Mathematik: Kapitel 1: Lineare Gleichungssysteme & Co.
Released by matroid on Di. 29. August 2006 20:07:17 [Statistics]
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Lineare Algebra

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FlorianM und hugoles schreiben:

Logo: Oberstufenmathematik leicht gemacht

Lineare Gleichungssysteme & Co.




Liebe Matheplanetarier,
hugoles und ich wollen den Matheplaneten mit einer Serie erweitern, die sich mit dem Thema Lineare Algebra und Analytische Geometrie befasst.
Wir werden in unserem Kapitel 1 auf Lineare Gleichungssysteme eingehen und nach und nach auf das weite Gebiet der Vektoren vorstoßen.

Ziel dieser Serie soll es sein, Schülern das große Gebiet der Analytischen Geometrie auf verständliche Art und Weise näher zu bringen und anhand zahlreicher Beispiele die (Rechen-) Verfahren im Umgang mit Vektoren vorzuführen.


1 Einführung
2 Grundlagen aus der Mittelstufe
2.1 Einzelne lineare Gleichungen
2.2 Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen
2.3 Lineare Gleichungssysteme mit drei Variablen
3 Gaußsches Eliminationsverfahren
3.1 Einführung
3.2 Welche Umformungen sind erlaubt?
3.3 Anwenden auf das Beispiel
3.4 Schema
4 Matrixform
4.1 LGS in Matrixforum
4.2 LGS hat keine Lösung
4.3 LGS hat unendlich viele Lösungen
5 Abschluss
by hugoles
[Edit]

1 Einführung

Die Artikelserie, die wir hiermit beginnen wollen, erhebt keinerlei Anspruch auf Vollständigkeit und verzichtet der Übersichtlichkeit halber überwiegend auf Beweise der verwendeten Sätze und Gesetzmäßigkeiten. Die Artikel werden daher nicht unbedingt der mathematischen Exaktheit gerecht, die für derartige Arbeiten sonst gefordert wird.

Daraus ergibt sich schon, dass sich diese Artikelserie nicht an die „ausgebildeten Mathematiker“ richtet, sondern an diejenigen, die „nur“ einen Streifzug durch die Analytische Geometrie machen wollen oder die bestimmte Verfahren nochmals nachlesen möchten.
Zum Adressatenkreis sollen ausdrücklich Schüler der oberen Mittelstufe bzw. der Oberstufe gehören.

Unsere Artikel sollen zum einen unterhaltsam und locker sein und zum anderen jedoch so umfangreich, dass ein Oberstufenschüler hier möglichst viele Beispiele, Regeln und Anwendungen findet.

2 Grundlagen aus der Mittelstufe

Um auch das zentrale Thema dieses Artikels, das Gaußsche Eliminationsverfahren, nachvollziehen zu können, wollen wir in diesem Abschnitt die Grundlagen aus der Mittelstufe etwas auffrischen.

2.1 Einzelne lineare Gleichungen

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In diesem Beispiel haben wir alle Verfahren angewendet, die beim Umformen einzelner Gleichungen erlaubt, also äquivalent sind:
Addieren/Subtrahieren von Termen auf beiden Seiten der Gleichung, sowie das Multiplizieren oder Dividieren von Termen, ungleich Null, auf beiden Seiten der Gleichung.

2.2 Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen

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  • Das Einsetzungsverfahren

  • fed-Code einblenden

  • Das Gleichsetzungsverfahren

  • fed-Code einblenden

  • Additionsverfahren

  • fed-Code einblenden

  • Welches Verfahren eignet sich am besten für welches Gleichungssystem

  • fed-Code einblenden

    2.3 Lineare Gleichungssysteme mit drei Variablen

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    3 Gaußsches Eliminationsverfahren

    3.1 Einführung

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    3.2 Welche Umformungen sind erlaubt?

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    3.3 Anwenden auf das Beispiel

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    Dreiecksform
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    Danach multiplizieren wir die erste Gleichung mit –3, addieren dieser zur dritten Gleichung und ersetzen die dritte Gleichung durch dieses Ergebnis.

    So haben wir das LGS auf Dreiecksform gebracht. Hier die Schritte im Einzelnen:

    Beispiel

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    3.4 Schema

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    4 Matrixform

    4.1 LGS in Matrixform

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    Matrix1

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    Matrix 2
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    Matrix 2
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    Matrix 3

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    4.2 Klassifikationen / Fallunterscheidungen

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    1. Fall
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    2. Fall
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    fed-Code einblenden
    3. Fall
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    5 Abschluss

    Dies soll uns im Moment als Grundwissen reichen.
    Wer noch mehr über LGS und das Gauß-Eliminationsverfahren erfahren möchte, dem sei der Artikel von Siah ans Herz gelegt.

