Mathematik: Die Signatur der Würfelnetze
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Mathematik

\(\begingroup\) Bild \stress\ Eine Einführung in neue Einblicke der Struktur von Würfelnetzen \big\ Zusammenfassung Ein Würfel wird aufgefaltet. Dies gelingt auf 11 verschiedene Arten, so dass entsprechend viele Faltschablonen generiert werden. Es zeigt sich nun, dass diese Netze in besonderer Weise gegliedert werden können. Dabei offenbart sich eine geometrische Dualität für drei unterschiedliche Gliederungskriterien. Speziell für die Würfelnetze wird eine neue Analysemethode eingeführt, um damit tiefere Einsichten zu begründen. Ein kurzer Ausblick zur Vertiefung des Themas schließt diese Einführung ab.

\big\ Auffaltung eines Würfels Gegeben sei ein Würfel: Bild \small\ Bild 1: Würfel Der Würfel besteht aus sechs Flächen, zwölf Kanten und acht Ecken. Nun können wir einige Kanten aufschneiden und dann die Würfelseiten auseinanderfalten, sodass sich eine Art Schnittmuster ergibt. Dabei ist selbstverständlich darauf zu achten, dass die Schnitte nicht die Einheit des Schnittmusters zerstören. Es müssen also alle sechs Flächen als Einheit durch fünf Verbindungen erhalten bleiben. Da diese Verbindungen die Einheit des Schnittmusters erhalten, sind sie fundamental und wir bezeichnen sie als "Kopplungen". Wir sehen, dass wir auf dieser Weise genau elf Würfelnetze - wie wir diese Schnittmuster korrekt bezeichnen wollen - erhalten. Diese genaue Anzahl mag jeder für sich zur eigenen Vertiefung nachvollziehen. Wichtig ist, dass wir Rotation und Reflexion bezüglich der Netz-Form nicht berücksichtigen. Bild \small\ Bild 2: Alle elf Würfelnetze Die Würfelnetze gehören einer Menge von Objekten an, die als Hexominos bezeichnet werden. Hexominos bestehen aus sechs verbundenen Flächen. Die sehr bekannten "kleineren Brüder" sind die Dominos, die aus zwei Quadraten bestehen und als Spiel in Form von Dominosteinen ihren Siegeszug angetreten haben. Im vorliegendem Fall interessieren uns hingegen die "sechs-Flächer", die Hexominos. Es ist leicht einzusehen, dass die Menge der Hexominos viel umfangreicher ist, als die der Würfelnetze. Wenn die Nicht-Würfelnetze auch hier nicht im Fokus der Betrachtung stehen, so spielen sie doch sozusagen backstage eine gewichtige Rolle und auch in dieser einführenden Arbeit wird das schon deutlich. Zurück zu den Würfelnetzen. Sehen wir uns das Bild 2 noch einmal an, so erkennen wir, dass man die Würfelnetze in zwei Untergruppen anhand der Formate aufteilen kann. Zehn der W-Netze haben ein 4x3 Format (vier Quadrate in der Höhe und drei in der Breite) aufzuweisen (oder auch 3x4, was aber nur wieder eine Rotation wäre) und ein Würfelnetz (das letzte ganz rechts in Bild 2) besitzt das Format 5x2. Es existiert somit eine 10+1 Gliederung. Schärfen wir aber unseren Blick, dann bemerken wir unter den zehn 4x3 Formaten eine weitere Struktur.
