Mathematik: Die Mechanik der Würfelnetze
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Mathematik

\(\begingroup\) Bild \stress\ Konstruktionen und Kalkulationen von und mit Würfelnetzen \big Zusammenfassung Aufbauend auf den erarbeiteten Grundlagen im Artikel Die Signatur der Würfelnetze betrachten wir nun die schrittweisen Konstruktionsmechanismen von Würfelnetzen vom einzelnen Quadrat bis zum Gesamtsystem. Im Rahmen dieser Konstruktionsmechanik werden elementare Bausteine identifiziert und für eine weitere Analysemöglichkeit genutzt. Ferner zeigen wir Kalkulationsmöglichkeiten auf, die uns zu dimensionslosen Kopplungs-, Faltungs- und Bindungswerten führen. Dadurch werden uns sinnvolle Kantennummerierungen geliefert. In Kopplungsmatrizen, die rein buchhalterisch genutzt werden, generieren wir aus den gefundenen Kantenummerierungen Einträge für die Hauptdiagonale, die als Grundlage für Würfelnetznormen dienen. Abschließend identifizieren wir in den Summen von Würfelnetznormen eine wichtige mathematische Kenngröße.

\big Elementare Bausteine Denken wir uns einzelne Quadrate. Diese Quadrate können entlang ihrer Kanten zu Polyominos verkoppeln. Geschieht das mehrmals an schon bestehende Polyominos, so können unter bestimmten Umständen auch Hexominos generiert werden und unter diesen als Untermenge auch Würfelnetze. Auf letztere liegt unser Augenmerk. Die Würfelnetze bestehen aus sechs Quadrate und daher sind wir gewohnt, nur diese einzelnen Qudrate als elementare Bausteine für die Würfelnetze zu betrachten. Doch es koppeln ja nicht nur einzelne Quadrate aneinander, sondern meist besteht ja schon ein Polyomino, an dem noch ein Quadrat bzw. ein anderes Polyomino koppelt. Wir bezeichnen ein einzelnen Quadrat als ein Unomino. Zwei Unominos koppeln sich zu einem Domino, dies geschieht unabhängig von den gewählten Kanten der Unominos nur in einer resultierenden Form. Wie bei den Unominos, so gibt es halt auch für Dominos nur eine Form. Trifft nun ein Unomino auf ein Domino erhält man zwei resultierende Formen. Bezeichnen wir das eine Quadrat eines Unimonos mit U und die beiden Quadrate eines Dominos mit D, dann sehen wir folgende Kopplungsformen: det(U,=>,<==,D,D) zu det(U,D,D) det(U,=>,<==,D;,,,D) zu det(U,D;,D) \small Bild 1: Kopplungsformen aus Unomino und Domino Diese Kopplungsformen können auf jeden Fall zur Konstruktion von Würfelnetzen verwendet werden, wie dies auch schon bei Unominos und Dominos der Fall ist. Wichtig bei dieser Überlegung ist dabei, dass die einzelnen n-omino-Formen für sich gesehen eine weitere Konstruktion hin zum Würfelnetz nicht verhindern. Die in Bild 1 generierten Formen bilden nun als Triominos eigenständige Bausteine. Bezeichnen wir nun die einzelnen Flächen des Triominos mit T, dann ergibt sich det(T,T,T) det(T,T;,T) \small Bild 2: Triominos als eigenständige Bausteine Im Gegensatz dazu gilt das nicht für Tetraminos. Es gibt bei ihnen eine Form, die sofort jede weitere Konstruktion eines Würfelnetzes unterbindet. Bezeichnen wir mit TE jede Fläche eines Tetraminos, dann sehen wir: det(TE,TE;TE,TE) \small Bild 3: Tetramino als Blockade für die Würfelnetzkonstruktion Dadurch können wir eine Unterscheidung vornehmen: Unominos, Dominos und Triominos lassen sich als elementare Bausteine für die Würfelnetzkonstruktion bezeichnen, da alle ihre möglichen Formen -für sich betrachtet- einer Würfelnetzkonstruktion nicht entgegenstehen. Im Gegensatz dazu sind Polyominos ab Tetraminos aufwärts nicht mehr elementar, weil sie Formen besitzen, die für sich genommen eine Konstruktion des Würfelnetzes sofort verunmöglichen. Ungeachtet davon können zum Beispiel zwei Dominos auch ein Tetramino gemäß Bild 3 generieren, aber nur, wenn wir gleichzeitig zwei Kopplungen zulassen: det(D,=>,<==,D;D,=>,<==,D) zu det(D,D;D,D), d.h. det(TE,TE;TE,TE) \small Bild 4: Zwei Dominos generieren einen blockierenden Tetramino Doch dies gilt generell auch für vier fleichzeitig aufeinandertreffende Unominos, die unter Umständen einen solchen Tetramino generieren könnten. Damit lässt sich definieren: D7 Elementare Bausteine: Unominos, Dominos und Triominos sind elementare Bausteine eines Würfelnetzes, da keine ihrer Formen von sich aus die Konstruktion eines Würfelnetzes verhindert. S6: Jedes Würfelnetz lässt sich aus je einem Unomino, Domino und Triomino konstruieren. Beweis: Bezeichnen wir die Flächen des W-Netzes entsprechend der verwendeten elementaren Bausteine mit U, D und T dann Listen wir jedes Würfelnetz aus diesen Bausteinen konstruiert auf. det(D,D,U;,T,;,T,;,T,) det(D,D,;,T,U;,T,;,T,) det(D,D,;,T,;,T,U;,T,) det(D,D,;,T,;,T,;,T,U) det(,T,;T,T,;,D,U;,D,) det(,U,;T,T,T;,D,;,D,) det(U,T,;,T,;,T,D;,,D) det(,T,;U,T,;,T,D;,,D) det(,T,;,T,;U,T,D;,,D) det(D,,;D,T,;,T,T;,,U) det(U,;D,;D,T;,T;,T) \small Bild 5: Würfelnetzkonstruktionen aus Unominos, Dominos, Triominos Selbstverständlich kann man die meisten heterogenen Konstruktionen der Würfelnetze statt mit der Triominosform det(T;T;T) auch mit der Form det(T,T;,T), inklusive von Rotation und Reflexion, durchführen. Doch wurde in S6 ja keine bestimmte Triomino-Form für die Konstruktion verlangt. Nun liegt die Frage nahe, für welche Würfelnetze eine homogene Konstruktion ausschließlich aus Dominos oder ausschließlich aus Triominos möglich ist.