    In diesem Kapitel haben wir ein wichtiges Hilfsmittel aus der Analytischen Geometrie bereit gestellt, das wir in den folgenden Abschnitten, zu denen wir noch kurz einen kleinen Überblick geben wollen, intensiv nutzen werden.

    Trennlinie
  • Kapitel 1: Lineare Gleichungsysteme & Co
  • Kapitel 2: Einführung in die analytische Geometrie
  • Kapitel 3: Geraden und Ebenen
  • Kapitel 4: Das Skalarprodukt und seine Anwendungen
  • Kapitel 5: Das Vektorprodukt und seine Anwendungen
  • Kapitel 6: Das Spatprodukt und seine Anwendungen
  • Kapitel 7: Exkurs: Die Plückerform
  • Kapitel 8: Abstandsberechnungen
  • Kapitel 9: Lageuntersuchungen
  • Kapitel 10: Kreise und Kugeln
  • Kapitel 11: Wichtige Formeln fürs Abitur


  • Der Name "Oberstufenmathematik leicht gemacht" dieser Artikelreihe stammt von dem beim pd-Verlag erschienenden Buch Oberstufenmathematik leicht gemacht. Ein verständliches Buch, das die Themen der Oberstufenmathematik anschaulich und präzise erklärt.
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    Arbeitsgruppe Alexandria Dieser Artikel ist im Verzeichnis der Arbeitsgruppe Alexandria eingetragen:
    : Lineare Algebra :: Analytische Geometrie :: Schule :: Schüler aufwärts :
    Kapitel 1: Lineare Gleichungssysteme & Co. [von FlorianM]  
    Auftakt der Serie "Lineare Algebra und Analytische Geometrie" für Oberstufenschüler. Der erste Teil behandelt Lineare Gleichungssysteme und das Gaußsche Eliminationsverfahren und legt den Grundstein für die kommenden Teile.
    [Die Arbeitsgruppe Alexandria katalogisiert die Artikel auf dem Matheplaneten]

     
     
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    "Mathematik: Kapitel 1: Lineare Gleichungssysteme & Co." | 21 Comments
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    Re: Kapitel 1: Lineare Gleichungssysteme & Co.
    von: Ex_Mitglied_40174 am: Di. 29. August 2006 21:14:11
    \(\begingroup\)
    Ich finde, dein Unterfangen hat großes Lob verdient!

    Du könntest bloß noch die Sterne aus dem Logo wegmachen, das Logo sieht mit den Kreisen ("Tellern") im Hintergrund aus wie Werbung für Klarspüler :D\(\endgroup\)
     

    Re: Kapitel 1: Lineare Gleichungssysteme & Co.
    von: Ex_Mitglied_40174 am: Di. 29. August 2006 21:47:17
    \(\begingroup\)
    Der Artikel ist sehr gut, ich freue mich schon auf die nächsten, werde mich damit auf das Abitur vorbereiten!!
    DICKES LOB!!!\(\endgroup\)
     

    Re: Kapitel 1: Lineare Gleichungssysteme & Co.
    von: Spock am: Di. 29. August 2006 21:50:50
    \(\begingroup\)
    Hallo Florian, hallo Sven,

    die Idee find ich super, die Aufteilung in die einzelnen Kapitel sieht für mich didaktisch sehr gut aus, und Deine Umsetzung des ersten Kapitels, Florian, ist gelungen. Ich kann Euch da nur ermutigen, das so durchzuziehen, sofern Euch nicht irgendein Schulbuchverlag ein Angebot macht, das ihr hoffentlich ablehnt, :-)

    @Anonymous: ich finde das Logo hübsch, sind nicht Sterne so eine Art Symbol für "man beginnt zu verstehen"?

    Gruß
    Juergen\(\endgroup\)
     

    Re: Kapitel 1: Lineare Gleichungssysteme & Co.
    von: Nodorsk am: Di. 29. August 2006 22:39:36
    \(\begingroup\)
    Hallo,

    ich finde das ein tolles Projekt und glaube, dass es vielen
    fürs Abi oder sogar für den Studienanfang helfen wird.

    Gruß
    Nodorsk\(\endgroup\)
     

    Re: Lineare Gleichungssysteme & Co.
    von: matroid am: Di. 29. August 2006 22:49:56
    \(\begingroup\)
    Ein guter Anfang, ein klarer Anfang und ein großer Plan.
    Ich bin auf die nächsten Teile schon (positiv) sehr gespannt.

