sei U eine Umgebung von f(x). Da f[U(x)]={A\subsetequal\ Y:f^(-1) (A)\el U(x)} haben wir f^(-1) (U)\el U(x). Da U(x) gerade die Menge aller Umgebungen von x ist, ist damit f^(-1) (U) Umgebung von x. \bigbox \stress\Satz 7: \normal\Das Bild einer kompakten Menge unter einer stetigen Funktion ist kompakt. \stress\ Beweis: \normal\ Seien X und Y topologische Räume, K\subsetequal\ X kompakt und f:X->Y stetig. Ist \calO eine Menge von in Y offenen Mengen mit union(\calO)\supersetequal\ f(K), so ist \calO_X={f^(-1) (O):O\el\ \calO} eine Menge von in X offenen Mengen mit union(\calO_X)\supersetequal\ K. Da K kompakt ist existiert eine endliche Menge E\subsetequal\ \calO_X mit union(E)\supersetequal\ K. Dann ist E_Y={f(O):O\el\E} eine endliche Teilmenge von \calO und union(E_Y)\supersetequal\ f(K). \bigbox Sei {X_i :i\el\I} eine indizierte Menge. Das Produkt produkt(X_i,i\el\I) ist die Menge aller Funktionen h von I nach union(X) für die h(i)\el\ X_i für jedes i\el\I gilt. Die Projektion p_i bildet jedes g\el\produkt(X_i,i\el\I) auf g(i) ab. Wenn alle X_i topologische Räume (X_i, \tau_i)sind, dann ist die \stress\ Produkttopologie \normal\ auf produkt(X_i,i\el\I) die von der Subbasis {p_i^(-1) (O):O\el\tau_i ,i\el\I} generierte Topologie. Sie enthält gerade genug offene Mengen damit alle Projektionen stetig sind. Auch wenn es sich um das Produkt von unendlich vielen topologischen Räumen handeln kann, sind die offenen Mengen recht simpel gebaut. Eine Menge ist im Produkt genau dann offen, wenn sie die Vereingung der Produkte von offenen Mengen ist, wobei nur für endlich viele i\el I gilt p_i (O)!=X_i. Diese Mengen bilden also eine Basis. In diesem Abschnitt betrachten wir das Produkt immer als mit der Produkttopologie versehen. Die Produkttopologie ist die Topologie der punktweisen Konvergenz. Etwas präziser: \stress\ Satz 8: \normal\ Ein Filter \calF auf produkt(X_i,i\el I) konvergiert genau dann gegen x wenn für alle i\el\ I der Filter p_i [\calF\] gegen x_i konvergiert. \stress\ Beweis: \normal\ Angenommen \calF konvergiert im Produkt gegen x aber p_i [\calF\] konvergiert nicht gegen x_i. Dann gibt es eine Umgebung U von x_i in X_i mit U\notel\ p_i [\calF\]. Aber da p_i stetig ist, ist p_i ^(-1) (U) eine Umgebung von x und damit Element des konvergenten Filters \calF. Aber dann ist U\el\ p_i [\calF\]. \blitz Für die umgekehrte Richtung nehmen wir an dass \calF ein Filter auf dem Produkt ist und für alle i\el\ I der Filter p_i [\calF\] gegen x_i konvergiert. Es reicht zu zeigen dass jede Umgebung aus der zur Subbasis gehörenden Basis in \calF ist, da jede Umgebung Übermenge eines Basiselements und damit im \calF ist. Sei U also eine Umgebung von x aus der Basis. Dann ist U=cut(p^(-1) ((U_i)),i\el F) für eine endliche Menge F\subsetequal\ I, wobei alle U_i Umgebungen von x_i=p_i (x) sind. Sei nun i\el F. Da p_i [\calF\] gegen x_i konvergiert gilt U_i \el p_i [\calF\] und damit p_i ^(-1) (U_i)\el \calF. Also sind für alle i\el F die Mengen p_i ^(-1) (U_i)\el \calF. Da \calF ein Filter ist sind auch ihr Durchschnitt und damit U Element von \calF. \bigbox Wir sind nun bereit für den Höhepunkt dieses Abschnitts: \stress\ Satz 9 (Tychonoff): \normal\ X=produkt(X_i,i\el\ I) ist genau dann kompakt wenn für alle i\el\ I die Menge X_i kompakt ist. \stress\ Beweis: \normal\ Wenn X kompakt ist dann auch X_i=p_i (X) für alle i\el\ I als Bild einer kompakten Menge unter einer stetigen Funktion (Satz 7). Umgekehrt sei \calU ein Ultrafilter auf X. Wenn X_i kompakt ist dann konvergiert der Ultrafilter p_i [\calU\] gegen ein x_i \el\ X_i (Satz 5). Dann konvergiert \calU gegen x=\(x_i \) _(i\el\ I) (Satz 8). \bigbox Dieser Satz ist äquivalent zum Auswahlaxiom. Für jedes i\el\ I konvergiert p_i [\calU\] gegen ein x_i- aber nicht unbedingt gegen genau ein x_i. Hier wird das Auswahlaxiom nötig. Um einen schwächeren Satz, der lediglich UF erfordert, zu beweisen, brauchen wir folgendes Lemma: \stress\ Satz 10: \normal\ Ein Topologischer Raum X hat die Hausdorffeigenschaft genau dann wenn jeder Filter gegen höchstens einen Punkt konvergiert. \stress\ Beweis: \normal\ Wenn X die Hausdorff-Eigenschaft hat dann existieren zu zwei verschiedenen Punkten disjunkte Umgebungen. Da sie disjunkt sind kann kein Filter beide Umgebung enthalten. Angenommen nun jeder Filter konvergiert gegen höchstens einen Punkt, aber X hat die Hausdorff-Eigenschaft nicht. Sei x!=y. Dann gilt für alle U\el\ U(x) und V\el\ U(y) dass U\cut\ V!=\0. Daher konvergiert der Filter {Y\supersetequal\ U\cut\V: U\el\ U(x), V\el\ U(y)} gegen x und y. \blitz \bigbox Damit lässt sich folgender Satz mit UF beweisen: \stress\ Satz 11: \normal\ Das Produkt von kompakten Hausdorffräumen ist kompakt. \bigbox Der Beweis geht vollkommen analog zu Satz 9, wir brauchen lediglich keine Auswahlfunktion mehr. Anmerkungen: Filter wurden von Henri Cartan 1937 in die Topologie eingeführt, der damit einen topologischen Konvergenzbegriff schuf. Dieser wurde von Nicolas Bourbaki in seinem Buch über allgemeine Topologie verwendet und verbreitete sich auf diesem Weg recht schnell. Ein gutes Buch über Topologie, welches Filter verwendet, ist Mengentheoretische Topologie von Boto von Querenburg. Das Skriptum Allgemeine Topologie I von marvinius ist auch zu empfehlen. Dass sich viele topologische Begriffe über Filter definieren lassen, erlaubt auch den Begriff einer Topologie zu verallgemeinern. So besteht zum Beispiel ein prätopologischer Raum aus einer Menge und einem Filter zu jedem Element, der das Umgebungssystem darstellen soll. Dass das eine echte Verallgemeinerung von topologischen Räumen ist wird in dem oben gennanten Skriptum von marvinius unter 2.2.5 bewiesen. Wem solche Abstraktionen Spaß machen dem sei "Grundstrukturen der Analysis I" von Werner Gähler ans Herz gelegt, den Meisten wird es allerdings zu trocken sein. Neben Filtern lassen sich auch sogenannte Netze verwenden um Konvergenz in allgemeinen topologischen Räumen zu beschreiben. Theoretisch gesehen macht das nicht viel Unterschied. Filter und Netze sind im wesentlichen austauschbar. Satz 9 ist äquivalent zum Auswahlaxiom, wie John Kelley 1950 in The Tychonoff Product Theorem implies the Axiom of CHoice bewies. Sein Beweis enthält allerdings einen kleinen Fehler. Um ihn zu beheben füge entweder seiner Topologie auf Ya die offene Menge {Lambda} zu, oder, noch einfacher, nimm die Topologie {Ya,leere Menge, {Lambda}}.