\big Homogene Konstrukte und ihre Signatur \stress Homogene Domino-Konstrukte Um eine bessere Unterscheidung der einzelnen Dominos im Würfelnetz zu ermöglichen, wählen wir als Bezeichner D und d. Damit erhalten wir folgende Aufstellung: det(D,D,;,d,d;,D,;,D,) det(D,D,;,d,;,d,;,D,D) det(D,D,;,d,;,d,D;,,D) det(,D,;,D,;d,d,D;,,D) det(D,,;D,d,;,d,D;,,D) det(D,;D,;d,d;,D;,D) \small Bild 6: Alle homogenen Würfelnetzkonstruktionen aus Dominos Das sind jedoch nur sechs Würfelnetze von 11, die restlichen Würfelnetze können nicht ausschließlich aus Dominos konstruiert werden, da es stets zu einer Verletzung der Einheit eines Dominos kommt (hier anhand von Unominos gekennzeichnet): det(D,D,U;,d,;,d,;,U,) det(D,D,;,U,;,D,D;,U,) det(,U,;D,D,;,d,d;,U,) det(,U,;d,d,U;,D,;,D,) det(,U,;d,d,;,D,D;,,U) \small Bild 7: Unmögliche homogene Würfelnetzkonstruktion aus Dominos \stress Homogene Triomino-Konstrukte Um eine bessere Unterscheidung der einzelnen Dominos im Würfelnetz zu ermöglichen, wählen wir als Bezeichner T und t. Damit erhalten wir folgende Aufstellung: det(t,t,t;,T,;,T,;,T,) det(T,T,;,T,;,t,t;,t,) det(T,T,;,T,;,t,;,t,t) det(,T,;T,T,;,t,t;,t,) det(T,T,;,T,;,t,t;,,t) det(,T,;T,T,;,t,t;,,t) det(T,,;T,T,;,t,t;,,t) det(t,;t,;t,T;,T;,T) \small Bild 8: Homogene Würfelnetzkonstruktionen aus Triominos Das sind jedoch nur acht Würfelnetze von 11, die restlichen Würfelnetze können nicht ausschließlich aus Triominos konstruiert werden, da es stets zu einer Verletzung der Einheit eines Triominos \(egal in welcher der beiden Formen) kommt: det(D,D,;,T,U;,T,;,T,) det(,U,;T,T,T;,D,;,D,) det(,T,;,T,;U,T,D;,,D) \small Bild 9: Unmögliche homogene Würfelnetzkonstruktion aus Triominos \stress 6-3-1-Signatur der homogenen 4x3-Würfelnetz-Konstruktion Wir definieren D8 Homogene Konstruierbarkeit: Ein Würfelnetz W heißt homogen konstruierbar, wenn es zumindest vollständig aus Dominos oder zumindest vollständig aus Triominos konstruierbar ist. Betrachten wir wieder alle Würfelnetze W bezüglich einer homogenen Konstruktion, dann erkennen wir folgende Untermengen: a) W ist homogen konstruierbar sowohl aus Dominos als auch aus Triominos b) W ist homogen konstruierbar entweder aus Dominos oder aus Triominos, aber nicht aus beiden c) W ist nicht homogen konstruierbar. Zu a) Hierzu gibt es vier Würfelnetze: det(D,D,;,d,;,d,;,D,D) det(D,D,;,d,;,d,D;,,D) det(D,,;D,d,;,d,D;,,D) det(D,;D,;d,d;,D;,D) det(T,T,;,T,;,t,;,t,t) det(T,T,;,T,;,t,t;,,t) det(T,,;T,T,;,t,t;,,t) det(t,;t,;t,T;,T;,T) \small Bild 10: Würfelnetzkonstruktionen gemäß (a) in beiden Ausführungen Zu b) Hierzu gibt es sechs Würfelnetze det(D,D,;,d,d;,D,;,D,) det(,D,;,D,;d,d,D;,,D) det(t,t,t;,T,;,T,;,T,) det(T,T,;,T,;,t,t;,t,) det(,T,;T,T,;,t,t;,t,) det(,T,;T,T,;,t,t;,,t) \small Bild 11: Würfelnetzkonstruktionen gemäß (b) Zu c) Hierzu gibt es ein Würfelnetz det(,U,;T,T,T;,D,;,D,) \small Bild 12: Würfelnetzkonstruktionen gemäß (c) Betrachten wir die Würfelnetze gemäß (a), dann erkennen wir, dass beide Würfelnetzformate 4x3 und 5x2 enthalten sind. In S1 und S2 haben wir durch die Nachbarschaftstransformation begründen können, warum beide Formate auch einen qualitativen Unterschied besitzen und auch getrennt zu betrachten sind. Sehen wir uns also nur die 4x3-Würfelnetze an, dann erhalten wir entsprechend der o.a. Untermengen bzgl. der homogenen Konstruktionsanalyse wieder die 6-3-1-Signatur!