    Viele Grüße
    Matroid\(\endgroup\)
     

    Re: Kapitel 1: Lineare Gleichungssysteme & Co.
    von: FlorianM am: Mi. 30. August 2006 14:02:17
    \(\begingroup\)
    Hallo,
    boah... mit so einem überwältigendem Lob hätten wir nicht gerechnet. :-)
    Darum ist das jetzt noch schöner zu hören, das es euch gefällt. Vielen Dank dafür. :)
    @Spock
    Natürlich würden wir ein Angebot eines Verlags ablehnen, wir schreiben nur für den Matheplaneten. :-D
    @Anonymous
    An dem Logo habe ich Stunden gearbeitet, sag nicht sowas. :-D
    Jetzt sind wir bemüht, die anderen Artikel auch so schön hinzubekommen. :-)

    Gruss Florian\(\endgroup\)
     

    Re: Kapitel 1: Lineare Gleichungssysteme & Co.
    von: magic_carpet am: Mi. 30. August 2006 14:47:19
    \(\begingroup\)
    Wow, wer hätte gedacht dass lineare Gleichungssysteme so spannend sein können? ;)
    Auf jeden Fall freu ich mich jetzt schon auf die nächsten 10 Episoden, mit meinem Mathe-LK kann ich die bestimmt gut gebrauchen.

    Weiter so, eure magic_carpet\(\endgroup\)
     

    Re: Kapitel 1: Lineare Gleichungssysteme & Co.
    von: Doro am: Mi. 30. August 2006 23:12:22
    \(\begingroup\)
    Super Idee! Eigentlich schreibe ich ungern das, was andere schon vor mir geschrieben haben aber bei der Wahrheit muss ich wohl bleiben :-).
    Freu mich jetzt schon fats für's Abi zu lernen :-).
    Ganz großes Lob Doro

    Ps. Habt ihr nicht Lust sowas für Physik auch noch zu machen? 😉\(\endgroup\)
     

    Re: Kapitel 1: Lineare Gleichungssysteme & Co.
    von: hugoles am: Do. 31. August 2006 09:14:26
    \(\begingroup\)
    Hallo Doro,
    was hättest Du denn gerne in der Physik für einen Artikel?
    Vielleicht lässt sich da was einrichten, bin grad im Artikelschreibfieber 😉\(\endgroup\)
     

    Re: Kapitel 1: Lineare Gleichungssysteme & Co.
    von: da_bounce am: Do. 31. August 2006 15:34:43
    \(\begingroup\)
    moin Leute, oh ich muss sagen der erste ist sehr gelunge, wie immer sehr ausführlich und man versteht alles gleich dickes Lob an Flo hugoles weiter so freue mich scon auf die nächsten


    greetz\(\endgroup\)
     

    Re: Kapitel 1: Lineare Gleichungssysteme & Co.
    von: FlorianM am: Do. 31. August 2006 18:48:46
    \(\begingroup\)
    Hi Doro und George,
    vielen Dank für das Lob! Freut uns sehr, dass für vielen helfen können. :)

    Gruss Florian\(\endgroup\)
     

    Re: Kapitel 1: Lineare Gleichungssysteme & Co.
    von: CptH am: Sa. 02. September 2006 21:39:34
    \(\begingroup\)
    Hallo,

    Im Abschnitt 2.1 Einzelne lineare Gleichungen ist ein Fehler.
    Bei der Gleichung muss als letzter schritt durch 7 und nicht durch 3 geteilt werden.
    Ciao
    CptH\(\endgroup\)
     

    Re: Kapitel 1: Lineare Gleichungssysteme & Co.
    von: fru am: Sa. 02. September 2006 23:28:21
    \(\begingroup\)
    Danke für Deine Aufmerksamkeit und den Hinweis, CptH !
    Die entsprechende Änderung habe ich beantragt und sie wird sicher
    bald freigeschaltet werden.

    Wenn Du auf "Bearbeiten" unterhalb eines Abschnitts klickst,
    kannst Du übrigens auch selbst Änderungsvorschläge zu einem Artikel
    direkt einbringen.

    Falls sie sinnvoll genug sind, werden sie dann wahrscheinlich
    auch umgesetzt werden.

    Liebe Grüße, Franz
    \(\endgroup\)
     

    Re: Kapitel 1: Lineare Gleichungssysteme & Co.
    von: FlorianM am: So. 03. September 2006 13:49:08
    \(\begingroup\)
    Auch von mir nochmal: Danke für den Hinweis, CptH.
    Ist nun von mir freigegeben, warten wir es ab bis matroid die Änderung frei gibt.

    Gruss Florian\(\endgroup\)
     

    Re: Kapitel 1: Lineare Gleichungssysteme & Co.
    von: Sebastian_Wild am: Mo. 04. September 2006 10:16:30
    \(\begingroup\)
    Hi,

    du solltest mit dem Titel "Oberstufenmathematik leicht gemacht" vorsichtig sein, da es bereits ein Buch mit diesem Titel gibt und du dich sehr nah an diesem Titel orientierst. Sprich die Beispiele sind teilweise dieselben, manchmal auch nur leicht abgeändert. Ich kenne mich in diesem Fall zu wenig mit dem Recht aus, aber du solltest, falls du dieses Buch als Quelle verwendet hast, es wenigstens als solche angeben. Falls ich den Quellenhinweis übersehen haben sollte, bitte ich vielmals um Entschuldigung.