Ultrafilter in der Logik

Eine Sprache der Aussagenlogik besteht aus einer Menge von \stress\ Aussagevariablen \normal\ P, den logischen \stress\ Konnektoren\normal\ \not\ , \and\ und den \stress\ Punktuationssymbolen \normal\ \) und \(. Bestimmte endliche Folgen von diesen Symbolen nennen wir Formeln: 1. Alle Aussagevariablen sind Formeln. 2. Wenn A und B Formeln sind so sind auch \not\ A und (A\and\ B) Formeln. 3. Nichts ist eine Formel wenn es nicht nach 1. oder 2. eine array(Formel sein muss.) Die Menge F aller Formeln ist also die kleinste Menge die 1. und 2. erfüllt. Hieraus ergibt sich ein Induktionsprinzip: Wenn jede Aussagenvariable eine bestimmte Eigenschaft hat und falls wann immer die Formeln A und B die Eigenschaft haben auch \not\ A und (A\and\ B)die Eigenschaft haben dann haben alle Formeln die Eigenschaft. Wir führen nun eine Reihe von Abkürzungen ein: (A\or\ B) steht für \not\ (\not\ A\and\ \not\ B), (A=>B) steht für (\not\ A\or\ B), (A<=>B) steht für ((A=>B)\and\ (B=>A)) und \top steht für (A\or\ \not\ A). Eine \stress\ Interpretation \normal\ ist eine Funktion v : P->{0,1}. Wir interpretieren das so dass die von A\el\ P repräsentierte Aussage wahr ist wenn v(A)=1 und falsch falls v(A)=0. Wir können eine Interpration auf ganz F ausdehnen. Wenn für zwei Formeln A und B sowohl v(A) als auch v(B) bereits definiert sind ist v(A\and\ B)=min{v(A),v(B)} und v(\not\ A)=1-v(A). Wir sagen eine Interpretation v \stress\ erfüllt \normal\ die Formel A falls v(A)=1. Eine Formel A ist \stress\ erfüllbar \normal\ falls es eine Interpretation gibt, die A erfüllt. Eine Formel A ist eine \stress\ Tautologie \normal\ wenn jede Interpretation A erfüllt. Wenn \Sigma eine Menge von Formeln ist sagen wir dass \Sigma erfüllbar ist wenn es eine Interpretation v gibt, die jedes Element von \Sigma erfüllt. Wir sagen dann v erfüllt \Sigma. Die Konnektoren sind im Prinzip Funktionen. Ein n\-stelliger Konnektor ist eine Funktion von {0,1}^n nach {0,1}. Unsere beiden array(Konnektoren \not und \and) reichen aus um jeden denkbaren Konnektor zur repräsentieren. Wir schreiben einfach jede n\-stellige Liste von Nullen und Einsen, welche auf 1 abgebildet werden soll, auf, ersetzen Einsen durch Aussagevariablen, Nullen durch die Negation von Aussagevariablen schreiben in die Zwischenräume \and\ und hängen alle Listen mit \or\ aneinander. Um diese etwas ungenaue Beschreibung zu illustrieren nehmen wir den 2\-stelligen Konnektor, der durch (A=>C) gegeben ist: 00 01 11 wird zu: (\not\ p_1\and\ \not\ p_2) \or\ (\not p_1 \and\ p_2) \or\ (p_1 \and\ p_2) Wir nennen das \stress\ konjunktive Normalform\normal\ . Da auch Formeln im Prinzip nichts anderes als bestimmte Konnektoren sind können wir jede Formel in kon\- junktiver Normalform schreiben. Unsere Sprache der Ausagenlogik kann also alles was wir uns von ihr erwarten können. Wem ist eigentlich aufgefallen dass nicht alle, formal gesehen, nötigen Klammern da sind? Um den zentralen Satz dieses Abschnitts zu beweisen versehen wir die Menge aller Interpretationen mit einer Topologie. {0,1} bekommt