Mathematik: Transzendente Zahlen - Ein Überblick
Released by matroid on Fr. 03. August 2001 01:23:08 [Statistics]
Written by matroid - 30519 x read [Outline] Printable version Printer-friendly version -  Choose language   
Mathematik

\(\begingroup\)\(\newcommand{\IX}{\mathbb{X}} \newcommand{\IW}{\mathbb{M}} \newcommand{\politician}[1]{\text{Ich habe die Frage nicht verstanden. #1}} \newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Definition: Eine transzendente Zahl ist eine Zahl, die nicht Nullstelle eines Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten ist.

Statt Nullstelle sagt man meistens "Wurzel".
Das Gegenteil von transzendent ist algebraisch.

Beispiel: Ö2 ist algebraisch, denn es ist Wurzel des Polynoms x2-2. Dagegen sind die Eulersche Zahl e und pi Beispiele für transzendente Zahlen. Auch 0.123456789101112131415161718192021... ist transzendent [Kurt Mahler, 1946].

"Transzendent" bedeutet auf deutsch: "übersteigend" oder "überschreitend". Das Wort wird auch im Sinne von "überweltlich", "überirdisch" verwendet.

Die Vorzeit

Die Bezeichnung läßt die Sichtweise früherer Mathematiker erkennen.

Da man bei der Beschäftigung mit Gleichungen niemals auf transzendente Zahlen als Lösung stößt, hat man diese Zahlen lange Zeit nicht gekannt und nicht erwartet.

Man ist auf die Möglichkeit der Existenz solcher Zahlen aufmerksam geworden, weil man bestimmte geometrische Konstruktionen mit der Zahl p nicht lösen konnte. Das klassische Problem ist die "Quadratur des Kreises". Jahrhundertelang haben zuerst Wissenschaftler und dann auch Laien versucht, ein Quadrat zu konstruieren, das die gleiche Fläche hat, wie ein Kreis. Heute weiß man, daß das unmöglich ist. Unmöglich ist es auch eine Strecke mit der Länge p zu konstruieren. Man weiß heute, daß man höchstens die 2n ten Wurzeln konstruieren kann. Man kann aber alle Quadratwurzeln konstruieren. Die Länge Ö2 taucht z.B. als Diagonale in einem Quadrat mit Seitenlänge 1 auf.
[Über die Konstruierbarbeit siehe Skript Dr. Elsholtz.]

Leonhard Euler vermutete 1775 als erster, daß pi transzendent ist. 1794 erfolgt der Beweis der Irrationalität. 1882 bewies Ferdinand Lindemann, daß pi transzendent ist.

Liouville findet eine transzendente Zahl

Im Jahr 1844 hat Joseph Liouville die erste transzendente Zahl nachgewiesen. In seiner wissenschaftlichen Arbeit hatte er sich bemüht, die Transzendenz von e zu beweisen. Auch wenn ihm das nicht gelungen war, ist er der Kolumbus der transzendenten Zahlen. Eine seiner Zahlen lautet 0.1100010000000000000000010000... mit einer 1 genau an den Dezimalstellen n!.

Cantor beweist die Existenz überabzählbar vieler

Einen verblüffenden Beweis für die Existenz der transzendenten Zahlen gab im Jahre 1873 Georg Cantor, der große Mathematiker, der sich im 19. Jh. mit Mächtigkeiten unendlicher Mengen beschäftigt hat.



Eines seiner Ergebnisse ist bekanntlich, daß die Menge der rationalen Zahlen die gleiche Mächtigkeit hat wie die Menge der natürlichen Zahlen.

Cantor zeigte auch, daß die Menge aller algebraischen Zahlen ebenfalls gleichmächtig zu N ist.
Zum Beweis wird angegeben, wie man die algebraischen Zahlen zählen (numerieren) kann.

