Mathematik: Unfall im Genlabor: (Per)mutationen in der Bevölkerung
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Mathematik

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Gruppenzwang IX

Hallo, Freunde der Algebra. Es tauchen im Forum immer wieder Fragen auf, die sich um Permutationen drehen und nicht wenige haben Probleme damit, dieses Konzept überhaupt zu verstehen. Wir wollen in diesem Teil Permutationsgruppen genauer beleuchten und typische Details aus dem Algebra I-Stoff dazu besprechen. Das heißt auch, dass dieser Teil der Reihe an Teil VI anknüpft und wieder für Anfänger und Einsteiger geeignet sein soll, nachdem dies Teil VII und VIII ja nicht waren.

 
Inhalt

1.) Was sind Permutationsgruppen? 2.) Schreibweisen 3.) Immer schön im Kreis 4.) Alles in Ordnung 5.) Die innere Struktur von Sn 6.) Zeichensetzung

 
Was sind Permutationsgruppen?

Nun gut, dann also einfach drauf los. Was sind Permutationsgruppen eigentlich? Als \darkblue\ Permutationsgruppe__\black wird eine Untergruppe einer symmetrischen Gruppe bezeichnet. Die \darkblue\ array(symmetrische Gruppe \(einer Menge M\))__\black ist dabei die Gruppe: menge(f:M->M | f ist bijektiv) Also die Menge aller Abbildungen von M nach M, die sowohl injektiv als auch surjektiv sind. Speziell bei endlichen, aber manchmal auch bei unendlichen Mengen M, wird so eine Abbildung eine \darkblue\ array(Permutation von M)__\black genannt. Die Verknüpfung dieser Gruppe ist durch die Komposition von Abbildungen, also die Hintereinanderausführung opimg(\circ), gegeben. Wir erinnern uns: für zwei Abbildungen \a:A->B und \b:B->C ist \b\circ\a:A->C definiert durch (\b\circ\a)(a)=\b(\a(a)) für alle a\el\ A. \stress\ Wichtig__\normal||: Es ist manchmal nicht einheitlich, in welche Richtung die Komposition ausgeführt wird. In diesem Artikel und in großen Teilen der Literatur bedeutet f\circ\ g, dass array(erst g\, und dann f)__ ausgeführt wird. Auch die Schreibweise für die symmetrische Gruppe ist nicht einheitlich. Oft wird sie als S_M oder Sym(M) notiert. Speziell bei endlichen Mengen verwendet man oft den "Prototypen" einer n\-elementigen Menge: {1,2,...,n}. Man nummeriert die Elemente von M also der Reihe nach durch \(was bei endlichen M ja problemlos geht\) und schränkt sich dann auf diese Standardschreibweise ein. Für endliche M wird daher oft nicht nach der Menge M unterschieden, sondern nur nach der Anzahl der Elemente in M. Dementsprechend wird für endliche Mengen auch einfach S_n statt S_M oder Sym(M) geschrieben. Ich werde es so handhaben, dass ich für die allgemeine symmetrische Gruppe Sym(M) schreibe, auch bei endlichen Mengen. Und nur wenn ich wirklich den Spezialfall M={1,...,n} meine, werde ich S_n schreiben. Man sollte sich aber darüber klar sein, dass dieser Spezialfall sich nur durch die Benennung der Elemente unterscheidet und er deshalb keine wirkliche Einschränkung darstellt. Es wird in vielen Anfängervorlesungen wie z.B. LA I und/oder Ana I vorgerechnet, dass Sym(M) wirklich eine Gruppe definiert. Die Grundgedanken dieses Beweises fasse ich nochmal zusammen: (Dies ist ein guter Zeitpunkt, sich nochmal die Definition einer Gruppe aus Teil I in Erinnerung zu rufen... ist ja nun doch schon eine Weile her ) \ref(E) Die Existenz der Verknüpfung ist klar. Dass das Kompositum f\circ\ g zweier Abbildungen f,g: M->M wieder eine Abbildung M->M ist, ist äußerst einfach einzusehen. \ref(A) Die Assoziativität der Verknüpfung wird meistens allgemeiner bewiesen, indem gezeigt wird, dass für drei Abbildungen \a: A->B, \b: B->C und \g: C->D immer \g\circ(\b\circ\a)=(\g\circ\b)\circ\a gilt. \ref(N) Das neutrale Element dieser Verknüpfung ist die so genannte \darkblue\ array(identische Abbildung)__\black oder auch einfach \darkblue\ Identität__\black genannt. Sie wird mit id_M oder \- sofern die beteiligte Menge aus dem Kontext klar ist \- auch kurz mit id bezeichnet. Diese Abbildung ist, wie der Name schon andeutet, die Abbildung, die durch id_M(m):=m für alle m\el\ M definiert ist. Mit dieser Definition ist es auch einfach einzusehen, dass sie das neutrale Element ist. \ref(I) Die Existenz eines inversen Elements wird ebenfalls meistens allgemeiner bewiesen, indem man nachweist, dass für eine Abbildung f:M->N äquivalent ist: 1.) f ist bijektiv und 2.) es existiert eine Abbildung g:N->M mit f\circ\ g=id_N und g\circ\ f=id_M. Da hier nur Abbildungen M->M betrachtet werden, folgt daraus die Existenz der inversen Elemente. Die symmetrischen Gruppen endlicher Mengen sind für den Stoff der Algebra I und die Theorie der endlichen Gruppen von essentieller Bedeutung. In diesem Artikel soll es uns daher vor allem um diese symmetrischen Gruppen gehen, während wir die unendlichen nicht weiter beachten.