die diskrete Topologie und {0,1}^P die Produkttopologie. Wenn A eine Formel ist dann schreiben wir T(A) für die Menge der Interpretatonen die A erfüllen. \stress\ Lemma 2: \normal\ Für jede Formel A ist T(A) sowohl offen als auch abgeschlossen. \stress\ Beweis: \normal\ In einer Formel kommen nur endlich viele Aussagevariablen vor. Damit ist T(A) offen. Aus dem selben Grund ist T(\not\ A) offen. Nun ist T(A)={0,1}^P -T(\not\ A). Also ist T(A) als Komplement einer offenen Menge auch abgeschlossen. \bigbox Damit sind wir bereit für den Kompaktheitssatz der Aussagenlogik: \stress\ Satz 12: \normal\ Eine Menge von Formeln \Sigma ist genau dann erfüllbar wenn jede endliche Teilmenge erfüllbar ist. \stress\ Beweis: \normal\Dass jede Interpretation die \Sigma erfüllt auch jede endliche Teilmenge erfüllt ist trivial. Umgekehrt: Die Menge T={T(A):A\el\ \Sigma} ist eine Menge von abgeschlossenen Mengen. Der Durchschnitt zweier Elemente von T ist gerade die Menge aller Interpretationen die beide zugehörigen Formeln erfüllt. Nach Vorraussetung ist T in Bezug auf endliche Schnittmengen abgeschlossen. {0,1} ist ein kompakter topologischer Raum mit der Hausdorff-Eigenschaft und damit ist {0,1}^P nach Satz 11 kompakt. \Sigma ist genau dann erfüllbar wenn cut(T)!=\0. Wäre cut(T)=\0, so gäbe es eine endliche Menge E\subsetequal\ T mit cut(E)=\0, da T nur abgeschlossene Mengen enthält und {0,1}^P kompakt ist. Aber da jede endliche Teilmenge von T erfüllbar ist, kann das nicht sein. Damit ist \Sigma erfüllbar. \bigbox Wir schließen nun den Kreis: \stress\Satz 13: \normal\Der Kompaktheitssatz der Aussagenlogik impliziert das jeder Filter von einem Ultrafilter auf der selben Menge umfasst wird. \stress\Beweis: \normal\Sei \calF ein Filter auf einer Menge M. Wir nehmen nun die Potenzmenge \calP(M) als Menge von Aussagevariablen. Setze \Sigma_1 :={F<=>\top: F\el\ \calF} \Sigma_2 :={A<=> \not\ (M-A)} \Sigma_3 :={(A\and\ B)=>A\cut\ B} \Sigma_4 :={(A=>B):A\subsetequal\ B} \Sigma :=\Sigma_1 \union \Sigma_2 \union \Sigma_3 \union \Sigma_4 Eine Interpretation v von \Sigma lesen wir als Indikatorfunktion einer Teilmenge \calU von \calP(M). \Sigma ist so gewählt dass sie \calU zu einem Ultra\- filter auf M macht, der \calF umfasst: \Sigma_1 stellt sicher dass alle Elemente des Filters \calF in \calU sind, \Sigma_2 stellt sicher dass für jede Teilmenge A von M entweder A oder M-A in \calU ist, \Sigma_3 stellt sicher das \calU in Bezug auf endliche Schnittmengen abgeschlossen ist und \Sigma_4 schließlich stellt sicher dass \calU in Bezug auf Übermengenbildung abgeschlossen ist. Es reicht zu zeigen dass jede endliche Teilmenge von \Sigma erfüllbar ist. Teilmengen die nur Elemente von \calF enthalten sind nach Vorraussetzung erfüllbar, wir nehmen einfach die Indikatorfunktion von \calF. Ist weder A noch M-A in \calF können wir nach Lemma 1 \calF zu einem Filter welcher A enthält erweitern. Durch Induktion folgt dass jede endliche Teilmenge von \Sigma erfüllbar ist. \bigbox Damit sind die Sätze UF,5,11,12 äquivalente, schwache Varianten des Auswahlaxioms. Wir beweisen noch zwei schwächere Aussagen: \stress\ Satz 14: \normal\ Satz 13 impliziert dass jede Menge linear geordnet werden kann. \stress\ Beweis: \normal\ Sei M eine Menge. Wir nehmen M\cross\ M als Menge von Aussagevariablen. Setze \Sigma_1 :={(a,a)<=>\top :a\el\ M} \Sigma_2 :={((a,b)\and\ (b,c))=>(a,c):a,b,c\el\ M} \Sigma_3 :={(a,b)=>\not\ (b,a): a,b\el\M, a!