Beweis: Betrachte alle Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten. Jedem Polynom kann man eine natürliche Zahl zuordnen, indem man
p(x) = a(0) + a(1)x + a(2)x2 + ... + a(m)xm
die Summe der Absolutbeträge von (n+1)*a(n) zuordnet.
Beispiel: Zum Polynom 2 - x + 3x2 erhält man 1*2 + 2*1 + 3*3 = 13.
Zu jeder natürlichen Zahl gibt es nur endlich viele Polynome, denen die gleiche Zahl zugeordnet wird, denn ein Polynom mit einem gegebenen Wert (z.B. 13) kann keinen Koeffizienten haben, der größer als 13 ist, und der Grad des Polynoms kann auch nicht größer als 13 sein.
[Wenn ein Polynom einen Koeffizienten gleich 14 hat, oder wenn wenn der Grad eines Polynoms gleich 14 ist, dann wird diesem Polynom mindestens die Zahl 14 zugeordnet.]
Jedes von den nur endlich vielen Polynomen zu einer festen natürlichen Zahl hat nur endlich viele Nullstellen. Folglich können die algebraischen Zahlen abgezählt werden. Die Zählung erfolgt im Prinzip nach der gleichen Methode, mit der Cantor schon die rationalen Zahlen abgezählt (numeriert) hat [siehe: Der von Cantor entwickelte Abzählbeweis.
Ergo: Die Menge der algebraischen Zahlen ist abzählbar.
Schließlich hat Cantor auch gezeigt, daß die Mächtigkeit der reellen Zahlen größer ist als die der nätürlichen Zahlen [siehe Beweis].

Daraus ergibt sich - gleichsam als Nebenprodukt von Cantors Hauptbeschäftigung - der Beweis, daß es reelle Zahlen gibt, die nicht algebraisch sind.

Cantor hat damit die Existenz von unendlich vielen transzendenten Zahlen bewiesen, und er mußte dazu keine einzige transzendente Zahl kennen.
Vermutlich kannte Cantor mindestens die Ergebnisse von Liouville.

p, e und dann ...

1873 bewies Hermite, daß e transzendent ist und 1882 wies Lindemann das gleiche für p nach.

Seitdem gibt es gelegentliche Fortschritte auf dem Gebiet, u.a.:

  • Wenn a und b algebraisch sind und b nicht rational, a weder 0 noch 1, dann ist ab transzendent.
  • 2(2(1/2)) ist transzendent.
  • ep ist transzendent.
  • ... und dergleichen mehr.

Transzendenz ist mittels ganzzahliger Polynome definiert, aber es gilt auch:

Die Wurzeln eines Polynoms mit algebraischen Koeffizienten sind algebraisch

Damit kann man dann eine nette Aussage über mindestens eine weitere transzendente Zahl beweisen [Quelle: s.u.]:

e*pi und e+pi sind nicht beide algebraisch

Denn wären beide algebraisch, dann hätte die Gleichung x2-(e+pi)x+(e*pi) = 0 die Nullstellen e und pi. e und pi wären dann algebraisch. Ein Widerspruch.

Wie beweist man Transzendenz?

Die transzendenten Zahlen sind nicht leicht zu beherschen.

Mathematiker haben lange gebraucht, bis sie die richtigen Ideen gefunden haben. Die Ergebnisse tröpfeln im Lauf der Jahrzehnte. Es gibt viele offene Fragen.

Leider kann hier nicht den Beweis nicht vorführen. Einmal, weil es schwer ist und andererseits, weil ich es nicht richtig erklären kann. Es gibt Punkte dabei, die glaube ich nur.

e ist irrational

Ich möchte eine Idee übermitteln. Die gleiche Idee liegt vielen Transzendenz-Beweisen zugrunde. Die Einzelheiten variieren. Aber die Idee ist immer wieder zu finden, auch schon bei Beweisen für Irrationalität. [Transzendente Zahlen sind auch irrationale Zahlen!

Ich werde nun den Beweis skizzieren, daß e irrational ist.