\big\ Eine 6-3-1-Signatur Für die weiteren Betrachtungen ist es zweckmäßig eine Nummerierung der Flächen vorzunehmen. Wir wählen also Nummern von 1 bis 6 und zwar der Art, dass zwei gegenüberliegende Flächen des Würfels als Nummernsumme die 7 ergeben. Diese bei Spielwürfel gebräuchliche Anordnung erleichtert uns die Orientierung und vereinfacht die Beschreibung von Zusammenhängen. det(1,2,6;,3,;,5,;,4,) det(1,2,;,3,6;,5,;,4,) det(1,2,;,3,;,5,6;,4,) det(1,2,;,3,;,5,;,4,6) det(,2,;1,3,;,5,6;,4,) det(,2,;1,3,6;,5,;,4,) det(1,2,;,3,;,5,6;,,4) det(,2,;1,3,;,5,6;,,4) det(,2,;,3,;1,5,6;,,4) det(1,,;2,3,;,6,5;,,4) \small\ Bild 3: Quadrat-Nummerierte 4x3-Würfelnetze Sehen wir uns diese Würfelnetze mal genauer an, dann erkennen wir Unterschiede im Aufbau bezüglich der Ausrichtung. det(,2,;1,3,6;,5,;,4,) det(,2,;,3,;1,5,6;,,4) det(1,,;2,3,;,6,5;,,4) \small\ Bild 4: Ausgewählte Würfelnetze bzgl. Ausrichtung Zwar sind alle Würfelnetze vom Format 4x3, doch in ihrer Ausrichtung der Quadrate weisen sie Differenzen auf: Das W-Netz links außen im Bild 4 zeigt eine durchgehende Ausrichtung von vier Quadraten in einer Richtung. Bezeichnet das Symbol n >< m (1) eine Verbindung zweier Quadrate mit Nummern n und m, so können wir für die Höhenachse dieses W-Netzes schreiben: 2 >< 3; 3 >< 5; 5 >< 4 (2) Sie sind durchgehend in einer Richtung angeordnet. Die Verbindungsnotation des mittleren W-Netzes in Bild 4 sieht dagegen für die Höhenachse wie folgt aus: 2 >< 3; 3 >< 5; 5 >< 6; 6 >< 4 (3) Es ist nicht nur so, dass wir nun eine Verbindung mehr haben, sondern auch noch, dass diese Verbindungen nicht mehr durchgehend in einer Richtung angeordnet sind. Nach den Verbindungen 2 >< 3; 3 >< 5 (4) Ändert sich die Richtung: Nicht mehr die gegenüberliegende Kante der Verbindung 3 >< 5 (5) wird genutzt, sondern über Eck, die zu ihr orthogonal liegende. Damit ändert sich die Richtung der Anordnung. In durchgängiger Richtung sind also in der Höhenachse nur noch drei Quadrate angeordnet. Ganz im Gegensatz zum linken W-Netz, wo wir noch alle vier Quadrate, die einen Beitrag zur Höhe leisten, durchgängig in eine Richtung liegen. Für das rechte W-Netz von Bild 4 liegen schließlich sogar nur noch stets zwei Quadrate durchgängig in eine Richtung, dann erfolgt jeweils ein Knick in der Ausrichtung. Die zehn 4x3-formatigen W-Netze lassen sich also nach der Ausrichtung in der gezeigten Art und Weise gliedern. Wir kehren also zu Bild 3 zurück und zählen die W-Netze nach den durchgehenden Ausrichtungen der Höhenachse und erhalten: 6 W-Netze a 4 Quadrate 3 W-Netze a 3 Quadrate 1 W-Netz a 2 Quadrate Somit eine 6 zu 3 zu 1 - Signatur der zehn 4x3 W-Netze. Warum könnte das bedeutsam sein? Das vorgestellte Ausrichtungs-Kriterium war ja geometrisch elementar: Es ist offensichtlich aus der geometrischen Anordnung ableitbar. Doch richtig bedeutsam wird diese Sequenz erst, wenn sie auch bei anderen elementar-geometrischen Kriterien zu Tage tritt. Und das tut sie!
