Mathematik: Konvois auf der A20: Exkurs
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Mathematik

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Gruppenzwang VIII - Exkurs



 
Die Automorphismen der endlich erzeugten, abelschen Gruppen

Nachdem wir bereits die Automorphismen der zyklischen Gruppen untersucht haben, wollen wir uns nun auf alle endlich erzeugten, abelschen Gruppen auf einmal stürzen. Das wichtigste Werkzeug dafür bilden die beiden Zerlegungslemmata und der Struktursatz aus dem Hauptartikel, denn sie erlauben es uns, nur p-Gruppen zu betrachten. (Das heißt auch, dass p ab sofort immer eine Primzahl ist) und diese in einer handlicheren Form zu betrachten. makro(pmod,\IZ||array(\small\ %1;p^%2\normal) makro(rk,gauss(%1)||array(\small\ $;p^%2\normal)) Wichtig werden für uns selbstverständlich die zyklischen p\-Gruppen sein. Einige ihrer Eigenschaften sollte man sich nochmal in Erinnerung rufen: Für i<=j kann pmod($,i) auf kanonische Weise als Untergruppe von pmod($,j) aufgefasst werden: Die Einbettung ist dabei durch rk(x,i)\mapsto\ rk(p^(j-i)*x,j) gegeben. Analog können pmod(k $,n), pmod(n\cross\ m,i $) etc. als Untergruppe von pmod(k $,m), pmod(n\cross\ m,j $), usw. aufgefasst werden. Bettet man pmod(k $,$) in pmod(k,m) ein, so ist menge(p^(m-1)*e_i | i=1..m) die Entsprechung der Standardbasis.

 
Freie Moduln über Zpn

makro(pmod,\IZ||array(\small\ %1;p^%2\normal) Zunächst betrachten wir einen weiteren Spezialfall: Aut(pmod(k,n)). Betrachten wir pmod(k,n) als pmod($,n)-Modul, so ist Aut(pmod(k,n))=GL_k(pmod($,n)), da hier aus der Additivität einer Abbildung bereits die Homogenität folgt. Außerdem kann man sich, analog zu den Vektorräumen klarmachen, dass ein Endomorphismus durch eine Matrix beschrieben werden kann, wenn man erstmal eine Basis gewählt hat. \darkred\ll(Lemma)Ist 0pmod(k\cross\ k,n $ ), die durch Reduktion aller Matrixeinträge modulo p^n gegeben ist. Offensichtlich ist sie surjektiv und mit der Matrixmultiplikation verträglich, also ein Homomorphismus. Wir werden symbolisch A mod p^n dafür schreiben. Es gilt nun also (A mod p^n)(B mod p^n)=AB mod p^n. Außerdem ist die Determinantenfunktion mit der Abbildung verträglich, d.h.: \det(A mod p^n)==\det(A) (mod p^n) Es bleibt noch zu zeigen, dass A genau dann invertierbar ist, wenn A mod p^n invertierbar ist. Wir wissen, dass eine Matrix genau dann invertierbar ist, wenn ihre Determinante invertierbar ist. Ist \det(A)==a (mod p^m), so ist \det(A mod p^n)==a (mod p^n). Ist umgekehrt \det(A mod p^n)==a (mod p^n), so ist \det(A)==a+kp^n (mod p^m) für ein passendes k. Es gilt also \det(A) invertierbar <=> \det(A mod p^n) invertierbar, da eine Restklasse in pmod($,n) und pmod($,m) genau dann invertierbar ist, wenn ihre Repräsentanten nicht von p geteilt werden. \blue\ q.e.d. makro(pmod,\IZ||array(\small\ %1;p^%2\normal) Folgerungen und Anmerkungen: \ll(i)pmod($,n) kann wie erwähnt als Untergruppe von pmod($,m) aufgefasst werden. Tut man dies, so zeigt das Lemma, dass sich jeder Automorphismus von pmod(k\cross\ k,n $ ) zu einem Automorphismus von pmod(k\cross\ k,m $ ) fortgesetzt werden kann. Hat man umgekehrt ein A\el\ GL_k(pmod($,m)) gegeben, so ist dessen Wirkung auf die Untergruppe pmod(k\cross\ k,n $ )=p^(m-n)*pmod(k\cross\ k,m $ ) durch A mod p^n gegeben. \ll(ii)Ist 0aus dem Forum). Damit können wir also schon die Automorphismen solcher Gruppen zählen und haben mit der Matrixdarstellung auch eine recht handhabbare äußere Form. Ein analoges, verallgemeinertes Verfahren kann man in meinem Notizbuch finden.