\big Kopplungswerte Wir haben also gesehen, wie die Quadrate einzeln als Unominos oder im Verbund als Dominos und Triominos Würfelnetze bilden. Hierbei stellen sich folgende Fragen: -Warum sollen sich überhaupt diese Quadrate miteinander verbinden? -Warum wachsen solche Polyominos nicht ins unermessliche, sondern beenden ihr "Wachstum" nach sechs Quadraten? Diese Fragen muten seltsam an. Schließlich liegt es ja im handwerklichem Geschick des Lesers und Bastelfreundes, ob Quadrate aneinander geklebt werden und wie oft man diese Prozedur wiederholt. Doch wenn wir diese Konstruktionsvorstellung mal außen vor lassen und die Quadrate als eigenständige Objekte ohne weiteren sie umgebendem räumlich zu beschreibendem Hintergrund betrachten, dann stellt sich die Frage nach einem Modell von Mechanismen der Würfelnetze. Was benötigen Quadrate, damit sie sich zu Polyominos koppeln können? Und was steht ihnen zur Verfügung? Mit der Einführung von Kopplungswerten versuchen wir dieses Problem zu lösen. \stress Benötigte Kopplungswerte Bei einem Würfel stehen die Flächen orthogonal zueinander, daher sehen wir den 90° Winkel als elementar an. Wenn sich also zwei Unominos durch Kopplung an freien Kanten miteinander verbinden, dann können sie dies nur entweder in der Flächenebene zueinander tun, oder aber in einem 90° Winkel. Da beim Unomino keine Seite ausgezeichnet ist, gibt es keine ausgezeichnete Orientierung in der ein 90° Winkel bei der Kopplung realisiert wird. Wählen wir also ein Unomino als Ausgangsfläche, dann wird ein zweiter Unomino an ihn in 90°, 180° oder 270° koppeln. Bild \small Bild 13: Kopplungsrichtungen (Seitenansicht) An einer Kante des Unominos haben wir somit den Kopplungswert 3. Durch Kopplung tritt nun aber eine entsprechende Kopplungssteifigkeit ein. Die anderen noch freien Kanten werden jene Orientierung für weitere Kopplungen bevorzugen, die die beiden bereits gekoppelten Flächen nun schon zueinander haben (mehr dazu später bei der Begründung der Faltungswerte). Das heißt, die anderen freien Kanten benötigen einen höheren Kopplungswert, um weiterhin alle drei Kopplungsrichtungen gleichgewichtig zu ermöglichen. Bei der Zunahme der Anzahl von Flächen wird somit auch die nächste notwendige Kopplungswert erhöht. Wir definieren D9 Benötigter Kopplungswert: Der minimale Kopplungswert \ k_0 = 3 # (1) ist definiert für die Kanten eines Unomino, also einer Fläche ohne vorhandene Kopplungen. Für i > 0 gilt, wenn i die Anzahl der bestehenden Kopplungen im Polyomino ist, dass der benötigte Wert für die nächste Kopplung \ k_i = k_0 + 2^i # (2) ist. Bemerkung: Wir berechnen kurz die ersten fünf Kopplungswerte, die uns für ein Würfelnetz interessieren. array(Kopplungsanzahl i, Kopplungswert k_i;,;0,3;1,5;2,7;3,11;4,19) \small Tabelle 1: die ersten fünf Kopplungswerte Um für ein Würfelnetz alle benötigten Kopplungen zu realisieren wird ein Gesamtkopplungswert von \ k_WNetz = sum(k_i,i=0,4) = 45 # (3) benötigt. \stress Vorhandene Kopplungswerte Wo kommen diese Werte aber her? Es ist jetzt nicht so, dass wir einfach jeder Kante einem Kopplungswert zuweisen können (hier gehören die Bindungswerte hin, wenn also der Würfel selbst generiert wird. Wir befinden uns aber noch an dieser Stelle in der Generierungsphase des Würfelnetzes. Dazu mehr bei Vorstellung der Bindungswerte.). Wir benötigen im Unomino einen inneren Wertevorrat, denn der isolierte Unomino ist ja Kopplungsfrei. Betrachten wir uns ein Quadrat: Bild \small Bild 14: Quadrat mit Diagonalen Dann sehen wir, unter Berücksichtigung der Diagonalen, dass jede Kante einem Dreieck zugeordnet ist. Die beiden Dreieckseiten, die den rechten Winkel bilden, haben ja zusammen die Diagonallänge des Quadrats. Setzen wir die Kantenlänge des Quadrats als 1, dann erhalten wir für die Diagonale die Länge sqrt(2). Um alle inneren Dreieckseiten des Quadrats darzustellen, sind aber beide Diagonale nötig. Diese Diagonallängen verknüpfen wir über die Multiplikation mit dem Grundwert der Kopplung k_0 und so definieren wir den im Unomino vorhandene Kopplungswert D10 Vorhandener Kopplungswert: Der in einem Unomino vorhandene Kopplungswert k^^ beträgt k^^ = 2 * sqrt(2) * k_0 \approx\ 2*1,4*3 \approx\ 8,4 # (4) Bemerkung: Wir erkennen, dass ein Unomino von sich aus einen Kopplungswert besitzt, dem es ihm ermöglicht zwei Kopplungen k_0 + k_1 = 3 + 5 = 8 vorzunehmen. Dadurch wird aber dem neuen Gesamtsystem, nach den beiden erfolgten Kopplungen, auch die vorhandenen Werte in den anderen beiden Unominos zugeführt, so dass der so entstandene Triomino einen Kopplungswert von insgesamt k^^_Triomino = 3*k^^ - k_0 - k_1 = 3*8,4 - 8 = 17,2 # (5a) für die nächste Kopplung zur Verfügung hat. Setzen wir dieses Kalkül fort: k^^_Tetromino = 4*k^^ - k_0 - k_1 - k_2 = 4*8,4 - 15 = 18,6 # (5b) k^^_Pentomino = 5*k^^ - k_0 - k_1 - k_2 - k_3 = 5*8,4 - 26 = 16 # (5c) k^^_WNetz = 6*k^^ - k_0 - k_1 - k_2 - k_3 - k_4 = 6*8,4 - 45 = 5,4 # (5d) Das heißt ein W-Netz hat nur noch einen verfügbaren Kopplungswert von 5,4. Bei einer weiteren Kopplung würde auch noch das nächste Unomino einen verfügbaren Wert von 8,4 beisteuern. Doch die sechste Kopplung benötigt gemäß (2) einen Wertevorrat für k_5 = 35. Daher reicht 5,4 + 8,4 = 13,8 nicht mehr für eine weitere Kopplung aus!