Die Exponentialfunktion ex hat die Reihendarstellung:
1+ x
1
+ x2
1·2
+ x 3
1·2·3
+...

Durch Einsetzen von x = 1 erhält man:


e = 1+ 1
1
+ 1
1·2
+ 1
1·2·3
+....

Das Rüstzeug für den Beweis

Worin unterscheiden sich rationale von irrationalen Zahlen? Gibt es Eigenschaften, die rationale Zahlen haben, irrationale aber nicht?

Ja, die gibt es, nämlich:

Sei x = a/b eine rationale Zahl. Sei p/q eine andere rationale Zahl in der Nähe von x.
[p und q sind irgendwelche ganzen Zahlen, q ist ungleich 0.]
Weiter wollen wir annehmen, daß a/b und p/q verschieden sind.
Dann gilt
|a/b - p/q| = |(aq-bp)/bq| >= 1/bq
denn a,b,p,q sind ganze Zahlen und aq-bp ist betraglich größer gleich 1.
Wir verallgemeinern:
Wenn x rational ist, dann gibt es eine Konstante c, mit der für genügend große q die Ungleichung
|x - p/q| > c/q
gilt. Dabei hängt c nur von x ab.

[Locker ausgedrückt: der Abstand zweier verschiedener rationaler Zahlen ist immer nennenswert groß.]

Wenn wir nun eine unendliche Folge von rationalen Zahlen pn/qn haben und eine reele Zahl x und irgendein c>0 mit

|x - pn/qn| < c / qn
für ein n (groß genug), dann muß x irrational sein.

Mit diesen Waffen können wir nun zeigen, daß

e = 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + ...
irrational ist.

Sei sn die n-te Partialsumme in der Reihenentwicklung von e.
Ausgeschrieben:

 
n
sn = S 1/k!
k=1

sn ist eine Folge rationaler Zahlen.
Wir wählen pn/qn = sn
Es ist qn = n!, denn das ist der Hauptnenner der Summanden in sn.
Der Nenner ist eine ganze Zahl, wir nennen sie a.

Der Abstand zwischen sn und s¥ beträgt

1/(n+1)! + 1/(n+2)! + ...
und das kann man (nach oben) abschätzen gegen 1/(n * n!) [ohne Beweis hier].
Wenn e rational wäre, dann müßte gelten:
| e - a/n! | = | p * n! - q*a | / (q * n!) >= 1/( q * n! )
[Die Differenz ist ja niemals 0.]

Und daraus ergibt sich die Ungleichung

1/(q * n!) <= | e - a/n! | < 1/(n * n!),
Das kann aber nicht für alle n wahr sein. Wir sind bei einem Widerspruch angelangt. Die Annahme, daß e rational ist, ist falsch. e ist also irrational.

Ich gebe zu, das war nur die Skizze eines Beweises. Alle Einzelheiten müssen ausgearbeitet werden. Wer es wirklich wissen will, findet den Beweis in Büchern [siehe in den Quellen].

Die hier verwendete Idee, nämlich eine gute rationale Approximation für eine Zahl zu finden und eine Widerspruch herbeizuführen, steckt auch hinter vielen Beweisen für Transzendenz.
Der Widerspruch entsteht, weil Folgen oder Integrale zu schnell konvergieren, jedenfalls schneller als es bei rationalen bzw. algebraischen Zahlen üblich ist.

Viele Jahre mußten vergehen, bevor Mathematiker Argumentationen von außergewöhnlicher Cleverness gefunden hatten, um zu beweisen, daß e und pi transzendent sind.
Schon im Beweis der Irrationalität von pi wird ein schrecklich aussehendes Integral abgeschätzt. Das Integral hat unter gewissen Umständen den Wert 1. Andererseits gewinnt man Abschätzungen für das Integral, die für genügend große n den Wert des Integrals kleiner als 1 werden lassen. Ingesamt ein Widerspruch.