 
Schreibweisen

Es gibt verschiedene Schreibweisen für Permutationen. Während man bei unendlichen Mengen M meistens bei der gewohnten Notation als Abbildung bleibt, werden bei endlichen Mengen oft andere Schreibweisen gewählt. Als "Prototypen" einer endlichen Menge mit n Elementen betrachtet man {1,2,...,n}. Eine Permutation, also ein Element aus S_n, wird nun meist als eine 2\cross\ n-Matrix geschrieben, das heißt in Form eines Rechtecks mit 2 Zeilen und n Spalten. Dabei stehen in der ersten Zeile die Zahlen 1 bis n und in der unteren Zeile die Bilder dieser Zahlen unter der betrachteten Abbildung. Beispielsweise wäre perm(1,2,3,4,5,6;3,4,5,6,1,2) die entsprechende Schreibweise für die Abbildung f: {1,...,6}->{1,...,6}: f(k):=cases(k+2,k<5;k-4,k>=5) Im Prinzip entspricht diese Darstellung der altbekannten Wertetafel, die man früher in der Schule oft im Zusammenhang mit allerlei Funktionen benutzt hat. In der Regel wird es so gehandhabt, dass die obere Zeile immer sortiert geschrieben wird. Wenn man diese Festlegung trifft, ist es eigentlich überflüssig, sie immer mitzuschreiben. Konsequenterweise lassen einige Autoren sie daher weg und schreiben nur noch die entsprechend geordnete untere Zeile auf, was in unserem Beispiel also so aussehen würde: perm(3,4,5,6,1,2) Diese Schreibweise ist - vor allem, da sie auch oft mit runden Klammern vorkommt - nicht von Vorteil, da sie mit der dritten Schreibweise - der wesentlich wichtigeren Zyklendarstellung - kollidiert, die wir später noch untersuchen wollen. Daher werde ich diese einzeilige Schreibweise im weiteren Verlauf des Artikels nicht benutzen.