\big Faltungswerte Bei der Begründung der benötigten Kopplungswerte deuteten wir an, dass eine gewisse Kopplungssteifigkeit auftritt, da sich die ersten beiden gekoppelten Unominos ja in irgend einer Weise zueinander orientieren im Rahmen der möglichen Kopplungsrichtungen, die ja an den Winkeln 90°, 180° und 270° gebunden sind. Damit haben wir aber auch die möglichen Faltungswinkel. Hier ist dringend zu beachten, dass man diese Faltungen nicht mit jenen der Nachbarschaftsanalyse verwechselt. Diese Nachbarschaftsanalyse nimmt auf innere Eigenschaften wie Kopplungs- und Faltungswerten etc. keine Rücksicht, sondern betrachtet nur rein gedanklich die Würfelnetze und ihre Nachbarn. Eine solche Nachbarschafttransformation ist aber nicht für die W-Netze in ihrer Objektausprägung definiert. Die Faltungen in der Nachbarschaftstransformation geschehen stets aus der Ebene heraus. Alle Flächen des W-Netzes liegen in einer Ebene und von dieser aus stellt man sich dann die 90° Faltung vor. Bei der jetzt zu besprechenden Objektbetrachtung des W-Netzes hingegen, lässt sich der Faltungswinkel anhand der kalkulierbaren Faltungswerte bestimmen. \stress Benötigte Faltungswerte In dem Moment, in dem zwei Unominos aneinander koppeln bestimmen sie ihren Faltwert zueinander. Es findet nur dort eine Faltung statt, wo auch eine Kopplung vorhanden ist. Da in einem Würfelnetz genau fünf Kopplungen auftreten, entspricht dies auch der Anzahl der Faltungen. Betrachten wir den benötigten Kopplungswert für i > 0 aus (2): \ k_i = k_0 + 2^i Und setzen darin definitionswidrig i=0 und nach (1) den Anfangswert auf die rechte Seite: \ k_(i(i=0)) = 3 + 2^0 = 4 Dann erhalten wir natürlich eine Differenz zum definierten Wert. Doch macht diese Differenz Sinn, weil eben schon in der ersten Kopplung auch eine Faltung angelegt ist. Bevor wir also schon eine erste Kopplung vorgenommen haben, wissen wir, dass ein Kopplungswert von 3 und mindestens ein Faltungswert von 4 - 3 =1 benötigt wird. Da nun aber einer Kante einem Dreieck im Quadrat zugeordnet ist, und zwar die Kantenlänge dem gegenüberliegendem Winkel (siehe Bild 14), entspricht ein Faltungswert 1 dem Winkel 90° für die Kantenlänge 1. Wir definieren daher \ D11 Benötigter Faltungswert: Der minimale Faltungswert f_1 = 1 # (6) ist definiert für eine Kopplung eines Unominos mit einem anderen. Dabei gilt: \phi\(f_1 ) = 90° #ist der zugehörige Faltwinkel im Domino. Für i > 0 gilt, wenn i die Anzahl der bestehenden Kopplungen im Polyomino ist, dass der benötigte Wert für die Faltungen f_i = i # (7) beträgt und \phi\(f_i ) = 90° * i # (8) ist die zugehörige Faltwinkelsumme des Polyominos, wobei diese sich gleichmäßig auf alle Kopplungen verteilt. \stress Vorhandene Faltungswerte Die vorhandenen Faltungswerte im Polyomino ergeben sich wieder aus der Diagonallänge, die ja schon mit der Kopplung verknüpft war und daher auch entsprechend mit der Faltung korreliert ist. Diesmal wird jedoch nur eine Diagonale betrachtet, da sie als gegenüberliegende Seite eines 90°-Winkels des Unominos aufgefasst wird. Bild \small Bild 15: Diagonallänge als vorhandener Faltungswert eines Unominos Wir definieren \ D12 Vorhandener Faltungswert: Der vorhandene Faltungswert in einem Unomino ist f^^_1 = sqrt(2) \approx\ 1,4 # (9) Für i > 0 gilt, wenn i die Anzahl der Flächen im Polyomino ist, dass der vorhandene Summenwert für die Faltungen f^^_i = i * sqrt(2) \approx\ 1,4 * i # (10) beträgt. Bemerkung: Somit stehen einem Domino ein Faltungswert von 2*1,4 = 2,8 zur Verfügung. \ Aus (8) und dem vorhandenen Faltungswert erhalten wir daher einen Winkelbetrag von \phi_Domino(2,8) = 90° * 2,8 = 252° # (11a) Da aber nur die Winkelbeträge 90°, 180° und 270° zulässig sind, befinden sich die beiden gekoppelten Flächen des Dominos in 180° zueinander, sie liegen also in einer Ebene. Für die weiteren Polyominos ergibt sich dann: \phi_Triomino(3*1,4) = 90° * 4,2 = 378° # (11b) \phi_Tetromino(4*1,4) = 90° * 5,6 = 504° # (11c) \phi_Pentomino(5*1,4) = 90° * 7,0 = 630° # (11d) \phi_Würfelnetz(6*1,4) = 90° * 8,4 = 756° # (11e) Das bedeutet pro Kopplung für die verschiedenen Polyominos array(Polyomino,Kopplungsanzahl, Faltungswinkel pro Kopplung;Domino,1,252°;Triomino,2,189°;Tetromino,3,168°;Pentomino,4,158°;Würfelnetz,5,151°) \small Tabelle 2: Faltungswinkel pro Kopplung \ Das heißt: Bis hin zum Triomino liegen die einzelnen Flächen in der Ebene, ab vier Flächen bzw. drei Kopplungen herrscht in jeder Kopplung eine 90° Faltung. Dieses Ergebnis korrespondiert wunderbar mit dem Ergebnis, dass Triominos die größten elementaren Bausteine eines Würfelnetzes sind. Wenn wir also Würfelnetze in der Ebene darstellen, dann dient das nur der Übersichtlichkeit, es liegt aber schon die eigentliche orthogonale Ausrichtung aller Flächen zueinander vor. Die frei aufeinandertreffenden Kanten müssen nur noch verbunden werden.
