Mathematik: Konvois auf der A20: Exkurs
Released by matroid on Mi. 19. April 2006 23:33:57 [Statistics]
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Mathematik

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Gruppenzwang VIII - Exkurs




 
Die Automorphismen der endlich erzeugten, abelschen Gruppen



Nachdem wir bereits die Automorphismen der zyklischen Gruppen untersucht haben, wollen wir uns nun auf alle endlich erzeugten, abelschen Gruppen auf einmal stürzen. Das wichtigste Werkzeug dafür bilden die beiden Zerlegungslemmata und der Struktursatz aus dem Hauptartikel, denn sie erlauben es uns, nur p-Gruppen zu betrachten. (Das heißt auch, dass p ab sofort immer eine Primzahl ist) und diese in einer handlicheren Form zu betrachten.


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Freie Moduln über Zpn



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Wie man nun die Mächtigkeit der allgemeinen linearen Gruppe über endlichen Körpern bestimmt, das wissen wir (z.B. aus dem Forum). Damit können wir also schon die Automorphismen solcher Gruppen zählen und haben mit der Matrixdarstellung auch eine recht handhabbare äußere Form.
Ein analoges, verallgemeinertes Verfahren kann man in meinem Notizbuch finden.

 
Allgemeine p-Gruppen


Komplizierter ist da die Situation, wenn man keine freien Moduln mehr hat:

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Stellt man die Elemente dann als Spaltenvektoren dar, dann kann man die Endomorphismen einer solchen Gruppe als ganzzahlige Matrix notieren. Dies geht mit dem üblichen Verfahren: Wir nehmen die Vektoren der Form (...0,1,0,...)T. Diese bilden ein minimales Erzeugendsystem für die Gruppe und jedes Element kann als Linearkombination dieser Elemente dargestellt werden, die beinahe eindeutig ist.

Wir betrachten dann also die Bildvektoren und schreiben in die Matrix in die entsprechende Spalte die Koeffizienten des Bildes.
Wir erhalten immer noch mehrere Matrizen für einen Endomorphismus, da die Darstellung als Linearkombination nicht ganz eindeutig ist.

Wir wollen nun genauer untersuchen, welche ganzzahligen Matrizen wirklich Endomorphismen definieren. Da die Matrixmultiplikation die Homomorphie-Eigenschaften von vorn herein hat, ist der einzig interessante Aspekt noch die Wohldefiniertheit.

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Der Endomorphismenring einer abelschen Gruppe ist also genau durch diesen Faktorring gegeben, bzw. er ist isomorph zu diesem.




Mit dieser Darstellung der Endomorphismen als Restklassen können wir die Automorphismen besser bestimmen.

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Wir haben damit eine handliche Form der Endo- und Automorphismen von A gefunden. Kurzes Abzählen liefert uns auch die Anzahl der Automorphismen:
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"Es wird immer noch ein wenig komplizierter."

by matroid



Mit einem Trick können wir noch allgemeinere Resultate erzielen und von den endlichen zu den endlich erzeugten abelschen Gruppen vorstoßen. Wir wollen in diesem Abschnitt folgenden Satz beweisen:

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Zunächst zeigen wir:
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Anwendungen



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Gruppenzwang VIII: Konvois auf der A20: Exkurs [von Gockel]  
Gruppenzwang VIII - Exkurs
Ein ausgelagerter Satz des achten Teils der Gruppenzwangreihe, der die Automorphismengruppen endlicher und endlich erzeugter abelscher Gruppen klassifiziert.
[Die Arbeitsgruppe Alexandria katalogisiert die Artikel auf dem Matheplaneten]

 
 
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"Mathematik: Konvois auf der A20: Exkurs" | 4 Comments
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Re: Konvois auf der A20: Exkurs
von: Martin_Infinite am: So. 22. März 2009 21:55:19
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siehe auch www.msri.org/people/members/chillar/files/autabeliangrps.pdf\(\endgroup\)
 

Re: Konvois auf der A20: Exkurs
von: Dune am: Di. 01. Januar 2013 21:00:39
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Schöner Artikel! :-)

Kann man die Gruppenstruktur der Automorphismen jetzt noch genau klassifizieren oder ist die Darstellung über jenen Quotientenring das Beste, was man kennt?\(\endgroup\)
 

Re: Konvois auf der A20: Exkurs
von: Gockel am: Mo. 21. Januar 2013 16:19:49
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Was meinst du denn mit "genau klassifizieren"? Ich hab die Gruppe doch völlig explizit angegeben. Wie viel genauer willst du es denn noch wissen?

mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

Re: Konvois auf der A20: Exkurs
von: Dune am: Mi. 23. Januar 2013 17:50:49
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Ich wollte damit fragen, ob man diese Gruppen noch in einfachere Bestandteile zerlegen kann - etwa wie bei den Automorphismen zyklischer Gruppen.\(\endgroup\)
 

 
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