Mathematik: Vergessene Sätze am Dreieck
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Mathematik

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Vergessene Sätze am Dreieck (?) (Teil 1)


Es scheint als wären einige schöne und interessante Sätze am Dreieck in Vergessenheit geraten.
Nachdem ich Ausschnitte aus dem Buch „Zeitlose Geometrie“ von H.S.M. Coxeter und S.L. Greitzer gelesen habe, habe ich gesehen, dass es viele Sätze am Dreieck gibt, die nicht im Unterricht behandelt werden.

Dieser Artikel soll der erste Teil einer kleinen Serie sein. Wir werden uns den Satz von Ceva, den Satz von Menelaus (und ihre Umkehrsätze) und schließlich den erweiterten Sinussatz in diesem Artikel anschauen.



Inhalt

1 Sätze von Ceva und Menelaus
1.1 Der Satz von Ceva
1.2 Die Umkehrung des Satzes von Ceva
1.3 Der Satz von Menelaus
1.4 Die Umkehrung des Satzes von Menelaus
1.5 Zusammenhang zwischen dem Satz von Ceva und dem Satz von Menelaus
2 Der erweiterte Sinussatz
3 Abschluss
4 Literaturangabe

In der vorliegenden Ausarbeitung sind Punkte, sowie Winkel mit Großbuchstaben wie A bezeichnet, Strecken mit zwei Großbuchstaben wie AB und Flächen mit Großbuchstaben der Eckpunkte in Klammern wie (ABC).

1 Sätze von Ceva und Menelaus

1.1 Der Satz von Ceva

Der Satz von Ceva stammt vom italienischen Mathematiker Giovanni Ceva (*7. Dezember 1647 in Mailand, † 15. Juni 1734 in Mantua).

Nach dem Besuch der jesuitischen Hochschule in Mailand und einem Studium der Mathematik an der Universität von Pisa arbeitete er ab 1686 als Professor für Mathematik an der Universität von Mantua.

Der Satz von Ceva wurde in seinem Buch „De lineis rectis se invicem secantibus, statica constructio“ im Jahr 1678 veröffentlicht. [1]


Um den Satz von Ceva einzuführen, benötigen wir den Begriff der Ecktransversale.
Eine Strecke, die eine Ecke eines Dreiecks mit einem Punkt auf der gegenüberliegenden Seite verbindet, heißt Ecktransversale.

Beispiel: In Abbildung 1 sind X, Y und Z jeweils Punkte auf den Seiten BC, CA, AB eines Dreiecks ABC. Die Strecken AX, BY, CZ sind damit die Ecktransversalen.

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Der Satz von Ceva

Beweis des Satzes von Ceva:

Um den Satz von Ceva zu beweisen, erinnern wir uns daran, dass die Flächeninhalte von Dreiecken mit gleicher Höhe proportional zu den Grundseiten sind.

Mit Hilfe von Abbildung 1 gilt damit:

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1.2 Die Umkehrung des Satzes von Ceva


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Beweis der Umkehrung des Satzes von Ceva:
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1.3 Der Satz von Menelaus

Der Satz von Menelaus stammt von Menelaus von Alexandria, der etwa 100 n. Chr. gelebt hat. Er schrieb eine Abhandlung mit dem Titel „Sphaerica“, in der er bestimmte Eigenschaften eines sphärischen Dreiecks benutzte. Er schrieb, als wäre die analoge Eigenschaft eines ebenen Dreiecks wohlbekannt.
Vielleicht war sie das, aber da kein früherer Nachweis überliefert ist, nennt man diese Feststellung einfach den Satz von Menelaus. [2]


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Beweis des Satzes von Menelaus:

Um den Satz von Menelaus zu beweisen, betrachten wir Abbildung 2:
Satz von Menelaus
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1.4 Die Umkehrung des Satzes von Menelaus


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Beweis der Umkehrung des Satz von Menelaus:

Um den Beweis zu führen, betrachten wir Abbildung 3:
Umkehrung des Satzes von Ceva
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1.5 Zusammenhang zwischen dem Satz von Ceva und dem Satz von Menelaus

Wir fassen noch einmal zusammen:
Der Satz von Ceva ist ein Kriterium für den Schnitt von Geraden (Diese Umkehrung des Satzes von Ceva wird häufig in der Dreiecksgeometrie für Beweise aus dem Themenbereich „Merkwürdige Punkte im Dreieck“ verwendet – wie wir im nächsten Artikel sehen werden.)

Der Satz von Menelaus ist dagegen ein Kriterium für Kollinearität.

Um den Gegensatz dieser beider Sätzen herauszufinden, betrachten folgende vier Abbildungen:

In Abbildung 4 ist der Satz von Ceva dargestellt, bei der alle drei Punkte auf den Seiten des Dreiecks liegen.