\big\ Signatur-Dualitäten Ein weiteres Kriterium, das offensichtlich erkennbar ist, wäre die Anzahl der Kopplungen eines Quadrates in einem W-Netz. Betrachten wir hierzu wieder Bild 4, diesmal bezüglich der Kopplungsanzahl pro Quadrat: det(,2,;1,3,6;,5,;,4,) det(,2,;,3,;1,5,6;,,4) det(1,,;2,3,;,6,5;,,4) \small\ Bild 5: Ausgewählte Würfelnetze bzgl. Kopplungsanzahl Uns interessiert hier jenes Quadrat im W-Netz, das die maximale Anzahl Kopplungen des Netzes besitzt. Im linken Netz von Bild 5 erkennen wir, dass die Kanten von Quadrat Nummer 3 voll belegt sind, an diesem Quadrat sind somit vier andere angekoppelt. Im mittleren W - Netz besitzt Quadrat 5 die maximale Kopplungsanzahl. Diesmal sind es nur 3 Quadraten, die angekoppelt sind. Drei Kanten von Quadrat 5 sind belegt. keine anderes Quadrat im W-Netz hat mehr belegte Kanten. Im rechten W-Netz schließlich, ist die maximale Kopplungsanzahl für ein Quadrat gerade mal 2. Dies trifft auf die Quadrate 2, 3, 6, 5 zu, wir sehen also mehrfach die im W-Netz vorhandene maximale Kopplungsanzahl pro Quadrat. Wichtig ist bei diesem Kriterium zunächst, dass es im W-Netz kein Quadrat mit mehr als 2 Kantenbelegungen gibt, so dass die Anzahl 2 wirklich die maximale Anzahl ist. Wir sehen drei verschiedene Maximalwerte: 4, 3 und 2. Anhand von Bild 3 können wir dann wieder abzählen, wieviele W-Netze im Format 4x3 zu jedem Kopplungsanzahl-Kriterium pro Quadrat vorhanden sind. Dies sind: 6 W-Netze mit max. drei Kopplungen im Quadrat 3 W-Netze mit max. zwei Kopplungen im Quadrat 1 W-Netz mit max. vier Kopplungen im Quadrat Wieder haben wir somit die 6 zu 3 zu 1 - Signatur. Hierbei ist zu beachten, dass die W-Netze in den verschiedenen Signatur-Gliederungen nicht alle identisch sind, wie man sich leicht an der 1er-Signatur klar macht. Wir haben somit eine echte geometrische Dualität gefunden. Damit aber nicht genug. Für das rechte W-Netz von Bild 5 bemerkten wir, dass das Maximum mehrfach vorkommt. Daraus können wir ein weiteres Kriterium gewinnen. Dieses ist aber nicht mehr so elementar, sondern schon eher ein Grenzfall, da es wieder um die maximale Kopplungen eines Quadraten in einem W-Netz geht. Das folgende Kriterium leitet sich somit aus diesem ab. Auf der anderen Seite ist es aber dennoch leicht ersichtlich. Diesmal fragen wir nach der Anzahl der Maxima in einem W-Netz. Es ist hierbei nun unerheblich wie hoch dieses Maximum im W-Netz ist, sondern wie oft dieses spezifische Maximum in dem W-Netz vorkommt. Beispiele: det(,2,;1,3,6;,5,;,4,) det(,2,;,3,;1,5,6;,,4) \small\ Bild 6: Ein Maximum im W-Netz Zwar hat das Maximum des linken W-Netzes in Bild 6 im Quadrat 3 den Wert 4, doch ist es im W-Netz nur ein mal vorhanden. Ebenso das rechte W-Netz, es enthält nur einmal ein Maximum. Es hat den Wert 3 und befindet sich im Quadrat 5. det(1,2,;,3,;,5,;,4,6) det(1,2,;,3,;,5,6;,,4) \small\ Bild 7: Vier Maxima im W-Netz Beide W-Netze in Bild 7 haben ein Maximum im Wert 2 und dies vier mal. Man kann sich leicht vergegenwärtigen, dass bei vier Maxima in einem W-Netz der Wert nur gleich sein kann und eben bei 2 liegt. Für das Kriterium der Maxima Anzahl bleibt aber der Maximumwert für sich genommen unerheblich, nur die Anzahl der Maxima ist von Bedeutung. det(,2,;1,3,;,5,6;,4,) \small\ Bild 8: Zwei Maxima im W-Netz Es gibt nur ein W-Netz mit zwei Maxima. In Bild 8 sehen wir für die Quadrate 3 und 5 den Maximalwert 3. Zwei Maxima in einem W-Netz gibt es nur dieses eine mal. Betrachten wir wieder Bild 3, dann können wir bezüglich des Maxima-Anzahl-Kriteriums folgende Gliederung feststellen: 6 W-Netze mit der Maximum-Anzahl 1 3 W-Netze mit der Maximum-Anzahl 4 1 W-Netz mit der Maximum-Anzahl 2 Wieder die 6 zu 3 zu 1 - Signatur und wieder mit einer anderen Aufteilung der W-Netze. Es existieren also insgesamt drei geometrische Duale der Signatur 6-3-1 bezüglich -duchgängige Ausrichtung der Höhenachse des W-Netzes -maximale Kopplungsanzahl pro Quadrat in einem W-Netz -Anzahl der Maxima in einem W-Netz Dass wir mit dieser Sequenz auf eine grundlegende Eigenschaft der W-Netze getroffen sind, offenbart sich auch bei einer tieferen Analyse.