 
Allgemeine p-Gruppen

Komplizierter ist da die Situation, wenn man keine freien Moduln mehr hat: makro(pmod,\IZ||array(\small\ %1;p^%2\normal) Wie wir im Beweis des Struktursatzes gesehen haben, kann man jede endliche, abelsche p-Gruppe A darstellen als: A=pmod(r_1,1)\cross\ pmod(r_2,2)\cross...\cross\ pmod(r_k,k) \small\(wobei die r_i durchaus auch 0 sein dürfen\) Bezeichne R=bigop(\Sigma,r_i,\small\ i\=1..k\normal) den Rang von A. Stellt man die Elemente dann als Spaltenvektoren dar, dann kann man die Endomorphismen einer solchen Gruppe als ganzzahlige Matrix notieren. Dies geht mit dem üblichen Verfahren: Wir nehmen die Vektoren der Form (...0,1,0,...)T. Diese bilden ein minimales Erzeugendsystem für die Gruppe und jedes Element kann als Linearkombination dieser Elemente dargestellt werden, die beinahe eindeutig ist. Wir betrachten dann also die Bildvektoren und schreiben in die Matrix in die entsprechende Spalte die Koeffizienten des Bildes. Wir erhalten immer noch mehrere Matrizen für einen Endomorphismus, da die Darstellung als Linearkombination nicht ganz eindeutig ist. Wir wollen nun genauer untersuchen, welche ganzzahligen Matrizen wirklich Endomorphismen definieren. Da die Matrixmultiplikation die Homomorphie-Eigenschaften von vorn herein hat, ist der einzig interessante Aspekt noch die Wohldefiniertheit. makro(pmod,\IZ||array(\small\ %1;p^%2\normal) Jeder Endomorphismus ist durch die Wirkung auf die einzelnen pmod(r_i,i) festgelegt. Durch die Projektion auf die direkten Faktoren erhält man dann k Homomorphismen pmod(r_i,i)->pmod(r_j,j) (j=1...k) Ist j=i, so ist der Fall klar: Der Homomorphismus kann eindeutig als r_i\cross\ r_i-Matrix über pmod($,i) beschrieben werden. Es ist klar, dass wir hier auch eine \IZ-Matrix als Darstellung wählen können, auch wenn es dann keine eindeutige Repräsentation mehr gibt. Ist ipmod(r_j,j) in p^(j-i)*pmod(r_j,j) enthalten sein. p^(j-i)*pmod(r_j,j) können wir als kanonische Einbettung von pmod(r_j,i) in pmod(r_j,j) auffasssen. Ein solcher Homomorphismus pmod(r_i,i)->pmod(r_j,j) kann also als r_j\cross\ r_i-Matrix über pmod($,i) angegeben werden, was man wieder kanonisch als Element von p^(j-i)*pmod(r_j\cross\ r_i,j $ ) auffassen kann. Auch hier können wir eine Darstellung als \IZ-Matrix erhalten, indem wir aus den Restklassen einen Repräsentanten auswählen. Ist nun i>j, so definiert jede r_j\cross\ r_i-Matrix über \IZ ein Homomorphismus pmod(r_i,i)->pmod(r_j,j). Setzt man alle diese Homomorphismen zusammen, so erhält man eine R\cross\ R-Matrix über \IZ, die man mit Blockmatrizen so darstellen kann: matrix(\ A_11,,,\cdots,,A_1k;\ p^1\.A_21,A_22,,\cdots,,A_2k;\ p^2\.A_31,p^1\.A_31,A_33,\cdots,,A_3k;\ \vdots,\vdots,\ddots,\ddots,,\vdots;\ \vdots,\vdots,,\ddots,\ddots $ ,\vdots;\ p^(k-1)\.A_k1,p^(k-2)\.A_k2,,\cdots,p^1\.A_k\(k\-1\),A_kk) Wobei A_ij\el\IZ^(r_i\cross\ r_j) ist. Man rechnet leicht nach, dass die Menge dieser Matrizen einen unitären Unterring von \IZ^(R\cross\ R) bildet. makro(pmod,\IZ||array(\small\ %1;p^%2\normal) Nun ist es aber immernoch so, dass mehrere Matrizen denselben Homomorphismus definieren können. Das wollen wir beheben, indem wir uns klar machen, dass die i\-te Zeile der Blockmatrix\-Darstellung bestimmt, wie die pmod(r_i,i)-Komponente des Ergebnisses aussieht. Addiert man also zu einem Eintrag in diesem Bereich der Matrix ein Vielfaches von p^i, so verändert das die Wirkung des Homomorphismus' nicht. Konsequent zu Ende gedacht, können wir also die i\-te Zeile der Blockmatrix\-Darstellung modulo p^i reduzieren. Das ergibt eine interessante