Mach Dir ein Bild beipi irrational [pi314.at] ist (gefunden bei pi314.at).
Ein weiterer Beweis: Pi Is Irrational [Helmut Richter].

Bleibt noch die Frage, wie denn irgendwelche Mathematiker auf derartige Integrale gekommen sind. Das ist wohl die außerordentliche Cleverness, von der irgendwo die Rede war. Also, ich weiß es nicht.

Quellen

Discussion on Transcendental Numbers (overview) hat mich zu diesem Artikel angeregt. Weitere
Discussion hat geholfen und diese
Discussion hat auch geholfen

In diesen Diskussionen sind auch einige Literaturhinweise enthalten. Ich selbst bin nur der Reporter.


Für Hinweise auf Fehler oder Tipps zur Vervollständigung wäre ich dankbar.
Martin Wohlgemuth für Matroids Matheplanet 2.8.2001.
Mehr von Matroid [Das Prinzip der vollständigen Induktion] [Über Fraktale und mathematische Kunst] [Volumenberechnung eines Ringes mit konstanter Höhe] [Lösung von Extremwertaufgaben mit Differentialrechnung] [Ein Problem aus der Stahlindustrie]
\(\endgroup\)
Get link to this article Get link to this article  Printable version Printer-friendly version -  Choose language     Kommentare zeigen Comments  
pdfFür diesen Artikel gibt es keine pdf-Datei


Arbeitsgruppe Alexandria Dieser Artikel ist im Verzeichnis der Arbeitsgruppe Alexandria eingetragen:
: Leicht verständlich :: Algebra :: Mengenlehre :: Pi :: Reine Mathematik :: Mathematik :: Transzendente und Irrationale Zahlen :
Transzendente Zahlen - Ein Überblick [von matroid]  
Einführung in die Welt von transzendenten und irrationalen Zahlen
[Die Arbeitsgruppe Alexandria katalogisiert die Artikel auf dem Matheplaneten]

 
 
Aufrufzähler 30519
 
Aufrufstatistik des Artikels
Insgesamt 3908 externe Seitenaufrufe zwischen 2012.01 und 2021.09 [Anzeigen]
DomainAnzahlProz
https://google.de3569.1%9.1 %
https://www.startpage.com140.4%0.4 %
https://google.com30.1%0.1 %
http://google.de202851.9%51.9 %
http://www.cosmiq.de1594.1%4.1 %
http://google.ru2325.9%5.9 %
http://google.es1333.4%3.4 %
http://google.fr1273.2%3.2 %
http://google.lu2947.5%7.5 %
http://google.it2346%6 %
http://google.hu641.6%1.6 %
https://prod.uhrs.playmsn.com360.9%0.9 %
http://google.si220.6%0.6 %
https://google.gr190.5%0.5 %
http://google.no170.4%0.4 %
http://google.com120.3%0.3 %
http://google.hr80.2%0.2 %
http://google.nl70.2%0.2 %
https://duckduckgo.com60.2%0.2 %
https://www.bing.com40.1%0.1 %
https://www.ecosia.org40.1%0.1 %
http://suche.t-online.de200.5%0.5 %
http://de.search.yahoo.com90.2%0.2 %
http://192.168.0.5:191030.1%0.1 %
https://suche.t-online.de30.1%0.1 %
http://search.babylon.com80.2%0.2 %
http://www.bing.com290.7%0.7 %
http://www.ask.com20.1%0.1 %
http://ecosia.org40.1%0.1 %
http://search.conduit.com70.2%0.2 %
http://suche.aol.de20.1%0.1 %
http://search.certified-toolbar.com10%0 %
http://suche.web.de50.1%0.1 %
http://avg.nation.com10%0 %
https://int.search.tb.ask.com10%0 %
http://it.search.yahoo.com20.1%0.1 %
http://suche.gmx.net20.1%0.1 %
http://avira.search.ask.com20.1%0.1 %
http://search.yahoo.com10%0 %
http://www.search.ask.com20.1%0.1 %
http://r.duckduckgo.com10%0 %
https://startpage.com10%0 %
http://www.delta-search.com10%0 %
http://www.webcrawler.de10%0 %
http://uk.search.yahoo.com10%0 %
http://www.stauff.de20.1%0.1 %
http://search.avg.com10%0 %
http://nortonsafe.search.ask.com10%0 %
http://www.metager.de10%0 %
http://int.search-results.com20.1%0.1 %
https://yandex.ru10%0 %
http://search.softonic.com10%0 %
http://search.iminent.com10%0 %
https://nortonsafe.search.ask.com10%0 %
https://suche.gmx.net10%0 %
http://de.search-results.com10%0 %
http://search.webssearches.com10%0 %
http://search.incredimail.com10%0 %
http://www.amazon.de10%0 %
http://start.mysearchdial.com10%0 %
http://search.mywebsearch.com10%0 %
http://int.search.tb.ask.com10%0 %
http://search.incredibar.com10%0 %

