Mathematik: Vergessene Sätze am Dreieck (Teil 2)
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Mathematik

\(\begingroup\) Vergessene Sätze am Dreieck (Teil 2) Hallo Geometrie - Freunde, dies ist nun der zweite Teil der Serie "Vergessene Sätze am Dreieck". In diesem Teil wird es um zwei ganz bestimmte Sätze gehen: Um den Satz von Stewart und um den Satz von Steiner und Lehmus. Zuerst werde ich euch den Satz vorstellen, ihn anschließend beweisen und einige Anwendungen dieser Sätze aufzeigen. Der Satz von Stewart eignet sich zum Beispiel sehr gut, um Längen ganz bestimmter Strecken am Dreieck zu berechnen.

Inhalt 1 Satz von Stewart 2 Satz von Steiner und Lehmus 3 Abschluss 4 Literatur
1 Satz von Stewart
Der Satz von Stewart lautet wie folgt: \black\frame\black\big\ Satz von Stewart: Sei AX eine Ecktransversale der Länge d, die die Strecke BC \(vergleiche Abbildung 1) in zwei Strecken mit den Längen BX=e und XC=f teilt, dann gilt: a(d^2+ef)=b^2 *e+c^2 *f . Dieses Ergebnis nennt man, wie oben schon angeführt, nach M. Stewart, der es 1746 formulierte, den Satz von Stewart. Er wurde wahrscheinlich bereits von Archimedes 300 v. Chr. entdeckt, aber der erste bekannte Beweis stammt von R. Simson aus dem Jahr 1751. Beweis: Satz von Stewart Um diesen Satz zu beweisen, greifen wir auf den Kosinussatz zurück. Der Kosinussatz besagt, dass in einem beliebigen Dreieck \Delta ABC zum Beispiel b^2=c^2 +a^2 -2*a*c*cos\beta gilt. Der Kosinussatz Aus dem Dreieck erkennen wir: h=c*sin\beta und w=a-c*cos\beta Mit Hilfe des Pythagoras folgt b^2=h^2+w^2 . Einsetzen liefert: b^2=(c*sin\beta)^2+(a-c*cos\beta)^2 <=>b^2=c^2 *sin^2(\beta) +a^2 -2*a*c*cos\beta+c^2 *cos^2(\beta) <=>b^2=c^2(sin^2(\beta) +cos^2(\beta))+a^2-2*a*c*cos\beta Mit sin^2(\beta) + cos^2(\beta)=1 folgt: <=>b^2=c^2 +a^2 -2*a*c*cos\beta ->cos\beta=(c^2+a^2-b^2)/(2*a*c) Gegeben sei nun folgendes Dreieck \Delta ABC (siehe Abbildung 3) mit der Ecktransversalen d auf X\el\ a , die die Strecke a in die zwei Teilstrecken BX=e und XC=f teilt. Wir wenden nun cos\beta=(c^2+a^2-b^2)/(2*a*c) auf das Dreieck \Delta BXA und auf das Dreieck \Delta XCA an. Satz von Stewart 2 weil Gegenwinkel (\measuredangle\ x_links =180°-\measuredangle\ x_rechts): (e^2+d^2-c^2)/(2*e*d)=-(f^2+d^2-b^2)/(2*f*d) <=>2*f*d*(e^2+d^2-c^2)=-2*e*d*(f^2+d^2-b^2) <=>e^2*f+e*f^2+e*d^2+f*d^2=b^2*e+c^2*f <=>(e+f)(d^2+e*f)=b^2*e+c^2*f <=>a(d^2+e*f)=b^2*e+c^2*f q.e.d. Einige interessante Anwendungen des Satz von Stewart gibt es hier. Der wichtige Satz des Heron zur Berechnung des Flächeninhalts eines Dreiecks aus seinen Seitenlängen folgt direkt aus dem Satz von Stewart. Der Satz von Stewart wurde auch vom niederländischen Mathematiker Oene Bottema für die Anwendung auf Simplizes und Tetraedern verallgemeinert. [2] Eine weitere kleine Anwendung möchte ich euch präsentieren, indem ich euch auffordere, die Länge einer Seitenhalbierenden eines Dreiecks zu berechnen. Wir betrachten hierzu Abbildung 4: Länge einer Seitenhalbierende Sei AX die Seitenhalbierende auf BC, so gilt m=n= a/2. Nach dem Satz von Stewart folgt: a(p^2 +a^2/4)=n(b^2+c^2) a(p^2 +a^2/4)=a/2 *(b^2+c^2) p^2+a^2/4=1/2 *(b^2+c^2) p^2=1/4 *(2b^2+2c^2-a^2) s_a=p=1/2 *sqrt(2b^2+2c^2-a^2) Entsprechend gilt für die anderen Seitenhalbierenden: s_b=1/2 *sqrt(2a^2+2c^2-b^2) und s_c=1/2 *sqrt(2a^2+2b^2-c^2). Der interessierte Leser kann jetzt noch die Länge einer Höhe und einer Winkelhalbierenden bestimmen.
2 Satz von Steiner und Lehmus