\big Bindungswerte Wir haben also herausgefunden, dass ein Würfelnetz schon in der orthogonalen Ausrichtung der Flächen vorliegt. Dennoch ist es kein Würfel, weil die freien Kanten der einzelnen Flächen - jene Kanten, die keine Kopplung vornehmen - noch nicht miteinander verbunden wurden. \stress Benötigte Bindungswerte Diese ausstehenden Bindungen benötigen ihrerseits entsprechende Werte, die das Würfelnetz bereitzustellen hat. Die Bindungen kommen ja nur dadurch zustande, weil aufgrund der Faltungen in den Kopplungen nun die anderen freien Kanten orthogonal vollständig aneinandertreffen. In einer Bindung findet somit selbst keine Faltung statt. Wir müssen also nur bilanzieren, wie viel Bindungen noch nötig sind. Von insgsamt 12 Würfelkanten kamen schon 5 durch die Kopplungen zustande, so dass nur noch 7 Bindungen durchzuführen sind. Betrachten wir die Gleichung (1) der ersten Kopplung, so sehen wir aus k_0 = 3, dass für 3 möglichen Richtungen auch ein Kopplungswert 3 zugrundegelegt wurde. Für eine Bindung kann aber nur eine andere Flächenkante des Würfelnetzes aus einer Richtung anstoßen. Die jeweilige Richtung ist ja durch das Gesamtsystem vorgegeben. Aus dem gleichen Grund kann keine Bindungssteifigkeit angenommen werden. Der bestimmende Mechanismus des Würfelnetzes liegt in der Kopplung, nicht in der Bindung. Wir definieren daher \ D13 Benötigte Bindung: Der benötigte Bindungswert für eine Bindung ist b_1 = 1. # (12) Bemerkung: Ein Würfel benötigt für alle Bindungen einen Gesamtbindungswert von 7. \stress Vorhandene Überschusswerte Wir haben nun keinen eigenen Wertevorrat für die Bindungen, da sie ja passiv durch die vorgegebenen Kopplungen und Faltungen zustande kommen. Dennoch kann es ohne vorhandene Bindungswerte keine Bindungen geben. Diese Werte erhalten wir durch die vorhandenen Überschüsse aus Kopplung und Faltung. Für ein Würfelnetz wurden insgesamt folgende Kopplungswerte nach (3) benötigt: k_WNetz = 45 Ein Überschuss der Kopplungswerte beträgt gemäß (5d): k^^_WNetz = 5,4 Denn dies ist der Wert, der einer weiteren Kopplung zur Verfügung stünde. Bezüglich der Faltung haben wir gesehen, dass ein Faltungswert von 5 benötigt wird. Gemäß (10) sind für das gesamte Netz von 6 Flächen vorhanden: f^^_6 = 6 * sqrt(2) \approx\ 1,4 * 6 = 8,4 Es sind somit 8,4 - 5 = 3,4 als Überschuss des Kopplungswertes vorhanden. Ingesamt beträgt der Überschuß aus Kopplung und Faltung: 5,4 + 3,4 = 8,8 Für den benötigten Bindungswert von 7 reicht das aus. Es bleibt nach der Bindung sogar noch ein weiterer Überschußwert von 1,8. Es fällt nun auf, dass diese Betrachtung der verschiedenen Werte eines Würfelnetzes nicht in der Lage sind, die unterschiedlichen Wütfelnetze auseinander zu halten. Es ist wünschensert, wenn man numerisch die einzelnen Würfelnetze entsprechend der schon gefundenen Gliederungskriterien unterscheiden kann. Die nächsten Abschnitte werden das noch thematisieren. Die Berechnung der Werte soll aber nicht abgeschlossen werden, bevor wir noch ein möglicherweise interessantes Ergebnis herleiten. \stress Summe der Gesamtwerte Betrachten wir einen Würfel, der aus einem beliebigen Würfelnetz konstruiert wurde, dann erhalten wir den Gesamtwert des Würfels aus den Teilsummen. Dazu rechnen wir mit einem genaueren Wert für sqrt(2) als nur 1,4. Zuvor hatte diese grobe Rundung ausgereicht, nun soll aber eine detailliertere Betrachtung erfolgen: Wir setzen sqrt(2) = 1,4142... \approx\ 1,4142 Und berechnen damit die vorhandenen Gesamtwerte für Kopplung und Faltung in einem Würfel, sondern der nun im Würfel vorhandene und auch zum großteil genutzte Gesamt-Faltungswert. Somit gilt für die Gesamtsumme G_\Sigma\ = K_\Sigma\ + F_\Sigma\ # (13) mit K_\Sigma\ = 6 * 2 * sqrt(2) * 3 \approx\ 50,9112 # (14) F_\Sigma\ = 6 * sqrt(2) \approx\ 8,4852 # (15) d.h. G_\Sigma\ = 59,3964 # (16) Nun summieren wir über alle unterschiedlichen Würfelnetzformen, also den 11 möglichen Würfelnetzen: G_\Sigma\ * 11 = 653,3604 # (17) Es fällt nun auf, dass sich (17) auch als G_\Sigma\ * 11 = 653,3604 = 163 * 4,0083... \approx\ 163 * 4,0083 # (18) darstellen lässt. Am Ende dieses Artikels werden wir besser erkennen, warum der hier gezeigte Sachverhalt G_\Sigma\ * 11 \approx\ 163 * 2^2 # (19) von Bedeutung sein könnte.