Häufige Aufrufer in früheren Monaten
Insgesamt 3766 häufige Aufrufer [Anzeigen]
DatumAufrufer-URL
2013-2018 (266x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=
2020-2021 (255x)https://google.de/
2013-2014 (159x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=transzendente zahlen
2012-2017 (159x)http://www.cosmiq.de/qa/show/1834054/Periodische-und-abbrechende-Zahlen-Bewei...
201208-11 (159x)http://google.ru/url?sa=t&rct=j&q=
201403-05 (133x)http://google.es/url?sa=t&rct=j&q=
201205-05 (132x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=was sind transzendente zahlen
2013-2014 (127x)http://google.fr/url?sa=t&rct=j&q=
201203-03 (120x)http://google.lu/url?sa=t&rct=j&q=transzendenten zahl
201204-04 (117x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=2&ved=0CEEQFjAB
201202-02 (113x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=wurzel 2 nicht transzendent
201301-01 (104x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=zeigen zahl ist transzendent
2020-2021 (100x)https://google.de/url?sa=t
201206-06 (96x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=4&sqi=2&ved=0CGQQFjAD
201406-06 (86x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=2&ved=0CCEQFjAB
201303-03 (85x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=wann ist eine zahl transzendenz
201305-05 (81x)http://google.lu/url?sa=t&rct=j&q=transzendente zahlen
201212-12 (81x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=was ist die transzendente zahl
201210-10 (80x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=transzentente zahl
201207-07 (79x)http://google.it/url?sa=t&rct=j&q=tranzendente Zahl
201304-04 (73x)http://google.ru/url?sa=t&rct=j&q=transzendenze zahlen
201309-09 (71x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=transzendente zahlen definition
201209-09 (65x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=2&ved=0CBUQFjAB
201201-01 (64x)http://google.hu/url?sa=t&rct=j&q=sätze und beweise über algebraische z...
2015-2016 (63x)http://google.it/url?sa=t&rct=j&q=
201302-02 (63x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=2&ved=0CBcQFjAB
201407-07 (62x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=6&ved=0CC8QFjAF
201411-11 (59x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=10&ved=0CDcQFjAJ
201503-03 (57x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=5&ved=0CCwQFjAE
201501-01 (55x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=3&ved=0CCEQFjAC
201308-08 (54x)http://google.it/url?sa=t&rct=j&q=transzendente zahlen
201306-06 (52x)http://google.lu/url?sa=t&rct=j&q=beweis pi transzendent
201504-04 (51x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=4&ved=0CCgQFjAD
201307-07 (49x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=zeigen transzendent
201510-12 (46x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=5&rct=j&q=transzendente zahlen
201410-10 (41x)http://google.lu/url?sa=t&rct=j&q=
201409-09 (38x)http://google.it/
201505-05 (35x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=transzendente zahl
202010-11 (29x)https://prod.uhrs.playmsn.com/
201507-07 (26x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=transzendent mathe
201506-06 (24x)http://google.de/url?sa=t&rct=j&q=transzendente zahl was ist das
201412-12 (22x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=3&ved=0CCIQFjAC
201803-03 (22x)http://google.si/url?sa=t&rct=j&q=
202011-11 (19x)https://google.gr
201709-09 (17x)http://google.no/
2020-2021 (13x)https://www.startpage.com/
2018-2019 (9x)http://google.com/
201706-06 (8x)http://google.hr/
201804-04 (7x)http://google.de/search?q=transzendente zahl pi
201606-06 (7x)http://google.de/url?sa=t&source=web&cd=2&rct=j&q=maechtigkeit der transzende...
201604-04 (7x)http://google.nl/url?sa=t&rct=j&q=
202101-07 (5x)https://duckduckgo.com/
202010-11 (5x)https://prod.uhrs.playmsn.com/Judge/Views/judge?hitappid=38719
202102-05 (4x)https://www.bing.com/
2020-2021 (4x)https://www.ecosia.org/
2013-2015 (4x)http://suche.t-online.de/fast-cgi/tsc?sr=ptoweb&q=transzendente Zahlen
201701-01 (4x)http://google.de/