In Abbildung 5 wird ebenfalls der Satz von Ceva dargestellt, nur liegen in diesem Fall zwei Punkte auf Verlängerungen von Seiten und der dritte Punkt auf der Dreiecksseite.
Zusammenhang

In Abbildung 6 wird der Satz von Menelaus dargestellt: Zwei Punkte liegen auf zwei Dreiecksseiten und ein Punkt auf einer Verlängerung einer Dreiecksseite.

In Abbildung 7 ist der Satz von Menelaus dargestellt: Die drei Punkte liegen alle auf Verlängerungen von Seiten des Dreiecks.
Zusammenhang

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Beweis des Satzes von Menelaus mit Ceva
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2 Der erweiterte Sinussatz

Der erweiterte Sinussatz ist nicht so unbekannt:

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Der erweiterte Sinussatz
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3 Abschluss

Ich denke einigen von euch waren diese Sätze noch unbekannt, obwohl sie wirklich interessant und lesenswert sind.
Da ich gerade in den Vorbereitungen zur diesjährigen Deutschen Schülerakademie bin, wird der nächste Teil erst in einigen Monaten erscheinen. Zumal ich auch erst einmal abwarten muss, welche vergessene und interessante Sätze es an Dreiecken noch gibt, die mir noch unbekannt sind, da die Akademie erst in zwei Wochen stattfindet. Ich nehme an dem Kurs "Geometrie - unheimlich und wunderbar" teil und freue mich schon riesig.
Nach der Akademie werden also weitere Artikel folgen.

Weiterhin möchte ich anmerken, dass alle Sätze und Beweise (leicht verändert) aus dem unter [3] angeführten Buch stammen. Ich kann dieses Buch nur jedem empfehlen. Leider ist das Buch nach meinem Kenntnisstand überall (jedenfalls bei www.amazon.de , www.buecher.de ) vergriffen. Aber in einer ordentlichen Bibliothek sollte das Buch zu finden sein.

Eine Rezension des Buches gibt es hier:
- Coxeter, H. S. M., und S. L. Greitzer: Zeitlose Geometrie, Stuttgart, 1983

4 Literatur


[1] http://de.wikipedia.org/wiki/Giovanni_Ceva
[2] http://de.wikipedia.org/wiki/Menelaos_(Mathematiker)
[3] Coxeter, H. S. M., und S. L. Greitzer: Zeitlose Geometrie, Stuttgart, 1983

Euer
Florian Modler




Trennlinie
-> Exkurs: Merkwürdige Punkte und Geraden am Dreieck

-> Vergessene Sätze am Dreieck (Teil 2): Satz von Stewart und Satz von Steiner und Lehmus

-> Vergessene Sätze am Dreieck (Teil 3): Satz von Pappus und Desargues

-> Vergessene Sätze am Dreieck (Teil 4): Satz von Carnot

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: Mathematik :: Geometrie :: Schüler aufwärts :: Analytische Geometrie :: Leicht verständlich :
Vergessene Sätze am Dreieck [von FlorianM]  
Dieser Artikel soll der erste Teil einer kleinen Serie sein. Es geht um die Sätze von Ceva und Menelaus, deren Umkehrungen und um den erweiterten Sinussatz.
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"Mathematik: Vergessene Sätze am Dreieck" | 12 Comments
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Re: Vergessene Sätze am Dreieck
von: Gockel am: Do. 20. Juli 2006 16:55:39
\(\begingroup\)
Hi Florian.

Ich bin begeistert. Ein schöner und interessanter Artikel. Wirklich sehr gelungen.

mfg Gockel.\(\endgroup\)
 

Re: Vergessene Sätze am Dreieck
von: Stefan_K am: Fr. 21. Juli 2006 13:54:53
\(\begingroup\)
Hi Florian,

das Buch "Zeitlose Geometrie" ist übrigens noch gut antiquarisch als "Geometry revisited" derselben Autoren erhältlich.

Wer in den Stoff dieses Buches einmal hineinschnuppern möchte: in Kassel gab es im Jahr 2004 ein Seminar zur Geometrie, worin man sich an "Zeitlose Geometrie" orientierte. Auf der Seminar-Homepage findet man die Ausarbeitungen der Teilnehmer.

Ich würde die Sätze von Menelaos und Ceva nicht unbedingt als "vergessen" bezeichnen, nur weil sie nicht mehr zum Schulstoff gehören mögen. Als schöne, klassische Sätze der Elementargeometrie werden sie weiterhin in aktuellen Büchern geführt und auch in Geometrie-Grundvorlesungen an der Uni gelehrt, wenngleich dort mitunter als Übungsaufgaben gegeben.