Darstellung der Endomorphismen als Schemata der Form: M=matrix(\ M_11,\cdots,M_1k;\ \vdots,\ddots,\vdots;\ M_k1,\cdots,M_kk\ )|array(mod p^1;\vdots;mod p^k) mit M_ij\el\ s_ij*pmod(r_i\cross\ r_j,i $ ), wobei s_ij=cases(p^(i-j),j<=i;1,sonst) ist. Wir bilden von unserem Ring also den Quotientenring nach dem Ideal der Matrizen der Form matrix(J_11,\cdots,J_1k;\vdots,\ddots,\vdots;J_k1,\cdots,J_kk) wobei J_ij\el\ p^i*\IZ^(r_i\cross\ r_j). Das dies ein Ideal ist, ist schnell nachgerechnet, dass der Faktorring die gewünschte Reduktion der i\-ten Zeile modulo p^i liefert, ist auch klar. Der Endomorphismenring einer abelschen Gruppe ist also genau durch diesen Faktorring gegeben, bzw. er ist isomorph zu diesem. Mit dieser Darstellung der Endomorphismen als Restklassen können wir die Automorphismen besser bestimmen. makro(pmod,\IZ||array(\small\ %1;p^%2\normal) Dazu schauen wir uns zunächst folgendes Lemma an: \darkred\ Sei A eine abelsche p-Gruppe und A^0=menge(a\el\ A | a^p=1). \psi\el\ End(A) ist genau dann injektiv, wenn \psi_array(\|A^0) injektiv ist. \blue\ Beweis: Die eine Richtung ist klar, die andere viel interessanter: Angenommen es gibt ein a\el\ Kern(\psi)\\||{1} und sei ord(a)=p^n. Dann ist 1=\psi(a)=\psi(a^p^(n-1)). Nun ist a^p^(n-1) aber ein Element von A^0, und nach Vorraussetzung daher 1=a^p^(n-1). Ein Widerspruch, also ist Kern(\psi)={1}. \blue\ q.e.d. Für unsere Gruppe A=pmod(r_1,1)\cross\ pmod(r_2,2)\cross...\cross\ pmod(r_k,k) ist nun A^0=pmod(r_1,1)\cross\ p^(2-1)*pmod(r_2,2)\cross...\cross\ p^(k-1)*pmod(r_k,k), was wir kanonisch mit pmod(r_1,$)\cross\ pmod(r_2,$)\cross...\cross\ pmod(r_k,$)~=pmod(R $,$) identifizieren können. Da A endlich ist, ist ein Endomorphismus genau dann ein Automorphismus, wenn seine Einschränkung auf A^0 ein Automorphismus von A^0 ist. Betrachten wir also ein Endomorphismenschema wie oben: M=matrix(\ M_11,\cdots,M_1k;\ \vdots,\ddots,\vdots;\ M_k1,\cdots,M_kk\ )|array(mod p^1;\vdots;mod p^k) wieder mit M_ij\el\ s_ij*pmod(r_i\cross\ r_j,i $ ) Betrachtet man nun A^0 als die kanonische Einbettung pmod(R ,$)\hookrightarrow\ A \(die sich aus den kanonischen Einbettungen pmod(r_i,$)\hookrightarrow\ pmod(r_i,i) zusammensetzt\), so stellt sich M_array(\|A^0) dar als matrix(\ N_11,0,\cdots,0,0;\ \vdots,\ddots,,,0;\ \*,,N_ii,,\vdots;\ \*,\*,,\ddots,0;\ \*,\*,\*,\cdots,N_kk\ ) mit N_ij=(s_ij^(-1)*M_ij) mod p. Man sollte zum besseren Verständnis kurz überlegen, welche Elemente von A die Standardbasis von A^0 bilden und warum hier durch s_ij geteilt wird: Dies dient dazu um die Einbettung pmod(r_i\cross\ r_j,j $ )->pmod(r_i\cross\ r_j,i $ ) "zurückzurechen". Die obige Matrix M_array(\|A^0) ist zur Abwechslung mal eine normale R\cross\ R-Matrix über \IZ_p, die genau dann invertierbar ist, wenn alle N_ii invertierbar sind. Wir haben oben schon gesehen, dass die reduzierten Matrizen genau dann invertierbar sind, wenn die ursprünglichen Matrizen M_ii invertierbar sind. Daher können wir Aut(A) als Menge der Restklasen M=matrix(\ M_11,\cdots,M_1k;\ \vdots,\ddots,\vdots;\ M_k1,\cdots,M_kk\ )|array(mod p^1;\vdots;mod p^k) auffassen, mit M_ij\el\ s_ij*pmod(r_i\cross\ r_j,i $ ) und M_ii\el\ GL_r_i(pmod($,i)). Wir haben damit eine handliche Form der Endo- und Automorphismen von A gefunden. Kurzes Abzählen liefert uns auch die Anzahl der Automorphismen: makro(pmod,\IZ||array(\small\ %1;p^%2\normal) \darkred\ll(Hauptsatz)Ist A eine Gruppe mit A~=pmod(r_1,1)\cross\ pmod(r_2,2)\cross...\cross\ pmod(r_k,k), dann gilt abs(Aut(A))=produkt((abs(GL_r_i(pmod($,i)))*produkt(p^(r_i*r_j*min||(i,j)),j!=i)),i=1,k)