\big Kantennummerierung Um nun die eigentliche Anordnung eines Würfelnetzes numerisch zu erfassen, müssen wir uns die Kanten der einzelnen Unominos im Netz anschauen. Die Form des Würfelnetzes hängt ja entscheidend davon ab, welche Kanten Kopplungen besitzen und welche nicht. Daher sind die Kanten zu nummerieren, um eine Identifikation vornehmen zu können. Hier bieten sich die Kopplungswerte an. Im gesamten Netz hatten wir ja fünf Kopplungen gefunden. Bezogen auf ein einziges Unomino hingegen haben wir nur höchstens vier mögliche Kopplungen. Betrachten wir also ein Unomino und denken uns die Kopplungswerte, die dieses benötigt, wenn an jeder Kante ein weiteres Unomino gekoppelt würde. Wir beginnen mit dem kleinsten Wert und fahren im Uhrzeigersinn fort, wie uns Bild 16 zeigt: Bild \small Bild 16: Kantennummerierungen Neben der inhaltlichen Verknüpfung mit den benötigten Kopplungswerten eines Unominos hat diese Nummerierung auch den Vorteil, dass in jeder der möglichen Summen eindeutig die Summanden identifiziert werden können. 3 + 5 = 8 3 + 7 = 10 5 + 7 = 12 3 + 11 = 14 3 + 5 + 7 = 15 5 + 11 = 16 7 + 11 = 18 3 + 5 + 11 = 19 3 + 7 + 11 = 21 5 + 7 + 11 = 23 3 + 5 + 7 + 11 = 26 Mit dieser Nummerierung und den daraus resultierenden eindeutigen Summen kann man nun ein Würfelnetz mit einer Matrix bzw. einem Vektor darstellen.
\big Kopplungsmatrizen und Vektorendarstellung Behalten wir Bild 16 im Hinterkopf für die Kantennummerierung eines jeden Unominos im Würfelnetz und betrachten nun ganz konkret folgendes Beispiel: det(,2,;1,3,6;,5,;,4,) \small Bild 17: Würfelnetz-Beispiel Dafür besetzen wir eine 6x6-Matrix wie folgt: Die Matrixzeile i steht für das Unomino mit der Nummer i. Die Matrixspalte j steht für eine weiteres Unomino des Würfelnetzes mit der Nummer j. Wenn nun i mit j gekoppelt ist, dann erhält das entsprechende Matrixelement m_(ij) die Kantennummer des Unominos i, an deren Kante das Unomino mit der Nummer j gekoppelt ist. Ansonsten erhält das Matrixelement den Wert 0. Auch gilt zunächst m_(ii) = 0 da ja kein Unomino mit sich selbst gekoppelt ist. Auf das Beispiel in Bild 17 bezogen sieht die entsprechende Matrix M wie folgt aus: matrix(0,0,5,0,0,0;0,0,7,0,0,0;11,3,0,0,7,5;0,0,0,0,3,0;0,0,3,7,0,0;0,0,11,0,0,0) Wir sehen: Allgemein haben m_(ij) und m_(ji) nicht den gleichen Wert. Dies können wir uns exemplarisch an den Unominos mit der Nummer 5 und 4 noch einmal veranschaulichen. Die Kopplung 5><4 wird von Unomino 5 aus über die Kante mit der Nummer 7 vollzogen, vom Unomino 4 aus aber über dessen Kante mit der Nummer 3 aus. m_(45) = 3 m_(54) = 7 Als nächstes besetzen wir die Hauptdiagonale der Matrix. Dazu summieren wir alle Zeileneinträge für das entsprechende Diagonalelement und erhalten am Beispiel 17 die Matrix matrix(5,0,5,0,0,0;0,7,7,0,0,0;11,3,26,0,7,5;0,0,0,3,3,0;0,0,3,7,10,0;0,0,11,0,0,11) und es reicht nun aus diese Diagonalelemente m_(ii) als Vektorelemente v_i aufzufassen: (5;7;26;3;10;11) Damit haben wir eine vollständig orientierte Vektordarstellung eines Würfelnetzes. Es liegt nun nahe, für diese Würfelnetzvektoren entsprechende Normen zu definieren.
\big Würfelnetznormen Eine geradezu natürliche Norm wäre für V = (v_1;v_2;...;v_6) jene, der Gestalt norm(V) = sqrt(sum((v_i)^2,i=1,6)) Somit für V = (5;7;26;3;10;11) norm(V) = sqrt(5^2 + 7^2 + 26^2 + 3^2 + 10^2 + 11^2) = sqrt(25 + 49 + 676 + 9 + 100 +121) = sqrt(980) \approx\ 31,3 Diese gebräuchliche Norm wird aber den Verhältnissen nicht ganz gerecht, die im Würfelnetz herrschen, denn sie wertet eine Kopplung doppelt. Deutlich wird das aus der Matrix, die uns die Zeilensummen als Vektorelemente geliefert hat. Am Beispiel der Kopplung 4><5 mit ihren Werten m_45 = 3 und m_54 = 7 wurde das deutlich, da beide Werte in ihren jeweiligen Zeilensummen der Zeilen 4 bzw. 5 eingehen. Auf der anderen Seite muss auch bedacht werden, dass ja gemäß (8) bei jeder Kopplung auch eine Faltung notwendigerweise stattfindet, so dass wir den gefundenen Norm-Wert nicht einfach halbieren sollten. Vielmehr definieren wir D14 Durchschnittsnorm eines Würfelnetzes: Gegeben sei eine o.a. Vektordarstellung W eines Würfelnetzes, dann ist ihre Durschnittsnorm definiert als norm(W)_d = sqrt(sum((w_i/a_i)^2,i=1,6)) mit w_i Vektorelement mit Kantennummernsumme aller durch Kopplung belegter Kanten des i-ten Unominos des Würfelnetzes a_i Anzahl der mit Kopplung belegten Kanten vom Unomino i Bei der Berechnung des Quotienten w_i / a_i wird das Ergebnis stets aufgerundet, sofern die erste Nachkommastelle größer Null ist, bevor quadriert wird. Der Betrag der einzelnen Norm soll stets ganzzahlige Werte ergeben. Dies wird durch übliche Rundungsregeln erreicht. Rechnen wir das mal am Beispiel von Bild 17 durch: W = (5;7;26;3;10;11) norm(w)_d = sqrt(5^2 + 7^2 + (26/4)^2 + 3^2 + (10/2)^2 + 11^2) Wegen D14 gilt für 26/4 \approx\ 7, so dass norm(W)_d = sqrt(5^2 + 7^2 + 7^2 + 3^2 + 5^2 + 11^2) = sqrt(25 + 49 + 49 + 9 + 25 + 121) = sqrt(278) \approx\ 16,7 \approx\ 17 Wir geben hier nun die Durchschnittsnormen aller Würfelnetze an. \stress Durchschnittsnormen aller 4x3 - Würfelnetze det(1,2,6;,3,;,5,;,4,) => W = (5;23;10;3;10;11) => norm(W)_d = 16 det(1,2,;,3,6;,5,;,4,) => W = (5;18;15;3;10;11) => norm(W)_d = 17 det(1,2,;,3,;,5,6;,4,) => W = (5;18;10;3;15;11) => norm(W)_d = 17 det(1,2,;,3,;,5,;,4,6) => W = (5;18;10;8;10;11) => norm(W)_d = 17 det(,2,;1,3,;,5,6;,4,) => W = (5;7;21;3;15;11) => norm(W)_d = 17 det(,2,;1,3,6;,5,;,4,) => W = (5;7;26;3;10;11) => norm(W)_d = 17 det(1,2,;,3,;,5,6;,,4) => W = (5;18;10;3;8;18) => norm(W)_d = 15 det(,2,;1,3,;,5,6;,,4) => W = (5;7;21;3;8;18) => norm(W)_d = 15 det(,2,;,3,;1,5,6;,,4) => W = (5;7;10;3;19;18) => norm(W)_d = 15 det(1,,;2,3,;,6,5;,,4) => W = (7;8;18;3;18;8) => norm(W)_d = 16 \stress Durchschnittsnorm des 5x2 - Würfelnetzes det(,1;,2;3,6;5,;4,) => W = (7;10;12;3;10;14) => norm(W)_d = 14 \stress Analyse Es fällt bei den 4x3-Formaten der Würfelnetze auf, dass die Normenbeträge fast genau die 6+3+1 - Signatur der zugehörigen Würfelnetzstrukturen nachvollziehen. Hier entsprechend der durchgängigen Kopplungsausrichtung. Dass es für das erste Würfelnetz nicht genau passt, mag an den Dualmöglichkeiten liegen, die die 6+3+1-Signatur besitzt. Wir sehen auch, dass das eine Würfelnetz im 5x2-Format den geringsten Normenwert aller Würfelnetze besitzt. Wiederum ein Anzeichen für die Signaturtreue der Norm. Wir definieren daher D15 Signaturabhängige Durchschnittsnorm: Gegeben sei eine Signatur, nach der sich die Würfelnetze in Untermengen aufteilen lassen. Die Signaturabhängige Durchschnittsnorm norm(W)_sd wird für jedes Element dieser Untermenge gebildet, in dem die Summe der einzelnen Durchschnittsnormen durch die Gesamtanzahl der Würfelnetze in der Untermenge gemittelt wird. norm(W)_sd ist durch gewöhnliche Rundung als ganze Zahl zu erhalten. Eine signaturabhängige Durchschnittsnorm kann für eine gegebene Signatur nicht ermittelt werden, wenn für Würfelnetze verschiedener Untermengen der gleiche Betrag der norm(W)_sd zustande kommt, so dass die Signatur nicht durch die Norm abgebildet wird. Ergebnis: Für die vorliegende Signatur der durchgägngigen Kopplungsausrichtung bedeutet dies bei den 4x3-Würfelnetzen, dass die ersten 6 Würfelnetze, mit vier Unominos durchgehend in einer Ausrichtung, ihre zugehörigen Durchschnittsnomen wie folgt mitteln: 16+5*17 = 101 Das heißt, für jeden der Würfelnetze dieser Untergruppe gilt nun die signaturanhängige Duschnittsnorm norm(W)_sd = 101/6 = 16,8 \approx\ 17 Für die Untergruppen der 3er-Signatur und der 1er Signatur gilt für jedes Würfelnetz norm(W)_sd = norm(W)_d denn sie haben ja keine unterschiedlichen Werte in ihrer jeweiligen Untergruppe.
\big Normensummen Interessant wird die signaturabhängige Durchschnittsnorm, wenn wir Summen bilden. Beschränken wir uns auf 4x3-Würfelnetze: Die Summe aller norm(W)_sd beträgt 6*17 + 3*15 + 16 = 163 Diese Zahl kennen wir aus den Betrachtungen zu (19). Bemerkung: Nun könnte man einwenden, dass die Einführung der signaturabhängigen Durchschnittsnorm oder die Aufrundungsvorschrift zur nächsten ganzen Zahl dieses Ergebnis hingebogen hat. Doch wenn wir die Durchschnittsnormen auf eine Nachkommastelle genau berechnen (mit üblicher Rundungsvorschrift), dann ergibt sich als Summe der Wert 162,9, was immer noch sehr auffällig nah an 163 ist. Ferner gibt es eine weitere Zahl, die sich im selben Rahmen dieser signaturbedingten Norm berechnet: Da wir nur die 4x3-Würfelnetze betrachtet haben, wollen wir nun auch jene Würfelnetze außer acht lassen, die als Nachbar auch das 5x2-Würfelnetz besitzen. Es bleiben folgende vier 4x3-Würfelnetze übrig: det(1,2,;,3,;,5,6;,4,) => W = (5;18;10;3;15;11) => norm(W)_sd = 17 det(,2,;1,3,;,5,6;,4,) => W = (5;7;21;3;15;11) => norm(W)_sd = 17 det(,2,;1,3,6;,5,;,4,) => W = (5;7;26;3;10;11) => norm(W)_sd = 17 det(1,,;2,3,;,6,5;,,4) => W = (7;8;18;3;18;8) => norm(W)_sd = 16 Die Summe zu diesen vier Würfelnetzen beträgt 3*17 + 16 = 67 Warum ist dieses Ergebnis so bedeutsam? Die Zahlen 163 und 67 sind nicht nur Primzahlen, sondern die beiden letzten Zahlen in einer für die Mathematik sehr wichtigen Folge. \big Zusammenhang zum Klassenzahl-Problem ? Seien a,b entweder ganzzahlige oder halbzahlige Werte, dann stellt sich die Frage, ob der Ausdruck a + b*sqrt(-d) eine eindeutige Zerlegung in irreduzible Elemente erlaubt. Antwort: Ja, nur für d = 1,2,3,7,11,19,43,67,163 Nun wird vielleicht ersichtlich, warum die Zahlen 67 und 163 beim Autor eine große Aufmerksamkeit erregen konnten. Gibt es hier einen echten Zusammenhang oder besteht die Gleichheit der Zahlenwerte nur zufällig?