\big\ Grundlagen zur Nachbarschaftsanalyse Für die weiteren Betrachtungen benötigen wir eine neue Analysemethode, die hier vorgestellt werden soll. Bislang betrachteten wir die einzelnen W-Netze für sich und fragten nach geometrischen Auffälligkeiten, die diese charakterisieren. Nun wollen wir W-Netze in ihrer "Umgebung" betrachten. Welche Verhältnisse gehen sie ein? Dazu denken wir uns die kleinstmögliche Transformation, die man einem W-Netz unterziehen kann. Das Ergebnis einer solchen Transformation bezeichnen wir dann als Nachbar des W-Netzes, von dem wir ausgegangen sind. Da wir vom Würfel her die Netze ableiteten legen wir eine 90° Faltung zugrunde, denn im Würfel befinden sich angrenzende Flächen orthogonal zueinander. Eine kleinstmögliche Transformation liegt dann vor, wenn wir zwar beliebig viele Faltungen an den Nahtstellen der gekoppelten Quadrate eines W-Netzes zulassen, hingegen nur eine Bindung und eine Entkopplung, bevor wir den Hexomino wieder in der Ebene glätten. Unter Umständen sind dann noch Zusatzbindungen notwendig. Definitionen der Nachbarschaftstransformation: D1: Nachbaschaftstransformation eines Hexominos Gegeben sei ein Hexomino. Dann versteht man unter seinen Nachbarn jene Hexomino-Formen, die man durch eine Transformation mit endlich vielen Faltungen, einer einzigen daraus möglichen Bindung mit einer freien Kante des Hexominos und einer einzigen Entkopplung erreicht. Durch die Entkopplung darf der Hexomino nicht in zwei Teile geschnitten werden. Nach der Entkopplung ist der Nachbarhexomino wieder in der Ebene zu glätten. Sollte sich nun herausstellen, dass zwei freie Kanten unverbunden aneinanderstoßen, so sind diese dann auch durch eine Zusatzbindung miteinander zu verbinden. Die so vollzogene Transformation wird als Nachbarschaftstransformation bezeichnet. Hat diese Nachbarschaftstransformation einen Faltungswinkel von 90° wird auch als Nachbarschaftstransformation 1. Grades bezeichnet. D2: Faltung Gegeben ist ein Hexomino. Unter einer Faltung versteht man die Drehung zweier Quadrate an einer Kopplung zueinander unter einem gegebenem Winkel, wobei die Kopplung erhalten bleibt. Der vorgegebene Winkel wird als Faltungswinkel bezeichnet. D3: Bindung Unter einer Bindung wird die Verbindung zweier Quadrate verstanden, wenn beide Quadrate schon durch anderweitige Kopplung dem selbem Hexomino angehören und aufgrund von Faltungen jeweils eine ihrer freien Kanten vollständig aneinander stoßen. Diese Kanten können nun miteinander verbunden werden. Tut man dies, bezeichnet man dies als Bindung zwischen diesen beiden Quadraten. D4: Entkopplung Unter Entkopplung wird schlicht die Auflösung einer bestehenden Kopplung in einem Hexomino verstanden. D5: Zusatzbindung Zusatzbindungen werden dann nötig, wenn an eienm Hexomino genau eine Bindung und eine Entkopplung vorgenommen wurde und nach der Glättung des so entstandenen Nachbarhexominos immer noch freie Kanten von Quadraten dieses Nachbarn vollständig aneinanderliegen, ohne dass sie aber verbunden sind. Dann müssen diese Kanten durch Zusatzbindungen verbunden werden. D6: Nachbarschaftsanalyse Unter einer Nachbarschaftanalyse eines Hexominos versteht man die Erzeugung aller möglichen Nachbarn dieses Hexominos durch