 
"Es wird immer noch ein wenig komplizierter."

by matroid
Mit einem Trick können wir noch allgemeinere Resultate erzielen und von den endlichen zu den endlich erzeugten abelschen Gruppen vorstoßen. Wir wollen in diesem Abschnitt folgenden Satz beweisen: \darkred\ll(Hauptsatz) \darkred\ Ist C in C\cross\ D charakteristisch, dann ist Aut(C\cross\ D) zu Hom(D,Z(C))\ltimes(Aut(C)\cross\ Aut(D)) isomorph. \darkred\ Die Operation von Aut(C)\cross\ Aut(D) auf Hom(D,Z(C)) ist dabei durch$^(\a,\g)\.\b=\a\circ\b\circ\g^(-1) gegeben. \small\ opimg(ltimes) meint dabei das durch die Operation induzierte semidirekte Produkt. Hom(D,Z(C)) werden wir dabei additiv schreiben. \blue\ Beweis: Ist z ein Automorphismus von C\cross\ D, so ist: z(c,1)=(\a_z(c),1) z(1,d)=(\b_z(d), \g_z(d)) für entsprechende Homomorphismen \a_z, \b_z und \g_z. Für alle (c,d)\el\ C\cross\ D gilt dann: z(c,d)=(\a_z(c)*\b_z(d), \g_z(d)) => (z\circ\ w)(c,d)=z(\a_w(c)*\b_w(d), \g_w(d)) =((\a_z\circ\a_w)(c)*(\a_z\circ\b_w)(d)*(\b_z\circ\g_w)(d), (\g_z\circ\g_w)(d)) =((\a_z\circ\a_w)(c)*(\a_z\circ\b_w+\b_z\circ\g_w)(d)),(\g_z\circ\g_w)(d)) => \a_zw=\a_z\circ\a_w \g_zw=\g_z\circ\g_w \b_zw=a_z\circ\b_w+\b_z\circ\g_w Daher sind \a_z und \g_z sogar Automorphismen und es gilt: \a_(z^(-1))=\a_z^(-1) \g_(z^(-1))=\g_z^(-1) \b_(z^(-1))=-\a_z^(-1)\circ\b_z\circ\g_z^(-1) Zunächst zeigen wir: \blue\ Bild(\b_z)\subseteq\ Z(C) Für alle (c,d)\el\ C\cross\ D gilt: (\a_z(c)^2*\b_z(d)^2, \g_z(d)^2)=z(c^2, d^2) =z(c,d)^2=((\a_z(c)*\b_z(d))^2, \g_z(d)^2) => \a_z(c)^2*\b_z(d)^2=(\a_z(c)*\b_z(d))^2 => \a_z(c)*\b_z(d)=\b_z(d)*\a_z(c) Daher ist \b_z(d)\el\ Z(C), was auch die additive Notation rechtfertigt. \blue\ Der Isomorphismus: Wir betrachten nun folgende Abbildung: \phi: Aut(C\cross\ D)->Hom(D,Z(C))\ltimes(Aut(C)\cross\ Aut(D)): z\mapsto\ (\b_z\circ\g_z^(-1), \a_z, \g_z) \blue\ Homomorphie: Es gilt für Automorphismen z,w: \phi(z)*\phi(w)=(\b_z\circ\g_z^(-1), \a_z, \g_z)*(\b_w\circ\g_w^(-1), \a_w, \g_w) =(\b_z\circ\g_z^(-1) $+$ $^(\a_z, \g_z)\.(\b_w\circ\g_w^(-1)), \a_z\circ\a_w, \g_z\circ\g_w) =(\b_z\circ\g_z^(-1) $+$ \a_z\circ\b_w\circ\g_w^(-1)\circ\g_z^(-1), \a_zw, \g_zw) =((\b_z\.\g_w)\circ(\g_z\.\g_w)^(-1) $+$ (\a_z\.\b_w)\circ(\g_z\.\g_w)^(-1), \a_zw, \g_zw) =((\b_z\.\g_w+\a_z\.\b_w)\circ\g_zw^(-1), \a_zw, \g_zw) =(\b_zw\circ\g_zw^(-1), \a_zw, \g_zw) =\phi(zw) \blue\ Injektivität: z ist durch seine Wirkung auf C\cross\ {1} und {1}\cross\ D eindeutig festgelegt. Insbesondere ist z durch \a_z, \b_z und \g_z eindeutig bestimmt. \phi ist also injektiv. \blue\ Surjektivität: Hat man ein Tripel (\b,\a,\g) gegeben, so kann man ein Urbild z durch z(c,d):=(\a(c)*(\b\g)(d),\g(d)) definieren. Da Bild(\b) im Zentrum ist, ist dies ein Homomorphismus: z(cc',dd')=(\a(cc')*(\b\g)(dd'),\g(dd)) =(\a(c)\a(c')$*$(\b\g)(d)(\b\g)(d'), \g(d)\g(d')) =(\a(c)(b\g)(d)$*$\a(c')(\b\g)(d'),\g(d)\g(d')) =z(c,d)*z(c',d') Dass z ein Automorphismus ist, sieht man leicht ein, da das analog definierte Urbild von (-\a^(-1)\.\b\g, \a^(-1), \g^(-1)) zu z invers ist. \blue\ q.e.d.