 
Immer schön im Kreis

Eine Wertetafel - egal in welcher Schreibweise nun - ist zwar ganz nützlich, wenn man eine Permutation hat und einfach ein paar Funktionswerte wissen will, aber um die algebraischen Eigenschaften zu untersuchen, taugt sie wenig. Es gibt daher noch eine dritte und äußerst wichtige Schreibweise, die so genannte Zyklenschreibweise. Zunächst muss man wissen, was das eigentlich ist, ein Zykel: Eine Permutation \pi aus Sym(M) heißt \darkblue\ Zykel__\black||, wenn es Elemente x_1, x_2, ..., x_k\el\ M gibt, so dass \pi(x_1)=x_2 \pi(x_2)=x_3 ... \pi(x_(k-1))=x_k und \pi(x_k)=x_1 gilt. Umgangssprachlich schiebt \pi diese Elemente also im "Kreis herum", daher auch der Name. Wichtig ist aber noch eine zweite Bedingung, nämlich dass alle anderen Elemente von M nicht bewegt werden: \forall\ y\el\ M\\||menge(x_1, ..., x_k) : \pi(y)=y Das heißt also, dass \pi genau ein__ solcher Kreis sein soll und nicht etwa zwei unabhängige Kreise. Die Zahl k heißt dabei \darkblue\ Länge__\black des Zykels, welchen man dann auch \darkblue\ k\-Zykel__\black nennt. Ein Zykel der Länge 1 ist die Identität, er verändert nichts. Ein Zykel der Länge 2 heißt \darkblue\ Transposition__\black||. Wir werden später noch sehen, dass die Transpositionen eine besondere Rolle spielen. Als Kurzschreibweise wird oft (x1, x2, ..., xk) geschrieben, also einfach nur die Elemente, die vertauscht werden nacheinander und in runden Klammern. Man lässt auch oft die Kommata weg, besonders wenn man konkrete Werte gegeben hat. Man schreibt also z.B: (3415) statt (3,4,1,5). Hier sieht man auch, wie ich die Doppeldeutigkeit im Zusammenhang mit der Schreibweise als einzeilige Matrix meinte. Wenn man eine Permutation zwar als Wertetafel, aber mit runden Klammern darstellt, ist nicht mehr klar, was gemeint ist: Die Wertetafel oder die Zyklenschreibweise. Im Allgemeinen ist das nämlich nicht dasselbe. Da die Zyklenschreibweise sehr viel wichtiger ist, werde ich die zweite Schreibweise nicht nochmal benutzen, wie ich schon sagte. Natürlich ist nicht jede Permutation so ein Zykel, aber man kann an einigen Beispielen schnell nachrechnen, dass viele Permutationen das Produkt solcher Zyklen sind. Genauer gesagt ist sogar jede Permutation das Produkt so genannter "disjunkter" Zyklen. Zwei Zyklen (x_1, ..., x_k) und (y_1, ..., y_k')\el\ S_n heißen \darkblue\ disjunkt__\black||, wenn die Mengen menge(x_1, ..., x_k) und menge(y_1, ..., y_k') disjunkt sind. Disjunkte Zyklen haben große Vorteile. Zum Beispiel kommutieren sie, d.h. wenn wie in der Definition \pi=(x_1, ..., x_k) und \sigma=(y_1, ..., y_k') disjunkte Zyklen sind, dann gilt: \pi\circ\sigma=\sigma\circ\pi Das kann man sich leicht klarmachen, denn \pi und \sigma verändern ja nur etwas an den Mengen menge(x_1, ..., x_k) bzw. menge(y_1, ..., y_k'). Da diese disjunkt sind, betreffen die Änderungen an der einen Menge, die andere nicht und umgekehrt. Dies ist ein großer