=b} \Sigma_4 :={(a,b)\or\ (b,a):a,b\el\ M} \Sigma :=\Sigma_1\union\ \Sigma_2\union\ \Sigma_3 \union\ \Sigma_4 Hier repräsentiert \Sigma_1 Reflexivität, \Sigma_2 Transitivität, \Sigma_3 Antisymmetrie (in Verbindung mit \Sigma_1) und \Sigma_4 Vollständigkeit. Wir interpretieren v wieder als Indikatorfunktion einer Teilmenge von M\cross\ M. \Sigma ist genau dann erfüllbar wenn eine lineare Ordnung auf M existiert. Jede endliche Teilmenge von \Sigma ist erfüllbar, da jede endliche Menge linear geordnet werden kann (via Induktion zu beweisen). \bigbox Aus diesem Satz nun folgt dass Auswahlaxiom für endliche Mengen. \stress\ Satz 15: \normal\ Satz 14 impliziert das für jede Menge M von paarweise disjunkten nichtleeren endlichen Mengen eine Menge exisitert die genau ein Element von jeder Menge in M enthält. \stress\ Beweis: \normal\ Sei <= eine lineare Ordnung auf union(M). Die Menge aller x \union(M) für die es ein m \el\ M gibt so dass x das <=-kleinste Element von m ist, erfüllt die gewünschten Bedingungen. \bigbox Anmerkungen. Unser Beweis des Kompaktheitssatzes der Aussagenlogik ist aus "Models and Ultraproducts" von John Bell und Alan Slomson. Ein analoger Satz existiert für die Prädikatenlogik, auch er ist zu Satz 3 äquivalent. Sogenannte Ultraprodukte sind noch eine sehr wichtige Anwendung von Ultrafiltern in der Logik. Sie spielen in der Nichtstandard-Analysis eine wichtige Rolle. Der Kompaktheitssatz der Aussagenlogik lässt sich ohne jegliche Form des Auswahlaxioms beweisen falls die Menge der Aussagevariablen abzählbar ist. In diesem Fall ist {0,1}P homöomorph zum Cantorschen Diskontinuum (3.8f in von Querenburgs Buch) und damit kompakt. Der Abschnitt enthält ein paar Ungenauigkeiten. So müsste ich zum Beispiel eigentlich erst schreiben dass die Menge der Aussagevariablen zur Menge der Konnektoren und Punktuationssymbole disjunkt ist. Da dies kein Text für LogikerInnen ist sollte das allerdings verkraftbar sein. Es gibt noch viele weitere äquivalente Varianten von UF. Die wichtigsten sind das Primidealtheorem für boolsche Algebren, der Repräsentationssatz von Stone, der Vollständigkeitssatz der Prädikatenlogik, das Cowen-Engeler Lemma und der Satz von der Stone-Cech-Kompaktifizierung. Beweise all dieser Äquivalenzen finden sich im Handbook of Analysis and its Foundations 1997 von Eric Schechter. Danksagung: Martin_Infinite hat sich die Mühe gemacht das Layout zu überarbeiten und hat mehrere Versionen dieses Artikels durchgelesen. Seine Anregungen haben mir einige peinliche Fehler erspart und machen den Artikel um Einiges lesbarer. Marvinius hat noch ein paar Fehler im fertigen Artikel aufgespürt und Anregungen gegeben. Danke!