Nachbarschaftstransformationen. Alle Nachbarn werden dann einer Untersuchung unterworfen. Entsprechend des Grades der verwendeten Nachbarschaftstransformation wird auch der Grad einer Nachbarschaftsanalyse bezeichnet. Bemerkungen: (i) Im allgemeinen meint man unter einer Nachbarschaftstransformation eine solche vom Grade 1. D.h. es wurden bei der Faltung 90°-Winkel verwendet. (ii) Tatsächlich macht es durchaus Sinn auch Faltungswinkel von 180° zu verwenden. Dies ist aber eine Technik für weitergehende Betrachtungen und kann in diesem Rahmen nicht weiterverfolgt werden. Die ausschließliche Verwendung von 180° Faltungen führt zu Nachbarschaftstransformationen zweiten Grades. (iii) Es wird aufgefallen sein, dass in D1 bis D6 ausschließlich die allgemeinere Bezeichnung "Hexomino" verwendet wurde. Dies macht Sinn, weil zum einen solche Analystechniken auch für alle Hexominos gültig sein müssen und weil zum anderen apriori nicht zu erwarten ist, dass Nachbarn von W-Netzen auch nur W-Netze sind. (iv) Zu den Transformationen wird folgende Notation vorgeschlagen: Für die einzelnen Transformationsschritte die Anfangsbuchstaben F, B, E, Z. Für Faltung, Bindung und Zsatzbindung genügt die Notation nach (1). Für die Entkopplung führen wir das <>-Symbol ein: m <> n (6) Beispiel 1: det(1,2,6;,3,;,5,;,4,) det(1,2,;,3,6;,5,;,4,) \small Bild 9: Ein W-Netz und sein Nachbar Wie kommen wir vom linken W-Netz in Bild 9 zum rechten? Wir vollziehen die Nachbarschaftstransformation am linken W-Netz in folgender Weise: 90°-Faltung an den Quadraten 2 und 6, sowie 2 und 3. Dadurch stoßen Kanten von den Quadraten 6 und 3 vollständig aneinander. Diese dürfen wir nun Binden, was wir auch tun. Nun können wir gefahrlos die Kopplung der Quadrate 2 und 6 auflösen, ohne durch diese Entkopplung das W-Netz in zwei Teile zu teilen. Danach glätten wir das neue Hexomino und sehen darin das W-Netz auf der rechten Seite von Bild 9. Eine Zusatzbindung ist nicht notwendig. Kurz: F: 2><6; 2><3 B: 6><3 E: 2<>6 Beispiel 2: det(1,2,6;,3,;,5,;,4,) det(1,2,;,3,;,5,6;,4,) \small Bild 10: W-Netz und weiterer Nachbar Nach den 90°-Faltungen 2><6; 3><5; 2><3 Liegen nun Kanten der Quadrate 3 und 6 sowie 5 und 6 aneinander. Da wir aber nicht gezwungen sind die Bindung für 3 und 6 einzugehen, vollziehen wir sie an den Kanten der Quadrate 5 und 6. Wir entkoppeln dann wieder die Kanten der Quadrate 2 und 6 und erhalten nach Glättung das rechte W-Netz in Bild 10. Wieder ist keine Zusatzbindung erforderlich, Kurz: F: 2><6; 3><5; 2><3 B: 6><3 E: 2<>6
\big\ Erste Resultate der Nachbarschaftsanalyse für Würfelnetze Aus D1 bis D6 ergeben sich für Würfelnetze bei 90° Faltungen folgende Sätze: S1: Sind alle Nachbarn eines Würfelnetzes W ausschließlich wiederum Würfelnetze, dann hat W selbst das Format 4x3. Und umgekehrt: Ein Würfelnetz des Formats 4x3 besitzt ausschließlich Nachbarn, die ihrerseits Würfelnetze sind. S2: Besitzt ein Würfelnetz W einen Nachbarn, der selbst kein Würfelnetz ist, dann hat W das Format 5x2. Und umgekehrt: Ein Würfelnetz W vom Format 5x2 besitzt einen Nachbarn, der selbst kein Würfelnetz ist. S3: Für alle Würfelnetze treten bei den Nachbarschaftstransformationen keine Zusatzbindungen auf. Bemerkungen: (v) Die Sätze 1 und 