Mathematik: Konvois auf der A20: Autos nur noch in Gruppen unterwegs
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Section Kopf
Title Konvois auf der A20: Autos nur noch in Gruppen unterwegs
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Section 0
Title Inhalt
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1423 charactes in tolal


Section 1
Title Zerlegegungslemmata
Created 2006-03-19 13:47:36 by Gockel [Änderungshistorie]
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4130 charactes in tolal


Section 2
Title Prime Restklassengruppen
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14511 charactes in tolal


Section 3
Title Der Struktursatz
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20446 charactes in tolal


Section 4
Title Andere Automorphismen
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Section 99
Title Abschluss
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22136 charactes in tolal


Section 99
Title Fortsetzungslinks
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: Gruppentheorie :: Algebra :: Reine Mathematik :
Gruppenzwang VIII: Konvois auf der A20: Autos nur noch in Gruppen unterwegs [von Gockel]  
Das Thema dieses Artikels sind interessante und nützliche Sätze über abelsche Gruppen sein: Der Struktursatz für endliche abelsche Gruppen und die Struktur der primen Restklassengruppen
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"Mathematik: Konvois auf der A20: Autos nur noch in Gruppen unterwegs" | 4 Comments
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Re: Konvois auf der A20: Autos nur noch in Gruppen unterwegs
von: dettman am: Fr. 21. April 2006 09:14:10
\(\begingroup\)Hi Gockel, schöner Artikel, mit dem Du die 'Gruppenzwang' Reihe fortgesetzt hast. Letzten Semester hörte ich Algebra II und dort hatten wir das meißte von dem was Du geschrieben hast auch durchgenommen. Allerdings gefällt mir bei Deinem Artikel der Aufbau des ganzen deutlich besser als bei meiner Vorlesung. Mag sein, dass dies daran liegt, dass Du (neben kleinen Ausflügen) eben direkt den Beweis des Struktursatzes ansteuerst, und daher auf vieles unnötige verzichten kannst. Aber nichts desto trotz: Top gemacht und das Thema super aufgezogen. Respekt und Viele Grüße dettman\(\endgroup\)
 

Re: Konvois auf der A20: Autos nur noch in Gruppen unterwegs
von: Gockel am: Sa. 22. April 2006 14:00:10
\(\begingroup\)Hi dettmann. Vielen Dank für das Lob, es freut mich sehr, dass dir der Artikel etwas gebracht hat. 😄 mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

Re: Konvois auf der A20: Autos nur noch in Gruppen unterwegs
von: Gockel am: Mo. 06. November 2006 21:34:18
\(\begingroup\)Hi Leute. Ich habe vor einiger Zeit übrigens einen sehr interessanten Satz bewiesen, der sozusagen den Kreis vom Struktursatz zu den primen Restklassengruppen wieder schließt: \darkred\ Sei A eine endliche, abelsche Gruppe. Dann existiert ein n, so dass A zu einer Untergruppe und zu einer Faktorgruppe von \IZ_n^x isomorph ist. Für den Beweis braucht man diese zwei Lemmata: \(\Phi_n sei dabei das n\-te Kreisteilungspolynom\) (siehe dazu hier im Forum) \darkred\ array(Lemma 1)__ Seien k,n\el\IN. Für jeden Primteiler p von \Phi_n(k) gilt dann p\|n oder p==1 (mod n). \blue\ Beweis: Ist p\teiltnicht\ n, so sind die Nullstellen von \Phi_n in array(\IF_p)^- genau die primitiven n\-ten Einheitswurzeln. Daher folgt aus p\teiltnicht\ n und \Phi_n(k)==0 (mod p), dass k die multiplikative Ordnung n in \IF_p^x hat. => n\|p-1 => p==1 (mod n). \blue\ q.e.d. \darkred\ array(Lemma 2)__ Für jedes n>1 existieren unendlich viele q\el\IP mit q==1 (mod n) \blue\ Beweis: Angenommen, die Aussage wäre falsch. Dann wäre die Menge menge(p\el\IP | p==1 (mod n) \or p\|n) endlich. Sei m das Produkt aller Primzahlen in dieser Menge. Sei s_k ein Primteiler von \Phi_n(m^k). Dann gilt nach Lemma 1 entweder s_k \| n oder s_k==1 (mod n). Das hieße jedoch s_k \| m. Nun gilt aber auch \Phi_n(m^k)==0 (mod s_k) => (m^k)^n-1==0 (mod s_k) => ggT(m,s_k)=1 Es ergibt sich also ein Widerspruch, es kann kein solches s_k geben. Das wiederum hieße, dass \Phi_n(m^k)=+-1 für alle k\el\IN ist. Das ist aber ebenfalls nicht möglich, da sowohl \Phi_n(x)-1 als auch \Phi_m(x)+1 nur endlich viele Nullstellen haben. Also muss die ursprüngliche Annahme, es gäbe nur endlich viele Primzahlen q mit q==1 (mod n) falsch sein. \blue\ q.e.d. \darkred\ array(Satz)__ Sei A eine endliche, abelsche Gruppe. Dann existiert ein n, so dass A zu einer Untergruppe und zu einer Faktorgruppe von \IZ_n^x isomorph ist. \blue\ Beweis: Sei A~=produkt(\IZ_d_i,i=1,k). Zu jedem d_i gibt es nun ein p_i, so dass p_i==1 (mod d_i) <=> d_i \| p_i-1. Da es nach Lemma 2 immer unendlich viele solcher p gibt, können wir oBdA annehmen, dass p_i\(\endgroup\)
 

Re: Konvois auf der A20: Autos nur noch in Gruppen unterwegs
von: Martin_Infinite am: So. 22. April 2012 11:37:18
\(\begingroup\)Bei mathoverflow wurden weitere Beweise des Struktursatzes für endliche abelsche Gruppen besprochen. a) Der Beweis von Greg Kuperberg vereinfacht einfach schrittweise Erzeuger + Relationen der Gruppe. Das erinnert natürlich an die Smith Normalform, ist aber ohne Matrizen noch viel anschaulicher. b) Der Beweis von James Milne ist sehr elementar und kurz. Es wird ein Erzeugendensystem gewählt, welches ein Element minimaler Ordnung enthält. Das führt zu einer Zerlegung. 3) Der Beweis von Matt Emerton ist recht modern und reduziert alles darauf, dass Z/e ein injektiver Z/e-Modul ist. Eine Bemerkung von David Lehavi zeigt, dass der Beweis sogar eine algebraisch-geometrische Intepretation besitzt. 4) Der Fields-Medaillist Terry Tao skizziert einen Beweis mittels dynamischen Systemen. 5) Der Beweis von Pete Clark ist im Prinzip mit Gockels Beweis im Artikel identisch.\(\endgroup\)
 

 
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