Stefan_K
\(\endgroup\)
 

Re: Vergessene Sätze am Dreieck
von: Trueffelkuh am: Fr. 21. Juli 2006 17:12:37
\(\begingroup\)
Oh, dann kenn ich noch zwei neue Sätze, die ich für meine Examensklausur lernen u üben kann! Satz von Ceva kannte ich doch tatsächlich schon!\(\endgroup\)
 

Re: Vergessene Sätze am Dreieck
von: FlorianM am: Sa. 22. Juli 2006 16:48:34
\(\begingroup\)
Hallo,
@Gockel
Danke für den netten Kommentar. Es bedeutet mir sehr viel! :-)

@Stefan_K
Auch dir danke für den Hinweis. Mit dem Wörtchen "Vergessen" wollte ich natürlich den Leser aufmerksam machen. Ist vielleicht das falsche Wort, aber gemeint ist auch hauptsächlich, dass diese Sätze in fast keinem Schulbuch zu finden sind. :-)

@Trueffelkuh
Freut mich, dass auch du etwas gelernt hast. :-)

Gruss Florian\(\endgroup\)
 

Re: Vergessene Sätze am Dreieck
von: Ex_Mitglied_40174 am: Fr. 28. Juli 2006 17:39:09
\(\begingroup\)
Der Titel stimmt: Die Sätze hatte ich vergessen ;)
Schöner Artikel FlorianM\(\endgroup\)
 

Re: Vergessene Sätze am Dreieck
von: FlorianM am: Mo. 31. Juli 2006 09:22:45
\(\begingroup\)
@Anonymous
Danke für das Lob. :)

Gruss Florian\(\endgroup\)
 

Re: Vergessene Sätze am Dreieck
von: briefkasten am: Di. 01. August 2006 23:53:50
\(\begingroup\)
Seas Florian,

habe mir gerade den Artikel durchgelesen. Ich muss ehrlich sagen, dass ich den Satz von Menelaus nocht nicht kannte.

Der Artikel ist dir super gelungen. Sehr interessant geschrieben, dass man noch mehr Artikel von dir will ;-).... Bin begeistert...

Danke....\(\endgroup\)
 

Re: Vergessene Sätze am Dreieck
von: FlorianM am: Mi. 02. August 2006 09:31:31
\(\begingroup\)
Hi briefkasten,
danke für den netten Kommentar. 😄 Hat mich sehr gefreut.
Ich bin weiterhin sehr bemüht, die weiteren Artikel mit schönen und interessanten Sätzen zu gestalten.

Gruss Florian\(\endgroup\)
 

Re: Vergessene Sätze am Dreieck
von: FlorianM am: Sa. 05. August 2006 13:37:39
\(\begingroup\)
Eine kleine Aufgabe an euch, die ich selbst noch nicht gelöst habe.
Ich habe jetzt den Satz von Ceva mit Hilfe des Satzes von Menelaus bewiesen. Ich habe auch schon den Satz von Menelaus mit Hilfe des Satzes von Ceva bewiesen, habe dabei aber Flächenberechnungen bzw. Flächenbetrachtungen benutzt. Also mich nicht nur auf den Satz von Ceva bezogen. Hat einer eine Idee, wie man den Satz von Menelaus nur mit dem Satz von Ceva beweisen kann und zwar ohne Flächenbetrachtungen?

Gruss Florian\(\endgroup\)
 

Re: Vergessene Sätze am Dreieck
von: FlorianM am: Mi. 16. August 2006 15:07:45
\(\begingroup\)
Darij hat einen nützlichen Link hier gepostet.\(\endgroup\)
 

Re: Vergessene Sätze am Dreieck
von: FlorianM am: Sa. 26. August 2006 10:02:28
\(\begingroup\)
Folgendes habe ich nun noch eingefügt und sollte nach der Freischaltung durch matroid auch verfügbar sein:


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Beweis des Satzes von Menelaus mit Ceva
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Re: Vergessene Sätze am Dreieck
von: Ex_Mitglied_40174 am: Do. 09. Juli 2015 13:58:57
\(\begingroup\)
Diese Saetze sind ja sehr schoen. Aber die Umkehrug von Menelaos ist so nicht richtig: Die Mittelpunkte der Dreieckseiten sind sicher nicht kollinear aber das ist das Produkt der (vorzeichenlosen) Teilverhaeltnisse ist gleich 1.

''

Die Umkehrung von Ceva ist ebenfalls problematisch. Wer sagt denn, dass nicht alle Ecktransversalen parallel zueinander liegen. Vielleicht sollte man erst mal ausschliessen, dass dieser Fall aiftreten kann.\(\endgroup\)
 

 
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