2 sind äußerst bedeutend. Sie offenbaren, dass die 10+1 Einteilung der Würfelnetze nicht nur rein vom Format bestimmt wird, sondern sich dahinter eine tiefere Beziehung zu den Nicht-Würfelnetzen verbirgt. (vi) Für das eine 5x2-formatige W-Netz soll das Nicht-Würfelnetz und die Nachbartransformation angegeben werden: det(,1;,2;3,6;5,;4,) \small Bild 11: 5x2 W-Netz F: 1><2; 2><6; 3><5; 5><4 B: 1><4 E: 4<>5 det(4,1;,2;3,6;5,) \small Bild 12: 4x2 Hexomino als Nachbar Eine solche Konstellation, dass ein W-Netz als Nachbar ein Nicht-W-Netz generiert, ist einmalig unter den W-Netzen, daher ist der folgende Satz von besonderem Interesse: S4: Unter allen 4x3-W-Netzen gibt es genau sechs, die auch ein 5x2-W-Netz als Nachbar generieren. Bemerkungen: (vii) Dies entspricht genau in der 6-3-1 Signatur der größten Gliederung von 6 W-Netzen. (viii) Die sechs W-Netze, die ihrerseits das 5x2-W-Netz als Nachbar haben, werden hier noch kurz aufgelistet: det(1,2,6;,3,;,5,;,4,) det(1,2,;,3,6;,5,;,4,) det(1,2,;,3,;,5,;,4,6) det(1,2,;,3,;,5,6;,,4) det(,2,;1,3,;,5,6;,,4) det(,2,;,3,;1,5,6;,,4) \small\ Bild 13: Alle 4x3-W-Netze, die das 5x2 W-Netz zum Nachbarn haben S5: Es gibt ein W-Netz, das genau alle anderen zehn W-Netze als Nachbarn hat. Bemerkungen: (ix) Dieser Satz zeigt die Einheit aller W-Netze. (x) Es handelt sich dabei um folgendes W-Netz: det(1,2,;,3,6;,5,;,4,) \small\ Bild 14: Das W-Netz, welches alle anderen W-Netze zum Nachbarn hat Beweis von S1 bis S5: Um alle diese Sätze zu beweisen reicht es aus, für jedes W-Netz alle möglichen Nachbartransformationen durchzuführen. Aus der Auflistung aller Nachbarn zu jedem W-Netz ergeben sich die Aussagen aller hier vorgestellten Sätze. Wir verzichten hier bewusst auf diese umfangreiche Auflistung und verweisen stattdessen auf das Privatforum der Hexomino AG, dort wird diese Liste vollständig generiert.
\big\ Ausblick Diese Einführung ist der Startschuss einer umfassenden Forschungstätigkeit, die in der Hexomino AG konzentriert durchgeführt wird. Dazu ist jeder herzlich eingeladen, man braucht sich nur anzumelden. Zwei weiterführende Artikel zu diesem Thema: -Die Mechanik der Würfelnetze Während dieser Artikel vom Würfel ausging, wird jener Artikel von einem Quadrat ausgehen und die Würfelnetze aufbauen. Dabei werden Kalkulationen für Kopplungs-, Faltungs- und Bindungswerte vorgenommen und eine Hexomino-Norm vorgestellt, die bezüglich der W-Netze weitreichende Ergebnisse zu Tage fördert. -Vom Würfelnetz zum Raumquant Die Vorarbeiten der beiden Würfelnetz-Artikel wird nun dazu verwendet, um eine hintergrundunabhängige Beschreibung des Raumes zu erhalten. Dabei braucht man die Kanten nur mit der Plancklänge zu assoziieren. Darüber hinaus sind noch die Nicht-Würfelnetze zu untersuchen. Welche Zusammenhänge werden durch eine Nachbarschaftsanalyse der Nicht-Würfelnetze gefunden und welche Bedeutung haben diese für die Struktur der Würfelnetze? Welche Verbindung ergibt sich, wenn man die Würfelnetze einer Nachbarschaftsanalyse 2. Grades unterzieht? Bei diesen und weiteren Fragen sind offensichtlich weitere interessante Forschungsergebnisse zu erwarten. Die Hexomino AG auf dem Matheplaneten soll ein Instrument für diese mathematische Entdeckungsreise sein.