Anhang 1: Zorns Lemma

Eine \stress\ geordnete Menge \normal\ ist eine Menge A mit einer \stress\ reflixiven\normal\ , \stress\ transitiven\normal\ und \stress\ antisymmetrischen\normal\ Relation <= auf M, dh. für alle a\el M gilt a<=a, a<=b und b<=c implizieren a<=c und schlißlich implizieren a<=b und b<=a dass a=b. Ein Element m\el A heist \stress\ maximal \normal\ wenn es kein a gibt so dass a!=m und m<=a. Eine Teilmenge K\subsetequal\ M heist \stress\ Kette \normal\ wenn a<=b oder b<=a für zwei beliebige Elemente a und b von K gilt. Ein o\el\ M heist \stress\ obere \stress\Schranke \normal\ von einer Teilmenge T\subsetequal\ M wenn für alle a\el T gilt a<=o. Zorns Lemma ist nun: \stress\ Satz: \normal\ Wenn M eine geordnete Menge ist in der jede Kette eine obere Schranke hat, dann ist ein Element von M maximal. Seinen Namen hat Zorns Lemma von Max Zorn, es wurde jedoch erstmals von Kazimierz Kuratowski bewiesen. Intuitiv lässt sich Zorns Lemma so erklären: Mittels Auswahlaxiom (zu dem Zorns Lemma äquivalent ist) schaffen wir eine transfinite Folge a_0 < a_1 < a_2 < ... Irgendwann gehen uns die strikt größeren Elemente aus und wir sind bei einem maximalen Element angelangt. Mit etwas Wissen über Ordinalzahlen lässt sich das auch wirklich genau so beweisen. Ohne Ordnialzahlen werden die Beweise deutlich komplizierter. Ein elementarer aber schwierigerer Beweis findet sich in dem Artikel Über das Auswahlaxiom von Fabi.

Anhang 2: Ultrafilter, Auswahlfunktionen und offene Fragen

Das folgende Problem von marvinius hat den Matheplaneten schon einige Zeit beschäftigt, leider ohne Erfolg: Sei M eine nichtleere Menge. Sei \calP_0 die Potenzmenge von M ohne die leere Menge: \calP_0=\calP(M)-{\0}. Eine Auswahlfunktionen f für \calP_0 ist eine Funktion in M^\calP_0 , für die gilt f(m)\el\ m. Nun sei \calF ein Filter auf \calP_0 mit folgender Eigenschaft: Für alle Auswahlfunktionen f existiert ein m\el\M so daß f\[\calF\]={F\subsetequal\ M:m\el\ F} Wir können zeigen dass \calF dann ein Ultrafilter ist: \stress\ Satz: \normal\ \calF ist ein Ultrafilter. \stress\ Beweis: \normal\ Wir unterscheiden zwei Fälle: 1. Fall: Es gibt ein m\el\ M so dass für alle Auswahlfunktionen f gilt dass f\[\calF\]={F\subsetequal\ M:m\el\ F}, wir können das m also unabhängig von der Funktion f wählen. In diesem Fall muss es ein F\el\ \calF geben dass kein anderes Element als {m} enthält. Andernfalls gäbe es eine Auswahlfunktion g so dass g\[\calF\]!={F\subsetequal\ M:m\el\ F}.\blitz Also gilt F={m}\el\ \calF und \calF ist der auf m fixierte Ultrafilter. 2. Fall: Es gibt Auswahlfunktionen f und g so dass {F\subsetequal\ M:m\el M}=f[\calF] ungleich {F\subsetequal\ M:k\el M}=g[\calF] ist. Es gilt f^(-1)({m})\el\calF und damit ist auch die Übermenge U={X\subsetequal\ \calP_0 :m\el X} Element von \calF. Analog für V={X\subsetequal\ \calP_0 :k\el X}. Um zu zeigen dass \calF ein Ultrafilter ist reicht es zu zeigen dass für alle A\subsetequal\ U\cut\ V gilt: A\el\calF oder \calP_0-A\el\calF, denn eine Menge ist genau dann in \calF wenn ihr Schnitt mit U\cut\ V in \calF ist. Angenommen nun es gäbe ein A\subsetequal U\cut\ V so dass weder A\el\calF noch \calP_0-A\el\calF gilt. Sowohl A als auch \calP_0-A schneiden jedes Element von \calF. Wir können daher folgende Auswahlfunktion definieren: h(X) fdef(a, falls X\el A; b, falls X\el\calP_0-A;f(X), sonst) Es ist leicht zu überprüfen dass diese Funktion wohldefiniert ist. Aber entgegen unserer Annahme ist h[\calF]={F\subsetequal\ M:m\el\ F,k\el F}.\blitz \bigbox Die Annahmen sind offensichtlich erfüllt falls \calF ein fixierter Ultrafilter ist. Die große offene Frage ist nun:

Kann es auch ein freier Ultrafilter sein???