    Das Buch erschien beim PD-Verlag: www.pd-verlag.de

    Gruss
    Sebastian\(\endgroup\)
     

    Re: Kapitel 1: Lineare Gleichungssysteme & Co.
    von: FlorianM am: Mo. 04. September 2006 17:56:01
    \(\begingroup\)
    Hi Sebastian,
    danke für den Hinweis. Dieses Buch diente zwar nicht als Quelle, sondern Schulaufzeichnungen, aber ein Beispiel ist dasselbe, da hast du Recht. Habe das entsprechende Beispiel verändert.

    Mit dem Namen weiß ich nicht, ob das Probleme geben kann. Ich denke "Oberstufenmathematik leicht gemacht" ist nicht geschützt. Belehrt mich gern eines besseren...

    Gruss Florian\(\endgroup\)
     

    Re: Kapitel 1: Lineare Gleichungssysteme & Co.
    von: weserus am: Mo. 04. September 2006 18:56:05
    \(\begingroup\)
    Hi,

    warum so ängstlich? 'Wer nicht wagt, der nicht gewinnt'....
    sagt der Volksmund.

    1.Ob ein Urheberrecht von Herrn Peter Dörsam auf die Titelreihe
    'Oberstufenmathematik leicht gemacht' vorliegt, kann geprüft
    werden, wobei dann der Begriff 'Schöpfungshöhe' im Rahmen des
    Urheberrechts eine Rolle spielt.
    2.Im MP-Review wurde 'Peter Dörsam; Oberstufenmathematik leicht
    gemacht, Lineare Algebra und Analytische Geometrie' bereits am
    30.12.2005 zufällig von einem 'zufälligen Planetarier' besprochen.
    Böswillig ist, wer dort einen Zusammenhang sieht.
    Dieser MP-Review einerseits und der 1. Artikel dieser Reihe:
    'Lineare Gleichungssysteme & Co'andererseits findet man bereits bei Google; vielleicht liest beides dort Herr Peter Dörsam und ist gleichwohl nicht abmahnungsfreudig. 'Ruhe ist die 1. Bürgerpflicht'
    sagt der Volksmund.
    Matroid würde es Herrn Peter Dörsam danken !
    3. Ausserdem: Der MP ist ein Mathematik-Forum und kein Jura-Forum.
    Wo kommen wir dahin, wenn Urheberrechte und anderer 'Kackelatüt'
    hier Platz greifen. Wie löst ein Mathematiker dieses von Sebastian
    angesprochene Problem? Wir definieren, dass ein Verstoss -gleich
    welcher Art und gleich aus welchem Rechtsgrund- 'hier' nicht
    gegeben ist.
    So einfach könnte es vielleicht sein, wobei hier die Betonung auf
    'vielleicht' liegt.

    Liebe urheberrechtliche Grüsse Peter
     

    \(\endgroup\)
     

    Re: Kapitel 1: Lineare Gleichungssysteme & Co.
    von: Ex_Mitglied_40174 am: Di. 22. Mai 2007 21:10:11
    \(\begingroup\)
    Hallo,
    ich habe noch zwei Fehler gefunden.
    Und zwar steht unter Einsetzungsverfahren:
    fed-Code einblenden
    Hier müßte aber stehen:
    fed-Code einblenden

    Ansonsten ein gut verständlicher Artikel für Schüler.

    Viele Grüße,
    Nadja\(\endgroup\)
     

    Re: Kapitel 1: Lineare Gleichungssysteme & Co.
    von: hugoles am: Di. 22. Mai 2007 22:03:15
    \(\begingroup\)
    Hallo Nadja,
    danke für die Aufmerksamkeit.
    Es wird geändert.
    Gruß!\(\endgroup\)
     

    Re: Kapitel 1: Lineare Gleichungssysteme & Co.
    von: Ernie am: Mi. 06. Juni 2007 14:26:09
    \(\begingroup\)
    Ich kann nur positives über diesen Artikel ausschütten.
    Sehr gute Arbeit, hat mir sehr gefallen. Gute Übersicht.

    Danke\(\endgroup\)
     

    Re: Kapitel 1: Lineare Gleichungssysteme & Co.
    von: Ex_Mitglied_40174 am: Sa. 08. September 2007 12:43:54
    \(\begingroup\)
    Mann Ihr seid klasse! Ich bereite mich gerade als nicht frischer Schulabgänger (..zahle seit vielen Jahren brav Steuern) nun auf mein in kürze beginnendes BWL-Studium vor. Der Artikel ist mir dabei eine sehr große Hilfe.

    Vielen vielen Dank!!!  😄\(\endgroup\)
     

     
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