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"Mathematik: Die Signatur der Würfelnetze" | 10 Comments
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Re: Die Signatur der Würfelnetze
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mo. 08. Mai 2006 22:33:18
\(\begingroup\)Schöner und interessanter Artikel. Schon spannend was sich da so für Muster ergeben. Allerdings hat sich in dem Artikel glaub ich ein kleiner Fehler eingeschlichen. Bei Beispiel 2 zu Nachbarschaftstransformationen müsste die Faltung doch F: 2><6; 3><5; 2><3 lauten und nicht F: 2><6; 6><5; 2><3. Freu mich auf folgende Artikel... Antw. von KlausLange: Ja, Dank für den Hinweis. Ich habe eine entsprechende Änderung eingereicht...\(\endgroup\)
 

Re: Die Signatur der Würfelnetze
von: matroid am: Di. 09. Mai 2006 12:55:17
\(\begingroup\)Hallo KlausLange, ein interessanter und gut formulierter Artikel, die 3-fach Dualität ist erstaunlich. Beim zweiten Teil habe ich aber Verständnisprobleme: "Eine kleinstmögliche Transformation liegt dann vor, wenn wir zwar beliebig viele Faltungen an den Nahtstellen der gekoppelten Quadrate eines W-Netzes zulassen, hingegen nur eine Bindung und eine Entkopplung, bevor wir den Hexomino wieder in der Ebene glätten. Unter Umständen sind dann noch Zusatzbindungen notwendig." Ich verstehe nicht, was mit Faltungen und Bindungen gemeint ist. Kann ich es mir so vorstellen, daß ein Quadrat mit nur einer Bindung um 90° positiv oder negativ orientiert am restlichen Quader abgerollt wird? Kannst Du ein Beispiel geben, für zwei benachbarte Hexominos? Sind eigentlich alle benachbarten Hexominos auch Quadernetze? Viele Grüße Matroid \(\endgroup\)
 

Re: Die Signatur der Würfelnetze
von: Ex_Mitglied_40174 am: Di. 09. Mai 2006 15:14:42
\(\begingroup\)Antw.: Jetzt bringst Du mich aber in Verlegenheit. Ich dachte die Begrifflichkeiten gleich nach dem Zitatenblock in D1 bis D6 abgeklärt zu haben und in S1 bis S5 sowie anhand der Beispiele 1 und 2 erläutert zu haben... Vielleicht noch einmal allgemein zur Nachbarschaftsanalyse: Nehmen wir mal nicht ein Hexomino, sondern ein Triomino. Bei den Triominos gibts ja nur zwei Formen: det(1,2,3) det(1,2;,3) Nehmen wir uns den linken Triomino vor, dann können wir gleichzeitige 90°-Faltungen an den Kopplungen 1><2 und 2><3 vornehmen, aber das bringt uns nicht weiter, denn es gibt durch diese Faltungen keine Möglichkeit, dass irgendwie freie Kanten von den Quadraten 1 und 3 aneinanderstoßen. Daher kann es zwischen diesen auch keine Bindung geben, mithin keine Nachbarschaftstransformation 1.Grades (würden wir 60° bzw. 120° Faltungen an den genannten Kopplungen erlauben, dann ginge eine Bindung von 1 zu 3). Im Gegensatz dazu haben wir im rechten Triomino zwei Faltungen an den Kopplungen 1><2 und 2><3, so dass - aufgrund der Anordnung "über Eck" - nun freie Kanten von Quadrat 1 und 3 aneinanderliegen. Diese kann ich nun binden 1><3, danach aber entkopple ich nun 2<>3 und glätte das ganze und erhalte: det(1,2;3,) Beide Nachbar-Triominos nebeneinander: det(1,2;,3) det(1,2;3,) Von der Form her gleich, aber durch die Nummerierung der Quadrate unterscheidbar. Andere Nachbarn gibts nicht. Also zu Deiner Frage bzgl. einem Domino det(1,2) Nein, durch 90° Faltungen