Ruhm und Ehre sind demjenigen/derjenigen sicher, der/die das Problem löst. Der Thread in dem das Problem hier diskutiert wurde ist Auswahlfunktionen & Einpunktfilter.
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: Mathematik :: Topologie :: Logik :: Reine Mathematik :: Ultrafilter :
Ultrafilter in Topologie und Logik [von Cerebus]  
Ultrafilter sind sehr seltsame mengentheoretische Objekte. Kein Mensch kann sich vorstellen wie ein freier Ultrafilter aussieht. Trotzdem lässt sich damit eine Menge interessanter Mathematik betreiben. Wir verwenden Ultrafilter um eine Reihe spektakulärer Sätze zu Beweisen. Insbesondere beweisen wir Tychonoffs Produkttheorem und den Kompaktheitssatz der Aussagenlogik.
[Die Arbeitsgruppe Alexandria katalogisiert die Artikel auf dem Matheplaneten]

 
 
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"Stern Mathematik: Ultrafilter in Topologie und Logik" | 4 Comments
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Re: Ultrafilter in Topologie und Logik
von: matroid am: So. 19. Februar 2006 00:33:57
\(\begingroup\)Hi Cerebus, das gefällt mir sehr! Der Aufbau ist sehr gut, die Pointen kommen gut heraus, alles ist fundiert und vollständig. Deine überleitenden Bemerkungen geben genau die Motivation, die der Leser gerade sucht. Du hast zu den Kapiteln gute und relevante Verweise, mal ins Forum, auf ältere Artikel oder weltweit. Damit integrierst Du Themen und Anstrengungen, und das ist sehr hoch einzuschätzen, denn es zeigt, daß Du einen sehr guten Überblick hast und die Einzelteile in einen Kontext einordnen kannst. Außerdem, so weit Du im MP verweist, förderst Du damit die Zusammenarbeit hier auf dem Planeten, was (für mich) auch von hohem Wert ist. Schließlich gefällt mir der ganze lange Artikel auch in der formalen Erscheinung gut, alles wirkt wie mehrfach überprüft und bis ins Detail gestaltet. Das ist ein Schmuckstück für den Matheplaneten. Das war sicher eine lange Arbeit, und ich danke Dir sehr dafür. Viele Grüße Matroid PS: Danke auch an den von Dir genannten Helfer: Martin_Infinite. \(\endgroup\)
 

Re: Ultrafilter in Topologie und Logik
von: Hanno am: Sa. 04. März 2006 09:24:38
\(\begingroup\)Hallo! Ein schöner Artikel! Besonders schön finde ich auch, dass einer deiner Höhepunkte auf dem Beweis des Satzes von Tychonoff lag, den ich mit Hilfe von Ultrafiltern im Gegensatz zu anderen Beweisen, die ich gesehen hsbe, als sehr kompakt ( ;) ) und übersichtlich empfinde. Liebe Grüße, Hanno\(\endgroup\)
 

Re: Ultrafilter in Topologie und Logik
von: Tillmann am: Mo. 21. Januar 2008 22:55:15
\(\begingroup\)Hallo, auch ich finde den Artikel sehr schön. ich habe mich am Ende meiner Analysis Vorlesung gefragt, wie die Zusammenhänge zwischen Kompakt und Folgenkompakt sind. Satz 5 beantwortet diese Frage für mich. Ich fände es auch schön, wenn es den Artikel als PDf geben würde, damit ich mir den Artikel ausdrucken und in der Bahn durchlesen könnte. Liebe Grüße Tillmann\(\endgroup\)
 

Re: Ultrafilter in Topologie und Logik
von: Ex_Mitglied_40174 am: Fr. 04. Oktober 2013 20:22:35
\(\begingroup\)Ich habe den Artikel mit grossem Interesse gelesen. Habt ihr noch einen Literaturhinweis, wo man einen Beweis des Satzes 13, welcher bezueglich First-Order-Logic (mit Signaturen L, L-Strukturen, usw.) findet? \(\endgroup\)
 

 
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