\big Ausblick Es bleibt noch viel zu tun. a) Zum einen ist noch vollkommen offen, wie sich denn die allgemeinen Hexominos zu den Würfelnetzen verhalten. Wo gibt es weitere Zusammenhänge? Wie wirkt sich dort die Konstruktionsmechanik aus? Usw. b) Desweiteren stellt sich die Frage nach dem resultierendem Würfel, wenn die Bindungen der aneinanderliegenden Kanten - vermittels der Faltungen an den Kopplungen - durchgeführt wurden. Auch wenn sich jeweils ein Würfel ergibt, so sínd diese doch nicht vollkommen gleich. Durch die unterschiedlich angeorndeten Kopplungen/Bindungen an den Kanten können ja 11 unterschiedliche Texturen für die so konstruierten Würfel auftreten. Haben wir also nun elf unterschiedliche Würfel, die zueinander in Beziehungen treten, oder besitzen wir einen Würfel, dessen Textur von einer Würfelnetzsignatur zu einer anderen fluktuiert? Ferner ist noch festzustellen, dass in einem Würfel nun vier Raumdiagonalen generiert werden, die ihrerseits - wie die Seitendiagonalen - Träger von entsprechenden Werten sein müssten. Was bewirken diese Werte? Dienen sie als Motor für die Fluktuationen von einer Würfeltextur zu einer anderen? Oder etablieren sie über den Ecken eine Verbindung zu anderen Würfeln? In einer weiteren Arbeit, etwa mit dem Titel "Dynamische Würfeltexturen", wären solche und weitere Fragen zu beantworten. c) Was kann man aufgrund der Würfelnetzmechanik für die Physik des Raumes sagen, der sich aus Quanten solcher Würfel zusammensetzt, wenn man den Kanten die Plancklänge zuordnet? Wenn also die einzelnen Unominos Plackflächen wären? In Vom Würfelnetz zum Raumquant soll ein erster Eindruck hierzu vermittelt werden. Die Hexomino AG ist ein Angebot an alle Interessierten tatkräftig konstruktive Kritik, Ansätze, weiterführende Ideen und Zusammenhänge zu reflektieren und zu formulieren.
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Die Mechanik der Würfelnetze [von KlausLange]  
stress Konstruktionen und Kalkulationen von und mit Würfelnetzen big Zusammenfassung Aufbauend auf den erarbeiteten Grundlagen im Artikel Die Signatur der Würfelnetze betrachten wir nun die schrittweisen Konstruktionsmechanismen von Würfelnetzen vom einzelnen Quadrat bis zum G
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"Mathematik: Die Mechanik der Würfelnetze" | 3 Comments
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Re: Die Mechanik der Würfelnetze
von: FlorianM am: Mi. 19. Juli 2006 11:29:28
\(\begingroup\)Hi KlausLange, mir gefallen deine Artikel sehr! Mach weiter so! Wirklich interessante Aspekte, die du dort betrachtest. :) Gruss Florian\(\endgroup\)
 

Normen?
von: Ex_Mitglied_40174 am: Mi. 01. November 2006 11:07:02
\(\begingroup\)Warum werden im letzten Teil die Werte 3, 5, 7 und 11 für die Kanten vergeben? Für die Eindeutigkeit der Summen reichen doch auch 1, 2, 4 und 8. In jedem Falle sind aber vertikale und horizontale Summen verschieden, somit sind die zugewiesenen Normen nicht invariant gegen Drehung. Die Durchschnittsnormen erscheinen zudem an ein gewünschtes Ergebnis angepasst.\(\endgroup\)
 

Re: Die Mechanik der Würfelnetze
von: KlausLange am: Mo. 11. Dezember 2006 12:45:33
\(\begingroup\)Die Kantennummern 3; 5; 7; 11 entsprechen den Wertigkeiten bei der Kopplungen der n-ten Kante. Ferner sind ja die Zweierpotenzen in ihnen enthalten: Grundwert 3 für die drei Kopplungsrichtungen bei der ersten Kante und dann in der Tat einfach die Zweierpotenzen für alle weiteren Kanten: 3 + 2^1 = 5 3 + 2^2 = 7 3 + 2^3 = 11 Ferner ließ sich das energetsich sehr anschaulich begründen und ist von daher schon auffällig genug. Zur Durschnittsnorm. Ja, natürlich ist mir während der Normberechnungen aufgefallen, dass man auch ohne die Durchschnittsbildung schon eine recht gute Näherung an 67 und 163 hat, was auch genügt hätte. Daher war diese "Durschnittsnorm" nur eine weitere Verdeutlichung dieser Zusammenhänge. Allein, dass es eine solche numerische Verbindung zum Klassenzahlproblem gibt, ist schon für sich bemerkenswert und hängt nicht von der Durchschnittsnorm ab. Die Auszeichnung gegenüber Drehungen könnte man auch energetisch deuten und als Hinweis sehen, dass es noch eine weitere Verständnisebene gibt. Doch zugegeben: Hier bleibt noch eine invariante Norm bzgl. Drehung zu entdecken, die die Bezeichnung "Norm" wirklich verdient und auch eine Erkenntnisvertiefung mit sich bringt.\(\endgroup\)
 

 
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