Vorteil von disjunkten Zyklen, denn \red\ im Allgemeinen sind Permutationsgruppen nicht abelsch\black||. So gilt z.B. in S_3: perm(1,2,3;2,3,1)\circ\ perm(1,2,3;2,1,3)=perm(1,2,3;3,2,1) perm(1,2,3;2,1,3)\circ\ perm(1,2,3;2,3,1)=perm(1,2,3;1,3,2) wie man leicht nachrechnen kann. Wie gesagt, gilt nun der äußerst nützliche Satz: \darkred\ Jede Permutation aus S_n lässt sich als Produkt disjunkter Zyklen schreiben. \blue\ Beweis: Wir werden dies konstruktiv machen, d.h. gleich eine Methode angeben, diese Zerlegung zu konstruieren. Dies geht ganz simpel mit dem folgenden Algorithmus: \ll(1)Starte bei s=1. \ll(2)Ermittle \(z.B. aus der Wertetafel\) die Werte f(s), f(f(s)), f^3(s), f^4(s) etc. \ll(3)Da {1,...,n} eine endliche Menge ist, können diese Werte nicht alle verschieden sein. Es wiederholt sich also irgendwann einmal. Es gibt also n und m mit n>m und f^n(s)=f^m(s) => $ $ $ $ $ $ f^(n-m)(s)=f^0(s)=id(s)=s. Wir kommen also irgendwann wieder beim Startpunkt s an. \ll(4)Schreibe alle seit Punkt 2 besuchten Werte in einen neuen Zykel. \ll(5)Suche einen neuen Startpunkt s, der bisher noch nicht besucht wurde, und beginne wieder bei \ref(2). \ll(6)Da die Menge endlich ist, kann auch dies nicht beliebig lange $ fortgesetzt werden und somit kommen wir zu einem Ende und haben die Zyklenzerlegung von f gefunden. Es ist klar, dass man mit Schritt 3 wirklich einen Zykel erhält. Dazu muss man sich nur klarmachen, was ein Zykel genau tut. Disjunkt sind die Zyklen auch, denn in \ref(5) wählen wir nur solche Startpunkte, die vorher nicht Teil eines Zykels waren. Dass auch die in \ref(2) besuchten Werte vorher nicht vorkamen folgt aus der Bijektivität. \blue\ q.e.d. Es kann passieren, dass man ein-elementige Zyklen findet. Eine Permutation aus S6 kann also z.B. die Darstellung (123)(45)(6) haben. Der Zykel (6) ist ein trivialer Zykel, er verändert also nichts. Ein-elementige Zykel schreibt man nicht mit, da sie, wie gesagt, der Multiplikation mit id entsprechen. Die Darstellung einer Permutation als Produkt disjunkter Zyklen der Länge >= 2 heißt nun \darkblue\ Zyklenschreibweise__\black oder auch \darkblue\ Zyklenzerlegung__\black||. Die Zyklenschreibweise für unsere Beispielpermutation perm(1,2,3,4,5,6;3,4,5,6,1,2) von oben wäre z.B. (135)(246) Besteht die Zyklenzerlegung einer Permutation aus Zyklen der Länge $ l_1<=l_2<=...<=l_k, so heißt (l_1, l_2, ..., l_k) \darkblue\ Typ__\black der Permutation. Obige Permutation hätte beispielsweise den Typ (3,3). Eine Anmerkung noch: Die Zyklenschreibweise ist i.d.R. nicht eindeutig, d.h. zwei Zyklenschreibweisen können diesselbe Permutation repräsentieren, denn a.) können die Zyklen in einer anderen Reihenfolge stehen, denn als disjunkte Zyklen kommutieren sie ja und die Reihenfolge ist daher egal und b.) kann innerhalb eines Zykels die Reihenfolge der Elemente rotiert werden. So stellen (3415), (4153), (1534) und (5341) dieselben Permutationen dar.