[Top of page]

"Mathematik: Transzendente Zahlen - Ein Überblick" | 28 Comments
The authors of the comments are responsible for the content.

Re: Transzendente Zahlen - Ein Überblick
von: Ende am: Fr. 26. April 2002 17:53:52
\(\begingroup\)Hallo, Matroid!

Es hatte mal jemand im Forum gefragt, ob es eine 'originale' Definition fuer transzendente Zahlen gaebe. Damals kannte ich nicht einmal irgendeine andere Charakteriserung. Nun kenne ich eine, die aber nicht aelter, sondern viel juenger ist.

Definition
Sei z eine komplexe Zahl.
z heisst algebraisch (ueber Q), wenn ein endlich erzeugter Q-Untervektorraum von C existiert mit V != {0} und zV enthalten (als Teilmenge) in V.

Natuerlich ist wieder algebraisch das Gegenteil von transzendent.


Mit Hilfe dieser Definition kann man zum Beispiel mit wenigen Zeilen zeigen, dass die Menge aller ueber Q algebraischen Zahlen einen Teilkoerper von C bilden.
Benutzt man die klassische Definition, ist eine erhebliche Rechnung erforderlich.

Gruss, E.\(\endgroup\)
 

Re: Transzendente Zahlen - Ein Überblick
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mi. 18. Dezember 2002 13:53:16
\(\begingroup\)Hallo,

wie sieht es aus mit der Zahl Phi=(sqrt(5)+1)/2

Sie und g=phi-1 haben den einfachsten Kettenbruch. Sind sie da nicht auch am Weitesten von den Rationalen Zahlen entfernt ?
Sind sie die irrationalsten Zahlen überhaupt ?
Wie ist es mit der Transzendenz ?

Mir ist die Sache wichtig in Zusammenhang mit Resonanz und Dissonanz, siehe
http://www.aladin24.de/htm/gewicht1.htm

MfG
Gabi Müller\(\endgroup\)
 

Re: Transzendente Zahlen - Ein Überblick
von: matroid am: Mi. 18. Dezember 2002 20:15:45
\(\begingroup\)Phi ist algebraisch, denn es ist Nullstelle eines Polynoms mit rationalen Koeffizienten:

x² - x - 1 = 0.

Ich kenne keinen Zusammenhang zwischen der Gestalt eines Kettenbruchs und der Transzendenz des Grenzwerts.