Es gab und gibt immer noch eine Anzahl von geometrischen Problemen, die eine einzigartige Faszination auf jeden ausgeübt haben. Man erinnere sich nur an die drei großen Probleme der Antike: Die Verdopplung des Würfels (Delisches Problem), die Dreiteilung eines beliebigen Winkels und die Quadratur des Kreises. Auch der Satz von Steiner und Lehmus hat großes Interesse geweckt. 1840 wurde dieser Satz in einem Brief von C.L. Lehmus an C. Sturm mit der Bitte eingereicht, ihn rein geometrisch zu beweisen. Sturm erwähnte ihn gegenüber einer Anzahl von Mathematikern. Einer der ersten, der die Herausforderung beantwortete, war der berühmte Schweizer Geometer Jakob Steiner. Der Satz wurde daher bezeichnet als der Satz von Steiner und Lehmus. Der Satz lautet wie folgt: \black\frame\black\big\ Satz von Steiner und Lehmus: Ein Dreieck mit zwei gleich langen Winkelhalbierenden ist gleichschenklig. Beweis des Satzes von Steiner und Lehmus: Um den Satz zu beweisen, benötigen wir zwei Hilfssätze (ein Hilfssatz bezeichnet man in der Mathematik als Lemma): \black\frame\black\big\ \red\ Lemma 1: Liegen zwei Kreissehnen zwei verschiedenen spitzen Umfangswinkeln gegenüber, so gehört der kleinere Winkel zur kürzeren Sehne. Beweis des Lemma 1: Zwei gleich lange Sehnen besitzen gleiche Mittelpunktswinkel und gleiche (halb so große) Umfangswinkel. Von zwei Sehnen, die nicht gleich lang sind, liegt die kürzere weiter vom Mittelpunkt entfernt, hat einen kleineren Mittelpunktswinkel und folglich auch einen kleineren Umfangswinkel. q.e.d. \black\frame\black\big\ \red\ Lemma 2: In einem Dreieck mit zwei verschiedenen Winkeln besitzt der kleinere Winkel die längere Winkelhalbierende. Beweis des Lemma 2: Sei ABC das Dreieck mit \beta<\gamma. Seien BM und CN die Winkelhalbierenden von \beta und \gamma. Zu zeigen ist, dass BM>CN. Dazu wählen wir M' auf BM, so dass \measuredangle\ M'CN=1/2 *\beta. Der Winkel \beta<\gamma, somit liegt M' im Inneren des Dreiecks und die Strecke BM' ist kleiner BM . Da \measuredangle\ M'CN =\measuredangle\ M'BN , liegen die vier Punkte N, B, C, M' auf einem Kreis. Wegen \beta< 1/2 *(\beta+\gamma)< 1/2 *(\alpha+\beta+\gamma) ist \measuredangle\ CBN < \measuredangle\ M'CB <90°. Nach Lemma 1 gilt: CNBM'>CN. q.e.d. Satz von Steiner und Lehmus Wollen wir nun den eigentlichen Satz beweisen: Einen Sachverhalt ersetzt man oft durch seine Kontraposition, die dem ursprünglichen Satz äquivalent ist. Zum Beispiel kann man anstatt "Alle Menschen sind sterblich" genauso gut sagen: "Unsterbliche sind keine Menschen". Wir formulieren den Satz von Steiner und Lehmus also etwas um: Es genügt zu zeigen: Satz 2.1: Wenn in dem Dreieck \Delta ABC die Winkel in B und C verschieden sind, so gilt BM!=CN. Dies ist aber eine unmittelbare Folgerung aus Lemma 2. q.e.d. Damit ist der Satz von Steiner und Lehmus bewiesen. Die Idee, den Satz durch seine verschärfte Kontraposition zu ersetzen, erschien in einem Artikel von Victor Thebault, der das Lemma 2 genauso wie oben bewies und dann den Satz 2.1 als Korollar folgerte.
3 Abschluss
Dieser Artikel sollte euch auch zeigen, dass man viele Sätze indirekt beweisen kann und durch ein so genanntes Lemma schließlich den Satz als Korollar folgern kann. Diese Methode werden wir noch öfters anwenden. So mit diesem Artikel melde ich mich zurück von der Deutschen Schülerakademie. Im Laufe der Zeit werden nun weitere Artikel über interessante und schöne Sätze aus der Geometrie folgen. Der dritte Teil wird den Satz von Pappus etwas durchleuchten.
4 Literatur
Alle Sätze und Beweise habe ich folgendem Buch entnommen: [1] Coxeter, H. S. M., und S. L. Greitzer: Zeitlose Geometrie, Stuttgart, 1983 [2] http://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Stewart Euer Florian Modler