 
Alles in Ordnung

Man kann sehr einfach ermitteln, welche Ordnung die symmetrische Gruppe Sn hat: Für das Bild der 1 gibt es n Möglichkeiten, nämlich genau die Zahlen 1 bis n. Für das Bild der 2 gibt es aufgrund der Injektivität nur noch n-1 Möglichkeiten, nämlich die Zahlen 1 bis n ausgenommen das Bild der 1. Entsprechend verfährt man weiter. Verpackt in eine nette Induktion, heißt das folgendes: \darkred\ abs(S_n)=n*(n-1)*...*2*1=n! Daraus ergibt sich z.B., dass S_2 zu \IZ\/2\IZ isomorph ist, denn S_2 ist eine Gruppe der Ordnung 2. Wir hatten aber schon früher bemerkt, dass alle Gruppen, deren Ordnung diesselbe Primzahl p ist, zueinander isomorph sind. Allgemeiner formuliert gilt: \darkred\ S_0, S_1 und S_2 sind die einzigen abelschen symmetrischen Gruppen \blue\ Beweis: Es gilt abs(S_0)=abs(S_1)=1, also sind beide die triviale Gruppe und somit abelsch. Dass S_2~=\IZ\/2\IZ ist, habe ich eben gerade erwähnt. Im vorherigen Abschnitt habe ich ein Beispiel angegeben, um zu zeigen, dass S_3 nicht abelsch ist. Man kann dieses Beispiel leicht auf jedes Sym(M) für abs(M)>=3 übertragen. \blue\ q.e.d. S3 ist, da die Gruppen der Ordnung 1,2,3,4 und 5 alle abelsch sind, die kleinste nicht-abelsche Gruppe. Daher muss sie sehr oft als Quelle für Gegenbeispiele herhalten. Ein guter Grund, sie sich gut zu merken. Wir werden nun eine wichtige Eigenschaft der Zyklenzerlegung kennenlernen. Aus der Darstellung einer Permutation als Produkt disjunkter Zyklen kann man nämlich prima die Ordnung dieser Permutation ablesen: \darkred\ Ist \pi\el\ S_n mit der Zyklenzerlegung \pi=(x_1, ..., x_k_1)(x_(k_1+1), ..., x_(k_1+k_2))..., dann ist ord(\pi)=kgV(k_1, k_2, ...). \blue\ Beweis: Wichtig ist hier der Fakt, dass in dieser Zerlegung nur disjunkte Zyklen vorkommen. Wenn wir \pi also mit sich selbst multiplizieren, können wir die Faktoren so umordnen, dass die zusammengehörigen Zyklen miteinander multipliziert werden. Es ist also \pi^k=(x_1, ..., x_k_1)^k\.(x_(k_1+1), ..., x_(k_1+k_2))^k\.... Es folgt aus der Definition, dass die Ordnung eines Zykels genau seiner Länge entspricht. Potenzieren wir also mit k=kgV(k_1, k_2, ...), so werden alle Zyklen zu id, es gilt: \pi^k=id. Ebenso kann man sich leicht klarmachen, dass für jeden kleineren Exponenten immer ein Urbild aus {1,...,n} gefunden werden kann, das von \pi^k nicht festgelassen wird. \blue\ q.e.d. Diese Tatsache ist äußerst wichtig, nicht nur für die Theorie, auch für den Studenten an sich, denn sie wird ziemlich oft in Übungsaufgaben zu Permutationsgruppen gebraucht.

 
Die innere Struktur von Sn

Es geht uns nun darum, weitere wichtige Strukturaussagen über Sn zu treffen und zu beweisen.

 
Einmal erster Klasse bitte

Es ist oftmals wichtig, zu wissen, wie die Konjugationsklassen von Sn aussehen. Man kann sie durch folgenden Satz charakterisieren: \darkred\pi,\sigma\el\ S_n sind genau dann konjugiert, wenn sie denselben Typ haben. \blue\ Beweis: Wenn \pi=(x_1, ..., x_k_1)(y_(k_1+1), ..., y_(k_1+k_2))... ist, dann gilt für a\el\ S_n: \a\pi\a^(-1)=(\a(x_1), ...,\a(x_k_1))(\a(y_1), ...,\a(y_k_2))... Dies gilt offensichtlich, da (\a\pi\a^(-1))(\a(x_i))=\a(x_(i+1)) für 1<=i
 
Bäumchen, wechsel dich Wir haben mit der Zyklenzerlegung schon bewiesen, dass alle Zyklen die Gruppe Sn erzeugen. Man kann sogar noch einen Schritt weiter gehen und sich auf Zyklen der Länge 2, also auf Transpositionen beschränken. Das liegt daran, dass man jeden Zykel als Produkt von Transpositionen schreiben kann: (x1, ..., xk)=(x1, xk)(x1, xk-1)...(x1, x2) Man kann sich sogar darauf beschränken, dass x1=1 ist. Wir können nur solche Transpositionen betrachten, die die Form (1,x) haben, denn es gilt: (x,y)=(1,y)(1,x)(1,y) Man kann auch nur diejenigen Transpositionen betrachten, die die Forum (i,i+1) haben, denn es gilt: (1,i)=(i-1,i)...(2,3)(1,2)(2,3)...(i-1,i) Man kann noch viele andere Erzeugendsysteme finden. Das kleinste besteht i.A. aus einem Zykel der Länge n und einer Transposition, also z.B. (1,2,...,n) und (1,2). Also nochmal zusammenfassend: S_n wird von den Zyklen erzeugt, \darkred\ S_n><=braket((x_1, ..., x_k), x_i\el\ menge(1,...,n)) von den Transpositionen \darkred\ S_n=braket((x,y), x\,y\el\ menge(1,...,n)) von den Transpositionen mit 1 am Anfang \darkred\ S_n=braket((1,x), x\el\ menge(1,...,n)) eigentlich nur von 2 Elementen: \darkred\ S_n=braket((1,2,...,n)\,(1,2)) Jede dieser Darstellungen hat ihre Vorteile und gebraucht werden sie alle irgendwie. Dass Sn von den Transpositionen erzeugt wird, braucht man z.B. oft im Zusammenhang mit Homomorphismen, da diese die Elementordnungen erhalten. Dass Sn von einem n-Zykel und einer Transposition erzeugt werden kann, braucht man z.B. dann, wenn man nachweisen will, dass eine bestimmte Permutationsgruppe schon ganz Sn ist. Es gibt diverse Anwendungen jeder dieser Darstellungen.