Gruß
Matroid\(\endgroup\)
 

Re: Transzendente Zahlen - Ein Überblick
von: Cerebus am: Do. 16. Juni 2005 00:16:32
\(\begingroup\)Cantor bewies die Existenz von transfiniten Zahlen rein konstruktiv. Er wendete eine Methode an um aus einer Auflistung von Zahlen eine Zahl zu konstruieren, welche nicht in der Aufzählung war. Dieses Verfahren wandte er auf eine Auflistung der algebraischen Zahlen an. Später hat er das Verfahren mit dem Diagonalverfahren optimiert. Näheres findet sich in dem Artikel: Robert Gray, Georg Cantor and transcendental numbers, Amer. Math. Monthly 101 (1994), 819-832. lg. Michael\(\endgroup\)
 

Re: Transzendente Zahlen - Ein Überblick
von: Ex_Mitglied_40174 am: Do. 11. August 2005 17:44:03
\(\begingroup\)Hallo! Gibt es eine Liste mit allen transzendenten Zahlen, die bisher gefunden wurden? Gruß Lilly \(\endgroup\)
 

Re: Transzendente Zahlen - Ein Überblick
von: murmelbaerchen am: Do. 11. August 2005 17:47:03
\(\begingroup\)Hallo lilly, was meinst Du mit Liste?? Es gibt unendlich viele transzendente Zahlen. Viele Grüsse Murmelbärchen\(\endgroup\)
 

Re: Transzendente Zahlen - Ein Überblick
von: Ex_Mitglied_40174 am: Do. 11. August 2005 17:57:12
\(\begingroup\)Ich weiß, dass es unendlich viele gibt. Aber gibt es vielleicht eine Liste mit Zahlen, von denen man weiß, dass sie transzendent sind???? Grüße, L.\(\endgroup\)
 

Re: Transzendente Zahlen - Ein Überblick
von: murmelbaerchen am: Do. 11. August 2005 18:05:00
\(\begingroup\)Hallo Lilly, leider verstehe ich nicht, wie man eine Liste aufstellen soll/kann. Es käme auch keiner auf die Idee, die Liste der reellen Zahlen zu erstellen. Beide Mengen sind gleichmächtig. Vielleicht erklärst Du nochmal den Begriff Liste(??) bzw. wo Du sin(1), 3^sqrt(5), ln(5), e^4, 7*Pi etc. einordnen würdest?? Viele Grüsse Pibärchen\(\endgroup\)
 

Re: Transzendente Zahlen - Ein Überblick
von: Rebecca am: Do. 11. August 2005 18:23:10
\(\begingroup\)Hi Pibärchen und Lilly, es ist erst bei einigen wenigen Zahlen gelungen, die Transzendenz zu beweisen. Und um eine möglichst vollständige Liste dieser Zahlen geht es Lilly und das ist machbar. Sogar Matroid hat das mal auf dem MP versucht, siehe: viewtopic.php?topic=9797 Gruß Rebecca\(\endgroup\)
 

Re: Transzendente Zahlen - Ein Überblick
von: Cerebus am: Do. 11. August 2005 19:08:15
\(\begingroup\) Nimm irgendeine Permutation p auf \IN und eine Abzählung q der rationalen Zahlen. Dann wendest du Cantors Diagonalverfahren auf p\circ q an. Damit hast du eine reelle Zahl gefunden, und theoretisch lassen sich alle reellen Zahlen so finden. Eine solche Liste ist also nicht wirklich interessant. Die wenigsten transzedenten Zahlen haben eine so wichtige Bedeutung wie e oder \pi. lg. Michael \(\endgroup\)
 

Re: Transzendente Zahlen - Ein Überblick
von: Ex_Mitglied_40174 am: Fr. 12. August 2005 12:41:02
\(\begingroup\)Hi Rebecca! Das ist genau das, was ich meinte! Danke! Gruß, Lilly\(\endgroup\)
 