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-> Vergessene Sätze am Dreieck (Teil 1): Satz von Ceva und Menelaus und Sinussatz
-> Exkurs: Merkwürdige Punkte und Geraden am Dreieck
-> Vergessene Sätze am Dreieck (Teil 2): Satz von Stewart und Satz von Steiner und Lehmus
-> Vergessene Sätze am Dreieck (Teil 3): Satz von Pappus und Desargues
-> Vergessene Sätze am Dreieck (Teil 4): Satz von Carnot

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Vergessene Sätze am Dreieck (Teil 2) [von FlorianM]  
In diesem Teil wird es um zwei ganz bestimmte Sätze gehen: Um den Satz von Stewart und um den Satz von Steiner und Lehmus. Und zwar um deren Sätze, Beweise und Anwendungen Der Satz von Stewart eignet sich zum Beispiel sehr gut, um Längen ganz bestimmter Strecken am Dreieck zu berechnen.
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"Mathematik: Vergessene Sätze am Dreieck (Teil 2)" | 9 Comments
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Re: Vergessene Sätze am Dreieck (Teil 2)
von: briefkasten am: Mi. 30. August 2006 14:52:02
\(\begingroup\)Seas Florian, ich komme gerade von meinem kurz Urlaub und sehe hier auf dem Matheplaneten deinen genialen Artikel. Kaum ist man ein paar Tage nicht auf dem Planeten erscheinen schon wieder neue super Artikel. Einfach nur super! mfg...\(\endgroup\)
 

Re: Vergessene Sätze am Dreieck (Teil 2)
von: FlorianM am: Mi. 30. August 2006 17:39:47
\(\begingroup\)@briefkasten Ich dachte schon es gebe gar kein Kommentar zum Artikel... :) Vielen Dank für das Lob, hat mich sehr gefreut. Hoffe du hattest einen schönen Urlaub. Gruss Florian\(\endgroup\)
 

Re: Vergessene Sätze am Dreieck (Teil 2)
von: da_bounce am: Do. 31. August 2006 18:27:15
\(\begingroup\)Hallo Flo, wieder mal einen sehr interessanter Artikel, habe ihn imo nur überflogen schaue ihn mir morgen genauer an. Danke für die Mühe greetz George\(\endgroup\)
 

Re: Vergessene Sätze am Dreieck (Teil 2)
von: FlorianM am: Do. 31. August 2006 18:47:24
\(\begingroup\)Hi George, danke für den netten Kommentar. 😄 Schön, dass du wieder da bist. Gruss Florian\(\endgroup\)
 

Re: Vergessene Sätze am Dreieck (Teil 2)
von: syngola am: Fr. 01. September 2006 13:43:46
\(\begingroup\)Hallo Florian, ich bin wirklich ueberrascht, dass es so schoene Saetze in der Geometrie gibt, die (leider) nicht in der Schule gelehrt werden. Sehr interessant und schoen geschrieben Dein Artikel! Gruss, Peter\(\endgroup\)
 

Re: Vergessene Sätze am Dreieck (Teil 2)
von: FlorianM am: Fr. 01. September 2006 16:39:15
\(\begingroup\)Hi Peter, danke für das Lob. Das spornt einen an, die weiteren Artikel zu schreiben. 😄 Danke. Denn es gibt noch eine Menge mehr interessanter Sätze. :) Gruss Florian\(\endgroup\)
 

Re: Vergessene Sätze am Dreieck (Teil 2)
von: morri am: Sa. 02. September 2006 21:06:13
\(\begingroup\)interessant .. sieht aber kompliziert aus.. wird er deswegen nicht gelehrt?(in schulen)\(\endgroup\)
 

Re: Vergessene Sätze am Dreieck (Teil 2)
von: FlorianM am: So. 03. September 2006 13:52:24
\(\begingroup\)Hallo morri, diese Sätze sind meine Ansicht nach nicht komplizierter als andere Dinge. Warum diese Geometrie in der Schule so kurz kommt, kann ich nicht sagen, müsste man mal die Kultusministerien fragen. 😄 Gruss Florian\(\endgroup\)
 

Re: Vergessene Sätze am Dreieck (Teil 2)
von: hugoles am: Mi. 06. September 2006 00:28:55
\(\begingroup\)Hallo Florian, die Geometrie ist in der Schule immer weiter auf dem Rückzug, zumindest bei uns in BaWü. Durch das G8 wurde da drastisch gekürzt. So gibt es in jedem Schuljahr höchstens eien Geometrieeinheit von ca. 6 Wochen. Bedauerlich! Deshalb finde ich es super, wenn hier auch Artikel über elementare Geometrie geschrieben werden. Gruß!\(\endgroup\)
 

 
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