 
Zeichensetzung

Wir wollen uns nun mit einem speziellen Gruppenhomomorphismus, der auf den symmetrischen Gruppen definiert ist, auseinandersetzen. Es geht uns um das so genannte \darkblue\ Signum__\black einer Permutation. Es gibt verschiedene Methoden, es zu definieren. Die übliche ist folgende: sgn: S_n->{-1,1}: sgn(\pi):=produkt((\pi(i)-\pi(j))/(i-j),1<=i{+-1}, der für n>=2 surjektiv ist. \blue\ Beweis: Zunächst sollte man sich klar machen, warum sgn(\pi) entweder +1 oder -1 ist. Da \pi eine bijektive Abbildung ist, taucht jedes Paar {i,j} wieder unter den {\pi(i),\pi(j)} auf. Man kann also garantiert kürzen. Einzig die Reihenfolge, in der ein solches Paar wieder auftaucht, ist unklar. Dadurch wird manchmal zu 1 und manchmal zu -1 gekürzt. Ein solches Paar (i,j) mit i\pi(j) wird \darkblue\ Fehlstand__\black genannt. Das Signum gibt also an, ob die Anzahl der Fehlstände einer Permutation gerade oder ungerade ist. Es ist weiter zu zeigen, dass sgn ein Homomorphismus ist: sgn(\pi\circ\sigma)=produkt(((\pi\circ\sigma)(i)-(\pi\circ\sigma)(j))/(i-j),1<=i=2: abs(A_n)=abs(S_n)/2=n!/2 Da S_0 und S_1 die triviale Gruppe bilden, ist dort A_0=S_0 und A_1=S_1. Trotz der umständlichen Definition können wir das Signum einer Permutation sehr einfach berechnen, wenn wir ihre Zyklenzerlegung kennen, denn es gilt: \darkred\ Ein Zykel der Länge l hat das Signum (-1)^(l-1). \blue\ Beweis: Diese Tatsache folgt aus der oben genannten Zerlegung von Zyklen in ein Produkt von Transpositionen. Da (12) das Signum -1 hat und jede andere Transposition zu (12) konjugiert ist, haben alle Transpositionen das Signum -1. Ein Zykel der Länge l kann nun als Produkt von l-1 Transpositionen dargestellt werden. Da das Signum multiplikativ ist, ist das Signum des Zykels (-1)^(l-1). \blue\ q.e.d. Kennt man also die Zyklenzerlegung, so kann man das Signum leicht aus der Länge der Zyklen berechnen. Ähnlich wie wir bewiesen haben, dass die Transpositionen S_n erzeugen, kann man zeigen, dass A_n von den 3-Zyklen erzeugt wird. \darkred\ A_n=braket((x,y,z),x\,y\,z\el\ menge(1,...,n)) In S_0, S_1 und S_2 gibt es natürlich keine Dreizyklen. Dort ist A_n aber die triviale Untergruppe und wird deshalb von der leeren Menge erzeugt.