 
Anwendungen

Hat man den allgemeinen Struktursatz für endlich erzeugte abelsche Gruppen zur Verfügung, so können wir mit obigem Hauptsatz sogar die Automorphismen jeder endlich erzeugten, abelschen Gruppe A bestimmen, denn T:=Tor(A) ist eine charakteristische Untergruppe mit A~=T\cross\IZ^n für ein passendes n\el\IN. Der Hauptsatz ergibt: \darkred\ll(Korollar 1)Ist A eine endlich erzeugte, abelsche Gruppe, so gilt: Aut(A)~=Hom(\IZ^n, T)\ltimes(Aut(T)\cross\ Aut(\IZ^n)) $opimg(~=)T^n\ltimes(Aut(T)\cross\ GL_n(\IZ)) Eine weitere interessante Konsequenzen daraus ist, dass im Falle n=1 die Automorphismengruppe endlich ist, obwohl die Gruppe selbst schon unendlich ist. Ist [D,D]=D oder Z(C)={1}, so ist Hom(D,C)~={1} und damit: \darkred\ll(Korollar 2)Ist die Gruppe C in C\cross\ D charakteristisch und ist [D,D]=D oder Z(C)={1}, so ist Aut(C\cross\ D)~=Aut(C)\cross\ Aut(D)

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Gruppenzwang VIII: Konvois auf der A20: Exkurs [von Gockel]  
Gruppenzwang VIII - Exkurs
Ein ausgelagerter Satz des achten Teils der Gruppenzwangreihe, der die Automorphismengruppen endlicher und endlich erzeugter abelscher Gruppen klassifiziert.
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"Mathematik: Konvois auf der A20: Exkurs" | 4 Comments
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Re: Konvois auf der A20: Exkurs
von: Martin_Infinite am: So. 22. März 2009 21:55:19
\(\begingroup\)siehe auch www.msri.org/people/members/chillar/files/autabeliangrps.pdf\(\endgroup\)
 

Re: Konvois auf der A20: Exkurs
von: Dune am: Di. 01. Januar 2013 21:00:39
\(\begingroup\)Schöner Artikel! 😄 Kann man die Gruppenstruktur der Automorphismen jetzt noch genau klassifizieren oder ist die Darstellung über jenen Quotientenring das Beste, was man kennt?\(\endgroup\)
 

Re: Konvois auf der A20: Exkurs
von: Gockel am: Mo. 21. Januar 2013 16:19:49
\(\begingroup\)Was meinst du denn mit "genau klassifizieren"? Ich hab die Gruppe doch völlig explizit angegeben. Wie viel genauer willst du es denn noch wissen? mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

Re: Konvois auf der A20: Exkurs
von: Dune am: Mi. 23. Januar 2013 17:50:49
\(\begingroup\)Ich wollte damit fragen, ob man diese Gruppen noch in einfachere Bestandteile zerlegen kann - etwa wie bei den Automorphismen zyklischer Gruppen.\(\endgroup\)
 

 
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