Re: Transzendente Zahlen - Ein Überblick
von: Bernhard am: Mo. 03. Oktober 2005 17:18:07
\(\begingroup\)Hallo zusammen! Mich interressiert folgendes: Kurt Mahler hat 1946 gezeigt, daß man die von ihm aus der Folge aller nautürlichen Zahlen konstruierte Zahl 0.12345678910111213141516... transzendent ist. Bekannt ist das glaube ich auch für: 1,10100100001000000001000... (abwechselnd jeweils eine 1 und doppelt soviel Nullen wie nach der letzten) Gibt es zur Konstruktion solcher Zahlen eine allgemeinere Regel? Könnte ich mir dann etwa sicher sein, eine transzendente Zahl zu erhalten, wenn ich z.B. folgende "Bausteine" zusammensetze: 1.) Die Folge aller Primzahlen, also: 1,235711131719232931... 2.) Die geraden Zahlen, also: 0.2468101214161820... Man beachte, daß man diese Zahl durch 2 teilen kann! Die Folge ähnelt dann der von Mahler, an diversen Stellen sind aber Nullen hinzugekommen: 0.1234050607080910... 3.) Die Zweierpotenzen bzw. allgemein a^x, also: 0,248163264128256512... 0,3927812437292187... 0,4166425610244096... 0,5251256253425... u.s.w. Diese Zahlen lassen sich ähnlich wie die Nummer 2.) jeweils durch a teilen. 4.) Vorstellbar wäre auch, alle (Nachkomma-)Perioden, die sich bei Berechnung der Kehrwehrte der Primzahlen ergeben, jeweils einmal aneinander zu hängen: 0,5 3 2 142857 09 ... (der Übersicht halber habe ich die Bestandteile auseinandergerückt geschrieben) Sind diese Zahlen also alle transzendent oder muß man das für jede einzelne dieser Konstruktionen getrennt nachweisen?\(\endgroup\)
 

Re: Transzendente Zahlen - Ein Überblick
von: Rebecca am: Mo. 03. Oktober 2005 17:55:45
\(\begingroup\)Hi Bernhard, solche Fragen stelltst du am besten im Forum und nicht als Kommentar. Es gibt keine allgemeine Konstruktionsvorschrift für tanszendente Zahlen. Gruß Rebecca \(\endgroup\)
 

Re: Transzendente Zahlen - Ein Überblick
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mi. 09. November 2005 23:11:37
\(\begingroup\)Hallo, ein sehr guter, allgemein verständlicher Beitrag zu den trans- zendenten Zahlen. Weiß man eigentlich inzwischen, ob sqrt(2)**sqrt(2) (=Wurzel 2 hoch Wurzel 2) transzendent ist? Für 2 hoch Wurzel zwei ist das ja schon lange bekannt. Gruß Ulrich Koch (ulrich-koch@t-online.de) \(\endgroup\)
 

Re: Transzendente Zahlen - Ein Überblick
von: Gockel am: Do. 10. November 2005 15:05:41
\(\begingroup\)Hi. Laut mathworld (Gelfond's Theorem) ist diese Zahl transzendent. mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

Re: Transzendente Zahlen - Ein Überblick
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mi. 12. März 2008 15:29:29
\(\begingroup\)Hi, ich kenne den Beweis, dass pi transzendent ist, den originalen, den von Hilbert und den Selbstverständliches über e und Pi, Teil 2 Ich weiß das die Grundlagen sehr schwer sind, aber ich will bzw. muss ihn verstehen. Kann mir jemand helfen? Ich versteh bei Hilbert soweit die Vorgehensweise, bis er das Integral einführt. Warum er das macht weiß ich nicht und auch die darin enthaltene Funktion, die er aufstellt kenne ich nicht. HILFE BITTE Gruß Liliyx \(\endgroup\)
 

Re: Transzendente Zahlen - Ein Überblick
von: Ex_Mitglied_477 am: Mo. 06. Oktober 2014 05:38:46
\(\begingroup\)Bitte u.U. eine Aktualisierung der Formeltexte erwägen, manches scheint verschütt gegangen zu sein. \(\endgroup\)
 

 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]