gibt es da kein "Abrollen" der 2 um die 1 für eine Nachbarschaftstransformation 1. Grades, wohl aber für eine 2. Grades, weil ja dann nach der 180°-Faltung die beiden Quadrate aufeinanderliegen und so die jeweiligen Kanten auch, wodurch Bindungen dort ermöglicht werden. Nur ein Quadernetz des Formates 4x3 generiert ausschließlich als Nachbarn 1. Grades wieder Quadernetze. Das eine Quadernetz im Format 5x2 generiert auch einen Nachbarn 1. Grades, der ein Nicht-Quadernetz ist (Siehe Sätze S1 und S2 im Artikel). Im Artikel habe ich im Beispiel 1 und 2 für ein bestimmtes Quadernetz zwei mögliche Nachbarn angegeben. In der Hoffnung jetzt Deine Fragen richtig verstanden zu haben und mit Dank für Dein Interesse, KlausLange \(\endgroup\)
 

Re: Die Signatur der Würfelnetze
von: AlexP am: So. 14. Mai 2006 00:16:12
\(\begingroup\)Ein sehr interessanter Artikel! Gruß Alex\(\endgroup\)
 

Re: Die Signatur der Würfelnetze
von: Ex_Mitglied_40174 am: Sa. 20. Mai 2006 20:26:26
\(\begingroup\)Ich möchte Quadernetze haben! \(\endgroup\)
 

Re: Die Signatur der Würfelnetze
von: Bernhard am: Mo. 23. Oktober 2006 20:12:05
\(\begingroup\)Hallo Klaus! Wie oft schon stoße ich erst etwas später auf einen interessanten Artikel hier im MP. Ich habe nicht gedacht, daß man aus diesen Hexominos so viel machen kann, bzw. daß es da so interessante Beziehungen gibt. Ich möchte noch dazu ein paar Anmerkungen machen: Ich habe, genauso wie Matroid, als erstes daran gedacht, die W-Netze zu unterscheiden nach dem Kriterium, ob sie sich einem Zug abrollen lassen nicht. Das ist nur möglich bei denjenigen mit max. 2 Koppelungen an einem Quadrat. Dadurch lassen sich diese vier auch eindeutig durch die Reihenfolge ihrer Felder beschreiben: 1-2-3-5-4-6 1-2-3-5-6-4 1-2-3-6-5-4 1-2-6-3-5-4 Und dann sah ich weiter, daß man nur die drei letzteren zu einem Ring schließen kann, das heißt an jeder Stelle mit dem Abrollen (oder der Wanderung) beginnen kann. Daraus ergaben sich dann weitere Fragen, die ich aber ins Forum stellen werde. Danke für diesen anregenden Artikel! Bernhard \(\endgroup\)
 

Abrollkriterium
von: KlausLange am: Mi. 25. Oktober 2006 14:13:04
\(\begingroup\)Eine wirklich interessante Idee. Dass Matroid das so gemeient hatte, war mir gar nicht aufgefallen, ich dachte er bezog das auf die Nachbarschaftstransformation... So hätten wir nun eine 4-7-Struktur nach diesem Kriterium. Dass der eine Würfel kein Ring bildet liegt natürlich daran, dass Anfangs- und Endfläche stets gegenüber liegen, das ist bei den anderen drei nicht gegeben. \(\endgroup\)
 

Re: Die Signatur der Würfelnetze
von: Ex_Mitglied_40174 am: Sa. 05. April 2008 10:01:21
\(\begingroup\) 😄 😄 \(\endgroup\)
 

Re: Die Signatur der Würfelnetze
von: Ex_Mitglied_40174 am: Di. 22. April 2008 18:43:12
\(\begingroup\)wow, cool! würfelnetze machen wir grad in mathe! hier hab ich jede menge infos gefunden. danke! euer Anton 11 aus Tübingen\(\endgroup\)
 

Re: Die Signatur der Würfelnetze
von: Ex_Mitglied_40174 am: Do. 15. Mai 2008 08:42:53
\(\begingroup\)Hallo, ich suche im Würfelnetz die Nummerierung der Eckpunkte? Es sind 8 Eckpunkte A,B,C,D,E,F,G,H. Wo aber befinden die sich im Würfelnetz? Anna\(\endgroup\)
 

 
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