 
Ausblick und Abschluss

Man kann viel, viel mehr über symmetrische Gruppen sagen. Zum Beispiel könnte man die Untergruppenstruktur von S3 und S4 untersuchen, denn diese Untergruppen sind sehr bekannt und werden sehr oft gebraucht. Man könnte auch zeigen, dass ab S5 die symmetrischen Gruppen nicht mehr auflösbar sind. Allgemeiner könnte man sogar zeigen, dass ab A5 die alternierenden Gruppen einfach sind. Viel gibt es zu entdecken, doch nur für wenig ist hier genug Platz. Vielleicht wird sich in einem weiteren Gruppenzwang einmal Platz finden, um die symmetrischen Gruppen genauer zu untersuchen. Der interessanteste Aspekt an den Permutationsgruppen für den Algebra-I-Hörer ist wohl ihre Anwendung in der Galoistheorie, denn bestimmte Permutationen der Nullstellen eines Polynoms können zu Körperautomorphismen fortgesetzt werden und diese wiederum bieten mit Hilfe der Galoistheorie den Schlüssel zur Lösung uralter mathematischer Probleme. Ich hoffe sehr, dass mein kurzer Abriss über Permutationsgruppen euch den Weg dorthin erleichtert. Sym(mfg)=Gockel

 
Die Gruppenzwang-Reihe

Teil 1: Wir rechnen mit allem Teil 2: Anonyme Mathematiker bieten Gruppentherapie an Teil 3: Sensation: Homo Morphismus ist ein Gruppentier Teil 4: Gruppencamper brauchen Iso(morphie)matten Teil 5: Dr.Cauchy und Dr.Sylow bitte zur GruppenOP Teil 6: Randale: Gruppendemo musste aufgelöst werden Teil 7: Gruppen sind immer noch top! Teil 8: Konvois auf der A20: Autos nur noch in Gruppen unterwegs Teil 9: Unfall im Genlabor: (Per)mutationen in der Bevölkerung Teil 10: Jäger der verlorenen Gruppe - Special Xtended Version Teil 11: Der Gruppentheorie-Adventskranz Teil 12: Wegen guter Führung entlassen: Gruppen sind frei Teil 13: Amnestie: Auch Untergruppen frei
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Gruppenzwang IX: Unfall im Genlabor: (Per)mutationen in der Bevölkerung [von Gockel]  
Teil 9 der Reihe behandelt Permutationsgruppen und elementare Eigenschaften der endlichen symmetrischen Gruppen, die im Zusammenhang mit Algebra I oft gebraucht werden.
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"Mathematik: Unfall im Genlabor: (Per)mutationen in der Bevölkerung" | 2 Comments
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Re: Unfall im Genlabor: (Per)mutationen in der Bevölkerung
von: zahlenspieler am: Di. 24. Oktober 2006 00:53:13
\(\begingroup\)Hallo Gockel, man kann (ohne das Signum für Permutationen zu benutzen) zeigen, daß die Anzahl Transpositionen bei gegebener Permutation gerade oder ungerade ist. Die Idee dazu stammt aus einer Vorlesung über Gruppentheorie von E. Landau. Dabei wird ein recht einfach zu beweisender Hilfssatz benutzt: Es sei n >= 2 \el \IN und i!=j mit 1<=i,j <=n. Ist \pi \el S_n Produkt von t Transpositionen, dann ist (i j) \circ \pi Produkt von t+1 oder t-1 Transpositionen. Mfg Thomas\(\endgroup\)
 

Re: Unfall im Genlabor: (Per)mutationen in der Bevölkerung
von: Gockel am: Di. 24. Oktober 2006 14:02:55
\(\begingroup\)Hi Thomas. Dieser Hilfssatz ist denkbar unnütz, da er vollkommen trivial ist und auch nichts zum eigentlichen Problem beiträgt, denn es geht doch darum, dass gezeigt werden muss, dass für jede Zerlegung in Transpositionen die Anzahl dieser immer dieselbe Parität hat, sonst ist das Signum als "1 wenn die Anzahl gerade ist, -1 wenn die Anzahl ungerade ist" nicht wohldefiniert. In diesem Fall müsste man also eine bestimmte Zerlegungsmethode vor den anderen bevorzugen und die Anzahl der Transpositionen auf genau diese eine Zerlegung beziehen. mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

 
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